một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

Bài toán dẫn đến phân phối Poisson: Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A tại những thời điểm ngẫu nhiên trong khoảng thời gian ?1; ?2 thoả mãn: + Số lần xuất hiện A trong khoảng thời gia

Chương 3 Một số quy luật phân phối xác suất

thông dụng

1. Quy luật phân phối nhị thức

2. Quy luật phân phối Poisson

3. Quy luật phân phối siêu bội

4. Quy luật phân phối đều

5. Quy luật phân phối mũ

6. Quy luật phân phối chuẩn

7. Một số quy luật phân phối khác

§1 Quy luật phân phối nhị thức – B(n; p)

2 Các tham số đặc trưng

Nếu 𝑋~𝐵(𝑛; 𝑝) thì:

+) 𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝,

+) 𝑉 𝑋 = 𝑛𝑝𝑞, với 𝑞 = 1 − 𝑝 +) 𝑛𝑝 − 𝑞 ≤ 𝑚0 ≤ 𝑛𝑝 + 𝑝

Nhận xét: Nếu gọi 𝑋 = “số lần xuất hiện biến cố A”

trong 𝑛 phép thử Becnulli mà 𝑃 𝐴 = 𝑝 trong mỗi phép thử thì 𝑋~𝐵(𝑛; 𝑝)

Ví dụ 1: Trong một hòm có chứa 7 linh kiện loại 1 và 3 linh kiện loại 2 Lấy có hoàn lại ra 5 sản phẩm và gọi X

là số linh kiện loại 1 được lấy ra

a) Nêu quy luật phân phối xác suất của X

b) Tính P(X < 3)

c) Tính P(X = 4) trong trường hợp lấy không hoàn lại

Ví dụ 2: Một người mỗi ngày đi bán hàng ở 5 chỗ khác nhau Việc bán được hàng ở mỗi nơi là độc lập nhau với xác suất bán được hàng ở mỗi nơi là 0,3

a) Tìm xác suất người đó bán được hàng trong 1 ngày b) Mỗi năm người đó đi bán hàng 300 ngày, tìm số

ngày bán được hàng nhiều khả năng nhất trong năm

§2 Quy luật phân phối Poa-sông – P( λ)

𝑷 𝑿 = 𝒙 = 𝒆−𝝀 𝝀

𝒙

𝒙! , 𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, …

Kí hiệu: 𝑿~𝑷 𝝀

Bài toán dẫn đến phân phối Poisson: Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A tại những thời điểm ngẫu nhiên trong khoảng thời gian (𝑡1; 𝑡2) thoả mãn:

+) Số lần xuất hiện A trong khoảng thời gian (𝑡1; 𝑡2)

không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện A trong các khoảng thời gian kế tiếp

+) “Cường độ” xuất hiện A là không thay đổi, nghĩa là

số lần A xuất hiện trung bình trong khoảng thời gian (𝑡1; 𝑡2) tỉ lệ với độ dài khoảng đó

Chứng minh được 𝑋~𝑃(𝜆) với 𝜆 = 𝑐(𝑡2 − 𝑡1), hằng số 𝑐

được gọi là cường độ xuất hiện của A

Ví dụ 1: Ở một tổng đài Bưu điện, các cú điện thoại gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc lập với nhau với tốc

độ trung bình 2 cuộc gọi trong 1 phút Tìm xác suất:

a) Có đúng 5 cuộc gọi trong 2 phút

b) Không có cú điện thoại nào trong khoảng thời

gian 30 giây

c) Có ít nhất 1 cú điện thoại trong khoảng thời gian

10 giây

Đ/s: a) ≈ 0,1563 b) ≈ 0,3679 c) ≈ 0,2835

4 Xấp xỉ phân phối nhị thức bởi phân phối Poisson

Phân bố Poisson là giới hạn của phân bố nhị thức với các tham số 𝒏 và 𝒑 = 𝝀/𝒏 Tức là:

Trong trường hợp số phép thử 𝑛 lớn (𝑛 ≥ 20), xác

suất 𝑝 nhỏ (𝑝 ≤ 0,1 sao cho 𝑛𝑝 ≈ 𝑛𝑝𝑞) và tích 𝑛𝑝 = 𝜆 không đổi, các xác suất của phân phối nhị thức có thể tính xấp xỉ như sau:

𝑷 𝑿 = 𝒙 = 𝑪𝒏𝒙𝒑𝒙(𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒙≈ 𝝀

𝒙

𝒙! 𝒆−𝝀,

𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, …

Đồ thị minh họa các phân phối P(3,5) và B(35; 0,1)

§3 Quy luật phân phối siêu bội – H(N, M, n)

Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X có thể nhận giá trị trong

tập 𝒎𝒂𝒙 𝟎, 𝒏 + 𝑴 − 𝑵 , … , 𝒎𝒊𝒏(𝒏, 𝑴) với các xác

suất được cho bởi công thức (1) được gọi là có phân

phối siêu bội (siêu hình học) với các tham số N, M và n

Kí hiệu: 𝑿~𝐇(𝐍, 𝐌, 𝐧) (H – Hypergeometric)

2 Các tham số đặc trưng

Nếu biến ngẫu nhiên X ~ H(N, M, n) thì:

+) 𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝, với 𝑝 = 𝑀

𝑁 +) 𝑉 𝑋 = 𝑛𝑝𝑞 𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1 , với 𝑞 = 1 − 𝑝

Ví dụ: Trong 60 cây vàng có 3 cây không đạt tiêu chuẩn

Từ đó rút ngẫu nhiên đồng thời 10 cây để kiểm tra Tìm trung bình số cây không đạt tiêu chuẩn trong 10 cây này

3 Xấp xỉ quy luật phân phối siêu bội bởi quy luật nhị thức

công thức xấp xỉ trên khá tốt khi 𝑛 < 0,05𝑁

• Khi N khá lớn so với n Việc lấy ra n phần tử từ tổng thể N phần tử theo phương thức có hoàn lại hay không hoàn lại được coi là như nhau

§4 Quy luật phân phối đều – U(a; b)

𝟎, nếu 𝒙 ∉ (𝒂; 𝒃)

Kí hiệu: X ~ U(a; b) (U – Uniform)

2 Các tham số đặc trưng

Nếu biến ngẫu nhiên X ~ U(a; b) thì:

+) 𝐸 𝑋 = 𝑎 + 𝑏

2 +) 𝑉 𝑋 = (𝑏 − 𝑎)

2

12

Nhận xét: Trong một số lý thuyết kết luận thống kê

người ta thường xuất phát từ quy tắc sau đây: Nếu ta

không biết gì về giá trị của tham số cần ước lượng thì mỗi giá trị có thể có của tham số đó là đồng khả năng Điều đó dẫn đến việc quan niệm tham số cần ước lượng như một biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối đều

Ví dụ: Khi thâm nhập vào một thị trường mới, doanh nghiệp không thể khẳng định được một cách chắc chắn doanh số hàng tháng có thể đạt được sẽ là bao nhiêu mà chỉ dự kiến được rằng doanh số tối thiểu sẽ là 20 triệu đồng/tháng và tối

đa là 40 triệu đồng/tháng

Tìm xác suất để doanh nghiệp đạt được doanh

số tối thiểu là 35 triệu đồng/tháng

§5 Quy luật phân phối mũ – E(λ)

1 Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối

mũ (lũy thừa) với tham số λ (λ > 0) nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

𝒇 𝒙 = 𝟎, nếu 𝒙 < 𝟎

𝝀𝒆−𝝀𝒙, nếu 𝒙 ≥ 𝟎

Kí hiệu: X ~ E(λ) (E – Exponential)

2 Các tham số đặc trưng

Nếu biến ngẫu nhiên X ~ E(λ) thì:

+) 𝐸 𝑋 = 1

𝜆 , +) 𝐸 𝑋2 = 2

𝜆2 do đó V(X)= 1

𝜆2

Phân bố mũ có thể được dùng làm mô hình xác suất

cho những biến ngẫu nhiên kiểu “khoảng cách giữa

hai lần xuất hiện”, ví dụ như: khoảng cách giữa hai

cú điện thoại gọi đến, khoảng cách giữa hai gen đột

biến kế tiếp tên một giải DNA, v.v

Ví dụ: Tuổi thọ X (tính bằng năm) của một mạch điện

tử trong máy tính là biến ngẫu nhiên có phân phối

mũ, trung bình 6,25 năm Thời gian bảo hành của mạch điện tử là 5 năm

Tính tỉ lệ mạch điện tử bán ra phải thay thế

§6 Quy luật phân phối chuẩn – N(μ; σ2)

1 Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn

với các tham số μ và σ 2 (σ > 0) nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

𝒇 𝒙 = 𝟏

𝝈 𝟐𝝅 𝒆−(𝒙−𝝁)𝟐𝟐𝝈𝟐 , ∀𝒙 ∈ 𝑹

Kí hiệu: X ~ N(μ; σ 2 ) (N – Normal)

Đồ thị hàm mật độ của phân bố chuẩn

2 Các tham số đặc trưng

Nếu X ~ N(μ; σ2) thì: +) E(X) = μ

+) V(X) = σ2 +) m = m0 = μ

Ví dụ 1: Thời gian X (tính bằng phút) của một khách

hàng chờ để được phục vụ tại một quầy hàng là biến ngẫu nhiên với X ~ N(4,5; 1,21)

a) Tính tỉ lệ khách hàng phải chờ để được phục vụ

từ 3,5 phút đến 6 phút; quá 6 phút

b) Thời gian phải chờ tối thiểu là bao nhiêu, nếu không để quá 5% khách hàng phải chờ phục vụ vượt quá thời gian đó

4 Quy luật phân phối chuẩn hóa

Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên U ~ N(0; 1) được gọi là

có phân phối chuẩn hóa

Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên U có phân

phối chuẩn hóa là:

Giá trị tới hạn chuẩn mức α của biến ngẫu nhiên U ~ N(0; 1), kí hiệu là 𝒖𝜶, là giá trị thỏa mãn:

Nhận xét: +) 𝑢1−𝛼 = −𝑢𝛼,

+) Φ0 𝑢𝛼 = 0,5 − 𝛼

𝑷 𝑼 > 𝒖𝜶 = 𝜶

Quy tắc: Nếu quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên được nghiên cứu chưa biết, song nó thỏa mãn (1) hoặc (2) thì có thể xem như biến

ngẫu nhiên đó có phân phối xấp xỉ chuẩn

6 Phân phối xác suất của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập tuân theo cùng một quy luật

• Giả sử các biến ngẫu nhiên 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 độc lập

với nhau và 𝑿𝒊~𝑵 𝝁𝒊; 𝝈𝒊𝟐 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 Khi đó biến ngẫu nhiên

• Nếu 𝑛 biến ngẫu nhiên 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 độc lập và

cùng tuân theo một quy luật phân phối xác suất nào

đó thì biến ngẫu nhiên

7 Xấp xỉ quy luật nhị thức, quy luật Poisson bởi quy

luật phân phối chuẩn

a) Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật chuẩn

Giả sử X ~ B(n; p) với 𝑛, 𝑝 thỏa mãn:

𝑛 > 5 và 1𝑛 1−𝑝𝑝 − 1−𝑝

𝑝 < 0,3 Khi đó:

Ví dụ 2: Xác suất để sản phẩm sau khi sản xuất

không được kiểm tra chất lượng bằng 0,2 Tìm xác suất để trong 400 sản phẩm được sản xuất ra có:

a) 80 sản phẩm không được kiểm tra chất lượng b) Từ 70 đến 100 sản phẩm không được kiểm tra

chất lượng

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhị thức 𝐵(𝑛, 𝑝) càng gần với phân phối chuẩn khi 𝑛 lớn

b) Xấp xỉ quy luật Poisson bởi quy luật chuẩn

Nếu X ~ P(λ) với λ > 20 thì có thể xem là X phân phối xấp xỉ chuẩn với μ = λ và σ2 = λ

Phân bố chuẩn là một trong những phân phối quan trọng nhất, vì nhiều phân bố xác suất trong thực tế có dáng điệu khá giống phân bố chuẩn, chẳng hạn, kích thước của các chi tiết do các nhà máy sản xuất ra (nếu quá trình sản xuất diễn ra bình thường), năng suất của cùng một loại cây trồng tại các thửa ruộng

chỉ số IQ (chỉ số trí tuệ), một số chỉ tiêu về sinh lí của những người cùng giới (chẳng hạn chiều cao, vòng ngực, chiều dài cánh tay, v.v ),

§7 Một số quy luật phân phối khác

1 Quy luật phân phối khi bình phương - 𝝌𝟐 𝒏

Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên χ2 được gọi là có quy luật phân phối khi bình phương với 𝑛 bậc tự do nếu hàm mật độ xác suất có dạng sau

Các tham số đặc trưng: E(χ2) = n; V(χ2) = 2n

Giá trị tới hạn mức α của phân phối này là số 𝜒𝛼2(𝑛)

thỏa mãn: 𝑃 𝜒2 > 𝜒𝛼2 𝑛 = 𝛼

2 Quy luật phân phối Student - 𝐓 𝒏

Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên T được gọi là có

phân phối Student với 𝑛 bậc tự do nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

𝑓 𝑥 =

0 với 𝑥 ≤ 0 1

𝜋𝑛 .

Γ 𝑛 + 12

𝑥2𝑛

với 𝑥 > 0

Các tham số đặc trưng: E(T) = 0 (bậc tự do n > 1);

V(T) = n−2 (với n > 2) n

mãn 𝑃 𝑋 > 𝑡𝛼𝑛 = 𝛼, có tính chất:

𝑡𝛼(𝑛) = −𝑡1−𝛼(𝑛)

Phân bố Poisson mang tên của nhà toán học và vật lí người Pháp Siméon Denis Poisson (1781 – 1840) Trong lí thuyết xác suất, Poisson được biết đến nhiều

nhất bởi phân bố Poisson và quá trình Poisson (một

quá trình ngẫu nhiên ứng với phân bố này) Tên gọi

luật số lớn (ở chương 5) cũng là do Poisson đặt ra

Phân phối 𝜒2 𝑛 do Karl Pearson đưa ra năm 1900

Karl Pearson (1857 – 1936), người Anh, được coi là một trong những cha tổ của ngành thống kê toán học Pearson là người lập ra khoa thống kê đầu tiên, năm 1911, tại University College London Nhiều khái niệm cơ bản trong xác suất thống

kê là dựa trên công trình của Pearson, trong đó có: hệ số tương quan, hồi quy tuyến tính, phân loại các phân bố xác suất, kiểm định khi bình phương

Phân phối T được nhà thống kê học người Anh, ông William Sealy Gosset (1876 – 1937) đưa ra năm 1908 Khi đó ông đang làm việc cho hãng bia Guinness ở Dublin, do nguyên tắc giữ bí mật của hãng, Gosset không được phép kí tên các bài báo của mình với tên thật, nên lấy bút danh là Student