Bài giảng Xác suất thống kê Chương 2 Biến ngẫu nhiên full

Bài giảng XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ Chương 2 BIẾN NGẪU NHIÊN Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Khoa Công nghệ Thông tin Trường Đại học Nguyễn Tất Thành Ngày 1.21 Khái niệm biến ngẫu nhiên22 Biểu diễn biến ngẫu nhiên23 Hàm phân phối biến ngẫu nhiên24 Hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập25 Hàm của biến ngẫu nhiên26 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Bài giảng XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ Chương BIẾN NGẪU NHIÊN Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Khoa Công nghệ Thông tin Trường Đại học Nguyễn Tất Thành Ngày 12 tháng 10 năm 2022 Nguyen Cong Nhut Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 / 55 XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ⋆ Hướng dẫn cách học - chi tiết cách đánh giá môn học Tài liệu, video giảng đưa lên elearning hàng tuần Sinh viên tải về, in mang theo học Điểm tổng kết môn học đánh giá xuyên suốt trình học ⋆ Điểm trình: 20% ⋆ Kiểm tra kỳ: 20% ⋆ Thi cuối kỳ: 60% ⋆ Cán giảng dạy ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt ĐT: 0933373432 Email: ncnhut@ntt.edu.vn Zalo: 0378910071 Facebook: https://www.facebook.com/congnhut.nguyen/ Website: https://khobaigiang.com/ Nguyen Cong Nhut Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 / 55 Content KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG LÝ THUYẾT MẪU ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 / 55 Content KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG LÝ THUYẾT MẪU ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 / 55 BIẾN NGẪU NHIÊN NỘI DUNG 2-1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 2-2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên 2-3 Hàm phân phối biến ngẫu nhiên 2-4 Hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập 2-5 Hàm biến ngẫu nhiên 2-6 Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Nguyen Cong Nhut Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 / 55 2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên Định nghĩa Một biến ngẫu nhiên (random variable) với giá trị thực hàm số đo không gian xác suất: X : (Ω, P ) → R Hình: Biến ngẫu nhiên X Nguyen Cong Nhut Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 / 55 2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên Ví dụ Thực phép thử tung đồng xu lần, gọi X biến ngẫu nhiên số mặt sấp có lần tung Ta có không gian mẫu phép thử Ω = {NNN, NNS, NSN, NSS, SNN, SNS, SSN, SSS } Và biến ngẫu nhiên X : Ω → R có giá trị sau: X(NNN)=0, X(NNS)=1, X(NSN)=1, X(NSS)=2, X(SNN)=1, X(SNS)=2, X(SSN)=2, X(SSS)=3 Như mặt xác suất biến ngẫu nhiên ta có: P (X = 0) = 18 ; P (X = 1) = 38 ; P (X = 2) = 38 ; P (X = 3) = 81 Lưu ý Ký hiệu P (X = 2) = 38 hiểu xác suất tung đồng xu lần lần sấp 3/8 Nguyen Cong Nhut Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 / 55 2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên ⋆ Người ta thường dùng chữ in X ; Y ; Z để ký hiệu biến ngẫu nhiên chữ thường x; y ; z để giá trị biến ngẫu nhiên ⋆ Ta ký hiệu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x X = x xác suất để X nhận giá trị x P (X = x ) ⋆ Có hai loại biến ngẫu nhiên: Biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên liên tục ⋆ Biến ngẫu nhiên rời rạc: tập giá trị biến ngẫu nhiên nhận hữu hạn vô hạn đếm giá trị Ta liệt kê giá trị biến ngẫu nhiên rời rạc x1 , x2 , , xn ⋆ Biến ngẫu nhiên liên tục: biến ngẫu nhiên mà giá trị lấp đầy khoảng trục số thực, tồn trục số thực Nguyen Cong Nhut Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 / 55 2.2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên 2.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân phối xác suất X P ( X = xi ) x1 p1 ··· ··· x2 p2 xk pk ··· ··· Tính chất pi ≥ 0, ∀i , +∞ +∞ i =1 i =1 ∑ P (X = xi ) = ∑ pi = P (a ≤ X ≤ b ) = ∑ a ≤ xi ≤ b Nguyen Cong Nhut P ( X = xi ) = ∑ pi a ≤ xi ≤ b Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 / 55 2.2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên 2.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ Biến ngẫu nhiên rời rạc X có luật phân phối xác suất sau: X P 3/10 4/10 m 2/10 Tìm a) m = − (3/10 + 4/10 + 2/10) = 1/10 b) P (1 ≤ X ≤ 3) = P (X = 1) = 4/10 c) P (1 < X < 6) = P (X = 4) = 1/10 d) P (X ≤ 3) = P (X = 0) + P (X = 1) = 3/10 + 4/10 = 7/10 Nguyen Cong Nhut Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 10 / 55 1.6.4 Giá trị tin (Mode) Biến ngẫu nhiên rời rạc Định nghĩa Mode biến ngẫu nhiên X, ký hiệu Mod (X ), gọi giá trị tin hay giá trị có khả X , xác định sau: a) Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc Mod (X ) giá trị có xác suất lớn Ví dụ 15 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất: X P -2 0.2 0.3 0.3 0.2 Mod (X ) = Mod (X ) = Nguyen Cong Nhut Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 41 / 55 2.6.4 Giá trị tin (Mode) Biến ngẫu nhiên liên tục b) Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục Mod (X ) giá trị làm cho hàm mật độ đạt cực đại Ví dụ 16 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x ) = − 32 x + 38 x , x ∈ [0; 4] , x ∈ / [0; 4] Ta tìm giá trị lớn f (x ) x ∈ [0, 4] x + 83 , x ∈ [0; 4] Xét f ′ (x ) = ta x = Ta có f ′ (x ) = − 16 Giá trị f (0) = 0; f (4) = 0; f (2) = 38 Vậy Maxx ∈[0,4] f (x ) = f (2) Vậy Mod (X ) = Nguyen Cong Nhut Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 42 / 55 2.6 Các đặc trưng biến ngẫu nhiên 2.6.5 Trung vị (Median) Định nghĩa Trung vị biến ngẫu nhiên X , kí hiệu Med (X ), giá trị biến ngẫu nhiên X chia phân phối thành hai phần có xác suất Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc: Med (X ) = xi ⇔ F (xi ) ≤ 2 ≤ F ( x i + ) , xi , x i + ∈ X ( Ω ) Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục: Med (X ) = m ⇔ P (X ≤ m ) = P (X ≥ m ) = 0.5 m ⇔ F (m ) = f (x )dx = 0.5 −∞ Nguyen Cong Nhut Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 43 / 55 2.6 Các đặc trưng biến ngẫu nhiên 2.6.5 Trung vị (Median) Ví dụ 17 Cho X có bảng phân phối: X P -1 0,25 0,15 0,3 0,3 Mod (X ) = Mod (X ) = Med (X ) =? F (−1) = P (X < −1) = F (0) = P (X < 0) = P (X = −1) = 0, 25 F (1) = P (X < 1) = P (X = −1) + P (X = 0) = 0, 25 + 0, 15 = 0, F (2) = P (X < 2) = P (X = −1) + P (X = 0) + P (X = 1) = 0, 25 + 0, 15 + 0, = 0, ⇒ Med (X ) = Nguyen Cong Nhut Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 44 / 55 2.6 Các đặc trưng biến ngẫu nhiên 2.6.5 Trung vị (Median) Ví dụ 18 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f (x ) = 4x , x ∈ (0; 1) 0, x ∈ / (0; 1) Theo định nghĩa ta có Med (X ) = m P (X ≤ m ) = P (X ≥ m ) = m ⇔ −∞ m f (x )dx = 0, ⇔ Vậy trung vị Med (X ) = Nguyen Cong Nhut 4x dx = 0, ⇔ x √ m = 0, ⇔ m = với m ∈ (0, 1) 1 ⇔m= √ 2 Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 45 / 55 2.6 Các đặc trưng biến ngẫu nhiên 2.6.6 Các đặc trưng khác Mômen cấp k a X (µk (a )): µk (a ) = E (X − a )k Hệ số biến thiên (CV(X )): Dùng để so sánh mức độ phân tán BNN có kỳ vọng phương sai khác σ (X ) CV (X ) = 100% E (X ) Hệ số bất đối xứng (α3 ): Dùng để nhận dạng đồ thị hàm phân phối BNN α3 = µ3 σ3 Hệ số nhọn (α4 ): Dùng để xét độ tập trung phân phối BNN Nguyen Cong Nhut Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 46 / 55 Xem giảng kênh Youtube https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc KIỂM TRA CHƯƠNG 30’ Câu Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ ax + 21 , x ∈ [0, 1] f (x ) = 0, x ∈ / [0, 1] Tìm số a A B 1/3 C D 1/2 Câu Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ x , x ∈ [70, 80] f (x ) = 750 0, x ∈ / [70, 80] Tính P (X > 75) A 43/60 Nguyen Cong Nhut B C 31/60 Xác suất thống kê D 23/60 Ngày 12 tháng 10 năm 2022 48 / 55 Câu Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x ) = 0, x 150 , x ∈ / [10, 20] x ∈ [10, 20] Kỳ vọng X A 140/9 B 75/3 C 125/6 D 0.7 Câu Cho X , Y biến ngẫu nhiên độc lập, biết E(X ) = 2, Var (X ) = 4, E(Y ) = 3, Var (Y ) = 10 Tìm E[(3X + 4Y )2 ] A 340 B 77 C 520 D 18 Câu Trong nhà nuôi gà, xác suất đẻ trứng gà 0,6; 0,5; 0,8 Gọi X số trứng thu ngày Tính Mod (X ) A B Nguyen Cong Nhut C Xác suất thống kê D Ngày 12 tháng 10 năm 2022 49 / 55 Content KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG LÝ THUYẾT MẪU ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 50 / 55 Content KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG LÝ THUYẾT MẪU ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 51 / 55 Content KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG LÝ THUYẾT MẪU ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 52 / 55 Content KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG LÝ THUYẾT MẪU ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 53 / 55 Content KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG LÝ THUYẾT MẪU ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 54 / 55 Content KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG LÝ THUYẾT MẪU ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất thống kê Ngày 12 tháng 10 năm 2022 55 / 55 ... xác suất: X P -2 0,05 -1 0,15 0 ,25 0,55 Phương sai X Var (X ) = E X − (EX )2 = [(? ?2) 2 0, 05 + (−1 )2 0, 15 + 02 0, 25 + 22 0, 55)] − [? ?2. 0, 05 − 1.0, 15 + 0.0, 25 + 2. 0, 55 ]2 = 1. 827 5 Nguyen Cong... 12 tháng 10 năm 20 22 33 / 55 2. 6 Các đặc trưng biến ngẫu nhiên 2. 6.1 Kỳ vọng Ví dụ 11 Cho biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất: X P -2 0,1 -1 0,3 0,4 0 ,2 E(X ) = (? ?2) 2 0, + (−1 )2 0, + 12. .. 12 tháng 10 năm 20 22 38 / 55 2. 6 Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Tính chất Tính chất Var (X ) ≥ 0; Var (X ) = ⇔ X = C ; (C số), Var (aX ) = a Var (X ) Nếu X Y độc lập Var (X + Y ) = Var (X ) + Var