[r]
(1)BÀI 3: MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT QUAN TRỌNG
Các kiến thức cần có
Mục tiêu
Các quy luật phân phối xác suất chủ yếu biến ngẫu nhiên thường gặp thực tế nội dung Các quy luật phân phối xác suất tham số chúng sở đặt móng cho phần Thống kê tốn mơn học
Thời lượng • tiết
• Quy luật phân phối khơng − A(p);
• Khái niệm;
• Các tham sốđặc trưng;
• Quy luật phân phối nhị thức B(n, p);
• Khái niệm;
• Các tham sốđặc trưng;
• Quy luật phân phối Poisson;
• Khái niệm;
• Các tham sốđặc trưng;F n , n( 1 2)
• Quy luật phân phối U [a, b];
• Khái niệm;
• Các tham sốđặc trưng;
• Quy luật phân phối chuẩnN ,(μ σ2);
• Khái niệm;
• Các tham sốđặc trưng;
• Phân phối chuẩn tắc;
• Cơng thức xác suất biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn;
• Giá trị tới hạn chuẩn tắc;
• Quy luật phân phối Khi − bình phươngχ2(n);
• Quy luật phân phối Student T(n);
• Quy luật phân phối Fisher − Snedecor F (n1, n2);
(2)TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI
Tình
Siêu thị Metro nhận thấy thời gian số lượng khách hàng phải đợi quầy để chờđược toán lâu Siêu thị định cần thêm số quầy phục vụ Số lượng quầy phục vụ sau nâng cấp hợp lý?
Biết: Thời gian phục vụ trung bình 01 khách phút Điều tra 100 giờĐếm số khách hàng đến quầy phục vụ vịng mơt giờ:
Số
khách/giờ 100 200 300 400 500 600 700
Số lần 13 27 27 18 1
Câu hỏi
1 Biểudiễn bảng phân phối xác suất tiền lãi bảo hiểm khả nhận lãi?
2. Số tiền lãi trung bình bao nhiêu?
(3)3.1. Quy luật phân phối không−một A(p) 3.1.1. Khái niệm
Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận hai giá trị có với xác suất tương ứng cho công thức:
( ) x x
P X x= =p q − p 1< < , q p= − x 0;1= (3.1)
được gọi có phân phối theo quy luật − với tham số p, ký hiệu X ~A p( ) Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X có phân phối khơng − dạng:
X P q p
Ví dụ1:
Tỷ lệ thí nghiệm thành cơng viện nghiên cứu 25% Gọi X số thí nghiệm thành cơng chọn ngẫu nhiên thí nghiệm Khi X biến ngẫu nhiên nhận hai giá trị với xác suất tương ứng là:
( ) ( ) (0 )1
P X 0= = 0, 25 × 0, 75 =0, 75
( ) ( ) (1 )0
P X 1= = 0, 25 × 0, 75 =0, 25
Vậy X biến ngẫu nhiên có phân phối A(0.25) 3.1.2. Các tham sốđặc trưng
Cho X ~ A(p), ta có: ( )
E X = × + × =0 q p p (3.2)
( )2 2
E X =0 × + × =q p p
( ) ( )2 ( ) 2
V X =E X −⎡⎣E X ⎤⎦ = −p p =pq (3.3) X pq
σ = (3.4)
Ví dụ 2:
Với biến ngẫu nhiên X Ví dụ 1, ta có: ( )
E X 0,25=
( )
V X =0, 25 0, 75 0,1875× =
Trên thực tế, quy luật không – thường áp dụng để mô tả cho dấu hiệu định tính có hai
(4)là nghiên cứu giới tính khách hàng phân tích chiến lược marketing nghiên cứu tỷ lệ chính/phế phẩm dây chuyền sản xuất,… Nếu dấu hiệu định tính có nhiều hai thuộc tính sử dụng nhiều biến ngẫu nhiên phân phối không – nghiên cứu
Kết luận:
Phân bố không − A(p) phân bố biến ngẫu nhiên rời rạc nhận hai giá trị,
được hoàn toàn xác định tham số p, kỳ vọng 3.2. Quy luật phân phối Nhị thức B(n, p)
3.2.1. Khái niệm
Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi có phân phối theo quy luật nhị thức với tham số p, ký hiệu X ~B n, p( ), X nhận giá trị 0, 1, 2, , n với xác suất tương ứng cho công thức Bernoulli:
( ) x x n x
p X x= =C p qn − x 0,1, ,n=
q p= − (3.5)
Ví dụ 1:
Tỷ lệ thí nghiệm thành cơng viện
nghiên cứu 25% Tiến hành quan sát thí nghiệm viện nghiên cứu Gọi X số thí nghiệm thành cơng thí nghiệm Khi X nhận giá trị: 0, 1, 2, 3, 4, với xác suất
( ) x( ) (x )5 x
P X x= =C 0, 25 0, 75 − với x 0,1, ,5=
Vậy X biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(5, 0,25) 3.2.2. Các tham sốđặc trưng
Xét X (i = 1, 2, … , n) bii ến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối A(p) Lập tổng biến ngẫu nhiên đó:
n i i
X X
=
=∑
Khi dễ dàng chứng minh biến ngẫu nhiên tổng có phân phối nhị
thức, X ~B n, p( ) Áp dụng tính chất tình chất phân phối khơng − một, cụ
thể là:
( )i
(5)Ta tính kỳ vọng phương sai phân phối nhị thức sau:
( ) n i n i
i i
E X E( X ) E(X ) np
= =
= ∑ =∑ = (3.6)
n n
i
i i
V(X) V( X ) V(X ) npq
= =
= ∑ =∑ = (3.7)
Mốt X giá trị x0sao cho giá trịp(X x )= 0 cơng thức (3.5) đạt cực đại Ta np – q số nguyên vế phải (3.5) đạt cực đại hai giá trị x0 =np q− x0+ =1 np q (n 1)p− + = + Còn np − q khơng phải số
ngun vế phải (3.5) đạt cực đại điểm x0 =[(n 1)p]+ , ký hiệu [t] dùng để phần nguyên số i, tức số nguyên lớn khơng vượt q t
Ví dụ 2:
Với biến ngẫu nhiên X Ví dụ 1, ta có: ( )
E X = ×5 0.25 1.25=
( )
V X = ×5 0.25 0.75 0.9375× =
Kết luận:
Phân bố nhị thức B(n,p) phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc nhận (n+1) giá trị, hoàn toàn xác định hai tham số n, số phép thử, p, kỳ vọng
3.3. Quy luật phân phối Poisson 3.3.1. Khái niệm
Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi có phân phối Poisson với tham số λ, ký hiệu X ~P( )λ , X nhận giá trị 0,1,2, ,n, với xác suất tương ứng cho công thức:
( ) x
P X x e x!
−λ λ
= = với x 0,1, 2, , n, = λ >0 (3.8) Phân phối Poisson có ứng dụng trình liên quan đến số quan sát với
đơn vị thời gian không gian, chẳng hạn số điện thoại nhận trạm điện phút, số người xếp hàng chờ toán quầy thu tiền siêu thị, v.v
3.3.2. Các tham sốđặc trưng
Cho biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson X ~P( )λ Lúc ta dễ dàng chứng minh
được rằng:
( ) ( )
(6)Mốt X (tức P( )λ ) giá trị x0 cho giá trị công thức (3.8) đạt cực đại Ta
chứng minh λ số nguyên phân phối P( )λ có hai mốt λ −1 λ, cịn nếuλ khơng phải số ngun mốt P( )λ [ ]λ , số nguyên lớn không vượt λ
Ví dụ 1:
Một trạm cho thuê xe taxi có xe, hàng ngày phải nộp thuế 80 nghìn/xe Mỗi xe cho thuê với giá 200 nghìn/ngày Giả sử yêu cầu thuê xe trạm biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham sốλ =3
a Tính xác suất ngày có khách thuê (lấy e 2,718≅ )
b Tính tiền lãi trung bình trạm thu ngày
Giải:
a Xác suất để ngày có khách thuê xe là: ( )
3
e
P X 0, 2241
3!
− ×
= = ≅
b Gọi Y tiền lãi trạm thu ngày, ta xét trường hợp sau
• Khơng có xe thuê:
( ) ( ) e 30
P Y 240 P X 0,0498
0!
− ×
= − = = = ≅
• Có xe th:
( ) ( ) e 31
P Y 40 P X 0,1494
1!
− ×
= − = = = ≅
• Có xe thuê:
( ) ( )e3 32
P Y 160 P X 0,2241 2!
ì
= = =
ã Cú xe thuê:
( ) ( ) ( )
i
P Y 360 P X P X i 0,5767
=
= = ≥ = −∑ = =
Vậy tiền lãi trung bình trạm ngày là: ( )
E Y = −240 0, 0498 40 0,1494 160 0, 2241 360 0,5767× − × + × + × =225, 54 (nghìn)
Kết luận:
Phân bố Poisson (3.8) phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc nhận vô số
giá trị, hoàn toàn xác định tham số λ, kỳ vọng CHÚ Ý
Người ta chứng minh rằng, với n lớn p đủ bé, biến ngẫu nhiên có phân phối nhị
thức B (n, p) hội tụ nhanh
(7)3.4. Quy luật phân phối U [a; b] 3.4.1. Khái niệm
Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có phân phối đoạn [a; b], ký hiệu: X ~U a; b[ ], hàm mật độ xác suất có dạng:
( ) [ ]
[ ]
1
x a;b b a
f x
0 x a;b
⎧ ∈
⎪ − = ⎨
⎪ ∉
⎩
(3.10)
f(x)
a b x
a - b
a b
f(x)
x
Hình 3.2: Hàm mật độ xác suất f(x) hàm phân phối F(x) luật phân phối
Hàm phân phối X xác định giá trị tích phân sau đây:
( ) x ( ) [ ]
0 x a
x a
F x f x dx x a; b
b a
1 x b
−∞
< ⎧
⎪ − ⎪
= =⎨ − ∈
⎪
> ⎪⎩
∫ (3.11)
Ví dụ 1:
Một xe buýt xuất bến đợi 15 phút chuyến Một hành khách tới biến vào thời điểm ngẫu nhiên Gọi X thời gian chờ xe hành khách Khi X có phân bốđều khoảng (0; 15)
a Viết hàm phân phối xác suất X CHÚ Ý
Trong máy tính thơng dụng có trang bị mô đun phần mềm nhỏ để tạo số
(8)b Tìm xác suất để hành khách phải đợi phút; nhiều 10 phút
Giải:
Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất
( ) ( )
( )
1
x 0;15 15
f x
0 x 0;15
⎧ ∈
⎪ = ⎨
⎪ ∉
⎩
• Hàm phân phối biến ngẫu nhiên X là:
( ) ( )
0 x
x
F x x 0;15
15
1 x 15
≤ ⎧
⎪⎪
=⎨ ∈
⎪
≥ ⎪⎩
• Xác suất để hành khách phải đợi phút là:
( ) ( ) ( ) 1
P X F F 3
< = − −∞ = − = Xác suất để hành khách phải đợi 10 phút là:
( ) ( ) ( )
P X 10 F F 10 3
> = +∞ − = − =
Ví dụ 2:
Khi thâm nhập thị trường mới, doanh nghiệp chưa thể khẳng định chắn doanh thu hàng tháng Với phân tích dự báo sốđó khoảng từ 20−40 triệu đồng/tháng Tìm xác suất để doanh nghiệp đạt tối thiếu 35 triệu/tháng
Giải:
Gọi X doanh thu hàng tháng mà doanh nghiệp đạt thị trường Do khơng có thêm thơng tin nên coi X biến ngẫu nhiên
phân phối khoảng (20;40) Hàm mật độ xác suất X có dạng sau: ( ) x (20;40)
f x 1
0,05 x (20;40) 40 20
∉ ⎧
⎪
=⎨ = ∈
⎪ − ⎩
Khi xác suất để doanh nghiệp có doanh thu tối thiểu hàng tháng 35 triệu sẽđược tính cơng thức:
( ) ( ) 40 40
35
35 35
(9)3.4.2. Các tham sốđặc trưng Cho X ~ U a; b[ ] đó:
( ) ( ) a ( ) b ( ) ( )
a b
E X xf x dx xf x dx xf x dx xf x dx
+∞ +∞
−∞ −∞
=∫ =∫ +∫ +∫
b
b 2
a a
x x b a a b
dx
b a b a 2 b a
− +
= = = =
− − −
∫ (3.12)
( )2 ( ) a ( ) b ( )
E X x f x dx x f x dx x f x dx a
+∞
= ∫ = ∫ + ∫
−∞ −∞
( )2 ( ) a ( ) b ( ) E X x f x dx x f x dx x f x dx
a +∞ = ∫ = ∫ + ∫ −∞ −∞ ( )
2 3
2
b
b x x b a
dx b ab a
b a b a a b a a
−
=∫ = = = + +
− − −
Từđó suy ra:
( ) ( ) ( )
2 b a 2 2 a b
V X b ab a
3 12
− +
⎛ ⎞
= + + −⎜ ⎟ =
⎝ ⎠ (3.13)
Kết luận:
Phân bốđều U[a;b] phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị đoạn thẳng [a;b] hoàn toàn xác định hai tham số a b, hai
đầu mút đoạn thẳng
3.5. Quy luật phân phối chuẩn N(μ,σ2) 3.5.1. Khái niệm
Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có phân phối theo quy luật chuẩn, ký hiệu X N ,(μ σ2)
,
nếu hàm mật độ xác suất có dạng:
( )
( )2 x
1
f x e a
2
− −μ σ
=
σ π (3.14)
Đường cong mật độ có dạng hình chng (the bell curve), đối xứng qua
đường x= μvà nhận Ox làm tiệm cận ngang Đỉnh hàm mật độđạt tại:
(10)( ) ( ) max f x f
2
= μ =
σ π (3.15)
Hàm phân phối xác suất X có dạng: ( )
( )2
x x
2
1
F x e dx
2
− −μ σ −∞ =
σ π ∫ (3.16)
Đường cong hàm phân phối tiệm cận ngang trái với trục Ox, tiệm cận ngang phải với
đường thẳng y = 1, đối xứng tâm qua điểm (µ ; 0,5) ƒ(x)
F(x)
x
0,5
0 m x
m sƯ p2
1
Hình 3.4: Hàm mật độ hàm phân phối luật phân phối chuẩn X N , (μ σ2)
Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn thường gặp nhiều thực tế, đóng vai trị quan trọng lý thuyết xác suất chiếm vị trí trung tâm kết luận thống kê
được đề cập đến tiếp sau giáo trình 3.5.2. Các tham sốđặc trưng
Cho X N ,(μ σ2)
, chứng minh rằng: ( )
E X =μ V X( )=σ2 (3.17)
Thật vậy, ta có:
( ) ( )
2
x
1
E X x.e dx
2
− −μ +∞
σ −∞ =
σ π ∫
Đặt t=x− μ
σ , ta có x= σ + μt Do
1 dt= dx