Bài giảng xác suất và thống kê ( Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng )- Trấn An Hải

Bài giảng xác suất và thống kê ( Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng )- Trấn An Hải

 Kết quả của mỗi lần kiểm tra không ảnh hưởng đến các kết quả của những lần kiểm tra còn lại

Tổng quát hóa ta có định nghĩa

 Một dãy n phép thử được gọi là đc lp nếu các kết quả của mỗi phép thử không ảnh hưởng đến kết quả của những phép thử còn lại

 Một dãy n phép thử độc lập được gọi là một

lc đ Bernoulli khi thỏa 2 điều kiện:

∗ Mỗi phép thử chỉ xét tới biến cố A và A

∗ P(A) = p trong mỗi phép thử

Ta xét một lược đồ Bernoulli gồm n phép thử Đặt X = số lần xuất hiện A trong n phép thử

X là một bnn có tập giá trị là {0, 1, 2, …, n}

Ta tìm quy luật ppxs của X

Trường hợp tổng quát

Chứng minh tương tự trường hợp trên, ta có:

Quy luật ppxs của X là

P {X = i} = i i n i

n p q

C − (i = 0, 1, …, n)

Ta nói X có phân b nh th c với tham số n, p Ta

ký hiệu X ∼ B(n, p) (B viết tắt binomial)

Đặc biệt, khi X ∼ B(1, p) ta nói X có phân bố mt với tham số p

Ví dụ

Tỉ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên Bush trong bầu cử tổng thống là 60% Người ta hỏi ý kiến 20 cử tri được chọn

một cách ngẫu nhiên Gọi X là số người bỏ phiếu cho

Bush trong 20 người đó

a) Tính số người bỏ phiếu có khả năng nhất và tính

trung bình số người bỏ phiếu trong 20 người trên

b) Tính P{X ≤ 10}, P{X>12}, P{X = 11}

i

i i

20

i

i i

i

C = 1- 0,584 = 0,416

P{X = 11} = C20110,611 ⋅ 0,49

Muốn tra bảng, ta dùng

P{X = 11} = P{X ≤ 11} - P{X ≤ 10}

= 0,404 – 0,245 = 0,159 ☺

 Phân bố siêu bội

Xét một tập gồm N đối tượng, trong đó có M đối tượng có tính chất T và N-M đối tượng không có tính chất T Chọn ngẫu nhiên n (n ≤ M) đối tượng theo kiểu không hoàn lại

Ta có dãy n phép thử với kết quả của mỗi phép

thử là

A = “Đối tượng có tính chất T” và A

Chúng có xác suất thay đổi qua mỗi phép thử

Trong dãy này kết quả của mỗi phép thử ảnh hưởng đến các kết quả của những phép thử khác nên dãy này không phải là lược đồ Bernoulli

Gọi X = số đối tượng được chọn có tính chất T

X có tập giá trị là {0, 1, 2, …, n} với quy luật phân

i M C

N N

M

Ví dụ

Trong 500 vé xổ số bán ra có 50 vé trúng thưởng Một người mua 20 vé Tính:

1) Xác suất để anh ta có đúng 3 vé trúng thưởng;

2) Trung bình của số vé trúng thưởng

3 50

Chú ý

Khi n là rất bé so với N thì

i n

i i

n

n N

i

n M N

i M

N

M N

M C

Ví dụ

Một kho chứa sản phẩm của 2 xí nghiệp A và B với tỉ lệ bằng nhau Tỉ lệ chính phẩm của A, B lần lượt là 80% và 85% Tính xác suất để trong 2 sản phẩm lấy ngẫu nhiên từ kho có đúng một chính phẩm

H i (i =1, 2, 3) là nhóm đầy đủ

 Phân bố Poisson

Các b.n.n như : số cuộc điện thoại tại một trạm điện thoại trong một phút, số khách vào một cửa hàng trong một ngày, số xe cộ đi qua một trạm quan sát trong một giờ, … có cùng kiểu ppxs, gọi

là lut phân b Poisson (do nhà toán học Siméon-Denis Poisson tìm ra 1837)

• B.n.n X được nói là có phân b Poisson với tham số λ, ký hiệu X ∼ Poisson(λ), nếu tập giá trị của nó là N và

P{X = k} =

!

k e

Định lý

Nếu X ∼ Poisson(λ), thì

E(X) = D(X) = λ, mod(X) = [λ]

Ví dụ

 Nếu ở một tổng đài các cú điện thoại gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc lập với nhau và trung bình có 2 cuộc gọi trong một phút, thì X = Số cú

điện thoại xuất hiện trong 1 phút là bnn có luật ppxs cho bởi

P{X = k} =

!

k e

k

2

2

Nếu các khách vào một cửa hàng một cách ngẫu nhiên, độc lập với nhau và trung bình một giờ có

4,5 khách vào, thì X = Số khách vào cửa hàng trong 1 giờ là bnn có luật ppxs cho bởi

k

54

5 4

Ví dụ

Một gara cho thuê ôtô thấy rằng số người đến thuê ôtô vào ngày Thứ Bảy cuối tuần là một bnn X ∼ Poisson(2) Giả

sử gara có 4 chiếc ôtô Hãy tìm xác suất để

a) Không phải tất cả 4 chiếc đều được thuê

b) Tất cả 4 ôtô đều được thuê

c) Gara không đáp ứng được yêu cầu

d) Gara cần có ít nhất bao nhiêu ôtô để xác suất không

đáp ứng nhu cầu thuê bé hơn 2%

k X

=

− 3

Phân bố đều

• B.n.n X được nói là có

đon [a, b] , ký hiệu X ∼ U[a, b], nếu hàm mật

độ của nó cho bởi

],

[)

(

b a x

khi

b a x

khi a

b x

p

01

Đồ thị của hàm mật độ

Nhận xét

X nhận giá trị trong các khoảng con có độ dài bằng nhau của [a, b] với xác suất bằng nhau

Ví dụ

Khi thâm nhập một thị trường mới, doanh nghiệp không thể khẳng định được một cách chắc chắn doanh số hàng tháng có thể đạt là bao nhiêu mà chỉ dự kiến: tối thiểu = 20 tr/th và tối đa = 40 tr/th Tìm xác suất để doanh nghiệp đạt doanh số từ 35 tr/th trở lên

020

)

dx x

Phân bố chuẩn

• B.n.n X được nói là có

tham s µµµ và σσ2 (σσσ>0), ký hiệu X ∼ N(µ, σ2), nếu hàm mật độ của nó cho bởi

=

) (

)(

x

e x

Đồ thị hàm mật độ của bnn X ∼ N(µ, σ2)

Định lý Nếu X ∼ N(µ, σ2), thì

E(X) = µ, D(X) = σ2, mod(X) = m d = µ

Phân bố chuẩn được Gauss phát minh năm 1809

Tờ 10 DM có đồ thị hàm mật độ của phân bố chuẩn

Luật phân bố chuẩn gặp rất nhiều trong đời sống

Phân phối xác suất của VN Index cuối tháng 11, đầu tháng 12 năm 2008

Phân phối xác suất của tỷ suất sinh lợi

VaR (Value at Risk ) của một danh mục tài sản tài chính = khoản tiền lỗ tối đa trong một thời hạn nhất định, nếu ta loại trừ những trường hợp xấu nhất hiếm khi xảy ra

Phân phối xác suất của lợi nhận

Phân phối xác suất của chỉ số IQ

Phân phối xác suất của chiều cao phụ nữ Việt Nam

Diễn biến của điểm thi đại học khối A một số năm

• Khi Y ∼ N(0, 12), nói Y có phân b chu n tc

Ký hiệu hàm phân bố của Y là

z x

dx e

2

2

1)

Người ta đã lập bảng tính sẵn các giá trị của Φ(z)

với z ≥ 0 Với z < 0, ta dùng công thức sau

Φ(z) = 1 - Φ(-z)

Ví dụ

Một loại chi tiết được sản xuất có độ dài quy định là 20cm Biết độ dài X của chi tiết được sản xuất ra tuân theo quy luật phân bố chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn 0,2cm

a) Tính xác suất để độ dài chi tiết lệch so với độ dài quy định không quá 0,3cm ;

b) Nếu muốn đảm bảo tỉ lệ phế phẩm ≤ 5% thì sai

số cho phép phải xác định bằng bao nhiêu?

515

12

0

207

192

0

203

20

−Φ

−Φ

b) Gọi sai số cho phép cần xác định là ε Ta có:

20

Ví dụ

Khối lượng một gói đường (đóng bằng máy) có phân bố chuẩn Trong 1000 gói đường có 70 gói có khối lượng > 1015g Hãy ước lượng xem có bao nhiêu gói đường có khối lượng ít hơn 1008g, biết rằng khối lượng trung bình của 1000 gói đường là 1012g

Giải

X = khối lượng một gói đường∼ N(1012; σ2)

σ chưa biết, phải ước lượng

Φ 3

≈ 0,93 (1476)

3

,Φ

1012

1008

, =Φ(−1,968) ≈ 0,0245

⇒ Trong 1000 gói có khoảng 1000×0,0245 = 24,5

gói khối lượng ít hơn 1008g ☺

Quy tắc "Hai sigma" và "Ba sigma"

n

n

x C

x

Phân bố χχχχ 2

• B.n.n X được nói là có phân b χχ2

t do, nếu hàm mật độ của nó cho bởi

2

1

x khi e

Cx

x

khi x

n Cx

x khi x

p

m n

n

)

k np

Xấp xỉ này là tốt khi n> 50 và p<0,1

Ví dụ Một máy dệt có 4000 ống sợi Xác suất đứt sợi của mỗi ống trong 1 phút là 0,0005 Tính xác suất để trong 1 phút

a) Có 3 ống sợi bị đứt;

b) Có ít nhất 2 ống sợi bị đứt

! ≈ 1 – 0,406 = 0,594 ☺

np e

k

n nq

−

−

 Trường hợp n khá lớn và p không quá gần 0

npq

np

k npq

npq

np

k2 0,5 1 0,5với k1 và k2 ∈N

Các xấp xỉ này là tốt khi np và nq >5 hoặc npq>20

Ví dụ Một máy dệt có 599 ống sợi Xác suất đứt

sợi của mỗi ống trong 1 phút là 0,01

a) Tìm giá trị có xác suất lớn nhất của số ống sợi

bị đứt trong 1 phút và tìm xác suất đó;

b) Tìm xác suất để trong 1 phút có ≤ 10 ống sợi bị

đứt

§7



BIẾN NGẪU NHIÊN 2-CHIỀU RỜI RẠC

Trong thực tế ta phải xét đồng thời cặp bnn rời rạc

Ví dụ

Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối Gọi X và Y là

số chấm xuất hiện của mỗi con Ta có bnn 2-chiều

(X, Y)

• Một hình thức cho phép tính được xác suất để

bnn (X, Y) rơi vào một điểm bất kỳ của (Oxy) được gọi là quy lut phân phi xác sut của

nó

Những hình thức cho quy luật ppxs của bnn 2-chiều rời rạc:

Ví dụ

Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối Gọi X và Y là

số chấm xuất hiện của mỗi con Bnn 2-chiều (X, Y)

có luật ppxs

... class="text_page_counter">Trang 63

• Một hình thức cho phép tính xác suất để

bnn (X, Y) rơi vào điểm (Oxy) gọi quy lut phân phi xác sut... giá trị có xác suất lớn số ống sợi

bị đứt phút tìm xác suất đó;

b) Tìm xác suất để phút có ≤ 10 ống sợi bị

đứt