Tìm hiểu về một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Phạm Thị Hải Yến Một số quy luật phân phối xác suất thơng dụng KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng LỜI CẢM ƠN Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả hồn thành khố luận Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Kiều Văn Hưng giúp đỡ, bảo tận tình việc triển khai nghiên cứu đề tài khoá luận Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn sinh viên K36 Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội cổ vũ, động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Phạm Thị Hải Yến LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung mà tơi trình bày khóa luận kết nghiên cứu nghiêm túc thân tơi hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy, cô giáo, đặc biệt thầy Kiều Văn Hưng Những nội dung không trùng với kết tác giả khác, có sai sót tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Phạm Thị Hải Yến MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương 1: Kiến thức sở 1.1 Biến ngẫu nhiên 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc 1.1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục 1.1.4 Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên 1.2 Một số tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên 11 1.2.1 Kỳ vọng 11 1.2.2 Phương sai 13 1.2.3 Độ lệch tiêu chuẩn 15 1.2.4 Mode 15 1.2.5 Median 16 1.2.6 Một số tham số đặc trưng khác 17 Chương 2: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng 19 2.1 Phân phối biến ngẫu nhiên rời rạc thông dụng 19 2.1.1 Phân phối Poisson 19 2.1.2 Phân phối nhị thức 23 2.1.3 Phân phối siêu bội 27 2.1.4 Các phân phối rời rạc khác 31 2.2 Phân phối biến ngẫu nhiên liên tục 33 2.2.1 Phân phối chuẩn 33 2.2.2 Phân phối 38 2.2.3 Phân phối mũ 41 2.2.4 Các phân phối liên tục khác 43 KẾT LUẬN 49 Tài liệu tham khảo 50 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết xác suất ngành khoa học giữ vị trí quan trọng lĩnh vực ứng dụng rộng rãi phong phú đời sống người Trong quy luật phân phối xác suất xem mơ hình cho đo lường thực điều kiện quan sát hay thí nghiệm phát sinh nhiều lĩnh vực khác vật lý, hóa học, kinh tế học, xã hội học Các toán quy luật phân phối xác suất thường xuất nhiều kì thi học sinh giỏi Quốc gia, Olympic Tốn học Tuy nhiên nay, tài liệu quy luật phân phối xác suất chưa nhiều Các dạng tập chưa phân loại rõ ràng hệ thống hóa đầy đủ đưa phương pháp giải cách tường minh Với lý với giúp đỡ, bảo tận tình thầy Kiều Văn Hưng, em chọn đề tài “Một số quy luật phân phối xác suất thơng dụng” làm khóa luận tốt nghiệp Nội dung khóa luận gồm có hai chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương 2: Một số quy luật phân phối thông dụng Mục đích nghiên cứu Trình bày kiến thức số quy luật phân phối xác suất thông dụng, số tập quy luật phân phối xác suất thông dụng khả ứng dụng thực tiễn, lĩnh vực kinh tế Đối tượng nghiên cứu Các định nghĩa, tính chất, tham số đặc trưng số quy luật phân phối xác suất thông dụng cách giải dạng tập phần Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Biến ngẫu nhiên 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa Khi nghiên cứu xác suất biến cố, có nhiền tượng ngẫu nhiên mà thay đổi đặc trưng số Chẳng hạn, gieo xúc sắc, gọi X “số chấm xuất hiện” X phụ thuộc vào phép thử nhận giá trị nguyên từ đến Để nghiên cứu tượng ngẫu nhiên tương tự trên, người ta đưa vào khái niệm biến ngẫu nhiên Ta định nghĩa biến ngẫu nhiên hàm đo có giá trị thực xác định không gian biến cố sơ cấp (nhận giá trị tương ứng với xác suất đó) Ta dùng chữ in hoa X ,Y , Zđể kí hiệu biến ngẫu nhiên 1.1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc 1.1.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc Định nghĩa Gọi tập giá trị biến ngẫu nhiên X X    Biến ngẫu nhiên gọi rời rạc X    hữu hạn số vô hạn đếm được: X      x1 , x2 , , xn  hay X      x1 , x2 , , xn ,  Ta kí hiệu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị xn X  xn xác suất để X nhận giá trị xn P{X  xn } 1.1.2.2 Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc, chứa thơng tin: thơng tin thứ giá trị x1 , x2 , , xn , biến ngẫu nhiên X thông tin thứ hai xác suất tương ứng p1, p2 , , pn , giá trị X x1 x2 … xn … P{X  xi } p1 p2 … pn … Nếu giá trị biến ngẫu nhiên X gồm hữu hạn số x1 , x2 , , xn biến cố X  x1, X  x2 , , X  xn lập thành nhóm biến cố đầy đủ xung khắc đôi Do đó:  n  p 1 ; p  i 1 i i  Pa  X  b  i  1,2,  a xi b pi 1.1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục 1.1.3.1 Biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa Tập giá trị biến ngẫu nhiên X X    Biến ngẫu nhiên gọi liên tục X    đoạn  a; b   R số đoạn tồn trục số Ta có: P  X  a  0,  a 1.1.3.2 Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục Đối với biến ngẫu nhiên liên tục X , xác suất để X nhận giá trị cụ thể ln ln không: P {X = a} = nên ta quan tâm đến xác suất để X rơi vào khoảng (a, b) đó, khơng quan tâm tới xác suất để X nhận giá trị cụ thể trường hợp biến ngẫu nhiên rời rạc Để mô tả (hay xác định) biến ngẫu nhiên liên tục ta dùng khái niệm hàm mật độ Cho biến ngẫu nhiên liên tục X Hàm f ( x); x  R gọi hàm mật độ xác suất X thỏa mãn điều kiện sau: i f  x   x  R  ii  f  x  dx   Xác suất để X   a; b  tính sau: b P a  X  b   f  x  dx a  b a Chú ý P  X  a  P  X  b  nên ta có: b P a  X  b  P a  X  b   f  x  dx a 1.1.4 Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên 1.1.4.1 Định nghĩa Định nghĩa Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X , kí hiệu F  x  hàm xác định với số thực x theo công thức: F  x   P  X  x Hàm phân phối xác suất F  x  phản ánh mức độ tập trung xác suất bên trái số x - Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận hữu hạn giá trị x1 , x2 , , xn với xác suất tương ứng pk  P  X  xk  hàm phân phối xác suất cho sau: 10  Nếu X N ( a, ) U  X a   N (0;1)  Đồ thị hàm f ( x) đường cong đối xứng qua trục tung; có điểm cực đại x  Các điểm uốn đồ thị x  1  Hàm phân phối X , kí hiệu  ( x) x t   ( x)  e dt (Hàm Laplace)  2 Người ta lập bảng tính sẵn giá trị  ( x) gọi bảng hàm Laplace Khi sử dụng bảng hàm Laplace cần ý tính chất  ( x) sau đây:  ( x)   ( x) (trong bảng có giá trị  ( x) với x  ); x  5:  ( x)  0,5 Từ ta có:  ( x)  0,5;  ( x)  0,5; F ( x)  P{X  x}    ( x) 2.2.1.4 Công thức Nếu X N (a, ) thì:  xa i P X  x         xa ii P X  x          x a  x1  a  iii P x1  X  x2        ;         iv P X  a     2     x t  e dt (hàm Laplace)  ( x) =  2 37 2.2.1.5 Ví dụ Ví dụ Giả sử X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình phương sai 0,16 Hãy tính: a) P{X  3}, P{X  3,784} b) Tìm c cho P{3  c  X   c}  0,9 Lời giải: Ta có X N (3;0,42 ) Đặt Y  X 3 Y 0,4 N (0;1) a) Ta có: X 3  P  X  3  P     P Y  0  0,4    Y  0       0,5;  X  3,784   P  X  3,784  P     P Y  1,96  0,4   0,4    1,96   0,025 b) Ta có:  c X  c  P 3  c  X   c  P     0,4 0,4 0,4    c   c        0,4   0,4   c   c   2   0,9       0,45  0,4   0,4  c   1,645  c  0,658 0,4 Ví dụ Các viên bi máy tự động sản xuất coi đạt yêu cầu đường kính X chúng lệch so với thiết kế không 0,7mm 38 Cho biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn   0,4mm Tính tỉ lệ bi đạt yêu cầu Lời giải: Giả sử X N (a;0,42 ), ta có  0,7  P  X  a  0,7   2      1,75   0,4599  0,9198  0,4  Vậy tỉ lệ bi đạt yêu cầu khoảng 91,98% 2.2.1.6 Quy tắc "k   "   Trong công thức P  X  a     2   lấy   k   P X  a     2  k   P X  a  2   2  2  95,44%; Ta gọi quy tắc 2 (hai xích - ma) nghĩa 95% giá trị X nằm khoảng  a  2 ; a  2  Tương tự ta có quy tắc 3 (ba xích - ma) Ý nghĩa quy tắc 2  3  : Trong thực hành biến ngẫu nhiên X chưa biết phân phối xác suất thỏa quy tắc 2 3 , ta coi X có phân phối chuẩn 2.2.2 Phân phối 2.2.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 21 Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi tuân theo lu t phân phối ều đoạn  a; b X nhận giá trị 39  a; b với xác suất khơng nhận giá trị bên ngồi  a; b Kí hiệu X U  a; b  Hàm mật độ phân bố cho công thức  ; x   a; b  f  x  b  a 0 ; x   a; b   Dễ dàng tính  f ( x)dx    Nếu X có phân phối  a; b hàm phân phối X cho bởi: ; xa 0 x x dx xa  F  x     f ( x)dx    ;a  x  b b  a b  a a  1 ; xb Chú ý: Giả sử  ,     a, b Xác suất để X rơi vào khoảng  ,   là:  P   X      f ( x)dx     ba Như xác suất để X rơi vào khoảng  ,   phụ thuộc vào độ dài khoảng tỉ lệ thuận với độ dài khoảng 2.2.2.2 Các tham số đặc trưng Nếu X U  a; b thì: ab b  a  ;  EX  ; DX  12 40  Dễ thấy median m  ab  Mod phân bố điểm  a; b Chứng minh: 2 xdx  x2  b  a  a  b EX        b a b  a b  a 2  a a b b Như kì vọng trung điểm  a; b b x 2dx  x3   a  b  DX    ( EX )      b  a b  a   a  a b b2  ab  a  a  b   b  a     12 2 2.2.2.3 Ví dụ Ví dụ Một hành khách đến bến xe buýt lúc 10 Thời gian xe buýt đến bến đón khách biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối khoảng từ 10 đến 10 30 phút a) Tìm xác suất để người phải đợi 10 phút b) Biết lúc 10 15 phút xe buýt chưa đến Tìm xác suất để người phải đợi 10 phút Lời giải: Gọi biến ngẫu nhiên X thời gian (số phút) tính từ 10 mà xe buýt đến bến Từ giả thiết ta suy X U  0;30 a) Người phải đợi 10 phút tương đương với 10  X  30, xác suất cần tính 41 30  10 dx    0,6667 30 30 10 30 P 10  X  30   b) Xác suất cần tính: P X  25 | X  15  P25  X  30    0,3333 P15  X  30 15 2.2.3 Phân phối mũ 2.2.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 22 Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi tuân theo lu t phân phối mũ với tham số      , kí hiệu X E( ) , hàm mật độ có dạng: ; x0 0 f ( x)     x ; x0 e  Dễ dàng suy ra:  f ( x)dx   Và X E( ) hàm phân phối xác suất X ; x0 0 F  x    x ; x0 1  e Ứng dụng: Phân phối mũ có mặt nhiều ứng dụng thực tiễn Chẳng hạn khoảng thời gian ca cấp cứu bệnh viện, khoảng thời gian hai lần hỏng hóc máy, khoảng thời gian chờ khách hàng để phục vụ,… biến ngẫu nhiên có phân phối mũ Nói chung với số giả thiết đó, số lần xuất biến cố khoảng thời gian có phân phối Poisson khoảng thời gian hai lần xuất biến cố E có phân phối mũ 42 Vì lí phân phối mũ cịn có tên gọi phân bố thời gian chờ đợi "waiting time disistribution" 2.2.3.2 Các tham số đặc trưng Nếu X E( ) ta có ngay:  EX   X    DX  2 Chứng minh:   EX    x  e  x dx    xe  x     e  x dx    (sử dụng tích phân phần)     EX   x 2e  x dx    x 2e  x   2 xe  x dx  0 DX  EX   EX   2     2 2   X  DX   2.2.3.3 Ví dụ Ví dụ 10 Giả sử tuổi thọ X (tính năm) mạch điện tử máy vi tính biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với kì vọng 6,25 Thời gian bảo hành mạch điện tử năm Hỏi có phần trăm mạch điện tử bán phải thay thời gian bảo hành? Lời giải: 43 Ta có:   1  EX 6,25 Xác suất mạch điện phải thay thế: P  X  5  F  5   e  6,25 1 e   e0,8   0,449  0,5506  55,056% Vậy có khoảng 55% số mạch điện tử bán phải thay thời gian bảo hành 2.2.4 Các phân phối liên tục khác Người ta thường thấy nhiều phân phối liên tục cảm sinh trực tiếp phân phối chuẩn (kể chuẩn) Trong mục ta xét số phân phối quan trọng hay dùng thống kê 2.2.4.1 Phân phối  ( n) (khi bình phương với n bậc tự do) Định nghĩa 23 Giả sử X i (i  1,2, , n) biến ngẫu nhiên độc lập có n phân phối chuẩn tắc Biến ngẫu nhiên X   X i2 (tổng bình i 1 phương phân phối chuẩn tắc độc lập) gọi tuân theo lu t phân phối  (khi bình phương) với n bậc tự Kí hiệu X Nhận xét:  Hàm mật độ xác suất X   n  có dạng: ; x0 0   x n 1  2 f ( x)   e x ; x0  n2  n  2      44   n  Trong   x    t x 1  t e dt (hàm Gammar)  Phân phối X   n  xấp xỉ với phân phối chuẩn Các tham số đặc trưng:   n  EX  n DX  2n Nếu X Tính chất:  X   n ; Y   m X ;Y độc lập  X  Y   n  m X n F  N  0,1 (định lí giới hạn trung tâm) 2n Tính tốn xác suất phân phối dùng bảng có sẵn 2.2.4.2 Phân phối Student (với n bậc tự do) Định nghĩa 24 Giả sử U biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc V biến ngẫu nhiên độc lập với U có phân phối  với n bậc tự Khi X  U n gọi tuân theo lu t phân phối Student với n V bậc tự Kí hiệu X T (n) Nhận xét:  Nếu X T (n) hàm mật độ X có dạng: ;x  0   n 1    n    x    f ( x)        n      ;x  n      n  2 45 Trong ( x) hàm Gammar  Đồ thị hình chng tương tự đồ thị phân phối chuẩn có đỉnh thấp phần đuôi cao so với đồ thị phân phối chuẩn.Tuy có hình dạng tính đối xứng với phân phối chuẩn phân phối Student phản ánh tính biến đổi phân phối sâu sắc Các biến cố giá thời gian thường giới hạn cách nghiêm ngặt kích thước mẫu Chính phân phối chuẩn khơng thể dùng để xấp xỉ phân phối mẫu có kích thước nhỏ Trong trường hợp ta dùng phân phối Student Khi bậc tự n tăng lên ( n  30 ) phân phối Student tiến nhanh phân phối chuẩn Do n  30 ta dùng phân phối chuẩn thay cho phân phối Student Các tham số đặc trưng: Nếu X T (n) EX  (bậc tự n  ); DX  n (với n  n2 ) Tính chất:  Phân vị Student mức  , kí hiệu t giá trị biến ngẫu nhiên X T (n) thỏa mãn P  X  t    Ta có t  t1  X F T (n) X n N (0;1) Trong thực hành n  30 ta coi X n  N (0;1) 2.2.4.3 Phân phối Fisher – Snedecor (với n m bậc tự do) Định nghĩa 25 Giả sử biến ngẫu nhiên X X hai biến ngẫu nhiên độc lập X  n2 ; X  m2 biến ngẫu nhiên X xác định 46 X X1 X2 n m gọi tuân theo lu t phân phối Fisher – Snedecor với n m bậc tự Kí hiệu X F (n; m) Nhận xét:  Nếu X F (n; m) hàm mật độ xác suất X có dạng: ;x  0  n m  n m 2  n  m  n2   n m f ( x)     x  m  nx  ; x   n m            Dạng đồ thị f ( x) gần giống dạng đồ thị hàm mật độ xác suất phân phối   n   Phân vị mức  f  n, m  cho sẵn bảng có tính chất f  n, m   f1  m, n  Các tham số đặc trưng: Nếu X F (n; m) ta có ngay: EX  DX  m ; m2  m  2; m2  2m  2n   n  m  2  m  4 2.2.4.4 Phân phối Gammar 47 ;  m   Định nghĩa 26 Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi tuân theo lu t phân phối Gammar với hai tham số  ,   0; kí hiệu X   ,   hàm mật độ có dạng: ; x0 0   x f  x    e   x  1 ; x0       x Trong   x    e  x  x  1 x dx   e y y 1dy (y   x) Các tham số đặc trưng: Nếu X   ,   ta có: EX    DX    Tính chất:  X Y Nếu X   ,   Y   ,  độc lập     ,    Nếu X   ,1 X   L N (0;1)   Để ý   ta có phân phối mũ     có nhiều ứng dụng lí thuyết độ tin cậy 48 Bảng tổng kết phân phối liên tục Phân Hàm mật độ f  x  Kí hiệu EX DX phối Chuẩn X N ( a,  ) Đều X U  a; b Mũ X Khi bình X E( )   n phương Student Fisher X T (n) – X Snedecor Gammar X F (n; m) a 2 ; x   a; b ba ab b  a  e  x ; x   2 n 2n  e  2  x ( x  a )2 2 n 1 e x ; x  0; n  n n   22   2 n 1 x     1   n   n     n 2 x  0, n   n 1      12 n (n  1) n  (n  2) m m  2m  2n    nm n m   n 2   x m  nx n2m m  n  m  22  m  4   m2  n  m       m  4 2   x0 n m   ,   e x   x  1    49 ; x0    2 KẾT LUẬN Khóa luận tìm hiểu số quy luật phân phối xác suất thông dụng lý thuyết xác suất tốn học Các kết đạt khóa luận là: Trình bày kiến thức sở lý thuyết xác suất liên quan tới quy luật phân phối xác suất Trình bày kết quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc (phân phối Poisson, phân phối nhị thức, phân phối siêu bội số phân phối rời rạc khác) phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục (phân phối chuẩn, phân phối đều, phân phối mũ số phân phối liên tục khác) Với quy luật phân phối trình bày định nghĩa, tính chất, tham số đặc trưng ví dụ minh họa Vì thời gian kiến thức hạn chế, khóa luận có nhiều sai sót Tác giả mong muốn nhận ý kiến góp ý thầy giáo bạn để khóa luận hồn thiện 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Sĩ Đồng (2009), Xác suất – Thống k ứng d ng, NXB Giáo dục, Hà Nội Đinh Văn Gắng (2010), Bài t p xác suất thống k , NXB Giáo dục Việt Nam, Hà Nội Đào Hữu Hồ (1996), Xác suất – Thống k , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Tống Đình Quỳ (2007), Giáo trình Xác suất – Thống k , NXB Bách Khoa, Hà Nội Đặng Hùng Thắng (2009), Mở ầu lý thuy t xác suất ứng d ng, NXB Giáo dục, Hà Nội 51 ... luận tìm hiểu số quy luật phân phối xác suất thông dụng lý thuyết xác suất tốn học Các kết đạt khóa luận là: Trình bày kiến thức sở lý thuyết xác suất liên quan tới quy luật phân phối xác suất. .. kết quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc (phân phối Poisson, phân phối nhị thức, phân phối siêu bội số phân phối rời rạc khác) phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục (phân phối. .. thức số quy luật phân phối xác suất thông dụng, số tập quy luật phân phối xác suất thông dụng khả ứng dụng thực tiễn, lĩnh vực kinh tế Đối tượng nghiên cứu Các định nghĩa, tính chất, tham số đặc