vận dụng các tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên và các quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên vào giải các bài toán chuyên ngành

bài viết là bài tiểu đề án về cách vận dụng các tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên và các quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên vào giải các bài toán chuyên ngành Kinh tế tổng hợp, Tài chính doanh nghiệp, Ngân hàng, Kế toán, Quản trị văn phòng, Quản trị dịch vụ du lịch và lữ hành, Chăn nuôi thú y, Công nghệ kỹ thuật điện – điện tử, Công nghệ thông tin

TIỂU ĐỀ ÁN Anh (chị) vận dụng tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên vào giải toán chuyên ngành Kinh tế tổng hợp, Tài doanh nghiệp, Ngân hàng, Kế tốn, Quản trị văn phòng, Quản trị dịch vụ du lịch lữ hành, Chăn nuôi thú y, Công nghệ kỹ thuật điện – điện tử, Công nghệ thông tin MỤC LỤC PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU Sự cần thiết lập tiểu đề án 1.1 Sự cần thiết lập tiểu đề án Đối với sinh viên: Báo cáo kết sau học xong “Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất”; Căn cứ: Đề cương giảng học phần tích hợp Tốn kinh tế (phần Xác suất thống kê); - Định nghĩa phân loại biến ngẫu nhiên; - Các tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên Ra đời vào đầu kỷ 17, Lý thuyết Xác suất nghiên cứu tìm quy luật chi phối đưa phương pháp tính tốn khả xuất hiện tượng, biến cố ngẫu nhiên Ngày nay, Xác suất trở thành ngành toán học quan trọng phương diện lý thuyết ứng dụng Nó cơng cụ khơng thể thiếu ta nói đến dự báo, bảo hiểm, cần đánh giá may, nguy rủi ro Nhà Toán học Pháp Laplace kỷ XIX tiên đốn “Mơn khoa học hứa hẹn trờ thành đối tượng quan trọng tri thức nhân loại, nhiều vấn đề quan trọng đời sống thực tế thuộc toán Lý thuyết Xác suất” Xác suất thống kê cho thấy quy luật ngẫu nhiên để lượng hóa chúng Trong nghiên cứu khoa học, ta dùng xác suất thống kê để kiểm định tính xác mơ hình, kiểm định độ tin cậy thang đo Trong kinh tế, xác suất thống kê giúp ta lựa chọn phương án cho lợi nhuận nhiều với độ rủi ro Xác suất thống kê có vai trị quan trọng việc lập mơ hình phân tích dự báo trình định kinh doanh trình khác Trong trình khai phá liệu (data mining) xác suất thống kê đóng vai trò quan trọng kiểm định kết mơ hình đánh giá tri thức phát Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất nội dung quan trọng việc học tập vận dụng kiến thức xác suất thống kê kinh tế Ngoài ra, ngành quản trị kinh doanh việc nghiên cứu, tìm hiểu kiến thức biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất có ý nghĩa quan trọng Vì vậy, sau kết thúc học, em lựa chọn tiểu đề án: “Anh (chị) lập tiểu đề án vận dụng tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên giải toán thực tế lựa chọn phương án tối ưu theo ngành Kinh tế tổng hợp, Tài doanh nghiệp, Kế tốn, Quản trị văn phòng, Quản trị dịch vụ du lịch lữ hành, Chăn nuôi thú y, Công nghệ kỹ thuật điện – điện tử, Công nghệ thông tin” 1.2 Phạm vi đối tượng tiểu đề án - Phạm vi Đề án/ tiểu đề án: Là phạm vi 3: Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất, 4: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng học phần xác suất thống kê - Đối tượng Đề án/ tiểu đề án: Là nội dung học học phần có liên quan 1.3 Phương pháp thực hiện - Phương pháp kế thừa: Kế thừa kiến thức học biết trước; - Phương pháp thu thập số liệu: Thu thập, tổng hợp thống kê số liệu có liên quan đến học học phần lý luận thực tiễn làm sở phân tích đánh giá; - Phương pháp điều tra: Sử dụng phiếu điều tra nhằm thu thập thông tin (nếu cần thiết); - Phương pháp thống kê: xử lý số liệu điều tra, phân tích kết điều tra thơng qua tiêu thống kê; - Phương pháp phân tích hội thách thức (SWOT); - Phương pháp tổng hợp: Tổng hợp thông tin, số liệu liên quan đến mục tiêu Đề án/ tiểu đề án đưa giải pháp phù hợp với thực tiễn 1.4 Yêu cầu Đề án/ tiểu đề án - Xác định rõ mục tiêu, nhiệm vụ giải pháp chủ yếu cần tập trung đạo, thực để khắc phục hạn chế, tồn - Có chế sách cụ thể, đảm bảo nguồn lực cho thực đề án/tiểu đề án; - Về thời gian: tuần 1.5 Sản phẩm đề án/ tiểu đề án - Báo cáo thu hoạch đề án/ tiểu đề án làm sở để giảng viên thực hành hướng dẫn (Giảng viên lý thuyết phối hợp) cho sinh viên thực tập tạo sản phẩm vật cuối 1.6 Quan điểm - Xác định nhiệm vụ: + Phải nghiêm túc chấp hành; + Bám sát cụ thể hóa học/ học phần PHẦN II: NỘI DUNG CỦA TIỂU ĐỀ ÁN Căn xây dựng tiểu đề án 2.1 Căn xây dựng đề án/ tiểu đề án a Căn cứ pháp ly Căn chương trình đào tạo kế hoạch thực Nhà trường nhằm đào tạo lý luận gắn liền với thực tiễn, phù hợp với nhu cầu xã hội nước hội nhập quốc tế b Căn cứ yêu cầu thực tiễn Xuất phát từ thực tiễn lực giảng dạy học tập Trường Đại học Hải Dương 2.2 Mục tiêu Đề án/ tiểu đề án đến năm 2015 a Mục tiêu chung Đạt chất lượng theo chuẩn đầu ngành/ chuyên ngành đào tạo b Mục tiêu cụ thể Đạt chất lượng theo bài/ học phần tiến tới đạt chuẩn đầu theo ngành/ chuyên ngành đào tạo 2.3 Nội dung Đề án/ tiểu đề án 2.3.1 Bối cảnh xây dựng triển khai thực Đề án/ tiểu đề án - Thuận lợi: Sử dụng kiến thức học phép tính xác suất - Khó khăn thách thức: Q trình học tập hạn chế 2.3.2 Thực trạng a) Các kết đạt - Hiểu định nghĩa biến ngẫu nhiên phân loại biến ngẫu nhiên; - Hiểu xây dựng bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất, biết thêm kiến thức quy luật phân phối xác suất; - Hiểu tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên; - Đã nhận dạng áp dụng công thức tham số đặc trưng vào làm tập; - Sinh viên biết cách thu thập phân tích số liệu thơng qua học phần ngun lý thống kê, mối quan hệ biến kinh tế; - Đối chiếu với nội dung học b) Những tồn hạn chế - Tồn tại, hạn chế phép tính xác suất; - Cịn nhầm lẫn phép tính Những nội dung Đề án/ tiểu đề án 3.1 Biến ngẫu nhiên 3.1.1 Định nghĩa Biến ngẫu nhiên đại lượng mà nhận giá trị có xác suất tương ứng Kí hiệu: Biến ngẫu nhiên thường ký hiệu chữ X, Y, Z,… Các giá trị có biến ngẫu nhiên x1, x2, x3,…, xn 3.1.2 Ví dụ Ví dụ 1: Tung đồng xu lần Gọi X số lần xuất mặt hình người Các giá trị có X 0, 1, 2, Ví dụ 2: Tung lần xúc xắc đặn đồng chất Gọi Y số lần mặt điểm xuất Các giá trị có Y 0, 1, Ví dụ 3: Kiểm tra ngẫu nhiên máy may Gọi Z số máy may bị hỏng Các giá trị có Z 0, 1, 2, 3, 4, Ví dụ 4: Gieo 10 hạt giống khoai tây Gọi G số hạt giống khoai tây nảy mầm Các giá trị nhận G 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Ví dụ 5: Một người chơi trị chơi ném vịng đến trúng dừng Gọi H số vòng phải dùng Các giá trị nhận H 1, 2, 3,….n Ví dụ 6: Một xạ thủ bắn viên đạn vào bia đỡ đạn Gọi K khoảng cách từ điểm chạm viên đạn đến tâm bia Các giá trị nhận K số thực không âm 3.1.3 Phân loại biến ngẫu nhiên a Biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên gọi biến ngẫu nhiên rời rạc giá trị có lập nên tập hợp hữu hạn đếm Ví dụ Lấy ngẫu nhiên hộp sữa bột cho trẻ từ xưởng sản xuất để kiểm tra Gọi D số hộp sữa đạt tiêu chuẩn vệ sinh an toàn thực phẩm Các giá trị nhận D 0, 1, 2, 3,…, Ngoài ra, biến ngẫu nhiên X, Y, Z, G ví dụ biễn ngẫu nhiên rời rạc b Biến ngẫu nhiên liên tục Biến ngẫu nhiên gọi biến ngẫu nhiên liên tục giá trị có lấp đầy hay số khoảng trục số, trí lấp đầy tồn trục số Ví dụ Một sinh viên đứng chờ xe buýt, cách 15 phút lại có chuyến xe mà sinh viên cần Gọi T Là thời gian chờ xe buýt sinh viên Các giá trị nhận T số thực nằm khoảng [ 0;15] Ngoài ra, biến ngẫu nhiên H, K ví dụ biến ngẫu nhiên liên tục 3.2 Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên 3.2.1 Định nghĩa Quy luật phân phối xác suất cách biểu diễn mối quan hệ giá trị biến ngẫu nhiên với xác suất tương ứng mà nhận giá trị Có phương pháp mơ tả quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Đó là: - Bảng phân phối xác suất; - Hàm phân phối xác suất; - Hàm mật độ xác suất 3.2.2 Bảng phân phối xác suất a Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạc X có giá trị có x ,, x2, x3,…, xn với xác suất tương ứng p1, p2, p3,…, pn Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X có dạng sau: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn b Ví dụ Một hộp có 10 sản phẩm có phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp để kiểm tra Tìm quy luật phân phối xác suất số phế phẩm lấy Bài làm Gọi X số phế phẩm lấy X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị 0, 1, Ta tìm xác suất tương ứng: Bảng phân phối xác suất X là: X P c Chú y - Để tạo nên bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X xác suất phải thỏa mãn điều kiện: - Bảng phân phối xác suất dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2.3 Hàm phân phối xác suất a Định nghĩa Giả sử X biến ngẫu nhiên bất kỳ, x số thực tùy ý Xác suất biến cố (X < x) gọi hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X Kí hiệu: F(x) = P(X < x) Cụ thể: - Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất là: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn Thì hàm phân phối xác suất X là: b Tính chất - Tính chất 1: - Tính chất 2: - Hệ quả: Nếu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị đoạn [a; b] với , F(x) =0 với , F(x) = - Tính chất 3: Hàm phân phối xác suất hàm không giảm với x - Hệ 1: - Hệ 2: Nếu biến ngẫu nhiên liên tục P(X = x) = - Hệ 3: X biến ngẫu nhiên liên tục c Ý nghĩa - Hàm phân phối xác suất phản ánh mức độ tập trung xác suất phía bên trái số thực x - Giá trị hàm phâm phối xác suất điểm x cho biết có phần đơn vị xác suất phân bổ khoảng d Ví dụ Biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất sau: Tìm Bài làm Ta có: Vậy 3.2.4 Hàm mật độ xác suất a Định nghĩa Giả sử X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất F(x) Khi giá trị đạo hàm bậc F(x) gọi hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên X Kí hiệu: f(x) = b Tính chất - Tính chất 1: - Tính chất 2: x F ( x) = ∫ f (t )dt −∞ - Tính chất 3: +∞ ∫ f ( x)dx = - Tính chất 4: −∞ c Ví dụ Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục X có dạng: a Tìm hệ số a; b Tìm hàm mật độ xác suất; c Tính Bài làm a Áp dụng tính chất hàm mật độ xác suất, ta có: 10 +; + Đặc biệt: -: f Phân phối xác suất tổng biến ngẫu nhiên độc lập tuân theo quy luật - Giả sử ; - Khi n > 30, biến ngẫu nhiên độc lập tuân theo quy luật phân phối xác suất thì: n E( X ) = ∑ E( X i ) i =1 n V ( X ) = ∑V ( X i ) i =1 g Định ly địa phương Laplace định ly tích phân Laplace - Định lý địa phương Laplace: - Định lý tích phân Laplace: h Ứng dụng quy luật phân phối chuẩn - Trong công nghiệp, ta xác định kích thước chi tiết nhà máy sản xuất phân phối chuẩn trình sản xuất diễn bình thường - Trong nông nghiệp, suất loại trồng ruộng khác tuân theo phân phối chuẩn - Nhu cầu loại hàng hóa khác tuân theo phân phối chuẩn - Năng suất lao động cơng nhân có tay nghề làm công việc tuân theo phân phối chuẩn k Ví dụ Ví dụ 1: Thời gian để sản suất gói mỳ tôm Hảo Hảo biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn với (đơn vị phút) Tính xác suất để gói mỳ tơm Hảo Hảo sản xuất khoảng thời gian 10 phút đến 14 phút Bài làm Gọi X thời gian để sản xuất gói mỳ tơm Hảo Hảo Theo giả thiết, với , a Áp dụng công thức: Ta có: 14 − 12 10 − 12 = Φ0 ( ) − Φ0 ( ) 1 = Φ (2) − Φ ( −2) = 2Φ (2) = * 0,4772 = 0,9544 21 Ví dụ 2: Năng suất giống lúa bắc thơm khu vực huyện Gia Lộc năm vừa qua tạ/ sào Biết suất tuân theo quy luật phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn tạ/ sào a Tính xác suất để suất lúa nằm khoảng (2,55;3,45) b Tính xác suất để xuất lúa sản xuất lớn 3,6 tạ/ sào Bài làm Gọi X suất giống lúa bắc thơm Theo giả thiết, với , a Áp dụng cơng thức: Tacó: 3,45 − 2,45 − ) − Φ0 ( ) 0,3 0,3 = Φ (1,5) − Φ (−1,5) = 2Φ (1,5) = Φ0 ( = * 0,4332 = 0,86642 = 0,5 − Φ ( 3,6 − ) = 0,5 − Φ (2) = 0,5 − 0,4772 = 0,0228 0,3 b 3.4.6 Quy luật phân phối Khi bình phương a Định nghĩa Biến ngẫu nhiên liên tục χ2 gọi phân phối theo quy luật bình phương với n bậc tự hàm mật độ xác suất xác định biểu thức: ∞ Γ( x) = ∫ t x −1e −t dt Trong hàm Gamma Ký hiệu: χ ( n) b Các tham số đặc trưng - Kỳ vọng: E[ χ (n)] = n - Phương sai: ; V [ χ (n)] = 2n c Giá trị tới hạn - Giá trị tới hạn mức a phân phối Khi bình phương giá trị biến ngẫu nhiên χ2 thỏa mãn điều kiện: 22 χα2 (n) - Kí hiệu: 3.4.7 Quy luật phân phối Student a Định nghĩa - Biến ngẫu nhiên liên tục T gọi phân phối theo Student với n bậc tự hàm mật độ xác suất xác định biểu thức: f (t ) = n Γ( ) π (n − 1)Γ( n −1 ) * [1 + n t2 ] n −1 Γ(x ) Trong hàm Gamma, kí hiệu: T n b Các tham số đặc trưng - Kỳ vọng: E(T) = - Phương sai: c Giá trị tới hạn - Giá trị tới hạn mức a phân phối Student giá trị biến ngẫu nhiên T với n bậc tự thỏa mãn điều kiện: ; - Kí hiệu: - , T có phân phối Student với n bậc tự 3.4.8 Quy luật phân phối Fisher – Snedecor a Định nghĩa - Biến ngẫu nhiên liên tục F gọi phân phối theo quy luật Fisher – Snedecor với n 1và n2 bậc tự hàm mật độ xác suất xác định biểu thức: n C= Γ( n n1 + n2 ) * n12 * n22 n n Γ( ) * Γ( ) 2 - Kí hiệu: - Giả sử U V biến ngẫu nhiên liên tục độc lập với nhau, giả sử U χ ( n1 ) χ (n2 ) ,V - Đặt - Khi biến ngẫu nhiên F gọi tuân theo quy luật Fisher với n2 n1 bậc tự ký hiệu b Các tham số đặc trưng 23 - Kỳ vọng: 2n22 (n1 + n22 − 2) V (F ) = n1 (n2 − 2) (n2 − 4) - Phương sai: c Giá trị tới hạn - Giá trị tới hạn mức a phân phối Fisher – Snedecor giá trị biến ngẫu nhiên F với n 1, n2 bậc tự thỏa mãn điều kiện: - Kí hiệu: - Tính chất: PHẦN III: BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Lấy ngẫu nhiên hộp sữa bột cho trẻ hộp từ quầy trưng bày để kiểm tra Biết hộp có hộp khơng đạt tiêu chuẩn vệ sinh an toàn thực phẩm, hộp cịn lại đạt tiêu chuẩn Tìm quy luật phân phối xác suất số hộp sữa đạt tiêu chuẩn vệ sinh an toàn thực phẩm Bài làm Gọi X số hộp sữa đạt tiêu chuẩn vệ sinh an toàn thực phẩm X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị 0, 1, Ta tìm xác suất tương ứng: Bảng phân phối xác suất X là: X P Bài 2: Người nông dân ủ 10 hạt giống dưa chuột để xem độ nảy mầm loại giống có tốt khơng Trong 10 hạt có hạt dưa bị chẩm Lấy ngẫu nhiên hạt dưa Gọi X số hạt dưa bị chẩm lấy Viết biểu thức hàm phân phối xác suất X Bài làm Gọi X số hạt dưa bị chẩm lấy 24 X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị 0, 1, Ta tìm xác suất tương ứng: Bảng phân phối xác suất X là: X P Biểu thức hàm phân phối xác suất: Bài 3: Trong nơng trại chăn ni, có 60% vật tiêm phòng cúm gia cầm, lại 40% chưa tiêm Chọn ngẫu nhiên 10 vật nuôi Gọi X số vật tiêm phòng cúm gia cầm a X tuân theo quy luật phân phối nào? b Tìm xác suất để có tiêm phòng cúm gia cầm c Tìm xác suất để có tiêm phòng cúm gia cầm Bài giải Coi việc chọn vật nuôi phép thử Ta có 10 phép thử độc lập Trong phép thử, có khả xảy ra, vật tiêm phòng cúm gia cầm, vật chưa tiêm phòng cúm gia cầm Xác suất để vật tiêm phòng 0,6 Xác suất để vật chưa tiêm phịng 0,4 Vậy tốn thỏa mãn lược đồ Becnoulli Gọi X số vật tiêm phòng cúm gia cầm X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị X tuân theo quy luật phân phối Nhị thức với n = 10 p = 0,6 b Áp dụng cơng thức Becnoulli, ta có: c = − [ P ( X = 0)] = − (C100 * 0,60 * 0,410 ) = − (1 * * 0,410 ) = 0,9998951424 25 Bài 4: Xác suất khách hàng trúng thưởng mua đồ dùng cơng ty X 0,2 Tìm xác suất để 900 khách hàng đến cơng ty mua có: a 186 khách hàng trúng thưởng b Có từ 168 đến 201 khách hàng trúng thưởng Bài làm Coi việc khách hàng trúng thưởng mua đồ dùng công ty X phép thử Ta có 900 phép thử độc lập Trong phép thử có hai khả xảy ra, khách hàng trúng thưởng, khách hàng không trúng thưởng Xác suất để khách hàng trúng thưởng 0,2 Xác suất để khách hàng không trúng thưởng 0,8 Vậy toán tuân theo lược đồ Becnoulli Gọi X số khách hàng trúng thưởng X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị Ta có: với a Áp dụng cơng thức: ta có: b Áp dụng cơng thức: P ( x ≤ X ≤ x ± h) = Φ ( x + h − np x − np ) − Φ0 ( ) npq npq Ta có: 201 − 180 168 − 180 ) − Φ0 ( ) 144 144 = Φ (1,75) − Φ (−1) = Φ0 ( = 0,4599 + 0,3413 = 0,8012 3.5 Kết luận Những kến thức tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất kiến thức quan trọng học phần xác suất thống kê 26 Nhờ việc học tập kiến thức này, giúp cho sinh viên vận dụng vào giải toán chuyên ngành quản trị kinh doanh nói riêng giải tốn thuộc chun ngành khác chuyên ngành Kinh tế tổng hợp, Tài doanh nghiệp, Ngân hàng, Kế tốn, Quản trị văn phòng, Quản trị dịch vụ du lịch lữ hành, Chăn nuôi thú y, Công nghệ kỹ thuật điện – điện tử, Cơng nghệ thơng tin,… nói chung dễ dàng Từ đó, vận dụng vào thực tế để giải toán sống 27 ... bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất, biết thêm kiến thức quy luật phân phối xác suất; - Hiểu tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên; - Đã nhận dạng áp dụng công thức tham. .. biến ngẫu nhiên H, K ví dụ biến ngẫu nhiên liên tục 3.2 Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên 3.2.1 Định nghĩa Quy luật phân phối xác suất cách biểu diễn mối quan hệ giá trị biến ngẫu nhiên. .. Bảng phân phối xác suất X là: X P c Chú y - Để tạo nên bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X xác suất phải thỏa mãn điều kiện: - Bảng phân phối xác suất dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất