Chương 2: Biến ngẫu nhiên KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN

Ch
ng BIN NGU NHIÊN 33 Chương Biến ngẫu nhiên KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN Như biết, khơng gian mẫu M mô tả không thuận lợi phần tử M số Để tiện lợi việc mơ tả, giải tốn đưa vào số khái niệm mới, người ta tìm qui tắc, theo đó, phần tử m thuộc M ñược biểu diễn số thực x tương ứng Ý tưởng dẫn ñến khái niệm Biến ngẫu nhiên 1.1 Định nghĩa Cho trước không gian xác suất M Một hàm X: M →
cho với khoảng K
, tập hợp {m ∈ M / X(m) ∈ K} biến cố M, ñược gọi Biến ngẫu nhiên ( viết tắt BNN ) M Miền giá trị X ñược ký hiệu Im(X), i.e Im(X) = {x ∈
/ ∃m ∈ M, X(m) = x} • Để ñơn giản cách viết, biến cố {m ∈ M / X(m) ∈ K} ñược viết {X ∈ K} Đặc biệt, với số thực a b, biến cố: {m ∈ M / X(m) = a}; {m ∈ M / X(m) < a}; {m ∈ M / a ≤ X(m) ≤ b}; {m ∈ M / X(m) ≥ b}; … ñược viết {X = a}; {X < a}; {a ≤ X ≤ b}; {X ≥ b}; … Các xác suất P({X = a}); P({X < a}); P({a ≤ X ≤ b})…ñược viết gọn P(X = a); P(X < a); P(a ≤ X ≤ b) … Dựa vào tính chất hàm thực, có: 1.2 Định lý Giả sử X Y BNN không gian xác suất M; a b số thực; ñó, hàm aX + bY, XY, max(X, Y), min(X,Y) X/Y (với Y ≠ 0) BNN M Ngoài ra, ϕ hàm liên tục xác định Im(X) ϕoX BNN M 1.3 Thí dụ Ch
ng 34 BIN NGU NHIÊN 1.3.1 Tham khảo lại Định nghĩa 1.6.1 Định lý 1.6.2; với B(p), không gian mẫu M = {T, B}, đó, T B kết sơ cấp "Thành công" "Thất bại" Hàm số thực X M ñược xác ñịnh bởi: X(T) = X(B) = biến ngẫu nhiên M "Qui tắc" ñể thành lập hàm X "số lần thành công B(p)" Chúng ta nói X biến ngẫu nhiên số lần thành cơng B(p) X có miền giá trị {0, 1}, P(X = 1) = p P(X = 0) = − p 1.3.2 Trong q trình B(n; p), khơng gian mẫu M chứa 2n ñiểm mẫu, ñiểm ñược biểu diễn dãy n ký tự gồm chữ T B.Thật bất tiện Bây giờ, xét hàm thực X xác ñịnh M bởi: Ứng với ñiểm mẫu m M, X(m) số chữ T có m, tức số lần thành công kết sơ cấp Như vậy, có BNN X số lần thành cơng q trình B(n;p) X có miền giá trị {0, 1, 2, …, n}, xác suất để có k thành cơng q trình là: (Định lý 1.6.2.) P ( X = k ) = Pn (k ) = Ckn p k ( − p) n − k , k ∈ {0, 1, 2, …, n} Khi đó, người ta nói rằng: BNN X có phân phối nhị thức, với hai tham số n p Ký hiệu: X ~ B(n;p) • Chú ý rằng: Nếu gọi Xi BNN số lần thành công phép thử thứ i ( ≤ i ≤ n ) X = X1 + X2 + + Xn 1.3.3 Trong mơ hình phân phối siêu hình học đoạn 1.2, gọi X biến ngẫu nhiên số phần tử "ñược ñánh dấu" mẫu kích thước n biến cố {X = k} = Ak (Ak: “có k phần tử ñánh dấu mẫu”) có xác suất n−k P( X = k ) = CTk C N − T C nN , k ∈ {max[0,n - (N - T)],…, (T, n)} −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Chú ý: Trong giáo trình này, cần tham khảo lại định nghĩa, định lý thí dụ ỏ phần trước, tác giả ghi thêm số chương vào phía trước số mục e.g Khi cần tham khảo Định nghĩa 6.1 chương 1, tác giả ghi: Định nghĩa 1.6.1; Định lý 2.3 chương 2, ñược ghi Định lý 2.2.3… Khi đó, người ta nói rằng: Biến ngẫu nhiên X tuân theo luật ( hay có luật) phân phối siêu hình học 1.3.4 Một cơng ty nghiên cứu phản ứng thị trường ñối với loại sản phẩm mức ñộ: Tốt , trung bình Khơng gian mẫu M gồm biến cố Ch
ng 35 BIN NGU NHIÊN sơ cấp: {tốt, trung bình, kém} Chúng ta xác định biến ngẫu nhiên X M sau: X(tốt) = 1; X(trung bình) = 0; X(kém) = −1 Miền giá trị X {−1, 0, 1} HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT TÍCH LŨY 2.1 Định nghĩa Cho biến ngẫu nhiên X không gian xác suất M Với x thuộc
, {X < x} biến cố, nên tồn P(X < x) Hàm F ñược xác ñịnh bởi: ∀x ∈
, F(x) = P(X < x ) ñược gọi Hàm phân phối xác suất tích lũy (hay nói gọn hàm phân phối, viết tắt h.p.p ) X Từ ñịnh nghĩa h.p.p tính chất xác suất, dễ thấy rằng: ∀x ∈
, ≤ F (x) ≤ H.p.p F BNN X có tính chất ñược thể ñịnh lý sau: 2.2 Định lý Cho biến ngẫu nhiên X xác định khơng gian xác suất; F h.p.p X Khi ñó, (i) (ii) ∀(x1, x2) ∈
2, lim F ( x) = ( x1 ≤ x2 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ) x→ − ∞ lim F ( x) = x→ + ∞ (iii) F liên tục bên trái
(iv) P(a ≤ X < b) = F (b) − F (a) với a b thỏa a < b (v) P(X = a) = F (a+) − F (a) với a ∈
Chứng minh (i) Nếu x1 ≤ x2 {X < x1} ⊂ {X < x2}; đó: P(X < x1) ≤ P(X < x2) Vậy, (ii) F(x1) ≤ F(x2) Hàm F ñơn ñiệu bị chặn, nên tồn lim F ( x) x→ − ∞ lim F ( x) x→ + ∞ Có dãy số giảm (xn)n ∈ * cho xn  → −∞ n∞ Ch
ng 36 BIN NGU NHIÊN Với n ∈ *, đặt An = {X < xn} (An) dãy giảm biến cố ∞ ∩ n =1 An = ∅ Do đó,  ∞  lim P ( An ) = P  ∩ An  =  n =1  n→ ∞   Vậy, lim F ( xn ) = hay n →∞ lim F ( x) = (viết gọn F ( − ∞) = ) x→ − ∞ Chứng minh tương tự cho lim F ( x) = (viết gọn x→ + ∞ F ( + ∞) = ) (iii) Hàm F ñơn ñiệu
nên điểm x ∈
, ln có F ( x −) = lim F (t ) t→ x− { Với x ∈
với n ∈ *, ñặt Bn = x − ≤ X < x n } Bn ∞ dãy giảm biến cố ∩ n =1 Bn = ∅ Do đó, ∞ lim P ( Bn ) = P ( ∩ Bn ) = n→ ∞ n =1 Thế mà, {X < x} = {X < x − } + Bn ⇒ F ( x − ) = F (x) − P(Bn), n n lim F ( x − ) = F ( x) ; nên n→ ∞ từ đó, có n F (x− −) = F (x) Vậy, F liên tục bên trái ñiểm x ∈
Phần chứng minh (iv) (v) ñược xem tập.
( Gợi ý: Để chứng minh (v), dùng Cn = { a ≤ X < a + } n Ngược lại, người ta chứng minh ñược rằng: 2.3 Định lý Nếu hàm F:
→
thỏa ba tính chất (i), (ii) (iii) Định lý 2.2.2 F h.p.p biến ngẫu nhiên khơng gian xác suất Ch
ng 37 BIN NGU NHIÊN Thí dụ Cho BNN X có h.p.p F xác định bởi: 0  x + F ( x) =    nÕu x ≤ nÕu < x ≤ nÕu < x Khi đó, P ( − ≤ X < ) = F ( ) − F ( − 3) = 2 4 −0 = P(X = 0) = F (0+) − F (0) = − = 2 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT Các ñịnh lý 2.2.2 2.2.3 cho thấy rằng: Nếu biết h.p.p F BNN X biết đầy đủ X Vì vậy, hàm phân phối ñặc trưng ñầy ñủ biến ngẫu nhiên Khi biết h.p.p F BNN X, người ta nói phân phối xác suất X ñược xác ñịnh Có hai loại phân phối xác suất: Loại rời rạc loại liên tục 3.1 Định nghĩa Một biến ngẫu nhiên X không gian xác suất M gọi có phân phối xác suất thuộc loại rời rạc hay X BNN rời rạc Im(X) tập hợp hữu hạn ñếm ñược Nói cách khác, X BNN rời rạc phần tử Im(X) liệt kê thành dãy Giả sử Im(X) = {x1, x2, , xn, …} Hàm f :
→
ñược xác ñịnh bởi:  P ( X = xk ) nÕu x = xk ∈ Im(X ) nÕu x ∉ Im(X ) 0 f (x) =  ñược gọi Hàm mật độ xác suất hay nói gọn Hàm mật ñộ ( viết tắt h.m.ñ ) BNN X Rõ ràng, f có tính chất: (i) (ii) f (x) ≥ với x ∈
∑ f ( x) = x ∈R Để ñơn giản cách viết, cụm từ "nếu x ∉ Im(X)" ñược thay cụm từ "nơi khác" • Nếu F h.p.p X ∀x ∈
, F ( x) = ∑ f ( w) w< x Hàm phân phối BNN rời rạc hàm bậc thang Ch
ng 38 BIN NGU NHIÊN Khi Im(X) hữu hạn, phân phối xác suất X trình bày dạng bảng gọi Bảng phân phối xác suất: x x1 x2 xn f (x) p1 p2 pn đó, pi = f (xi), với i ∈ {1, 2, …, n} Thí dụ Gieo xúc xắc vô tư quan sát số nút xuất mặt hai xúc xắc Không gian mẫu M tương ứng hữu hạn gồm 36 điểm (Thí dụ 1.1.3.1) Gọi X BNN số lớn hai số xuất hiện, i.e với (a,b) thuộc M, X(a,b) = max (a,b) Khi đó, Im(X) = {1, 2, 4, 5, 6} Gọi f h.m.ñ X, có: f (1) = P(X = 1) = P({(1,1)}) = 1/36; f (2) = P(X = 2) = P({(1,2), (2,2), (2,1)}) = 3/36; f (3) = P(X = 3) = P({(1,3), (2,3), (3,3), (3,2), (3,1)}) = 5/36; Bảng phân phối xác suất X: x f (x) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 Xác suất biến cố {X ≤ 3}: P(X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = + + = 36 36 36 36 Xác suất biến cố {2 ≤ X < 5}: P(2 ≤ X < 5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = + + = 15 36 36 36 36 Phân phối xác suất X trình bày dạng Biểu ñồ: f (x) Ch
ng 39 BIN NGU NHIÊN 11/36 10/36 9/36 8/36 7/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 x 3.2 Định nghĩa Cho BNN X có hàm phân phối F (a) Nếu F liên tục
X gọi có phân phối xác suất thuộc loại liên tục hay X BNN liên tục (b) Giả sử X BNN liên tục Nếu h.p.p F có đạo hàm
hàm f = F’ ñược gọi hàm mật ñộ (viết tắt h.m.ñ.) X Trong trường hợp này, F ñược viết dạng: x ∀x ∈
, F ( x ) = ∫ f (t ) dt −∞ X ñược gọi liên tục tuyệt ñối X hoàn toàn ñược xác ñịnh h.m.ñ X ñược xác ñịnh Đối với BNN liên tục, giáo trình khảo sát loại tuyệt ñối liên tục nên ñể ñơn giản cách trình bày, gọi chung BNN liên tục 3.3 Định lý Một hàm thực f xác ñịnh
hàm mật ñộ BNN X f thỏa mãn hai tính chất sau: +∞ (i) f (x) ≥ với x ∈
(ii) ∫ f ( x) dx = −∞ Chứng minh (a) Nếu f h.m.đ BNN X dựa vào tính chất h.p.p X, dễ thấy f thỏa hai tính chất (i) (ii) .(b) Bây giả sử f thỏa (i) (ii) Với số thực x, ñặt: x F ( x) = ∫ f (t ) dt −∞ Dễ thấy F thỏa tính chất (i), (ii) (iii) Định lý 2.2.2 nên F hàm phân phối BNN X F’ = f Ch
ng BIN NGU NHIÊN 40 Vậy f h.m.ñ BNN X
3.4 Chú ý Giả sử X BNN liên tục có h.p F h.m.đ f Khi đó, với số thực a b thỏa a < b: b (i) P(a ≤ X < b) = F (b) − F (a ) = ∫ f ( x) dx ; a (ii) P(X = a) = F ( a+) − F (a) = ( F liên tục a ) (iii) P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b); Như vậy, thay ñổi giá trị h.m.ñ X ñiểm không làm thay ñổi phân phối xác suất X Thí dụ, h.m.đ f xác định  e− x nÕu < x < + ∞ f ( x) = nơi khác cú th ủc viết  e− x nÕu ≤ x < + ∞ f ( x) =   n¬i kh¸c Đồ thị hàm mật độ f BNN liên tục Diện tích vùng tơ đen hình xác suất P(a ≤ X ≤ b) 3.5 Thí dụ Cho BNN X rời rạc có h.m.đ f ñược xác ñịnh bởi:  x nÕu x ∈ {1, 2,3} f ( x) =   n¬i kh¸c Khi đó, h.p.p F X xác định bởi: Ch
ng 41 BIN NGU NHIÊN  nÕu x ≤ 1  nÕu < x ≤ F ( x) =   nÕu < x ≤ 6  nÕu < x 3.6 Thí dụ Cho BNN X liên tục có h.m.đ f xác định bởi:  a nÕu < x < + ∞  f ( x ) = x3 nơi khác ủú a số cho trước Hãy xác ñịnh a, h.p.p F X tính P(0 < X < 3) Giải +∞ Dựa vào tính chất: (∀x ∈
, f (x) ≥ 0) ∫ f ( x) dx = , chúng −∞ ta tính a = Hàm phân phối F ñược xác ñịnh bởi: x ∫ F ( x) = dt = nÕu x ≤1 −∞ x F ( x) = ∫ t dt = 1− 1 x2 nÕu 1< x Xác suất: P (0 < X < 3) = ∫ f ( x)dx = F (3) − F (0) = 89 VECTƠ NGẪU NHIÊN Trong nhiều trường hợp, nghiên cứu ñối tượng, phải ghi nhận lúc nhiều ñặc tính ñối tượng Thí dụ., quan sát tầm vóc người, phải để ý đến chiều cao, ñược biểu diễn BNN X1, lẫn khối lượng, ñược biểu diễn BNN X2, người ñó Như vậy, tầm vóc người ñược ñặc trưng hai BNN (X1, X2 ), mà người ta gọi vectơ ngẫu nhiên viết tắt VTNN ) Ở thí dụ này., VTNN có thành phần nên ñược gọi Biến ngẫu nhiên chiều Một VTNN có n thành phần gọi BNN n chiều 4.1 Định nghĩa Giả sử X1, X2, …, Xn n biến ngẫu nhiên không gian xác suất M Hàm X: M →
n ñược xác ñịnh bởi: Ch
ng 42 BIN NGU NHIÊN ∀m ∈ M , X (m) = (X1(m), X2(m), …, Xn(m)) ñược gọi vectơ ngẫu nhiên (viết tắt VTNN) n thành phần hay Biến ngẫu nhiên n chiều M Người ta viết: X = (X1, X2, …, Xn); BNN Xi (i = 1, …, n) ñược gọi thành phần VTNN X Miền giá trị X Im(X) = Im(X1) × Im(X2) × × Im(Xn) Để ñơn giản cách viết, với tập A
n, biến cố {m ∈ M / (X1(m), X2(m), …, Xn(m)) ∈ A} ñược ký hiệu {(X1, X2, …, Xn) ∈ A} Đặc biệt, với (x1 , x2, …, xn) ∈
n, n biến cố ∩ {m ∈ M / X i (m) < xi } ñược ký hiệu i =1 {(X1 < x1, X2 < x2, …, Xn < xn)} hay n ∩ {Xi < xi } , i =1 xác suất viết n P(X1 < x1, X2 < x2, …, Xn < xn) hay P ( ∩ { X i < xi }) i =1 4.2 Định lý Giả sử X = (X1, X2, …, Xn) VTNN không gian xác suất M ; u:
n →
hàm liên tục Khi đó, hàm Y = uoX BNN M Sau này, ñể ñơn giản cách trình bày, giáo trình trình bày vấn ñề liên quan trường hợp biến ngẫu nhiên hai chiều (X1, X2) Đối với BNN n chiều (X1, X2, …, Xn), có biểu thức tương tự HÀM PHÂN PHỐI, HÀM MẬT ĐỘ ĐỒNG THỜI 5.1 Định nghĩa Cho VTNN X = (X1, X2) không gian xác suất Hàm F :
2 →
ñược xác ñịnh bởi: F (x1, x2) = P ( X1 < x1, X < x2 ) ñược gọi hàm phân phối (tích lũy) đồng thời BNN X1, X2 hay hàm phân phối (h.p.p.) VTNN X Tương tự trường hợp BNN, h.p.p F VTNN X = (X1, X2) có tính chất sau: (i) Với a = (a1, a2) b = (b1, b2) thuộc
2, Ch
ng 52 BIN NGU NHIÊN Hệ Giả sử X biến ngẫu nhiên có kỳ vọng µ độ lệch chuẩn σ > Biến ngẫu nhiên X* xác ñịnh X*= X −µ σ có kỳ vọng phương sai 1, i.e E(X*) = D(X*) = X* gọi Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa X 7.6 Thí dụ 7.6.1 Gieo xúc xắc vô tư quan sát số nút xuất mặt hai xúc xắc Gọi X BNN số lớn hai số xuất hiện, Y BNN số mặt xuất (a) Tìm luật phân phối xác suất, kỳ vọng, phương sai ñộ lệch chuẩn BNN X Y (b) Tìm luật phân phối xác suất VTNN (X,Y) X Y có độc lập khơng? Giải Khơng gian mẫu gồm 36 ñiểm ñồng khả (a) Bảng phân phốijj xác suất X: x P(X = x) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 Kỳ vọng X: µX = E(X) = xi P(X = xi) X = ì + × + × + × + × + × 11 = 161 36 36 36 36 36 36 36 Phương sai X: σ 2X = D ( X ) = E( X ) − µ 2X D ( X ) = (12 × + 22 × + 32 × + 42 × + 52 × + 62 × 11 ) − 161 36 36 36 36 36 36 ( 36 ) D( X ) = 1,97145 Độ lệch chuẩn X: σX = D( X ) = 1, 40408 • Im(Y) = {0,1,2} Trong khơng gian mẫu, có 25 cặp khơng chứa mặt nào; có 10 cặp chứa mặt có cặp chứa mặt Bảng phân phối xác suất Y: yk Ch
ng 53 BIN NGU NHIÊN 25/36 P(X = yk) 10/36 1/36 Với cách tính trên, kỳ vọng, phương sai ñộ lệch chuẩn Y là: µY = E(Y) = σY2 = D (Y ) = E(Y ) − µY2 = 18 D(Y ) = 0,527046 σY = (b) Luật phân phối xác suất VTNN (X,Y): Miền giá trị (X,Y) Im(X) × Im(Y) Xác suất: P(X = 1,Y = 0) = 0; P(X = 1,Y = 1) = 0; P(X = 1,Y = 2) = P({(1,1)}) = 1/36; P(X = 2,Y = 0) = P({(2,2)}) = 1/36; P(X = 2,Y = 1) = P({(1,2), (2,1)}) = 2/36; P(X = 2,Y = 2) = 0; Các giá trị cịn lại, bạn đọc tự tính Chúng ta có bảng phân phối xác suất VTNN (X,Y): 0 1/36 3/6 5/36 7/36 9/36 2/36 2/36 2/36 2/36 2/36 1/36 0 0 xi yk P ( X =1, Y = 0) = ; Vì P ( X =1) P(Y = 0) = 25 36 36 P( X =1) P (Y = 0) ≠ P( X =1, Y = 0) nên X Y khơng độc lập 7.6.2 Một người tham gia trị chơi sau: Từ hộp chứa bi ñỏ bi trắng cỡ, rút ngẫu nhiên bi Nếu bi màu đỏ 5.000đ, bi màu trắng 2.300đ Hỏi có nên tham gia trị chơi nhiều lần khơng? Giải Nếu X biến ngẫu nhiên số tiền có sau lần tham gia trị chơi X có miền giá trị {− 2300; 5000} phân phối xác suất X là: P (X = − 2300) = 7/10 Kỳ vọng X: P (X = 5000) = 3/10 Ch
ng 54 BIN NGU NHIÊN E(X) = − 2300 × 7/10 + 5000 × 3/10 = − 110 Vậy, tham gia chơi nhiều lần, trung bình, lần chơi, người tham gia trị chơi 110đ Do đó, khơng nên tham gia trị chơi nhiều lần 7.6.3 Một xạ thủ có viên đạn Anh ta bắn viên vào bia ngừng bắn có viên trúng bia; khơng, bắn cho ñến hết ñạn Biết xác suất bắn trúng bia lần bắn 0,8 Đặt X biểu thị số ñạn mà xạ thủ ñã bắn Hãy tìm luật phân phối xác suất X tính kỳ vọng phương sai X Giải Miền giá trị X {1, 2, 3, } Đặt Ai : “viên thứ i trúng bia” (i = 1, 2, 3), có: P(X = 1) = P(A1) = 0,8 P(X = 2) = P ( A1 A2 ) = P ( A1 ).P ( A2 ) = 0,2 × 0,8 = 0,16 P(X = 3) = P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ).P ( A2 ).P ( A3 ) = 0,2 × 0,2 × 0,8 = 0,032 P(X = 4) = P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ).P ( A2 ).P ( A3 ) = 0,2 × 0,2 × 0,2 = 0,008 Bảng phân phối xác suất X: xi P(X = xi) 0,8 0,16 0,032 0,008 Kỳ vọng X: µ = E(X) = × 0,8 + × 0,16 + × 0,032 + × 0,008 = 1,248 Phương sai X: D(X) = 12 × 0,8 + 22 × 0,16 + 32 × 0,032 + 42 × 0,008 − (1,248)2 = 0,2985 BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV − LUẬT SỐ LỚN vọng 8.1 Định lý ( Bất ñẳng thức Chebyshev) Cho biến ngẫu nhiên X có kỳ µ độ lệch chuẩn σ Khi đó, với số thực ε > cho trước, P( | X − µ | ≥ ε ) ≤ σ ε2 Chứng minh Ch
ng 55 BIN NGU NHIÊN Giả sử X rời rạc, lấy giá trị x1, x2, có h.m.đ f σ2 = E(X − µ)2 = Σ(xk − µ)2 f (xk) chuỗi gồm số hạng khơng âm Nếu xố số hạng thoả điều kiện | xk − µ | < ε thì: σ2 ≥ Σ*(xk − µ)2 f (xk) ký hiệu Σ* dùng để tổng gồm tồn số hạng thoả |xk − µ | ≥ ε Rõ ràng: Σ*(xk − µ)2 f (xk) ≥ ε2 Σ* f (xk) = ε P( | X − µ | ≥ ε ) Trường hợp X liên tục ñược xem tập
8.2 Định lý Chebyshev (Luật số lớn) Giả sử (Xn) dãy BNN ñộc lập có phương sai bị chặn số C Đặt: X = n X Khi n ∑ i i =1 đó, với số thực ε > cho trước, có:   n lim P  X − ∑ E ( X i ) < ε  = n  n→ ∞  i =1   Chứng minh Theo giả thiết, D (X k) ≤ C với k ∈ * Theo tính chất kỳ vọng phương sai, n E( X n ) = E( X k ) n ∑ k =1 D( X n ) = 12 n ∑ D( X k ) n k =1 Với ε > cho trước, theo bất đẳng thức Chebyshev, có: 0≤P ( X n − E( X n ) ≥ ε )≤ D (Xn ) ε2 ≤ C Do đó, P ( ) X n − E ( X n ) ≥ ε  →0 n∞ hay P ( X n − E ( X n ) < ε )  →1 n∞ Vậy, n ε2 Ch
ng 56 BIN NGU NHIÊN   n lim P  X − ∑ E ( X i ) < ε  = ■ n  n→ ∞  i =1   8.3 Hệ Giả sử (Xn) dãy BNN độc lập có phân phối, với kỳ vọng µ độ lệch chuẩn σ Khi ñó, với ε > cho trước, có: lim P n →∞ ( ) X − µ < ε =1 • Định lý CHEBYSHEV cho qui tắc thực hành phạm vi số lớn: Giả sử để đo đại lượng có số đo x chưa biết, người ta ño n lần ñộc lập Kết lần ño biến ngẫu nhiên mà giá trị chúng sai khác với x cách ñáng kể, theo luật số lớn trung bình kết đo sai lệch với kỳ vọng (là x) khơng đáng kể điều chắn số phép ño ñủ lớn Chúng ta xét trường hợp ñặc biệt quan trọng ñịnh lý Chebyshev: Giả sử phép thử, người ta quan tâm ñến xác suất xuất p biến cố T, gọi “thành cơng” Làm để tìm p? Như trình bày Chương 1, dựa vào thực nghiệm, người xưa ñã nêu lên ổn ñịnh tần suất T dãy n phép thử ñộc lập n lớn Do ñó, n lớn, tần suất T gần với p Bây nêu lên ñịnh lý chứng minh ñiều Định lý ñặt sơ sở khoa học cho lý thuyết xác suất 8.4 Định lý Bernoulli Trong trình B(n; p), gọi X BNN số thành cơng đặt P = X , gọi tần suất thành cơng, với ε > cho trước, n lim P n →∞ ( ) P − p < ε =1 Chứng minh Đặt Xi BNN số lần thành công phép thử thứ i (i = 1, 2, , n) (Xi) ≤ i ≤ n dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối xác suất: P(Xi = 0) = − p, P(Xi = 1) = p E(Xi) = p, với i = 1, 2, , n Vì P = n ∑ X i nên áp dụng Định lý 2.8.2, có điều phải chứng n i =1 minh.■ COVARIAN − HỆ SỐ TƯƠNG QUAN Ch
ng BIN NGU NHIÊN 57 Cho X Y hai BNN không gian mẫu, có kỳ vọng µX µY Nếu X Y khơng độc lập, người ta muốn có đại lượng đo mối liên hệ chúng Một mối liên hệ ñơn giản liên hệ tuyến tính Để đánh giá điều này, người ta để ý đến BNN (X − µX)(Y − µY) kỳ vọng (nếu tồn tại) 9.1 Định nghĩa Người ta gọi Covarian hai BNN X Y, ký hiệu Cov(X, Y), số thực ñược xác ñịnh Cov(X,Y) = E[(X − µX)(Y − µY)] Dĩ nhiên, định nghĩa có nghĩa điều kiện Cov(X,Y) tồn Dùng tính chất kỳ vọng, có: Cov(X,Y) = E(XY) − µX.µY Như vậy, X Y độc lập Cov(X,Y) = 9.2 Định lý Nếu X Y BNN có phương sai D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y) Chứng minh Đặt Z = X + Y, có µZ = µX + µY, (Z − µZ)2 = (X − µX + Y − µY)2 = (X − µX)2 + (Y − µY)2 + 2(X − µX)(Y − µY) Lấy kỳ vọng hai vế, ñịnh lý ñược chứng minh.■ 9.3 Hệ Cho X Y BNN có phương sai; a b số thực, có (i) Cov( aX , bY ) = abCov( X , Y ) (ii) D(aX + bY ) = a D( X ) + b D(Y ) + 2abCov( X , Y ) (iii) Nếu X Y độc lập D(X + Y) = D(X) + D(Y) 9.4 Định nghĩa Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên có kỳ vọng, theo thứ tự, µX µY; có độ lệch chuẩn, theo thứ tự, σX σY Người ta gọi Hệ số tương quan X Y, ký hiệu ρ(X,Y), số thực ñược xác ñịnh ρ ( X ,Y ) = Cov ( X , Y ) σ X σY Nếu X Y ñộc lập E(XY) = µX.µY ; từ đó, Cov(X,Y) = ρ(X,Y) = Điều ngược lại khơng Thí dụ: Cho biến ngẫu nhiên X có h.m.đ f: Ch
ng BIN NGU NHIÊN 58  víi x ∈ [-1,1] f ( x) =   víi x ∉ [-1,1] Đặt Y = X , rõ ràng X Y khơng độc lập E( X ) = Vì ∫ x dx = −1 E ( XY ) = E ( X ) = x3 dx = ∫ −1 nên ρ(X,Y) = 9.5 Định lý Nếu hai BNN X Y có hệ số tương quan ρ(X,Y) |ρ(X,Y)| ≤ 1; nữa, |ρ(X,Y)| = có hai số thực a b cho Y = aX + b, trừ số giá trị X, đó, xác suất Chứng minh X* = Đặt X −µ X σX Y* = Y −µY , σY có D(X* − Y*) = D(X*) + D(Y*) − 2Cov(X*, Y*) = 2(1 − ρ(X,Y)) Vì vế trái không âm nên ρ(X,Y) ≤ Tương tự, dùng D(X* + Y*), chứng minh ñược ρ(X,Y) ≥ −1 Nếu ρ(X,Y) = D(X* − Y*) = 0; vậy, với xác suất 1, X* − Y* = b (b hàm số hằng) Do ñó, Y = aX + b, với a = σY σX Chứng minh tương tự cho trường hợp ρ(X,Y) = − Điều ngược lại hiển nhiên ñúng.■ BÀI TẬP 2.1 Có ba hộp A, B C đựng lọ thuốc Hộp A có 10 lọ tốt lọ hỏng, hộp B có lọ tốt lọ hỏng, hộp C có lọ tốt lọ hỏng Lấy ngẫu nhiên từ hộp lọ thuốc Ch
ng 59 BIN NGU NHIÊN (a) Tìm luật phân phối xác suất cho số lọ thuốc tốt có lọ lấy (b) Tính xác suất để lọ tốt; lọ loại 2.2 Trong ñội tuyển, vận ñộng viên A, B C thi ñấu với xác suất thắng trận người 0,6; 0,7 0,8 Trong ñợt thi ñấu, vận ñộng viên thi ñấu trận ñộc lập (a) Tìm luật phân phối xác suất cho số trận thắng đội tuyển Tính xác suất để đội tuyển thắng trận (b) Tính xác suất để ñội tuyển thua nhiều trận (c) Sau ñợt thi đấu, đội tuyển có trận thắng; tính xác suất để A thua trận (d) Tính số trận thắng trung bình phương sai số trận thắng ñội tuyển 2.3 Một sở sản xuất bao kẹo Số viên kẹo bao biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất sau: Số viên kẹo Xác suất 18 19 20 21 22 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09 (a) Tính xác suất để bao kẹo ñược chọn ngẫu nhiên chứa từ 19 ñến 21 viên kẹo (b) Tìm trung bình phương sai số viên kẹo bao (c) Chi phí sản xuất bao kẹo 3X + 16, X biến ngẫu nhiên số viên kẹo bao Tiền bán bao kẹo 100$, khơng phân biệt số kẹo bao Tìm lợi nhuận trung bình độ lệch chuẩn lợi nhuận cho bao kẹo (d) Hai bao kẹo ñược chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để hai bao chứa 20 viên kẹo 2.4 Một hộp ñựng sản phẩm, ñó có phế phẩm Người ta kiểm tra sản phẩm (không hồn lại) gặp phế phẩm dừng Tìm luật phân phối xác suất cho số sản phẩm kiểm tra Tính số lần kiểm tra trung bình 2.5 Một người điều khiển máy tự động hoạt ñộng ñộc lập với Xác suất bị hỏng ca sản xuất máy 1, 0,1, 0,2 0,3 (a) Lập bảng phân phối xác suất cho số máy hoạt ñộng tốt ca sản xuất Trung bình, ca, có máy hoạt động tốt? Tính độ lệch chuẩn số máy hoạt ñộng tốt ca sản xuất (b) Tính xác suất để ca có nhiều máy bị hỏng (c) Sau ca sản xuất, người ñiều khiển báo suốt ca có máy hoạt động tốt Tính xác suất ñể máy hoạt ñộng tốt ñó máy (d) Tính xác suất để ca sản xuất liên tiếp, có ca khơng có máy bị hỏng Ch
ng 60 BIN NGU NHIÊN 2.6 Một cơng ty có tổng đại lý Gọi X,Y Z, theo thứ tự, khối lượng hàng bán ñược ngày tổng đại lý (tính tấn) Biết phân phối xác suất BNN X,Y Z sau: xi P(X = xi ) 0,1 0,3 0,4 0,2 yj P(Y = yj ) 0,15 0,2 0,4 0,1 0,15 zk 10 P(Z = zk ) 0,2 0,3 0,4 0,1 Tính khối lượng hàng bán trung bình tháng (30 ngày) công ty 2.7 Tiến hành khảo sát số khách chuyến xe buýt (SK/1C) tuyến giao thơng, người ta thu số liệu sau: SK/1C 25 30 35 40 45 Xác suất 0,15 0,2 0,3 0,25 0,1 (a) Tính kỳ vọng độ lệch chuẩn SK/1C (b) Giả sử chi phí cho chuyến xe 200 ngàn đồng, khơng phụ thuộc vào số khách xe, cơng ty phải qui định giá vé để thu số tiền lời trung bình cho chuyến xe 100 ngàn đồng? 2.8 Một người tham gia trị chơi gieo đồng tiền vơ tư Anh ta 500đ xuất mặt sấp, 300ñ xuất mặt sấp, 100đ có mặt sấp xuất Mặt khác, 900ñ xuất mặt ngửa Trị chơi có cơng người chơi khơng? (Trị chơi gọi cơng người chơi tham gia chơi nhiều lần thì, trung bình, hịa vốn) 2.9 Một người tham gia trò chơi sau: Gieo xúc xắc vơ tư lần độc lập Nếu xuất “mặt 1” lần thưởng ngàn ñồng; xuất “mặt 1” lần thưởng ngàn đồng; xuất “mặt 1” lần thưởng ngàn đồng; khơng có “mặt 1” xuất khơng thưởng Mỗi lần tham gia trò chơi, người chơi phải đóng M ngàn đồng Hãy định M để trị chơi công 2.10 Theo thống kê dân số, xác suất ñể người ñộ tuổi 40 sống thêm năm 0,995 Một công ty bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm năm cho người độ tuổi với giá 10 ngàn, trường hợp người mua Ch
ng 61 BIN NGU NHIÊN bảo hiểm bị chết số tiền bồi thường triệu Hỏi lợi nhuận trung bình cơng ty bán thẻ bảo hiểm bao nhiêu? 2.11 Hai vận động viên bóng rổ A B ném bóng vào rổ có người ném trúng, với xác suất ném trúng người, theo thứ tự, 0,3 0,4 A ném trước (a) Tìm luật phân phối xác suất cho số lần ném rổ người (b) Tìm luật phân phối xác suất cho tổng số lần ném rổ hai người 2.12 Số lượng xe ô tô mà ñại lý bán ñược tuần BNN có phân phối xác suất sau: Số xe bán ñược Xác suất tương ứng 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1 (a) Tính xác suất để đại lý bán nhiều xe tuần Tính kỳ vọng phương sai số xe mà ñại lý bán ñược tuần (b) Giả sử chi phí cho hoạt động ñại lý bậc hai số xe bán cộng với (triệu đồng) Tìm chi phí trung bình cho hoạt động đại lý tuần 2.13 Một cửa hàng bán sữa tươi mua vào chai với giá 20$ bán với giá 50$ chai Cuối ngày, chai khơng bán phải bỏ Người muốn tính xem nên đặt mua ngày chai, nên ñã theo dõi 100 ngày ghi lại sau: Số bán (chai) 10 11 12 13 Số ngày bán 15 20 40 25 Đối với chủ cửa hàng, có hai loại thiệt hại: Thiệt hại dư thừa, gây số bán số mua vào, thiệt hại hội, số mua vào số cầu Chủ cửa hàng nên mua vào chai sữa ngày để thiệt hại nhất? 2.14 Một cơng ty dự ñịnh mua số xe ñể cho thuê Giá mua xe 5000 USD; xe cho th 24 USD/ngày Cơng ty dự định cho th ngày/tuần (312 ngày/năm), chi phí cho xe 1,5 USD/ngày Cuối năm, công ty bán lại xe với giá 50% giá mua ban đầu Ước tính nhu cầu số xe thuê ngày sau: Số xe theo nhu cầu 11 12 13 14 15 Xác suất 0,20 0,25 0,30 0,13 0,12 Tìm số xe tối ưu mà công ty cần mua 2.15 Một kiện hàng có 10 sản phẩm, có sản phẩm loại I, sản phẩm loại II sản phẩm loại III Lấy ngẫu nhiên từ kiện sản phẩm Gọi X Ch
ng BIN NGU NHIÊN 62 Y, theo thứ tự, BNN số sản phẩm loại I số sản phẩm loại II có sản phẩm lấy (a) Lập bảng phân phối xác suất ñồng thời X Y Lập bảng phân phối xác suất lề X Y (b) Lập bảng phân phối xác suất ñiều kiện Y, với ñiều kiện X lấy giá trị (c) X Y có độc lập khơng? Tại sao? 2.16 Một người có 1000 USD để đầu tư xem xét hai hội ñầu tư Mỗi hội địi hỏi đầu tư tối thiểu 500 USD Lợi nhuận 100 USD ñầu tư hội hai biến ngẫu nhiên X Y độc lập có phân phối xác suất sau: P(X = −5) = 0,4; P(X = 20) = 0,6 P(Y = 0) = 0,6; P(Y =25) = 0,4 Người có phương án sau để lựa chọn: (a) Đầu tư 1000 USD vào hội 1; (b) Đầu tư 1000 USD vào hội 2; (c) Đầu tư 500 USD vào hội Hãy tìm lợi nhuận trung bình phương sai lợi nhuận cho phương án ñầu tư Người nên chọn phương án nào? 2.17 Thống kê dân số nước theo hai tiêu: Học vấn Giới tính Học vấn thể trình độ: Thất học, tiểu học, trung học ñại học; ñược biểu diễn BNN X lấy giá trị tương ứng 0, 1, Giới tính gồm nam nữ; ñược biểu diễn BNN Y lấy giá trị tương ứng Kết ñược thể hiên bảng phân phối xác suất ñồng thời sau ñây: Y 0,04 0,05 0,10 0,12 0,23 0,29 0,10 0,07 X (a) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên người người khơng thất h ọc (b) Tìm trình độ học vấn trung bình (c) Học vấn có độc lập với giới tính khơng? Tại sao? Ch
ng 63 BIN NGU NHIÊN (d) Lập bảng phân phối xác suất cho học vấn nam, cho học vấn nữ So sánh trình độ học vấn trung bình nam nữ (e) Giả sử tiền lương T người phụ thuộc vào học vấn giới tính sau: T = 10 + 2X + 4Y Tính tiền lương trung bình người theo hai cách khác (Dùng phân phối T dùng tính chất kỳ vọng) 2.18 Một người cân nhắc việc ñầu tư vào cổ phiếu A hay trái phiếu B Lãi suất năm (tính theo %) cổ phiếu trái phiếu, theo thứ tự, BNN X Y có bảng phân phối xác suất ñồng thời sau: −2 10 0 0,05 0,05 0,1 0,05 0,1 0,25 0,15 0,1 0,05 0,1 yk xi (a) Nếu đầu tư tồn tiền vào cổ phiếu A lãi suất kỳ vọng mức ñộ rủi ro bao nhiêu? (b) Câu hỏi tương tự, đầu tư tồn tiền vào trái phiếu B (c) Nếu ñầu tư vào trái phiếu cổ phiếu nên dầu tư theo tỉ lệ ñể: (i) Lãi suất kỳ vọng thu ñược lớn nhất? (ii) Độ rủi ro lãi suất thấp nhất? 2.19 Gieo xúc xắc xuất mặt (thành cơng) ngừng Biết xác suất ñể xuất mặt p (0 < p < 1) (a) Gọi X biến ngẫu nhiên số lần gieo xúc xắc Tìm phân phối xác suất X Tính E(X) D(X) (b) Gọi Y biến ngẫu nhiên số lần gieo không thành công (không xuất mặt 3) Tìm phân phối xác suất Y tính E(Y) 2.20 Lãi suất thu năm (tính theo %) đầu tư vào cơng ty A cơng ty B tương ứng biến ngẫu nhiên X Y ñộc lập Cho biết qui luật phân phối xác suất X Y sau: xi 10 12 P(X = xi ) 0,05 0,1 0,3 0,4 0,15 yj -4 10 12 16 Ch
ng 64 BIN NGU NHIÊN P(Y = yj ) 0,1 0,2 0,2 0,25 0,15 0,1 (a) Đầu tư vào cơng ty có lãi suất kỳ vọng cao hơn? (b) Đầu tư vào cơng ty có mức ñộ rủi ro hơn? (c) Nếu muốn ñầu tư vào hai cơng ty nên đầu tư theo tỉ lệ ñể cho: (i) thu ñược lãi suất kỳ vọng cao nhất? (ii) mức ñộ rủi ro lãi suất thấp nhất? 2.21 Xác suất cho phát súng bắn trúng mục tiêu xạ thủ p (0 < p < 1) Xạ thủ bắn liên tiếp điều kiện khơng đổi có k viên đạn (k ≥ 1) trúng mục tiêu ngừng bắn Tìm kỳ vọng số lần bắn cần thiết 2.22 Một đồng tiền vơ tư gieo lần Đặt X biểu thị số tùy theo mặt sấp hay mặt ngửa, theo thứ tự, xuất lần gieo thứ nhất, Y biểu thị số mặt sấp xuất Tìm (a) phân phối xác suất X Y (b) phân phối xác suất ñồng thời p X Y (c) Cov(X, Y) ρ(X,Y) 2.23 Giả sử X1, X2, …, Xn BNN độc lập có chung kỳ vọng µ phương sai σ2 Đặt X = X1 + X + + X n Chứng minh rằng: n  n  E  ∑ ( X k − X )2  = (n − 1) σ2  k =1    2.24 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f định bởi: f ( x) = a e− x với x ∈
Hãy xác ñịnh số a tính xác suất để BNN X lấy giá trị khoảng (− ∞, 0) 2.25 Cho hàm số F xác định
bởi: víi 0  F ( x) =  mx víi 1 víi  x≤0 < x ≤1 1< x m số cho trước (a) Hãy xác ñịnh m ñể F h.p.p BNN liên tục X (b) Tìm h.m.đ X tính P(0,25< X ≤ 0,5) 2.26 Cho BNN liên tục X có hàm mật ñộ f ñịnh bởi: Ch
ng 65 BIN NGU NHIÊN nÕu x <  f ( x) =  −2 x nÕu x ≥  k x e k số dương cho trước (a) Hãy xác ñịnh k (b) Tìm kỳ vọng độ lệch chuẩn X (c) Tìm h.p.p X 2.27 Giả sử X Y hai BNN có h.m.đ đồng thời f xác ñịnh bởi:  12 ,  f ( x, y ) =  (1+ x + y ) 0 nơi khác với x > 0, y > (a) Tìm h.m.đ biên X Y (b) Tìm h.m.ñ ñiều kiện biến X Y 2.28 Cho hàm số f xác ñịnh với số thực x bởi: π(1 + x ) f ( x) = Chứng minh f hm.ñ BNN liên tục X X khơng có kỳ vọng (Phân phối Cauchy) 2.29 Giả sử tuổi thọ người dân thành phố lớn ABC BNN có hàm mật độ f xác định bởi: kx (100 − x)2 , f ( x) =  0, x ∈ [0,100] x ∉ [0,100] đó, k số thực (a) Hãy xác ñịnh k (b) Tính tuổi thọ trung bình người dân thành phố ABC (c) Nếu kiểm tra ngẫu nhiên danh sách 100 người dân thành phố ABC, xác suất để tất người thực tế sống có độ tuổi từ 60 ñến 70 bao nhiêu? 2.30 Trong tuần, số trẻ em ñược sinh số người chết làng A BNN X Y độc lập có phân phối xác suất sau: xi P(X = xi ) 0,4 0,3 0,2 0,1 yj P(Y = yj ) 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05 Ch
ng 66 BIN NGU NHIÊN (a) Tìm phân phối xác suất ñồng thời X Y (b) Tính xác suất để tuần, làng A, số trẻ em ñược sinh nhiều số người chết 2.31 Một kiện hàng chứa sản phẩm, ñó có sản phẩm loại A Lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng sản phẩm (khơng hồn lại) (a) Hãy lập bảng phân phối xác suất tính số sản phẩm loại A trung bình có sản phẩm lấy (b) Biết giá bán sản phẩm loại A 200 (ngàn ñồng) giá bán sản phẩm loại A 120 (ngàn ñồng) Khi bán sản phẩm trên, hy vọng số tiền thu bao nhiêu? Tính độ lệch chuẩn số tiền thu ñược (c) Đem sản phẩm nói bỏ vào kiện hàng khác có chứa sẵn sản phẩm, có sản phẩm loại A; sau lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng sản phẩm Tính xác suất để ñược sản phẩm loại A 2.32 Một ô tô khách chạy đoạn đường từ O đến B có khoảng cách L Một điểm đoạn đường cách O khoảng x nói gọn điểm x Xe dừng chỗ khách có u cầu Biết qng đường dó có khách lên xe sau đoạn ñường ñã xuống xe Mật ñộ xác suất việc lên xe ñiểm x (0 ≤ x < L) tỉ lệ với giá trị x.( L − x ) cịn mật độ xác suất việc lên xe ñiểm y, với ñiều kiện khách ñã lên xe ñiểm x ( x < y ≤ L ) tỉ lệ với h giá trị ( y − x ) , (h ≥ 0) Xem ñiểm z đoạn đường Tính xác suất để: (a) người khách lên xe trước ñiểm z (b) người khách lên xe ñiểm x xuống xe sau ñiểm z XS TK 2008