Đang tải... (xem toàn văn)
CHƯƠNG II:BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤTBài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtII.1.1. Khái niệm, phân loại BNN1. Khái niệm BNN Biến ngẫu nhiên là đại lượng mà kết quả của phép thử sẽ nhận một và chỉmột trong các giá trị có thể có của nó với một xác suất tương ứng xác định. Ta thường ký hiệu BNN bởi các chữ in hoa X, Y, …, các giá trị BNN nhận được ký hiệu bằng các chữ in thường x, y,…, X ,X ,... 1 2 1 2 x ,x ,... Khi nó trở thành biến ngẫu nhiên với xác suất xác định.X x (i 1.n) = = i2. Phân loại BNNa) BNN rời rạc.BNN được gọi là BNN rời rạc nếu các các giá trị có thể có của nó là hữu hạnhay vô hạn đếm được.Bài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtb) BNN liên tục.BNN được gọi là BNN liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy mộtkhoảng nào đó trên trục số thực.Ví dụ 1. Tung con xúc xắc cân đối, mỗi nốt trên mặt con xúc xắc đượcthưởng 10 USD. Đặt X bằng số tiền được thưởng khi tung một con xúc xắc,X là một BNN rời rạc. Tập giá trị của X là { 10, 20, 30, 40, 50, 60}.Ví dụ 2. Số phế phẩm trong lô hàng n sản phẩm. Không nói trước được số phế phẩm là bao nhiêu, đây là BNN rời rạc. Tập giá trị là {0, 1, …,n}.Ví dụ 3. Tuổi thọ của một loại linh kiện điện tử là BNN liên tục, có thể tập giá trị là 0; 10 000 giờ.Bài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtII.1.2. Luật phân bố của BNNĐịnh nghĩa.Mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của BNN với xác suất tương ứng đượcgọi là luật phân bố của BNN.1. Luật phân bố của BNN rời rạcĐịnh nghĩa.Giả sử là tập giá trị của BNN rời rạc X. Bộ số x ,x ,...,x ... 1 2 n 1 2 n p ,p ,...,p ,... i ivớip P(X x ), i 1,2,... = = =được gọi là luật phân bố của BNN rời rạc X . 1 2 p ,p ,...thỏa mãn điều kiệni iip 0; p 1. = Bài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Để thuận lợi, người ta sắp bộ sốp ,p ,... 1 2thành bảng:XBảng này gọi là bảng phân bố xác suất của BNN rời rạc X.1 2 n x x ... x ... 1 2 n p p ... p ... P(X x ) = iBài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtVí dụ 4. Một hộp có 10 sản phẩm tốt và 8 sản phẩm hỏng. Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm để kiểm tra. Gọi X là số sản phẩm tốt được lấy ra. Lập bảng phân bố xác suất của X.Giải.Gọi X là số sản phẩm tốt được lấy ra trong 2 sản phẩmX là BNN rời rạc có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2.28218C 18 P(X 0) ;C 153= = =1 110 8218C C 80 P(X 1) ;C 153= = =210218C 45 P(X 2)C 153= = =Bảng phân phối xác suất của X:Bài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtVí dụ 5. Giải. Gọi X là số ô tô bị hỏng trong thời gian làm việcX là BNN rời rạc có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2.Bảng phân phối xác suất của X:Một xí nghiệp có hai ô tô vận tải hoạt động. Xác suất trong ngày làm việc cácô tô bị hỏng tương ứng bằng 0,1 và 0,2. Gọi X là số ô tô bị hỏng trong thờigian làm việc. Lập bảng phân phối xác suất của X.P(X 0) 09 0,8 0,72; = = = P(X 1) 0,1 0,8 0,9 0,2 0,26 = = + = P(X 2) 0,1 0,2 0,02 = = =X 0 1 2P 0,72 0,26 0,02Bài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtII.1.3. Hàm phân bố xác suất1. Định nghĩa.Hàm phân bố xác suất ( hàm phân phối xác suất) của BNN X, ký hiệu F(x), là xác suất để BNN X nhận giá trị nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là một sốthực bất kỳF(x) P(X x), x = 2. Tính chất.i. F(x) là hàm không giảm, tức làF(x ) F(x ) khi x x 1 2 1 2 x xii.F( ) lim F(x) 0; F( ) lim F(x) 1→− →+− = = + = =iii. F(x) là hàm liên tục phải:00 0 0x xF(x ) lim F(x) F(x ); x++→= = iv. 0 F(x) 1 v. P(a X b) F(b) F(a). = −Bài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtCho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất Ví dụ 6. X 1 2 4P 0,1 0,5 0,4a) Tìm hàm phân phối xác suất của X.b) Tính P(0 X 2). Giải.a) F(x) P(X x), x = x 1:F(x) 0 = 1 x 2 : F(x) 0,1 = 2 x 4 : F(x) 0,1 0,5 0,6 = + = x 4 : F(x) 0,1 0,5 0,4 1. = + + =Vậy hàm phân phối của BNN X:0 khi x 10,1 khi 1 x 2 F(x) 0,6 khi 2 x 41 khi 4 x = b) P(0 X 2) 0,1 0,5 0,6. = + =Bài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtVí dụ 7. Giải.Cho BNN X có hàm phân phối xác suất:20 x 2F(x) a(x 2) 2 x 41 x 4 = − Tìm hằng số a và tính P(2 x 3) + Do F(x) liên tục phải tại x = 4. Vậy ta có:2x 411 lim F(x) F(4) a(4 2) 4a a→ + 4= = = − = =1 1 2 P(2 X 3) F(3) F(2) (3 2) 0 . 4 4+ = − = − − =Bài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtII.1.4. Hàm mật độ xác suất.Định nghĩa. BNN X được gọi là liên tục nếu hàm phân bố F(X) của nó khả vi trên R , cóthể trừ ra tại một số hữu hạn hoặc đếm được điểm. Đạo hàm của hàm phânbố gọi là hàm mật độ ký hiệu f(x)dF(x) f (x) F (x).dx= =Tính chất.i) f (x) 0, x ii) f (x)dx 1+−= baiii) P(a X b) P(a X b) f (x)dx, a,b . = = xiv) F(x) f (t)dt, x .−= Bài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtCho BNN liên tục X có hàm mật độVí dụ 8. kx 0 x 1f (x) 2 x 1 x 20 x khac = − a) Tìm hằng số kb) Tìm hàm phân phối xác suất của X.Giải0 1 20 1 2a) 1 f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx+ +− −= = + + + 1 20 1= + − kxdx (2 x)dx 2 21 20 1x x k 1 k. 2x2 2 2 2 = + − = + = k 1Bài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtxb) F(x) f (t)dt, x−= x 0 : F(x) 0 =x 20x0 x 1: F(x) tdt2 = = 1 x 2 2 21 x0 10 1t (2 t) (2 x) 1 x 2 : F(x) tdt (2 t)dt 12 2 2− − = + − = − = − x 2 : F(x) 1 = 22 0 x 0x0 x 12 F(x)(2 x) 1 1 x 221 2 x = −− VậyBài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtVí dụ 9. Cho BNN liên tục X có hàm mật độ:a cos x khi x2 2 f (x)0 khi x ;2 2 − = − a)Tìm hằng số a; b)Tìm hàm phân bố F(X); c) Tính P(0 X ).4 221a) 1 f (x)dx a cos xdx 2a a 2+− − = = = = Giải0 khi x21b) F(X) (1 sinx) khi x2 2 21 khi x2 − = + − 2c) P(0 X ) F( ) F(0)4 4 4 = − =Cách 2. 401 2 P(0 X ) cos xdx4 2 4 = = Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênII.2.1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên1)Định nghĩa. Kỳ vọng ( hay giá trị trung bình) của BNN X là một số, ký hiệu là EX, được xác định như sau: Nếu X là BNN rời rạc nhận một trong các giá trị1 2 n x x ... xvới xác suất tương ứng là thì 1 2 n p p ... p ni i 1 1 2 2 n ni 1E X x p x p x p ... x p== = + + + Nếu X là BNN liên tục với hàm mật độ f(x) thìE X xf (x)dx. +−= Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênVí dụ 1. Tính kỳ vọng của BNN X khi:a) X có bảng phân phối xác suất: X 1 3 4P 0,1 0,5 0,4 ni ii 1E X x p 1.0,1 3.0,5 4.0,4 3,2== = + + = b) X có hàm mật độ:3 2(x 2x) khi x (0;1) f (x) 40 khi x (0;1) + = 1203 11 E X xf (x)dx x (x 2x)dx ... .4 16+−= = + = = Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênb) Tính chất.i. E C C; E CX C.E X , C . = = ii. E X Y E X E Y = iii. Nếu X, Y là những BNN độc lập có kỳ vọng thì E XY E X .E Y = iv.Giả sử là hàm số nào đó sao cho là BNN có kỳ vọng. Khi đó: (x) Y (X) = Nếu X là BNN rời rạc: i iiE Y (x )p+=−= Nếu X là BNN liên tục : E Y (x)f (x)dx +−= Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênVí dụ 2. Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất:X 3 1 3 5 6P 0,1 0,2 0,3 0,2 0,2Tính 2 E(X), E(X ).Giải ni ii 1E X x p ( 3).0,1 1.0,2 3.0,3 5.0,2 6.0,2 3== = − + + + + = n2 2 2 2 2 2 2i ii 1E X x p ( 3) .0,1 1 .0,2 3 .0,3 5 .0,2 6 .0,2 16= = = − + + + + = Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênVí dụ 3. Cho BNN liên tục X có làm mật độ:Tính 2 2 E(X), E(X ),E(2X 1). +Giải( ) ( ) − = 3 2 1 x x 0;1 f x 20 x 0;1 ( )12 2 2 203 1 EX x f (x)dx x 1 x dx2 5+−= = − = ( )1203 3 EX xf (x)dx x 1 x dx2 8+−= = − = 2 2 1 7 E(2X 1) 2.E(X ) 1 2. 1 . 5 5+ = + = + =Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênII.2.2. Mốt (Mode)Mốt của BNN X, ký hiệu ModX, là giá trị mà tại đó xác suất tương ứng hay hàm mật độ đạt giá trị cực đại, cụ thể là: Nếu X là BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất thì Mốt là giá trị của X mà tại đó xác suất tương ứng lớn nhất. Nếu X là BNN liên tục có hàm mật độ f(x) thì Mốt là giá trị mà tại đó f(x) đạt giá trị lớn nhất.0x Mốt còn gọi là giá trị tin cậy chắc nhất của BNN X.Ví dụ 4. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất:X 0 1 2 3P 530 130 930 130Giải. Tại x = 2 thì xác suất lớn nhất. Vậy ModX = 2.Tìm Mốt XBài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênThời gian xếp hàng chờ mua hàng (đơn vị: phút)là BNN X có hàm mật độ: Ví dụ 5. 4 3x khi 0 x 3f (x) 810 khi x 0;3 = Hãy tìm thời gian xếp hàng có khả năng nhất của khách hàng.Giải.Xét hàm 4 3f (x) x khi 0 x 381= 2 4 x f (x) 0, x 0,327 = f(x) đạt GTLN tại x = 3 = ModX 3Vậy thời gian chờ xếp hàng có khả năng nhất là 3 phút.Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênII.2.3. Median (Trung vị)Định nghĩa. Trung vị của BNN X, ký hiệu là Med X, được xác định bởi:iii1 P(X x ) 2 Med X x1 P(X x ) 2 = Nếu X là BNN liên tục có hàm mật độ f(x) thì: Nếu X là BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất thì:mdd1 Med X m f (x)dx .2−= = Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênVí dụ 6. Cho BNN X có bảng phân phối xác suấtX 1 2 3 4P 0,1 0,2 0,4 0,3Tìm trung vị MedX.Giải1 P(X 3) 0,1 0,2 0,4 0,72 = + + = 1 P(X 3) 0,4 0,3 0,72 = + = = MedX 3.Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênVí dụ 7. Cho BNN X có hàm mật độTìm trung vị MedX.Giải 4 3x khi 0 x 3f (x) 810 khi x 0;3 = MedXf (x)dx 0,5−= MedX 304x dx 0,581 = 4(MedX) 0,581 =481 MedX .2 = Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênII.2.4. Phương sai1. Định nghĩaPhương sai của BNN X, ký hiệu DX (hay VX, hay VarX), xác định bởi:2 2 2 DX E(X EX) EX (EX) = − = −2. Công thức tính phương sai Nếu X là BNN rời rạc có bảng phân bố xác suất thì: n2 2 2 2i ii 1DX=EX (E X) = x p (EX) = − Nếu X là BNN liên tục có hàm mật độ f(x) thì: 2 2 2 2 DX EX (EX) x f (x)dx (EX) .+−= − = − Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênÝ nghĩa.Phương sai của BNN là một số không âm để đo mức độ phân tán ( mức độ tảnmát) của các giá trị của BNN X xung quanh tâm EX của nó. DX nhỏ thì mứcđộ phân tán nhỏ, độ tập trung lớn. DX càng lớn thì độ phân tán càng cao.c. Tính chấti) DC 0; C const = =2ii)DCX C DX; = iii) DX Y DX DY. + = +Hệ quả.DX Y DX DY. − = +Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênd. Định nghĩa độ lệch chuẩnCăn bậc hai của phương sai DX gọi là độ lệch chuẩn của BNN X, ký hiệux . = x DXBài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênVí dụ 8. Cho BNN X có hàm mật độ:( )( ) − −= −2k 4 x x 2;2f x0 x 2;2Tìm hằng số k và tính DX.Giải.f (x)dx 1+−= Tìm hằng số k: 222k(4 x )dx 1− − = 32 3 k 1 k .3 32 = =Tính DX:EX xf (x)dx+−= 222kx(4 x )dx 0−= − = 2 2 EX x f (x)dx+−= 22 224kx (4 x )dx5−= − = 2 2 4DX EX (EX)5= − =Bài 3. Một số luật phân bố quan trọngBài 3. MỘT SỐ LUẬT PHÂN BỐ QUAN TRỌNGBài 3. Một số luật phân bố quan trọngII.3.1. Phân bố nhị thứcĐịnh nghĩa. BNN rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có X = 0, 1, …, n với các xác suất tương ứng được tính bằng công thức: k k n k P(X k) C p (1 p) , k 0,1,2,...,n n − = = − =gọi là có phân bố nhị thức với tham số (n, p), ký hiệu X B(n;p).Định lý. Nếu X là đlnn có phân phối nhị thức thì:X B(n;p) EX npDX np(1 p) npq = = − =Chú ý. Những BNN tuân theo dãy phép thử Bernoulii có phân bố nhị thứcBài 3. Một số luật phân bố quan trọngVí dụ 1 .Một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập. Xác suất để trong một ngày mỗimáy bị hỏng đều bằng 0,1. Tìm xác suất để:a) Trong một ngày có 2 máy hỏng.b) Trong một ngày có không quá 2 máy hỏng.Giải.Gọi X là số máy hỏng trong một ngày, X có phân bố nhị thức với tham số n = 5 và p = 0,12 2 5 25a) P(X 2) C (0,1) (1 0,1) 0,0792 −= = − =2k k 5 k5k 0b) P(0 X 2) C (0,1) (1 0,1) −= = − 0 0 5 0 1 1 5 1 2 2 5 2 C (0,1) (1 0,1) C (0,1) (1 0,1) C (0,1) (1 0,1) 5 5 5− − − = − + − + − = 0,99144Bài 3. Một số luật phân bố quan trọngII.3.2. Phân phối Poisson NếuX B(n;p), trong đó số phép thử n rất lớn, mà xác suất p rất nhỏ thìviệc tính toán gặp khó khăn. Vì vậy trong trường hợp này người ta xấp xỉcông thức Bernoulii bằng công thức Poisson.Định nghĩa. BNN rời rạc X được gọi là có phân bố Poisson với tham số , ký hiệu , nếu: X P( ) kP(X k) e k 0,1,2,...k − = = =Định lý.Nếu X là BNN có phân phối Poisson với tham số thì:EX ;DX . = = Chú ý. Phân phối Poisson là phân phối của BNN cho biết số lần xuất hiệncủa một sự kiện trong một khoảng thời gian nào đó. Chẳng hạn: số cuộc gọiđiện thoại trong một phút, số khách hàng đến giao dịch ở một máy ATMtrong một ngày, số tai nạn giao thông xảy ra trong một năm...Bài 3. Một số luật phân bố quan trọngII.3.3. Phân phối đều Định nghĩa.BNN liên tục X gọi là có phân bố đều trên a; b, ký hiệu , nếu hàm mật độ của nó có dạng: X U a,b 1khi x a;bf (x) b a0 trai lai = −Định lý. BNN liên tục X gọi là có phân bố đều trên a; b thì:2a b (b a) EX ; DX .2 12+ −= =Bài 3. Một số luật phân bố quan trọngII.3.4. Phân phối mũĐịnh nghĩa.BNN X được gọi là có phân phối mũ với tham số nếu nó có hàm mật độ có dạng:xe khi x 0 f (x)0 khi x 4 ta coi 01(x) 2 Bài 3. Một số luật phân bố quan trọng0 (x)có các tính chất sau:0 0 0 = − = − (0) 0; ( x) (x) 01(x) (x). 2 = + P(a Z b) (b) (a). = − 0 0d. Biến đổi tuyến tính chuẩn2 XX N( ; ) Z N(0;1). − =Công thức tính xác suất: Nếu thì2 X N( ; ) 0 0a b b a P{a X b} P{ Z } ( ) ( ) − − − − = = − Bài 3. Một số luật phân bố quan trọngVí dụ. Kích thước của các chi tiết do một máy sản xuất ra là BNN có phân bố chuẩnvới trung bình là 5cm và sai số ( ) là 0,9cm. Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiênmột chi tiết có kích thước nằm trong khoảng từ 4 đến 7cm.Giải. Gọi X là kích thước chi tiết lấy ra:2 2 2 X N( , ), 5, 0,9 = = P(4 X 7) 0 07 5 4 50,9 0,9 − − = − = − − 0 0 (2,22 1,11 ) ( )= + 0 0 (2,22 1,11 ) ( ) = + = 0,4868 0,3665 0,8533Bài 3. Một số luật phân bố quan trọnge) Phân vị (giá trị tới hạn chuẩn)Định nghĩa. Giá trị tới hạn chuẩn mức , ký hiệu hay , là giá trị xác định từ đẳng thức z u2x2z1 P(Z z ) , voi Z N(0;1) hay e dx2+ − = = Hay 0(z ) 0,5 = − Một số giá trị đặc biệt:0,10 0,050,025 0,01u 1,28; u 1,65;u 1,96; u 2,33. = = = =
CHƯƠNG II:BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Bài Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất II.1.1 Khái niệm, phân loại BNN Khái niệm BNN - Biến ngẫu nhiên đại lượng mà kết phép thử nhận giá trị có với xác suất tương ứng xác định - Ta thường ký hiệu BNN chữ in hoa X, Y, …, X1, X , giá trị BNN nhận ký hiệu chữ in thường x, y,…, x1, x , - Khi X = x i (i = 1.n) trở thành biến ngẫu nhiên với xác suất xác định Phân loại BNN a) BNN rời rạc BNN gọi BNN rời rạc các giá trị có hữu hạn hay vơ hạn đếm Bài Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất b) BNN liên tục BNN gọi BNN liên tục giá trị có lấp đầy khoảng trục số thực Ví dụ Tung xúc xắc cân đối, nốt mặt xúc xắc thưởng 10 USD Đặt X số tiền thưởng tung xúc xắc, X BNN rời rạc Tập giá trị X { 10, 20, 30, 40, 50, 60} Ví dụ Số phế phẩm lơ hàng n sản phẩm Khơng nói trước số phế phẩm bao nhiêu, BNN rời rạc Tập giá trị {0, 1, …,n} Ví dụ Tuổi thọ loại linh kiện điện tử BNN liên tục, tập giá trị [0; 10 000] Bài Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất II.1.2 Luật phân bố BNN Định nghĩa Mối quan hệ giá trị có BNN với xác suất tương ứng gọi luật phân bố BNN Luật phân bố BNN rời rạc Định nghĩa Giả sử x1, x , , x n tập giá trị BNN rời rạc X Bộ số p1, p , , p n , với pi = P(X = x i ), i = 1, 2, gọi luật phân bố BNN rời rạc X p1, p , thỏa mãn điều kiện pi 0; pi = i Bài Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất - Để thuận lợi, người ta số p1, p , thành bảng: X P(X = xi ) x1 x x n p1 p2 pn Bảng gọi bảng phân bố xác suất BNN rời rạc X Bài Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Ví dụ Một hộp có 10 sản phẩm tốt sản phẩm hỏng Lấy ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra Gọi X số sản phẩm tốt lấy Lập bảng phân bố xác suất X Giải Gọi X số sản phẩm tốt lấy sản phẩm X BNN rời rạc nhận giá trị: 0, 1, 2 C82 18 C110C18 80 C10 45 P(X = 0) = = ; P(X = 1) = = ; P(X = 2) = = 153 C18 153 C18 C18 153 Bảng phân phối xác suất X: Bài Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Ví dụ Một xí nghiệp có hai tơ vận tải hoạt động Xác suất ngày làm việc ô tô bị hỏng tương ứng 0,1 0,2 Gọi X số ô tô bị hỏng thời gian làm việc Lập bảng phân phối xác suất X Giải Gọi X số ô tô bị hỏng thời gian làm việc X BNN rời rạc nhận giá trị: 0, 1, P(X = 0) = 09 0,8 = 0,72; P(X = 1) = 0,1 0,8 + 0,9 0, = 0, 26 P(X = 2) = 0,1 0, = 0,02 Bảng phân phối xác suất X: X P 0,72 0,26 0,02 Bài Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất II.1.3 Hàm phân bố xác suất Định nghĩa Hàm phân bố xác suất ( hàm phân phối xác suất) BNN X, ký hiệu F(x), xác suất để BNN X nhận giá trị nhận giá trị nhỏ x, với x số thực F(x) = P(X x), x Tính chất i F(x) hàm không giảm, tức F(x1) F(x ) x1 x ii.F(−) = lim F(x) = 0; F( +) = lim F(x) = x →− x →+ iii F(x) hàm liên tục phải: F(x + ) = lim F(x) = F(x ); x iv F(x) v P(a X b) = F(b) − F(a) x → x 0+ Bài Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Ví dụ Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất X P 0,1 0,5 0,4 a) Tìm hàm phân phối xác suất X b) Tính P(0 X 2) Giải a) F(x) = P(X x), x x 1:F(x) = x : F(x) = 0,1 x : F(x) = 0,1 + 0,5 = 0,6 x : F(x) = 0,1 + 0,5 + 0, = Vậy hàm phân phối BNN X: x 0 0,1 x F(x) = 0,6 x 1 x b) P(0 X 2) = 0,1 + 0,5 = 0,6 Bài Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Ví dụ Cho BNN X có hàm phân phối xác suất: x2 0 F(x) = a(x − 2) 2 x 1 x4 Tìm số a tính P(2 x 3) Giải + Do F(x) liên tục phải x = Vậy ta có: 1 = lim F(x) = F(4) = a(4 − 2) = 4a a = x → 4+ 1 + P(2 X 3) = F(3) − F(2) = (3 − 2) − = 4 Bài Các đặc trưng số biến ngẫu nhiên II.2.4 Phương sai Định nghĩa Phương sai BNN X, ký hiệu D[X] (hay V[X], hay Var[X]), xác định bởi: D[X] = E[(X − E[X]) ] = EX − (EX) 2 Cơng thức tính phương sai - Nếu X BNN rời rạc có bảng phân bố xác suất thì: n D[X]=EX -(E X) = x i pi − (EX) i =1 - Nếu X BNN liên tục có hàm mật độ f(x) thì: + D[X] = EX − (EX) = − x 2f (x)dx −(EX) Bài Các đặc trưng số biến ngẫu nhiên Ý nghĩa Phương sai BNN số không âm để đo mức độ phân tán ( mức độ tản mát) giá trị BNN X xung quanh tâm EX DX nhỏ mức độ phân tán nhỏ, độ tập trung lớn DX lớn độ phân tán cao c Tính chất i) D[C] = 0; C = co nst ii) D[CX] = C 2D[X]; iii) D[X + Y] = D[X] + D[Y] Hệ D[X − Y] = D[X] + D[Y] Bài Các đặc trưng số biến ngẫu nhiên d Định nghĩa độ lệch chuẩn Căn bậc hai phương sai DX gọi độ lệch chuẩn BNN X, ký hiệu x x = DX Bài Các đặc trưng số biến ngẫu nhiên Ví dụ Cho BNN X có hàm mật độ: k − x x [ − 2;2] f (x) = x [ − 2;2] Tìm số k tính DX + Giải 32 Tìm số k: f (x)dx = k(4 − x )dx = k = k = 32 ( Tính DX: ) − + EX = −2 xf (x)dx = − + −2 kx(4 − x )dx = EX = x f (x)dx = kx (4 − x )dx = − −2 2 DX = EX − (EX) = 2 2 Bài Một số luật phân bố quan trọng Bài MỘT SỐ LUẬT PHÂN BỐ QUAN TRỌNG Bài Một số luật phân bố quan trọng II.3.1 Phân bố nhị thức Định nghĩa BNN rời rạc X nhận giá trị có X = 0, 1, …, n với xác suất tương ứng tính cơng thức: P(X = k) = Ckn p k (1 − p) n − k , k = 0,1, 2, , n gọi có phân bố nhị thức với tham số (n, p), ký hiệu X B(n;p) Định lý Nếu X đlnn có phân phối nhị thức X B(n;p) thì: E[X] = np D[X] = np(1 − p) = npq Chú ý Những BNN tuân theo dãy phép thử Bernoulii có phân bố nhị thức Bài Một số luật phân bố quan trọng Ví dụ Một phân xưởng có máy hoạt động độc lập Xác suất để ngày máy bị hỏng 0,1 Tìm xác suất để: a) Trong ngày có máy hỏng b) Trong ngày có khơng q máy hỏng Giải Gọi X số máy hỏng ngày, X có phân bố nhị thức với tham số n = p = 0,1 a) P(X = 2) = C52 (0,1)2 (1 − 0,1)5−2 = 0,0792 b) P(0 X 2) = C5k (0,1) k (1 − 0,1)5−k k =0 5− = C50 (0,1)0 (1 − 0,1) + C15 (0,1)1 (1 − 0,1)5−1 + C52 (0,1)2 (1 − 0,1)5−2 = 0,99144 Bài Một số luật phân bố quan trọng II.3.2 Phân phối Poisson Nếu X B(n;p) , số phép thử n lớn, mà xác suất p nhỏ việc tính tốn gặp khó khăn Vì trường hợp người ta xấp xỉ công thức Bernoulii công thức Poisson Định nghĩa BNN rời rạc X gọi có phân bố Poisson với tham số , ký hiệu X P() k , nếu: − P(X = k) = e k! k = 0,1, 2, Định lý E[X] = ; Nếu X BNN có phân phối Poisson với tham số thì: D[X] = Chú ý Phân phối Poisson phân phối BNN cho biết số lần xuất kiện khoảng thời gian Chẳng hạn: số gọi điện thoại phút, số khách hàng đến giao dịch máy ATM ngày, số tai nạn giao thông xảy năm Bài Một số luật phân bố quan trọng II.3.3 Phân phối Định nghĩa BNN liên tục X gọi có phân bố [ a; b], ký hiệu X U a, b , hàm mật độ có dạng: f (x) = b − a 0 x a;b trai lai Định lý BNN liên tục X gọi có phân bố [ a; b] thì: a+b E[X] = ; (b − a) D[X] = 12 Bài Một số luật phân bố quan trọng II.3.4 Phân phối mũ Định nghĩa BNN X gọi có phân phối mũ với tham số có hàm mật độ e−x x có dạng: f (x) = x ta coi (x) dt; x 0, 4 Bài Một số luật phân bố quan trọng (x) có tính chất sau: (0) = 0; (− x) = − (x) (x) = + (x) P(a Z b) = (b) − (a) d Biến đổi tuyến tính chuẩn X − X N(; ) Z = N(0;1) Công thức tính xác suất: Nếu X N(; 2 ) a − b− b− a − P{a X b} = P{ Z } = 0 ( ) − 0 ( ) Bài Một số luật phân bố quan trọng Ví dụ Kích thước chi tiết máy sản xuất BNN có phân bố chuẩn với trung bình 5cm sai số ( ) 0,9cm Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên chi tiết có kích thước nằm khoảng từ đến 7cm Giải Gọi X kích thước chi tiết lấy ra: X N(, 2 ), = 5, 2 = 0,92 7−5 4−5 P(4 X 7) = − 0 = ( 2, 22 ) − ( −1,11) 0,9 0,9 = ( 2, 22 ) + (1,11) = 0, 4868 + 0,3665 = 0,8533 Bài Một số luật phân bố quan trọng e) Phân vị (giá trị tới hạn chuẩn) Định nghĩa Giá trị tới hạn chuẩn mức , ký hiệu z hay u , giá trị xác định từ đẳng thức + − x dx = P(Z z ) = , voi Z N(0;1) hay e 2 z Hay (z ) = 0,5 − Một số giá trị đặc biệt: u 0,10 = 1, 28; u 0,025 = 1,96; u 0,05 = 1,65; u 0,01 = 2,33 ... xác suất X: X P 0,72 0,26 0,02 Bài Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất II.1.3 Hàm phân bố xác suất Định nghĩa Hàm phân bố xác suất ( hàm phân phối xác suất) BNN X, ký hiệu F(x), xác suất. .. 1.n) trở thành biến ngẫu nhiên với xác suất xác định Phân loại BNN a) BNN rời rạc BNN gọi BNN rời rạc các giá trị có hữu hạn hay vơ hạn đếm Bài Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất b) BNN.. .Bài Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất II.1.1 Khái niệm, phân loại BNN Khái niệm BNN - Biến ngẫu nhiên đại lượng mà kết phép thử nhận giá trị có với xác suất tương ứng xác định