Giáo án Xác suất thống kê thầy Trần An Hải 1

NỘI DUNG Chương 1 Các định nghĩa xác suất Chương 2 Biến ngẫu nhiên Chương 3 Luật số lớn Chương 4 Thống kê mô tả Chương 5 Ước lượng tham số Chương 6 Kiểm định giả thuyết thống kê Sau

HÀ NỘI - 2009

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Mạnh Tuấn, Xác suất & Thống kê, Lí thuyết và thực hành tính toán , Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 [2] Đặng Hùng Thắng, Mở đầu về lí thuyết xác suất và các ứng dụng, Nhà xuất bản Giáo dục, 2005

[3] Đặng Hùng Thắng, Thống kê và ứng dụng, Nhà xuất bản Giáo dục, 2005

[4] Nguyễn Cao Văn - Trương Giêu, Bài tập Lý thuyết xác suất

& Thống kê toán, Nhà xuất bản KHKT, 2006

NỘI DUNG Chương 1 Các định nghĩa xác suất

Chương 2 Biến ngẫu nhiên

Chương 3 Luật số lớn

Chương 4 Thống kê mô tả

Chương 5 Ước lượng tham số

Chương 6 Kiểm định giả thuyết thống kê Sau khi học hết chương 3 kiểm tra lần 1 Sau khi học hết chương 6 kiểm tra lần 2

 TUẦN 1

Khi cho cuộn dây quay đều trong từ trường của một thanh nam châm, kết quả là chắc chắn xuất hiện dòng điện trong cuộn dây

Đây là một phép th
không ngu nhiên

Khi gieo 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất, ta không đoán chắc chắn được kết quả Chỉ biết được kết quả là xuất hiện số chấm trong {1, …, 6}

Đây là một phép th
ngu nhiên

Ta còn gặp rất nhiều phép thử ngẫu nhiên khác như: quan sát thị trường chứng khoán, chơi xổ số

và các trò may rủi, thống kê tai nạn và bảo hiểm, thống kê khách hàng đến các máy rút tiền ATM,

đếm số lần gọi đến các tổng đài, xét chất lượng sản phẩm, quan sát thời tiết, xét khả năng phòng thủ trong quân sự,…

Vào năm 1651 nhà quý tộc Pháp De Méré nhờ nhà toán học Blaise Pascal giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò cờ bạc Pascal đã “toán học hóa” các trò chơi này, nâng lên thành những bài toán phức tạp hơn và trao đổi vấn

đề này với nhà toán học Pierre de Fermat, người được

mệnh danh là “quái kiệt” trong giới toán học đương thời Những cuộc trao đổi đó đã khai sinh ra Lý thuyết xác suất, một ngành toán học nghiên cứu các phép thử ngẫu nhiên

Blaise Pascal (1623-1662)

Ngày nay Lý thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học quan trọng, được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học

xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học,… Chẳng hạn như nó cho phép xác định rủi ro trong buôn bán hàng hóa Chính phủ cũng áp dụng các phương pháp xác suất để điều tiết môi trường hay còn gọi là phân tích đường lối Nhiều sản phẩm tiêu dùng như

xe hơi, đồ điện tử áp dụng lý thuyết xác suất trong thiết kế để giảm thiểu sự hỏng hóc

Do bài giảng này chỉ xét các phép thử ngẫu nhiên, nên ta gọi tắt chúng là phép thử

• Phép thử ngẫu nhiên được ký hiệu bởi chữ T Mỗi kết quả của T được gọi là một bin c s cp Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của T được gọi là không gian mu của T và được ký hiệu bởi chữ Ω

Ví dụ

T = gieo một con xúc xắc và i = số chấm xuất hiện

Không gian mẫu của T là

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

'2



BIẾN CỐ VÀ MỐI QUAN HỆ GIỮA CHÚNG

Khi gieo một con xúc xắc, sẽ ra số chấm lẻ nếu kết quả là ra mặt có số chấm ∈ {1, 3, 5} Như vậy, các kết quả này thuận lợi cho sự kiện ra số chấm lẻ

• Một bin c liên quan đến phép thử T là một sự kiện mà việc nó xảy ra hay không xảy ra tùy thuộc vào kết quả của T Kết quả ω của T được gọi là một kt qu thun l i cho bin c A nếu

A xảy ra khi kết quả của T là ω Tập hợp các kết

quả thuận lợi cho A được ký hiệu là Ω A

• là biến cố không bao giờ xảy

ra khi thực hiện T Nó tương ứng với tập ∅⊂ Ω nên cũng được ký hiệu là ∅

khi thực hiện T Nó tương ứng với chính Ω nên cũng được ký hiệu là Ω

a) Quan hệ giữa các biến cố

• Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu A ⊂ B, nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra

Ta có ΩA ⊂ ΩB

• Biến cố A được gọi là tưng đưng với biến

cố B, ký hiệu A = B, nếu A xảy ra thì B xảy ra

và ngược lại Ta có ΩA = ΩB

• Bin c đi của biến cố A, ký hiệu A, là biến

cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra Ta có

b) Hợp của các biến cố

• Nếu A1, A2, …, A n là các biến cố liên quan đến cùng một phép thử, thì h p (hay tng) của

chúng, ký hiệu là A1∪A2∪ …∪A n, là biến cố xảy

ra nếu có ít nhất một biến cố nào đó trong các

biến cố A1, A2, …, A n xảy ra Ta có

n

A A

2 1

2

c) Giao của các biến cố

• Nếu A1, A2, …, A n là các biến cố liên quan đến cùng một phép thử, thì giao (hay tích) của

chúng, ký hiệu là A1A2 …A n, là biến cố xảy ra

nếu tất cả các biến cố A1, A2, …, A n đều xảy ra

Ta có

n

A A

2 1

2

• Hai biến cố A và B được gọi là xung khc nếu

1 ∪ ∪ ∪ =

2 1

2 1

Ngôn ngữ xác suất Ngôn ngữ tập hợp

' 3



XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ

Trong cuộc sống hàng ngày có những câu nói kiểu như “Chiều nay có thể mưa”, “Giá vàng ngày mai có

thể giảm”, “Mua loại cổ phiếu này có thể thắng lợi”

Đây chính là khẳng định về khả năng xảy ra của biến cố Toán học đã định lượng hóa các khả năng này bằng cách gán cho mỗi biến cố một con số thuộc [0; 1], gọi là xác sut ca bin c đó Ký hiệu xác suất của biến cố A là P(A)

a) Định nghĩa xác suất cổ điển

Chú ý

Từ tính đối xứng của phép thử (đồng tiền cân đối, con xúc xắc cân đối,…) ta suy ra các kết quả của

nó đồng khả năng

b) Định nghĩa xác suất theo hình học

Bài toán Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm

đã định trước trong khoảng thời gian từ 19 đến 20 giờ Mỗi người có thể đến điểm hẹn một cách ngẫu nhiên tại một thời điểm trong khoảng thời gian nói trên và họ qui ước rằng người đến trước sẽ chỉ đợi

người đến sau trong vòng 10 phút Tính xác suất đểhai người này có thể gặp nhau

Biến cố A = “ hai người gặp nhau” xảy ra khi và chỉ

khi |x – y| ≤ 10 hay x – 10 ≤ y ≤ x + 10

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được biểu

diễn bởi miền hình học ΩA gạch chéo

Xác suất của biến cố A được tính theo định nghĩa sau đây

Độ đo sẽ là độ dài, diện tích hay thể tích tùy theo

Ω là đoạn thẳng, miền phẳng hay khối không gian Trong bài toán trên

c) Định nghĩa xác suất bằng tần suất

Việc tính: khả năng để một máy nào đó sản xuất

ra một phế phẩm, khả năng để doanh nghiệp đạt được doanh số tối thiểu 50 triệu đ/tháng,…rõ ràng

phải dựa vào quan sát thực tế để giải quyết nên không thể dùng hai định nghĩa trên

• Giả sử phép thử T có thể được thực hiện lặp lại

rất nhiều lần trong những điều kiện giống hệt nhau Nếu trong n lần thực hiện T, biến cố A

gọi là tn sut xut hin của biến cố A trong n

phép thử Khi số phép thử n tăng ra vô hạn,

nếu f n(A) dần tới một con số p thì

P(A) = p

Ví dụ

Buffon 4040 2048 0.5069 Pearson 12000 6019 0.5016 Pearson 24000 12012 0.5005

Tần suất dần tới số 0.5

d) Nguyên lý xác suất nhỏ

Qua thực nghiệm và quan sát thực tế, người ta

thấy rằng các biến cố có xác suất bé sẽ khó xảy ra khi chỉ thực hiện một hay một vài phép thử Chẳng

hạn việc một vé số trúng giải độc đắc là rất hiếm

Từ đó người ta thừa nhận nguyên lý sau đây

Hai nguyên lý này được ứng dụng rộng rãi trong đời sống khi xét sự tin cậy của khẳng định nào đó

Ví dụ

Trong một lớp có 50 người, nhất định có các bạn sinh nhật trùng nhau, bởi vì biến cố "Không có 2

người nào có ngày sinh giống nhau" có xác suất rất

bé (xấp xỉ 0,0295)

Ví dụ

Trong một lớp gồm 100 sinh viên có 60 em ở tỉnh X

còn 12 em ở tỉnh Y Chọn ngẫu nhiên một em Tính xác suất để em này ở tỉnh X hoặc tỉnh Y

60

+ = 0, 72 ☺

b) Quy tắc cộng xác suất tổng quát:

Nếu các biến cố A1, A2, …, A n liên quan đến phép

thử T, thì

( )

( ) ( ) ( )n ( n )

k j

A P A

A A P A

A P

A P A

P

LL

2 1 1

1 1

∑+

40365

60

=

−

Ví dụ

Chọn ngẫu nhiên 3 người X, Y, Z Tính xác suất để

trong đó có ít nhất 2 người có cùng ngày sinh nhật

Giải

A = “ Có ít nhất 2 người có cùng ngày sinh nhật” ⇒

A = “ Cả 3 người đều có ngày sinh nhật khác nhau”

Ký hiệu x, y, z tương ứng là ngày sinh nhật của X,

365

1− ⋅ 3⋅ = , ☺

d) Xác suất có điều kiện

Có những biến cố mà sự xảy ra của chúng có ảnh hưởng nhau

Ví dụ Chọn ngẫu nhiên một gia đình có 3 con

Tính xác suất để gia đình này có hai con trai trong mỗi trường hợp sau:

i) Nếu không biết số con gái của gia đình này; ii) Nếu được thông báo gia đình này có đứa con

cả là con gái

Giải

A1 := “Gia đình đó có đứa con cả là con gái”

A2 := “Gia đình đó có 2 con trai”,

Nếu biết rằng A1 đã xảy ra thì không gian mẫu bây giờ thu hẹp lại chỉ còn là

Ω Vậy đáp số của ii) bằng

☺

Trong bài toán này ta thấy rằng khả năng để gia

đình đó có hai con trai phụ thuộc vào việc biết biến

cố A1 đã xảy ra hay chưa Điều này dẫn tới khái

xác suất có điều kiện như thế nào ?

Xem lại lời giải của ii) ta có

( ) ( )1

2 1

1

2 1

1

2 1

4

1

A P

A A P

A

A A

A

A A

Nhận xét này cho phép ta định nghĩa xác suất có

điều kiện như sau

• Nếu P(A1)>0 thì xác suất có điều kiện của A2khi A1 đã xảy ra, ký hiệu là P(A2 / A1), được cho bởi

( ) ( )

( )1

2

1 1

A A

P A

A

Chú ý Xác suất có điều kiện có thể tính trực tiếp từ bối cảnh bài toán mà không cần thông qua công thức trên

Ví dụ

Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối Tính xác suất

để tổng số nốt trên 2 con là 7, biết rằng có ít nhất một con ra mặt 5

AB

P A

B

e) Quy tắc nhân xác suất

A A

P A

A

ta suy ra

Quy tắc nhân xác suất

Nếu P(A1) > 0, thì P(A1A2) = P(A1)P(A2/A1)

Mở rộng công thức P(A1A2) = P(A1)P(A2/A1) cho n

………

phẩm Rút ngẫu nhiên lần lượt 4 sản phẩm theo

kiểu mỗi lần rút không hoàn lại và kiểm tra Nếu tất

cả 4 sản phẩm này đều tốt thì lô hàng được nhận Tìm xác suất để lô hàng này được nhận

89100

90

⋅

⋅

⋅ ≈ 0,6516 ☺