Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên: Bảng phân phối xác suất, hàm phân bố và hàm mật độ xác suất.. Khái niệm biến ngẫu nhiên • Một biến nhận các giá trị có thể có của nó vớ

Nội dung chính:

1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

2 Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu

nhiên: Bảng phân phối xác suất, hàm phân bố và hàm mật độ xác suất

3 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên: Kỳ vọng,

Phương sai, độ lệch chuẩn, trung vị, mốt,

Chương 2

Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

§1 Khái niệm

và phân loại biến ngẫu nhiên

1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

• Một biến nhận các giá trị có thể có của nó với

xác suất tương ứng nào đấy gọi là biến

ngẫu nhiên

• Biến ngẫu nhiên thường được kí hiệu bởi các

chữ X, Y, Z, Các giá trị mà biến ngẫu nhiên

nhận thường viết bằng chữ nhỏ: x, y, z,

Ví dụ1: Tung một con xúc xắc

Gọi X = “số chấm xuất hiện ở mặt trên của con xúc xắc”

X là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể nhận là: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ví dụ 2: Lấy ngẫu nhiên 5 sản phẩm từ trong kho để kiểm tra

Gọi Y = “số phế phẩm lấy được”

Y là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể nhận là: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Ví dụ 3: Một xạ thủ bắn vào bia cho đến khi trúng thì dừng

Gọi Z = “số viên đạn phải dùng”

Z là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể nhận là: 1, 2, 3, , n,

Ví dụ 4: Một người bắn một viên đạn vào bia

Gọi T = “khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn

đến tâm bia”

T là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể nhận là một

số thực không âm

Ví dụ 5: Gọi U = “thời gian chờ xe buýt”

U là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể nhận là một

số thực nằm trong khoảng [0; 15] (phút)

2 Phân loại biến ngẫu nhiên

- Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó lập nên một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được

- Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu các giá trị

có thể có của nó lập đầy một hay một số khoảng của trục

số, thậm chí lấp đầy cả toàn bộ trục số

Ví dụ 6: +) Các biến ngẫu nhiên X, Y, Z ở trên là các biến

ngẫu nhiên rời rạc

+) Các biến ngẫu nhiên T, U ở trên là các biến ngẫu

nhiên liên tục.

§2 Quy luật phân phối xác suất

của biến ngẫu nhiên

1 Định nghĩa

Có ba phương pháp để mô tả quy luật phân phối xác suất xủa biến ngẫu nhiên gồm: Bảng phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất

Quy luật phân phối xác suất là một cách biễu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên với các xác suất tương ứng mà nó nhận các giá trị đó

2 Bảng phân phối xác suất

Giả sử biễn ngẫu nhiên rời rạc 𝑿 nhận các giá trị

Ví dụ 1: Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp để kiểm tra Gọi X là số phế phẩm lấy được Tìm quy luật phân phối xác suất của X Tính 𝑷(−𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏)

Ví dụ 2: Một người bắn súng vào bia với xác suất bắn trúng là 0,7 Xạ thủ này bắn cho đến khi trúng thì dừng Lập bảng phân phối xác suất của số viên đạn phải dùng

3 Hàm mật độ xác suất

Định nghĩa

Khi đó: 𝑷 𝒂 < 𝑿 < 𝒃 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙𝒂𝒃

Hàm 𝒇(𝒙) được gọi là hàm mật độ xác suất của

biễn ngẫu nhiên X nếu thoả mãn các điều kiện sau:

i) 𝒇 𝒙 ≥ 𝟎 ∀𝒙 ∈ (−∞; +∞) ii) −∞+∞ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏

Ví dụ 3: Cho hàm số

𝒂 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 nếu 𝒙 ∈ (0; 𝝅 ) 𝟐

Tìm 𝒂 để 𝒇(𝒙) trở thành một hàm mật độ xác suất.

Ví dụ 4: Cho biến ngẫu nhiên liên tục 𝑿 có hàm mật độ

xác suất như sau:

𝒇 𝒙 = 𝟎 𝒏ế𝒖 𝒙 < 𝟏𝒄

𝒙𝟐 𝒏ế𝒖 𝒙 ≥ 𝟏

Hãy xác định hằng số 𝒄 và tính 𝑷 𝟐 < 𝑿 < 𝟑

Nhận xét: Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì

𝑷 𝑿 = 𝒂 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙

𝒂 𝒂

4 Hàm phân phối xác suất

Ví dụ 3: Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu

b) Tính chất của hàm phân phối xác suất

vi) Nếu biến ngẫu nhiên liên tục 𝑿 có hàm mật độ

Ví dụ 4: Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên

§3 Các tham số đặc trưng

của biến ngẫu nhiên

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên 𝑿, kí hiệu là 𝑬(𝑿),

được xác định như sau:

Ví dụ 1: Cho biến ngẫu nhiên 𝑿 có bảng phân phối xác suất như sau

ngẫu nhiên là trọng tâm của hệ Với biến ngẫu nhiên liên

tục ta cũng có ý nghĩa tương tự

2 Phương sai

a)Định nghĩa

Phương sai của biến ngẫu nhiên 𝑿, kí hiệu là 𝑽(𝑿),

được xác định như sau:

Nhận xét: Có thể tính phương sai của biến ngẫu nhiên X

theo công thức sau

Ví dụ 3: Cho biến ngẫu nhiên 𝑿 có bảng phân phối xác suất như sau

Ví dụ 4: Cho biến ngẫu nhiên liên tục 𝑿 có hàm mật

độ xác suất như sau

𝒇 𝒙 = 𝟎, 𝟐𝒙, với 𝒙 ∉ (𝟎; 𝟏) với 𝒙 ∈ (𝟎; 𝟏)

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của 𝑿

𝑷 0,2 0,1 0,4 0,3

b) Tính chất của phương sai

+) Nếu 𝑿 và 𝒀 độc lập thì

𝑽 𝑿 ± 𝒀 = 𝑽 𝑿 + 𝑽(𝒀)

c) Ý nghĩa và ứng dụng của phương sai

- Ý nghĩa: Phương sai của một biến ngẫu nhiên phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó là kì vọng

- Ứng dụng thực tế: Trong kĩ thuật phương sai đặc trưng cho mức độ phân tán của các chi tiết gia công hay sai số của thiết bị, trong quản lí và kinh doanh

nó đặc trưng cho mức độ rủi ro của các quyết định

3 Trung vị (median)

Định nghĩa: Ta gọi 𝒎 là trung vị (median) của biến

ngẫu nhiên 𝑿 hay của phân phối của 𝑿

 Với 𝑋 là biến ngẫu nhiên rời rạc thì trung vị 𝑚 = 𝑥𝑖

Nhận xét: Trung vị là giá trị chia phân phối của biến

ngẫu nhiên thành hai phần bằng nhau

4 Mốt (mode)

ngẫu nhiên tương ứng với:

 Xác suất lớn nhất nếu là biến ngẫu nhiên rời rạc

 Cực đại của hàm mật độ xác suất nếu là biến

ngẫu nhiên liên tục

Ví dụ 5: Cho biến ngẫu nhiên 𝑿 có bảng phân phối xác suất