CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1.1.1 Phép thử khơng gian mẫu Trong sống có thí nghiệm hay quan sát điều kiện xác định cho kết khác mà chắn kết xuất Chẳng hạn, gieo súc sắc điều kiện kết lần gieo khác không kết xuất Hay giá mã chứng khoán phiên giao dịch Số bão xuất sáu tháng đầu năm sau… Trong thí nghiệm hay quan sát đó, ta khơng biết xác kết xảy mơ tả tập hợp tất kết xảy chúng Ta gọi thí nghiệm hay quan sát phép thử ngẫu nhiên hay phép thử Định nghĩa 1.1 Phép thử thí nghiệm hay quan sát mà trước tiến hành ta khơng biết kết xảy ta mô tả tập hợp tất kết xảy Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử (gọi tắt không gian mẫu), ký hiệu Ω Mỗi phần tử không gian mẫu kết đơn giản xảy phép thử gọi biến cố sơ cấp ký hiệu ω Do đó, khơng gian mẫu Ω cịn gọi khơng gian biến cố sơ cấp Ví dụ 1.1 Gieo đồng xu phép thử, không gian mẫu bao gồm hai biến cố sơ cấp: S: “mặt sấp xuất hiện” N: “mặt ngửa xuất hiện”, Ω = {S , N } Ví dụ 1.2 Gieo súc sắc, phép thử Ký hiệu k kết “xuất mặt k chấm”, k = 1, 2, 3, 4,5, Khi khơng gian mẫu Ω = {1; 2;3; 4;5; 6} Mỗi kết k biến cố sơ cấp Ví dụ 1.3 Bắn viên đạn vào bia phép thử Các kết phép thử “Viên đạn trúng vòng k điểm bia”, k = 0,1, 2, ,10 Không gian mẫu Ω = {0;1; 2;3; 4;5;6; 7;8;9;10} Mỗi kết k biến cố sơ cấp Ví dụ 1.4 Bắn viên đạn vào mục tiêu xác định phép thử Phép thử có hai biến cố sơ cấp “Viên đạn trúng bia” “Viên đạn khơng trúng bia” Ví dụ 1.5 Quan sát nhiệt độ trời thời điểm phép thử Kết phép thử là: “Nhiệt độ đo t o C”, t số thực Khơng gian mẫu phép thử Ω = (a ,b ) a ,b số thực Ví dụ 1.6 Đo chiều cao cơng nghiệp chọn ngẫu nhiên nơng trường Đó phép thử Kết phép thử là: “Cây chọn có chiều cao t m”, t số thực nằm khoảng (a ,b ) 1.1.2 Biến cố: Khi tiến hành phép thử người ta thường không quan tâm đến biến cố sơ cấp cụ thể mà thường quan tâm đến kết liên quan đến số biến cố sơ cấp Chẳng hạn, gieo súc sắc người ta quan tâm đến kết có số chấm lớn 3, mặt 4, 6, xuất Và kết 4, xuất ta nói kết quan tâm xảy Những kết mà xảy số biến cố sơ cấp xảy gọi biến cố Định nghĩa 1.2 Một biến cố kết xảy không xảy phép thử tùy theo số biến cố sơ cấp có xảy hay không Ta ký hiệu biến cố chữ in hoa A, B ,C , Một biến cố tập không gian mẫu bao gồm số biến cố sơ cấp Nếu biến cố sơ cấp ω nằm biến cố A ta nói ω biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A Biến cố không biến cố không xảy phép thử, ký hiệu ∅ Nó tập rỗng Biến cố chắn biến cố xảy phép thử, ký hiệu Ω Nó không gian mẫu phép thử Đối với biến cố ta mơ tả lời mệnh đề biểu diễn tập khơng gian mẫu Ví dụ 1.7 Xét lại Ví dụ 1.2, biến cố mặt 2, xuất mô tả A: “Mặt chẵn xuất hiện” biểu diễn A = {2, 4, 6} Hình 1 Hình Ví dụ 1.8 Một hộp có 12 cầu có đỏ đánh số 1,2,3; cầu xanh đánh số 4, 5, 6, cầu màu vàng đánh số 8, 9, 10, 11, 12 Từ hộp lấy ngẫu nhiên cầu Khi khơng gian mẫu Ω = {1, 2, , 12} biến cố A, B, C tương ứng là: lấy cầu màu đỏ, xanh, vàng biểu diễn dạng tập hợp A = {1, 2,3} ; B = {4, 5, 6, 7} C = {8,9,10,11,12} Ví dụ 1.9 Gieo súc sắc hai lần Hãy mô tả không gian mẫu liệt kê phần tử biến cố sau: a) A : “Tổng số chấm hai lần gieo 8” b) B : “Hai lần gieo có số chấm nhau” Giải Gọi i kết lần gieo thứ nhất, j kết lần gieo thứ hai Khi Ω = {(i , j ) , i , j = 1, 2, , 6} a) A = {( 2, ) , ( 6, ) , ( 3,5 ) , ( 5,3 ) , ( 4, )} b) B = {(1,1) , ( 2, ) , ( 3,3) , ( 4, ) , ( 5,5 ) , ( 6, )} 1.1.3 Mối quan hệ biến cố - Quan hệ kéo theo (hay bao hàm): Một biến cố A gọi kéo theo biến cố B A xảy B xảy ra, ta viết A ⊂ B (hay A ⇒ B ) Như vậy, biến cố A kéo theo biến cố B biến cố sơ cấp thuận lợi cho A biến cố sơ cấp thuận lợi cho B Về mặt tập hợp A tập tập B Ví dụ 1.10 Gieo súc sắc biến cố A : “xuất mặt chẵn” biến cố B : “Xuất mặt 4” Khi đó, biến cố B xảy biến cố A xảy tức B ⊂ A - Quan hệ tương đương (hay nhau): Hai biến cố A B gọi tương đương hay A xảy B xảy ra, ta viết A = B (hay A ⇔ B ) Ví dụ 1.11 Khi gieo súc sắc, biến cố A: “ xuất mặt chẵn lớn 3” biến cố B: “xuất mặt mặt 6” hai biến cố tương đương 1.1.4 Các phép toán biến cố a)Biến cố đối lập: Định nghĩa 1.3 Cho biến cố A , biến cố đối lập A ký hiệu A biến cố xảy A không xảy Về mặt tập hợp A phần bù A không gian mẫu Ω , tức A = Ω \A Hình Ví dụ 1.12 Xét phép thử giao súc sắc đặt A : “Con súc sắc xuất số chẵn”, B : “Con súc sắc xuất mặt lớn 3” Khi biến cố đối A A : “Con súc sắc xuất mặt lẻ” biến cố đối B B : “Con súc sắc xuất mặt bé 3” b) Giao (tích) biến cố, biến cố xung khắc, hiệu hai biến cố Định nghĩa 1.4 Giao (tích) hai biến cố A B biến cố ký hiệu A ∩ B (hay AB ) biến cố xảy hai biến cố A B xảy Về mặt mơ tả ta nói biến cố AB biến cố “ A B xảy ra” Về mặt tập hợp AB tập giao A B Nó tập hợp tất biến cố sơ cấp thuận lợi cho A B Định nghĩa 1.5 Khi A B không xảy tức AB = ∅ ta nói A B hai biến cố xung khắc Phép giao biến cố mở rộng cho nhiều hai biến cố Cụ thể, giao (hay tích) n biến cố A1 , A2 , , An biến cố xảy n biến cố A1 , A2 , , An xảy Ký hiệu A1A2 An Nếu hệ A1 , A2 , , An có hai biến cố ln xung khắc ta nói hệ đôi xung khắc Hiển nhiên hệ A1 , A2 , , An đơi xung khắc AA An = ∅ AA An = ∅ chưa A1 , A2 , , An đơi xung khắc Hình 10 Ví dụ 1.13 Xét lại Ví dụ 1.11, với A : “Con súc sắc xuất số chẵn”, B : “Con súc sắc xuất mặt lớn 3” Khi AB = {4, 6} mơ tả “Con súc sắc xuất mặt chẵn lớn 3” c) Hiệu hai biến cố Định nghĩa 1.6 Giao biến cố A với biến cố đối biến cố B gọi hiệu A B , ký hiệu A \ B hay AB Biến cố A \ B có nghĩa “ A xảy B không xảy ra” hay “ A B xảy ra” B AB A\B Hình d) Hợp (tổng) biến cố, hệ đầy đủ biến cố Định nghĩa 1.7 Hợp (tổng) hai biến cố A B biến cố ký hiệu A ∪ B (hay A + B ) xảy hai biến cố A B xảy Về mặt mô tả ta nói A ∪ B biến cố “có từ biến cố hai biến cố A B xảy ra” hay “có hai biến cố A B xảy ra” hay “ A B xảy ra” Về mặt tập hợp, A ∪ B hợp hai tập hợp A B Nó chứa biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A B Hình Phép hợp biến cố mở rộng cho nhiều biến cố Cụ thể, cho n biến n cố A1 , A2 , , An , biến cố hợp A1 , A2 , , An biến cố, ký hiệu ∪A i i =1 ∑ 11 n i =1 Ai ), xảy có n biến cố A1 , A2 , , An xảy (hay Định nghĩa 1.8 Hệ A1 , A2 , , An gọi hệ đầy đủ biến cố hệ xung n khắc đôi ∪A = Ω i i =1 Nói cách khác hệ đầy đủ biến cố hệ biến cố khơng có hai biến cố xảy chắn phải có biến cố xảy Một hệ đầy đủ biến cố gọi phân hoạch khơng gian mẫu { } hệ {AB , AB , AB , AB } hệ đầy đủ biến Dễ thấy với A biến cố hệ A, A hệ đầy đủ biến cố Nếu có hai biến cố A B cố Ví dụ 1.14 Trong kho hàng có ba loại sản phẩm A, B, C để lẫn lộn Từ kho hàng lấy ngẫu nhiên sản phẩm Đặt A, B ,C tương ứng biến cố “Sản phẩm lấy loại A, B, C” Khi biến cố A, B ,C chắn phải xảy Đồng thời, hai ba biến cố khơng xảy Bởi vì, khơng thể có sản phẩm vừa loại A vừa loại B Như vậy, {A, B ,C } hệ đầy đủ biến cố 1.2 XÁC SUẤT Đối với biến cố khơng thể biết có xảy hay khơng đánh giá khả xảy số xác định gọi xác suất Như vậy, xác suất biến cố số đo khả xuất biến cố Xác suất biến cố A ký hiệu P ( A) Người ta có cách định nghĩa xác suất biến cố sau: 1.2.1 Định nghĩa xác suất (cổ điển) Định nghĩa 1.9 Giả sử không gian mẫu Ω phép thử hữu hạn biến cố sơ cấp có khả xuất Khi xác suất biến cố A tỉ số số phần tử A số phần tử không gian mẫu Ω Tức là: P ( A) = n (A) n (Ω) (1.1) với n ( A ) số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A n ( Ω ) số phần tử khơng gian mẫu Ω Ví dụ 1.15 Gieo súc sắc cân đối đồng chất, tính xác suất biến cố sau: A : “Con súc sắc xuất mặt chẵn” B : “Con súc sắc xuất mặt lớn 3” Giải 12 Ta có khơng gian mẫu phép thử Ω = {1, 2,3, 4,5, 6} , n ( Ω ) = Vì súc sắc cân đối đồng chất nên kết xuất đồng khả Ta có A = {2, 3, 4} , n ( A ) = B = {4,5, 6} , n ( B ) = Do P ( A ) = = P (B ) = Ví dụ 1.16 Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần Ký hiệu (i , j ) là: “Lần xuất mặt i chấm lần sau xuất mặt j chấm” với Ai Tính xác suất biến cố: a) A : “Tổng hai lần gieo 8”, b) B : “Hai lần gieo có số chấm nhau”, c) C : “Tích hai lần gieo số lẻ” Giải Ta có khơng gian mẫu Ω = {(i , j ) , i , j = 1, 2,3, 4,5, 6} n ( Ω ) = 36 kết đồng khả a) A = {( 2, ) , ( 6, ) , ( 3,5 ) , ( 5, 3) , ( 4, )} , n ( A ) = Do P ( A) = 36 b) B = {(1,1) , ( 2, ) , ( 3,3) , ( 4, ) , ( 5,5 ) , ( 6, )} , n ( B ) = Do đó, P (B ) = = 36 c) C = {(i , j ) , i , j = 1,3,5} , n (C ) = Do P (C ) = = 36 Ví dụ 1.17 Một lớp học có 10 bạn nam 20 bạn nữ Chọn ngẫu nhiên bạn làm Ban cán lớp Tính xác suất: a) Ban cán có bạn nam bạn nữ b) Ban cán có nam hai nữ c) Ban cán có bạn nam Giải Chọn ngẫu nhiên bạn từ 30 bạn, không gian mẫu có n ( Ω ) = C 304 Gọi Ak : “Ban cán có k bạn nam”, k = 0,1, 2,3, Ta có số biến cố sơ cấp thuận lợi cho Ak là: n ( Ak ) = C 10k C 204−k , k = 0,1, 2,3, 13 a) Xác suất cần tính P ( A1 ) = C 101 C 20 760 = = 0, 4160 C 30 1827 C102 C 202 190 = = 0, 3120 b) P ( A2 ) = C 304 609 c) Gọi C: “Ban cán có bạn nam” Ta có n (C ) = n ( Ω ) − n ( A0 ) = C 304 − C104 Suy P (C ) = − C 104 259 = − P ( A0 ) = = 0, 9923 C 30 261 1.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê Định nghĩa 1.10 Trong phép thử T biến cố A xuất với xác suất P ( A) Tiến hành phép thử T lặp lặp lại n lần gọi nA số phép thử có biến cố A xuất Đặt fA = nA gọi tần suất xuất biến cố A n lần thử Khi đó: n P ( A ) = lim fA (1.2) n →∞ Nói cách khác, số phép thử tăng lên tần suất xuất biến cố A fA có giá trị xấp xỉ xác suất biến cố Trong thực tế n lớn ta dùng fA để P ( A) Ví dụ 1.18 Để kết luận xác suất bắn trúng bia xạ thủ 80% người ta ghi nhận nhiều lần bắn xạ thủ tính tần suất bắn trúng bia xạ thủ Tần suất có giá trị xấp xỉ 0,8 Các nhà toán học Buffon K Pearson tiến hành thí nghiệm gieo đồng tiền thấy kết hội tụ tần suất xác suất biến cố “mặt sấp xuất hiện” Về mặt lý thuyết (giống định nghĩa cổ điển xác suất) xác suất xuất mặt sấp gieo đồng tiền 0,5 Thí nghiệm cho ta thấy rõ số lần gieo tăng lên tần suất xuất mặt sấp xấp xỉ tốt cho xác suất biến cố Người thí nghiệm Số lần gieo Số lần sấp Tần suất Buffon 4040 2048 0,5080 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005 Trong thực tế, người ta dùng tần suất xuất biến cố A số phép thử lớn để xác suất biến cố 14 1.2.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Có phép thử khơng gian mẫu miền hình học có vô hạn không đếm biến cố sơ cấp Chẳng hạn, quan sát tuổi thọ bóng đèn, đo khoảng cách từ điểm chạm viên đạn đến tâm bia, vị trí rơi viên đạn một khu vực, vị trí phân tử chất lỏng;… Những trường hợp dùng định cổ điển để tính xác suất mà dựa vào định nghĩa hình học xác suất Định nghĩa 1.11 Giả sử không gian mẫu phép thử miền hình học Ω đo được, biến cố A miền Ω Khi xác suất biến cố A là: P ( A) = S ( A) , S ( A ) số đo miền A S ( Ω ) số đo Ω với S (Ω) đơn vị đo Số đo miền A độ dài, diện tích, hay thể tích tùy theo miền hình học Ω đoạn thẳng, hình phẳng hay khối khơng gian Ví dụ 1.19 Hai người hẹn gặp vào khoảng từ 11 đến 12 Họ quy ước người đến trước phải chờ 20 phút, không gặp Giả sử việc đến điểm hẹn người ngẫu nhiên Tìm xác suất để hai người gặp Giải Gọi x , y thời điểm đến điểm hẹn người Ta biểu x , y lên mặt phẳng tọa độ Oxy Tập kết cục xảy nằm hình vng cạnh 60 (ta lấy phúc đơn vị) ≤ x ≤ 60 ≤ y ≤ 60 Tập điểm thuận lợi để hai người gặp là kiện “Hai người gặp nhau” Theo công thức xác suất theo hình học ta có P ( A) = 15 S A 602 − 402 = = SB 602 {(x , y ) : x − y ≤ 20} Gọi A Hình 1.2.4 Định nghĩa xác suất theo tiên đề Năm 1929, nhà toán học người Nga, A N Kolmogorov xây dựng lý thuyết chắn cho lý thuyết xác suất đại cách đề xuất hệ tiên đề cho lý thuyết xác suất dựa sở lý thuyết tập hợp độ đo Định nghĩa 1.12 Cho Ω không gian biến cố sơ cấp, T hệ tập Ω thỏa tính chất: (i) Ω ∈ T (ii) Nếu A ∈ T A ∈ T (iii) Nếu Ai ∈ T , i = 1, 2, ∩A ∈T i i gọi σ − đại số hay ( σ − trường) Mỗi tập Họ T A ∈ T gọi biến cố A biến cố đối lập A Rõ ràng hệ thống T ln khác rỗng ln có Ω ∈ T Ngồi ra, từ (ii) ta có ∅ ∈ T Ω gọi biến cố chắn ∅ biến cố không Định nghĩa 1.13 Cho Ω σ − đại số T xác định T cho: Ω Xác suất P hàm (i) P ( A) ≥ với A ∈ T (ii) P ( Ω ) = (iii) Nếu A1 , A2 , , An P xung khắc đôi Ai ∈ T , i = 1, 2, thì: ∞ ( ∪ A ) = ∑ P (A ) ∞ i =1 i i i =1 Bộ ba ( Ω, T , P ) gọi không gian xác suất Định nghĩa xác suất theo tiên đề bao hàm định nghĩa khác xác suất Nó hồn thiện định nghĩa xác suất làm cho lý thuyết xác suất có tính chặt chẽ Do vậy, có nhiều cách định nghĩa khác xác suất chất có tính chất sau 16 b) Giả sử hạt giống lấy nẩy mầm Tính xác suất để hạt giống thuộc loại c) Giả sử hạt giống lấy không nẩy mầm Nhiều khả hạt giống thuộc loại nào? Tại sao? Giải a) Gọi A: “hạt giống lấy hạt nẩy mầm được” Bi : “hạt giống lấy thuộc loại i " ( i = 1, 2, ) Ta có: 2 1 P ( B1 ) = ; P ( B2 ) = P ( B3 ) = −  +  =   12 Các xác suất điều kiện: P ( A / B1 ) = 0,8; P ( A / B2 ) = 0, P ( A / B3 ) = 0,5 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có: 1 P ( A) = ∑ P ( Bi ) P ( A / Bi ) = 0,8 + 0,7 + 0,5 = 0,75 12 i =1 Xác suất P(A) tỉ lệ nẩy mầm chung lô hạt giống b) Giả sử hạt giống lấy nẩy mầm Xác suất phải tính P ( B2 / A ) P (B2 ) P (A / B2 ) × 0, 7 Theo Định lý Bayes, P (B2 / A) = = = P (A) 0, 75 30 c) Giả sử hạt giống lấy không nẩy mầm Ta có ( ) P A = − P ( A) = 0, 25 Khả hạt không nảy mầm thuộc loại là: ( ) P B1 / A = ( P ( B1 ) P A / B1 ( ) P A ) = × 0, = 0, 25 15 = 16 30 Khả hạt khơng nảy mầm thuộc loại là: ( ) P B2 / A = ( P ( B2 ) P A / B2 ( ) P A ) = × 0, = 0, 25 = 10 30 Khả hạt khơng nảy mầm thuộc loại là: 32 ( ) P B3 / A = ( P ( B3 ) P A / B3 ( ) ) = 12 × 0,5 = = 0, 25 P A 30 Vậy, nhiều khả hạt giống thuộc loại ( P (B1 / A) lớn nhất) Ví dụ 1.41 Có hai hộp đựng bi Hộp thứ có bi trắng bi đỏ; hộp thứ hai có bi trắng bi đỏ a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi Tính xác suất để lấy bi đỏ; lấy bi màu b) Lấy ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy bi bi trắng Tính xác suất để bi thuốc hộp thứ Giải a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp hai viên bi: Với i ∈ {0,1, 2} j ∈ {0,1, 2}, đăt tên biến cố: Ai : “lấy i bi đỏ từ hộp 1”, B j : “lấy j bi đỏ từ hộp 2”; K : “lấy bi đỏ bi trắng” M : “lấy bi màu” Các cặp biến cố (A , B ) độc lập Ta có K = A B i j P (K ) = + AB nên P ( K ) = P ( A2 ) P ( B1 ) + P ( A1 ) P ( B ) C 82 C 31C 51 C 81C 21 C 52 29 + = C 102 C 82 C10 C 63 Ta có M = A2B2 + A0B0 nên P (M ) = P (A2 ).P (B2 ) + P (A0 )P (B0 ) = C 82 C 52 C 22 C 32 + = 0, 2246 C102 C 82 C 102 C 82 b) Lấy ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy bi: Đặt Bi : “lấy hộp thứ i ”, ( i = 1, ) T : “lấy bi trắng” Chúng C 22C 82 C 32C 52 ta có: P ( B1 ) = P ( B2 ) = ; P (T / B1 ) = = ; P (T / B2 ) = = C104 15 C 84 Theo cơng thức xác suất đầy đủ ta có: 59 P (T ) = P ( B1 ) P (T / B1 ) + P ( B2 ) P (T / B2 ) = + = 15 210 P ( B1 ) P (T / B1 ) 15 14 Xác suất cần tính: P ( B1 /T ) = = = ≈ 0, 2373 59 P (T ) 59 210 33 Ví dụ 1.42 Có hai hộp đựng bi Hộp có bi xanh bi đỏ Hộp có bi xanh bi đỏ Từ hộp lấy viên bi bỏ sang hộp Sau từ hộp lấy viên bi a) Tính xác suất viên bi lấy sau màu đỏ b) Giả sử viên bi lấy sau màu đỏ Tính xác suất hai bi bỏ từ hộp sang màu đỏ c) Giả sử viên bi lấy sau màu xanh Tính xác suất viên bi hộp bỏ sang Giải a) Đặt Bi : “Có i viên bi đỏ viên bi bỏ từ hộp sang hộp 2”, i = 0,1, ; A : “Viên bi lấy sau màu đỏ” Ta có P ( Bi ) = C 7iC 52−i 5+i P ( A / Bi ) = 10 C 12 Theo cơng thức xác suất đầy đủ ta có: C 7iC 52−i + i 37 = ≈ 0, 6167 C 122 10 60 i =0 2 P ( A) = ∑ P ( Bi ) P ( A / Bi ) = ∑ i =0 b) Xác suất cần tính P ( B1 / A) : Theo công thức Bayes: P ( B1 / A) = P ( B1 ) P ( A / B1 ) C 71C 51 37 210 = : = P (A) C12 10 60 407 c) Xác suất viên bi sau màu xanh: ( ) P A = − P ( A) = 23 60 Đặt H i : “Viên bi lấy sau hộp i ban đầu”, i = 1, Ta có P ( H ) = P A / H = ; P (H ) = 10 10 ( ) Theo cơng thức Bayes ta có: ( ) P H2 /A = ( P (H ) P A / H ( ) P A ( ) = : 23 = 18 10 60 ) ( 23 ) Vì H , H đối lập nên: P H / A = − P H / A = − 34 18 = 23 23 1.4 QUÁ TRÌNH BERNOULLI 1.4.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.18 Một dãy gồm n phép thử độc lập mà phép thử có hai biến cố A : “Thành công” A : “Thất bại” xác suất “Thành công” P ( A) = p khơng đổi gọi q trình Bernoulli, ký hiệu B (n , p ) Ví dụ 1.43 Gieo đồng xu cân đối đồng chất 10 lần Ta trình Bernoulli B (10; 0,5 ) Ở n = 10 số lần gieo, p = 0, = P ( S ) xác suất xuất mặt sấp Ví dụ 1.44 Gieo súc sắc cân đối đồng chất 120 lần, gọi A : “Xuất mặt chấm”, ta có p = P ( A) = 1  Khi ta có q trình Bernoulli B  120;  6  Ví dụ 1.45 Một kho hàng có nhiều sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 5%, từ kho hàng lấy ngẫu nhiên 100 sản phẩm Đặt A : “Sản phẩm lấy phế phẩm”, ta có p = P ( A) = 0, 05 Khi ta có q trình Bernoulli B (100; 0, 05 ) 1.4.2 Xác suất k lần thành cơng Trong q trình Bernoulli B (n ; p ) , đặt Ai : “Phép thử thứ i thành công”, i = 1, 2, , n , đặt Bk : “Có k lần thành cơng tồn trình”, k = 0,1, 2, , n Ký hiệu, Pn ( k ) = P ( Bk ) Ta có: Bk = AA Ak Ak +1Ak + An + AA Ak Ak +1Ak + An + + AA Ak Ak +1Ak + An Mỗi số hạng tích n biến cố độc lập có k biến cố “Thành công” Ai n − k biến cố thất bại Aj Số số hạng dãy số C nk tổ hợp chập k n phần tử Đó cách xếp k biến cố “Thành công” vào ( ) n vị trí q trình Ta có P ( Ai ) = p P Aj = − p = q Do đó, n −k P ( Bk ) = C nk p k (1 − p ) , k = 0,1, 2, n Như vậy, trình Bernoulli B (n ; p ) xác suất có k lần thành công là: n −k Pn (k ) = C nk p k (1 − p ) , k = 0,1, 2, n (1.2) Ví dụ 1.46 Đem ấp trứng gà, biết xác suất để trứng ấp nở gà 0,8 Tính xác suất để trứng đem ấp có trứng nở gà Giải Ta có q trình Bernoulli B (n ; p ) , n = 5; p = 0,8 Xác suất có trứng nở gà là: 35 P5 ( 3) = C 53 0,83.0, 22 = 0, 2048 Ví dụ 1.47 Tỉ lệ hoa vàng đồng hợp tử gen AA, hoa vàng dị hợp tử gen Aa hoa trắng gen aa 1:2:1 Chọn ngẫu nhiên 10 hạt đậu đem gieo: a) Tính xác suất có đậu hoa trắng b) Tính xác suất có đậu hoa vàng Giải a) Tỉ lệ đậu hoa trắng p1 = = 0, 25 Gieo 10 hạt, ta có trình Bernoulli B ( n ; p1 ) Xác suất có đậu hoa trắng là: P10 ( ) = C104 0, 254.0, 756 = 0,1460 b) Tỉ lệ đậu hoa vàng: p2 = = 0, 75 Ta có q trình Bernoulli B (n ; p2 ) Xác suất có đậu hoa vàng: P10 ( ) = C 105 0, 755.0, 255 = 0, 0584 Ví dụ 1.48 Một lơ hàng gồm nhiều bóng đèn, có 6% bóng đèn xấu Một người đến mua hàng với qui định: Chọn ngẫu nhiên 10 bóng đèn đem kiểm tra có nhiều bóng đèn xấu khơng nhận lơ hàng Tính xác suất để lô hàng chấp nhận Giải Kiểm ta 10 bóng đèn ta có q trình Bernoulli B (n ; p ) với n = 10; p = 0, 06 Đặt A : “Lô hàng chấp nhận”, A xảy số bóng xấu khơng q Do xác suất lơ hàng chấp nhận là: 10 P ( A) = P10 ( ) + P10 (1) = (1 − p ) + C 101 p (1 − p ) = 0,8824 Ví dụ 1.49 Một lơ hàng có tỉ lệ phế phẩm 5% Người mua hàng đề nghị lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra, có m phế phẩm khơng nhận lơ hàng Bạn đề nghị m để vừa thuyết phục người nhận, vừa hy vọng khả lô hàng không bị từ chối 95%? Giải Tỉ lệ phế phẩm p = 0, 05 Việc lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra nghĩa thực 10 phép thử Bernoulli với xác suất thành công (gặp phế phẩm) p = 0, 05 Ta được, P10 (k ) = C10k 0, 05k 0,9510 −k 36 Xác suất lô hàng nhận là: P10 ( ) + P10 (1) + + P10 (m ) Theo đề ta tìm m bé cho P10 ( ) + P10 (1) + + P10 (m ) ≥ 0,95 Mặt khác: 0, 9139 = P10 ( ) + P10 (1) < 0,95 < P10 ( ) + P10 (1) + P10 ( ) = 0, 9885 nên theo yêu cầu toán m = 1.4.3 Số lần thành công nhiều khả Đặt vấn đề: Trong trình Bernoulli B (n ; p ) nhiều khả có bao n −k nhiêu lần thành công Hay biểu thức Pn ( k ) = C nk p k (1 − p ) có giá trị lớn k nhận giá trị bao nhiêu? Để giải vần đề ta xét tỉ số: n −k Pn ( k ) C k p k (1 − p ) = k +1n k +1 = Pn (k + 1) C n p (1 − p )n −k −1 n! k !(n − k ) ! 1− p k +1 1− p = n! p n −k p (k + 1)!(n − k − 1)! Ta có Pn ( k ) tăng Pn (k ) ≤ Pn (k + 1) ⇔ Pn (k ) ≤1 Pn (k + 1) ⇔ k +1 1− p ≤1 n −k p ⇔ (k + 1)(1 − p ) ≤ np − kp ⇔ k − pk + − p − np + pk ≤ ⇔ k ≤ (n + 1) p − Từ suy dãy Pn (k ) tăng k ≤ (n + 1) p − giảm k ≥ (n + 1) p Do đó, Nếu (n + 1) p số nguyên với k = (n + 1) p , Pn (k ) lớn Nếu (n + 1) p khơng ngun với k = (n + 1) p  , Pn (k0 ) lớn 37 Vậy, trình Bernoulli B (n ; p ) , số lần thành công nhiều khả là: k = (n + 1) p  (1.3) Ví dụ 1.50 Tỉ lệ sản xuất phế phẩm máy 8% Khảo sát lơ hàng gồm 75 sản phẩm máy sản xuất a) Tính xác suất để lơ hàng, có 10 phế phẩm b) Trong lơ hàng, nhiều khả có phế phẩm? Tính xác suất tương ứng Giải Nếu xem việc máy sản xuất sản phẩm phép thử Bernoulli, với xác suất cho “thành công” p = 0, 08 , máy sản xuất 75 sản phẩm, thực q trình B(75; 0,08) a) Xác suất phải tính: 10 P75 (10 ) = C 75 0, 0810.0,9265 = 0, 0394 b) Số phế phẩm nhiều khả lô hàng là: [(75 + 1) 0,08] = 6, với xác suất tương ứng: P75 ( ) = C 756 0, 086.0,9269 = 0,1674 1.4.4 Xác suất có lần thành cơng Xét trình Bernoulli B (n ; p ) , xác suất khơng có lần thành cơng nào: n Pn ( ) = (1 − p ) Do đó, xác suất có lần thành cơng: n − Pn ( ) = − (1 − p ) (1.4) Ví dụ 1.51 Người ta muốn lấy ngẫu nhiên số hạt giống từ lô hạt giống có tỉ lệ hạt lép 3% để nghiên cứu Hỏi phải lấy hạt cho xác suất để có hạt lép không bé 95%? Giải Gọi n số hạt phải lấy, có B( n ; 0,03) Xác suất để có hạt lép − (1 − 0,03)n = − (0,97)n Theo đề bài, ta có: 38 − 0,97n ≥ 0,95 ⇔ 0,97n ≤ 0, 05 ⇔ n ≥ log 0,97 0, 05 = 98, 3523 Vậy, phải lấy 99 hạt giống Ví dụ 1.52 Người ta kiểm tra chất lượng lô hàng cách lấy từ sản phẩm kiểm tra Biết lơ hàng có tỉ lệ phế phẩm 5% a) Hỏi phải kiểm tra sản phẩm để xác suất có phế phẩm không bé 90% ? b) Giả sử việc kiểm tra dừng lại phát phế phẩm Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại lần thứ 10 Giải a) Xem lần kiểm tra phép thử, xác suất gặp phế phẩm phép thử p = 0, 05 Ta có q trình Bernoulli B (n ; p ) với n chưa biết, p = 0, 05 n Xác suất có phế phẩm là: − (1 − p ) = − 0,95n Theo đề ta có: − 0, 95n ≥ 0, ⇔ 0,95n ≤ 0,1 ⇔ n ≥ log 0,95 0,1 = 44,89 Suy n = 45 Vậy phải kiểm tra 45 sản phẩm b) Giả sử việc kiểm tra dừng lại phát phế phẩm Xét biến cố A : “Việc kiểm tra dừng lần thứ 10”; B : “Trong lần kiểm tra đầu có phế phẩm”, A10 : “lần kiểm tra thứ 10 gặp phế phẩm” Ta có A = BA10 , B , A10 độc lập Ngồi ra, B biến cố có hai lần thành cơng q trình Bernoulli B ( 9;0, 05 ) , P ( B ) = P9 ( ) = C 92 0, 052.0, 957 = 0, 0629 Còn P ( A10 ) = 0, 05 Do đó, xác suất để việc kiểm tra dừng lại lần thứ 10 là: P ( A) = P ( B ) P ( A10 ) = 0, 0629.0, 05 = 0, 0031 39 BÀI TẬP CHƯƠNG 1.1 Một xâu có chìa khóa có hai chìa mở khóa Người ta thử chìa (thử xong khơng mở để riêng ra) Tính xác suất để người mở khóa sau ba lần thử 1.2 Có khách hàng vào ngân hàng có sáu quầy phục vụ Tính xác suất để: a) Cả ba người đến quầy b) Mỗi người đến quầy khác c) Hai ba người đến quầy d) Chỉ khách đến quầy số 1.3 Một hộp thuốc có ống thuốc tốt ống chất lượng Chọn ngẫu nhiên không trả lại ống Tính xác suất để: a) Cả hai ống chọn tốt b) Chỉ ống chọn tốt c) Trong hai ống có ống thuốc tốt 1.4 Một hộp đựng 15 bóng bàn có Lần đầu người ta lấy ngẫu nhiên để thi đấu, sau lại trả vào hộp Lần thứ hai lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để lấy lần sau 1.5 Từ lớp có nữ sinh viên 12 nam sinh viên, người ta chọn ngẫu nhiên sinh viên để lập Ban cán lớp (BCB) Tính xác suất để a) BCB gồm nữ nam, b) BCB có nữ, c) BCB có hai nam hai nữ 1.6 Từ hộp chứa viên bi đỏ viên bi trắng người ta lấy ngẫu nhiên lần, lần viên bi, khơng hồn lại Tính xác suất để lấy a) viên bi đỏ; b) hai viên bi khác màu; c) viên bi thứ hai bi trắng 1.7 Một công ty cần tuyển nhân viên Có 10 người, gồm nam nữ nạp đơn xin dự tuyển, người có hội tuyển Tính xác suất để người tuyển, a) có nữ; 40 b) có ba nữ, biết có nữ tuyển 1.8 Tại cửa hàng sách xác suất để người khách mua sách 0,3; xác suất để người khách cần hỏi nhân viên bán hàng 0,5 xác suất để khách thực hai điều 0,2 Gặp ngẫu nhiên khách nhà sách Tính xác suất để người a) không thực hai điều trên; b) không mua sách, biết người hỏi nhân viên bán hàng 1.9 Một điều tra cho thấy, thành phố, có 30% dân số dùng loại sản phẩm X , 50% dùng loại sản phẩm Y số người dùng Y , có 35% dùng X Phỏng vấn ngẫu nhiên người dân thành phố đó, tính xác suất để người a) dùng X Y ; b) không dùng X , không dùng Y c) dùng Y , biết người không dùng X 1.10 Theo điều tra xác suất để hộ gia đình có máy vi tính thu nhập hàng năm 20 triệu (VNĐ) 0,9 Trong số hộ điều tra 60% có thu nhập 20 triệu 70% có máy vi tính Tính xác suất để hộ gia đình chọn ngẫu nhiên a) có máy vi tính có thu nhập hàng năm 20 triệu; b) có thu nhập hàng năm 20 triệu, biết hộ khơng có máy vi tính 1.11 Để thành lập đội tuyển quốc gia môn học, người ta tổ chức thi tuyển gồm vòng Vòng thứ lấy 80% thí sinh; vịng thứ hai lấy 70% thí sinh qua vịng thứ vịng thứ ba lấy 45% thí sinh qua vịng thứ hai Để vào đội tuyển, thí sinh phải vượt qua vịng thi Tính xác suất để thí sinh a) Được vào đội tuyển; b) Bị loại vòng thứ ba c) Bị loại vịng thứ hai, biết thí sinh bị loại 1.12 Một lơ hàng có sản phẩm giống Mỗi lần kiểm tra, người ta chọn ngẫu nhiên sản phẩm; kiểm tra xong trả sản phẩm lại lơ hàng Tính xác suất để sau lần kiểm tra, sản phẩm kiểm tra 1.13 Một hộp có 10 sản phẩm có phế phẩm Người ta kiểm tra ngẫu nhiên sản phẩm gặp phế phẩm dừng Tính xác suất việc kiểm tra dừng lần thứ tư 41 1.14 Có ba hộp A, B C đựng lọ thuốc Hộp A có 10 lọ tốt lọ hỏng, hộp B có lọ tốt lọ hỏng, hộp C có lọ tốt lọ hỏng a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp lọ thuốc, tính xác suất để lọ loại b) Lấy ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy lọ thuốc lọ tốt lọ hỏng Tính xác suất để hộp A chọn 1.15 Có hai hộp A B đựng lọ thuốc Hộp A có lọ tốt lọ hỏng, hộp B có lọ tốt lọ hỏng Lấy ngẫu nhiên hai lọ thuốc từ hộp A bỏ vào hộp B, lấy ngẫu nhiên lọ thuốc từ hộp B lọ hỏng Tính xác suất để a) Lọ hỏng hộp A bỏ sang; b) Hai lọ thuốc bỏ từ hộp A vào hộp B lọ hỏng 1.16 Trong đội tuyển có vận động viên A, B C thi đấu với xác suất chiến thắng 0,6; 0,7 0,8 Giả sử người thi đấu trận độc lập nhau.Tính xác suất để: a) đội tuyển thắng trận, b) đội tuyển thắng trận 1.17 Trong đợt đấu tennis, A gặp B sau A gặp C Xác suất A thắng B 0,6 thắng C 0,7 Nếu A thắng B xác suất A thắng C 0,85 Tính xác suất để: a) A thắng B C b) A thắng hai người c) A thắng người 1.18 Trong năm học vừa qua, trường đại học A, tỉ lệ sinh viên thi trượt mơn Tốn 34%, thi trượt môn Tâm lý 20,5%, số sinh viên trượt mơn Tốn, có 50% sinh viên trượt môn Tâm lý Gặp ngẫu nhiên sinh viên trường A a) Tính xác suất để trượt hai mơn Tốn Tâm lý; đậu hai mơn Tốn Tâm lý b) Nếu biết sinh viên trượt mơn Tâm lý xác suất để đậu mơn Tốn bao nhiêu? c) Chọn ngẫu nhiên 12 sinh viên trường A Nhiều khả có sinh viên thi trượt hai mơn Tốn Tâm lý Tính xác suất tương ứng 1.19 Ba máy 1, xí nghiệp theo thứ tự, sản xuất 50%, 30% 20% tổng số sản phẩm xí nghiệp Tỉ lệ sản xuất phế phẩm máy trên, theo thứ tự, 2%, 3% 4% Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng xí nghiệp, để lẫn lộn sản phẩm máy sản xuất 42 a) Tính xác suất để sản phẩm lấy sản phẩm tốt Ý nghĩa xác suất lơ hàng gì? b) Nếu sản phẩm lấy phế phẩm, nhiều khả máy sản xuất? 1.20 Chia ngẫu nhiên vé số, có vé trúng thưởng, cho người (mỗi người tấm) Tính xác suất để người trúng thưởng 1.21 Trong số bệnh nhân điều trị bệnh viện, có 50% điều trị bệnh A, 30% điều trị bệnh B 20% điều trị bệnh C Tại bệnh viện này, xác suất để chữa khỏi bệnh A, B C, theo thứ tự, 0,7; 0,8 0,9 Hãy tính tỉ lệ bệnh nhân chữa khỏi bệnh A tổng số bệnh nhân chữa khỏi bệnh bệnh viện 1.22 Có hai bình sau: Bình A chứa bi đỏ, bi trắng bi xanh; bình B chứa bi đỏ bi trắng Gieo súc sắc vô tư: Nếu mặt mặt xuất chọn ngẫu nhiên bi từ bình B; trường hợp khác chọn ngẫu nhiên bi từ bình A Tính xác suất để chọn viên bi đỏ Nếu viên bi trắng chọn, tính xác suất để mặt súc sắc xuất 1.23 Có hai bình sau: Bình A chứa bi đỏ, bi trắng bi xanh; bình B chứa bi đỏ bi trắng Lấy ngẫu nhiên viên bi từ bình A bỏ vào bình B, từ bình B lấy ngẫu nhiên viên bi bi đỏ Theo ý bạn, viên bi nhiều khả thuộc bình nào? 1.24 Có hai chuồng ni thỏ Chuồng thứ có thỏ trắng thỏ nâu; chuồng thứ hai có thỏ trắng thỏ nâu Từ chuồng bắt ngẫu nhiên để nghiên cứu Các thỏ lại dồn vào chuồng thứ ba Từ chuồng thứ ba lại bắt ngẫu nhiên thỏ Tính xác suất để thỏ bắt sau thỏ nâu 1.25 Ban giám đốc cơng ty liên doanh với nước ngồi xem xét khả đình cơng cơng nhân để đòi tăng lương hai nhà máy A B Kinh nghiệm cho họ biết đình cơng nhà máy A B xảy với xác suất 0,75 0,65 Ngoài ra, họ biết cơng nhân nhà máy B đình cơng có 90% khả để cơng nhân nhà máy A đình cơng ủng hộ a) Tính xác suất để cơng nhân hai nhà máy đình cơng b) Nếu cơng nhân nhà máy A đình cơng xác suất để cơng nhân nhà máy B đình cơng để ủng hộ bao nhiêu? 1.26 Một nhân viên kiểm toán nhận thấy 15% cân đối thu chi chứa sai lầm Trong chứa sai lầm, 60% xem giá trị bất thường so với số xuất phát từ gốc Trong tất cân đối thu chi 20% giá trị bất 43 thường Nếu số bảng cân đối tỏ bất thường xác suất để số sai lầm bao nhiêu? 1.27 Một hãng sản xuất loại tủ lạnh X ước tính khoảng 80% số người dùng tủ lạnh có đọc quảng cáo tủ lạnh hãng sản xuất Trong số người đọc quảng cáo, có 30% mua loại tủ lạnh X; 10% không đọc quảng cáo mua loại tủ lạnh X Tính xác suất để người tiêu dùng mua loại tủ lạnh X mà có đọc quảng cáo 1.28 Trên bảng quảng cáo, người ta mắc hai hệ thống bóng đèn độc lập Hệ thống I gồm bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm bóng mắc song song Khả bị hỏng bóng 18 thắp sáng liên tục 0,1 Việc hỏng bóng hệ thống xem độc lập Tính xác suất để a) Hệ thống I bị hỏng; b) Hệ thống II không bị hỏng c) Cả hai hệ thống bị hỏng; d) Chỉ có hệ thống bị hỏng 1.29 Một lô hàng gồm nhiều bóng đèn, có 8% bóng đèn xấu Một người đến mua hàng với qui định: Chọn ngẫu nhiên bóng đèn đem kiểm tra có nhiều bóng đèn xấu khơng nhận lơ hàng Tính xác suất để lơ hàng chấp nhận 1.30 Một khách sạn có hai hệ thống: báo cháy báo khói Hai hệ thống hoạt động độc lập Xác suất để hệ thống báo cháy báo khói hỏng tương ứng 0,07 0,04 Khách sạn phịng cháy an tồn có hệ thống khơng bị hỏng Tính xác suất: d) Khách sạn phịng cháy an tồn e) Khách sạn phịng cháy khơng an tồn f) Tính xác suất hệ thống báo cháy khơng hỏng biết khách sạn phịng cháy an tồn 1.31 Một địa phương có tỉ lệ người dân nghiện thuốc 10% Biết tỉ lệ người bị viêm họng số người nghiện thuốc 60%, cịn tỉ lệ số người không nghiện thuốc 40% Chọn ngẫu nhiên người từ địa phương a) Nếu người bị viêm họng, tính xác suất để người nghiện thuốc b) Nếu người khơng bị viêm họng, tính xác suất để người nghiện thuốc 1.32 Một nhà xuất gửi giới thiệu sách đến 80% giảng viên trường đại học Sau thời gian, nhà xuất nhận thấy: Có 20% giảng viên mua sách số người nhận giới thiệu, số giảng viên khơng nhận giới thiệu, có 5% mua sách Tìm tỉ lệ giảng viên nhận giới thiệu số người mua sách 44 1.33 Nhà trường muốn chọn số học sinh từ tổ gồm nam sinh nữ.sinh Lần đầu chọn ngẫu nhiên học sinh; sau đó, chọn tiếp học sinh a) Tính xác suất để học sinh chọn lần sau nam sinh b) Biết học sinh chọn lần sau nữ sinh, tính xác suất để hai học sinh chọn lần đầu nam sinh 1.34 Số liệu thống kê bệnh lao phổi địa phương cho biết: Có 10% số người làm nghề đục đá bị lao phổi; có 50% số người khơng làm nghề đục đá khơng bị lao phổi; có 25% số người làm nghề đục đá không bị lao phổi Ngồi ra, tỉ lệ người khơng làm nghề đục đá bị lao phổi 10% Chúng ta kết luận mối quan hệ nghề đục đá bệnh lao phổi? 1.35 Giả sử xét nghiệm X cho kết dương tính (+) người nhiễm HIV với xác suất 95% cho kết (+) người không nhiễm HIV với xác suất 1% Một người đến từ địa phương có tỉ lệ nhiễm HIV 1% làm xét nghiệm X cho kết (+) Tính xác suất để người thực nhiễm HIV 1.36 Một hộp chứa 10 lọ thuốc, có lọ hỏng Lấy lọ khơng hồn lại để kiểm tra, gặp lọ hỏng dừng a) Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại lọ thứ ba; lọ thứ sáu b) Nếu việc kiểm tra dừng lại lọ thứ sáu, tính xác suất để lọ kiểm lọ hỏng 1.37 Từ lơ hàng có nhiều với tỉ lệ hỏng 5%, người ta chọn ngẫu nhiên để kiểm tra a) Hỏi phải kiểm tra để xác suất có hỏng không bé 90% ? b) Giả sử việc kiểm tra dừng lại phát hỏng Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại lần kiểm tra thứ 10, 1.38 Có hai hộp sản phẩm, hộp thứ có sản phẩm loại A sản phẩm loại B ; hộp thứ hai có sản phẩm loại A sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm a) Tính xác suất để sản phẩm loại A ; b) Giả sử lấy sản phẩm loại B sản phẩm loại A Nhiều khả sản phẩm loại B thuộc hộp nào? Tại sao? 1.39 Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử với 98% sản phẩm có chất lượng cao Một qui trình kiểm tra chất lượng sản phẩm có đặc điểm: 1% sản phẩm có chất lượng cao lại khơng cơng nhận 3% sản phẩm khơng có chất lượng cao lại cơng nhận Hãy tính xác suất để sau kiểm tra, sản phẩm cơng nhận có chất lượng cao sản phẩm có chất lượng cao 45 1.40 Giả sử bạn đem giao lô hàng, nhiều sản phẩm, mà bạn biết có tỉ lệ phế phẩm 5% Người nhận hàng đề nghị lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra, có q k phế phẩm khơng nhận lô hàng Bạn đề nghị k để vừa thuyết phục người nhận, vừa hy vọng khả lơ hàng khơng bị từ chối 95%? 1.41 Tỉ lệ sản xuất phế phẩm máy 5% Khảo sát lô hàng gồm 50 sản phẩm máy sản xuất a) Tính xác suất để lơ hàng, có 10 phế phẩm b) Trong lô hàng, nhiều khả có phế phẩm? Tính xác suất tương ứng 1.42 Người ta muốn lấy ngẫu nhiên số hạt giống từ lơ hạt giống có tỉ lệ hạt lép 2% để nghiên cứu Hỏi phải lấy hạt cho xác suất để có hạt lép không bé 90% ? 1.43 Một khu dân cư A có tỉ lệ mắc bệnh B 30% a) Trong đợt điều tra, người ta chọn ngẫu nhiên 10 người Tính xác suất có nhiều ba người mắc bệnh B b) Tỉ lệ người kháng bệnh B người chích ngừa 95% Cịn tỉ lệ kháng bệnh B người khơng chích ngừa 20% Chọn ngẫu nhiên người khu dân cư Tính xác suất người có chích ngừa 46