HAI MẶT TÁC ĐỘNG BIỆN CHỨNG CỦA QUÁ TRÌNH PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM TOÁN HỌC: TRƯỜNG HỢP HÀM SỐ MŨ

HAI MẶT TÁC ĐỘNG BIỆN CHỨNG CỦA QUÁ TRÌNH PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM TOÁN HỌC: TRƯỜNG HỢP HÀM SỐ MŨ Tóm tắt Hàm số mũ có nhiều ứng dụng đời sống, khoa học kỹ thuật Quá trình phát sinh hình thành hàm số mũ xuất phát từ nhu cầu sống người Khi hoàn thiện, hàm số mũ tác động, thúc đẩy đến lĩnh vực khác phát triển, có tốn học Hàm số mũ minh chứng cho hai mặt tác động biện chứng trình phát triển khái niệm toán học mà báo sau Từ khóa: Hàm số mũ, lũy thừa, lãi suất, tăng trưởng, quy luật mũ Comment [A1]: Nên giải thích rõ (“hai mặt tác động biện chứng…”) Mở đầu Như biết, khái niệm toán học đời nhu cầu thực tiễn người Khi thức đời, ngồi việc đáp ứng nhu cầu ban đầu, khái niệm có tác động đến lĩnh vực khác, kể thân toán học Trần Trung, Nguyễn Chiến Thắng (2013) cho rằng: Comment [A2]: Thực tiễn hiểu theo nghĩa nào? (Lưu ý, số khái niệm Toán học dời nhu cầu nội Toán học.) Từ xưa đến toán học phát sinh phát triển nhu cầu thực tế đời sống người nhu cầu thân Mỗi cách mạng khoa học kỹ thuật gây biến đổi sâu sắc toán học ngược lại biến đổi tác động mạnh mẽ đến khoa học kỹ thuật [[1], tr.7] Hàm số mũ trường hợp cụ thể nhận xét Thật vậy, hàm số mũ có nguồn gốc từ nhu cầu người Cụ thể, nhu cầu tính tốn lãi suất sống hàng ngày người Trong vật khảo cổ niên đại 2000 TCN (hình 1) cho thấy người Babylon đặt toán lãi suất kép phải tính số năm cần thiết để có số tiền gấp đơi ban đầu với lãi suất 20% năm Hình Hiện vật khảo cổ Nội dung vật khảo cổ Florian Cajori (1913) mô tả sau: với tỷ lệ lãi kép 20% năm phải thời gian để có số tiền gấp đơi số tiền ban đầu? Điều dẫn đến việc sử dụng bảng số (6/5)n với phép nội suy tuyến tính đáp số năm tháng 4/9 tháng Như vậy, nghĩa chứng tỏ việc giải yếu tố mũ [[2], tr 897] Comment [A3]: Sửa lại (số mũ n) Từ đó, xuất lũy thừa với số mũ hữu tỷ dương Khái niệm sau mở rộng đến lũy thừa với số mũ hữu tỷ âm Để “thỏa mãn” thân, khái niệm lũy thừa với số mũ hữu tỷ mở rộng với số mũ vô tỷ, bất kỳ, để hàm số y  a xác định R đời, gọi hàm số mũ Với tính đặc biệt mình, hàm số mũ tác động mạnh mẽ, thúc đẩy đến phát triển khoa học kỹ thuật, có lý thuyết khác tốn học Bài báo trình bày trình hình thành, phát triển hàm số mũ từ lúc ban đầu nhu cầu thực tiễn người đến việc nghiên cứu phát triển nhà khoa học Bài báo đưa nghiên cứu hai mặt tác động biện chứng trình phát triển hàm số mũ thơng qua việc phân tích nhận định nội dung trình phát triển hàm số mũ x Comment [A4]: Chú ý cách diễn đạt Comment [A5]: Chú ý cách ký hiệu tập hợp số thực Nội dung nghiên cứu 2.1 Sự hình thành phát triển hàm số mũ 2.1.1 Nhu cầu nảy sinh hàm số mũ Từ xa xưa xuất nhu cầu tính tốn cho tượng mang tính chất tăng theo cấp số nhân để từ quy luật mũ (quy luật tăng, giảm số lượng theo thời gian) dần hình thành theo hiểu biết người trở thành mầm mống cho xuất hàm số mũ sau Nghiên cứu Lorenzo J Curtis (1978) cho thấy, trước kỷ 17 tính tốn tăng trưởng, phân rã đặt khái niệm toán học trừu tượng Theo đó, xuất quy luật mũ quy tắc tương ứng một-một cấp số cộng với cấp số nhân Các khái niệm mũ ký hiệu đại số khơng phát triển đến kỷ 17 Tuy nhiên ví dụ vật lý tăng trưởng phân rã mũ đặt khái niệm số sở thừa nhận khái niệm toán học trừu tượng Quy luật mũ quy tắc cụ thể tương ứng một-đối-một cấp số cộng (phép cộng lặp lại với lượng) như: 1, 2, 3, 4, với cấp số nhân (phép nhân lặp lại với lượng) 1, 2, 4, 8, 16, [[3], tr 896] Ở hướng khác, người ta tìm thấy vật khảo cổ niên đại 2000 TCN (hình 1) cho thấy người Babylon đặt tốn lãi suất kép phải tính số năm cần thiết để có số tiền gấp đơi ban đầu với lãi suất 20% năm Hình Hiện vật khảo cổ Hiện vật khảo cổ mô tả lại (sử dụng ký hiệu ngày nay) sau: Trong tài liệu trưng bày bảo tàng Louvre vào năm 2000 TCN có yêu cầu, với tỷ lệ lãi kép 20% năm phải thời gian để có số tiền gấp đơi số tiền ban đầu? Điều dẫn đến việc sử dụng bảng số (6/5)n với phép nội suy tuyến tính đáp số năm tháng 4/9 tháng Như vậy, nghĩa chứng tỏ việc giải yếu tố mũ [[3], tr 897] Comment [A6]: Có hình với nội dung Thực có hình khơng nên phải đánh số Bài tốn cho thấy có nhu cầu hàm số mũ bảng tương ứng số năm số tiền thu mà biểu thức hàm để tính biểu thức lũy thừa (6/5) n Mặc dù, khái niệm lũy thừa với số mũ hữu tỷ chưa định nghĩa, với kết tính năm tháng 4/9 tháng hay   =3,787 năm chứng tỏ người Babylon có ý tưởng phương 12 12 pháp xác định phép nội suy tuyến tính nhằm phục vụ cho nhu sống Những ý tưởng để hình thành hàm số mũ có sớm nhu cầu thực tế sống Cơng trình tốn học Almagest (Sách Thiên văn) Ptolemy (100 – 170) nhiều ví dụ bảng biểu diễn quan hệ hàm tập hợp số lượng Trong đó, nhiều ví dụ cho thấy “Người Babylon trước tạo nhiều bảng tương ứng bình phương, thiên văn học có bảng dự đốn thời gian xuất hiện tượng thiên thể khác nhau.” [[4], tr.156] 2.1.2 Những nghiên cứu phát triển hàm số mũ Có lẽ với yêu cầu đặt đặt vấn đề nghiên cứu cho nhà khoa học, trước hết ký hiệu, ký hiệu biểu diễn lũy thừa Thế kỷ 14, 15 có ký hiệu như: Nicole Oresme sử dụng lũy thừa phân số để biểu diễn cho căn, Chuquet sử dụng lũy thừa âm để biểu diễn cho nghịch đảo lũy thừa không biểu diễn cho [[3], tr 900] Ký hiệu rõ ngày số phía bên phải René Descartes cơng bố tác phẩm La Gkomktrie năm 1637, nhiên lũy thừa nguyên, biểu diễn cho phép nhân liên tiếp Sau đó, ký hiệu mũ cho số âm, phân số nhanh chóng thêm vào ký hiệu Descartes nhờ Wallis, Newton số người khác [[3], tr 900] Ở nghiên cứu khác cho rằng, việc mở rộng khái niệm số mũ lũy thừa với mục đích tìm tịi phương pháp cơng cụ tính toán, việc mở rộng cho đầy đủ khái niệm lũy thừa [[5] , tr.9] Dù với mục đích nào, nghiên cứu ban đầu tạo sở hình thành hàm số mũ hoàn thiện ngày Các nghiên cứu lũy thừa tiếp diễn sâu hơn, mở rộng nhà khoa học Trong đó, nhận thấy có nghiên cứu mở rộng khái niệm lũy thừa từ số mũ nguyên dương sang số mũ nguyên âm phân số như: Comment [A7]: Tránh lặp lại nội dung phần Mở đầu Có thể điều chỉnh cách diễn đạt tóm tắt lại nội dung phần Mở đầu để tránh trùng lặp thông tin Comment [A8]: Nên thận trọng với nhận định người Babylon tìm kết dựa vào tính tốn thực nghiệm sử dụng cách khác Comment [A9]: Chú ý dịch thuật, diễn đạt Comment [A10]: Diễn đạt Comment [A11]: Diễn đạt Năm 1656 Wallis sử dụng số mũ nguyên dương công bố “chỉ số” âm phân số Tuy nhiên ông không thật viết a-1 cho , a cho a a Ơng nói dãy 1 , , , có “chỉ số  ” [[6], tr 3542 355] Và mở rộng lũy thừa với số mũ ảo L Euler công bố phát minh qua thư gửi cho Johann Bernoulli, C Goldbach vào khoảng năm 1740 – 1741, ơng  2 1 10  Sau đó, 13 tác phẩm Miscellanea Berolinensia năm 1743, Introductio in analysin năm 1747 Euler có Comment [A12]: Bỏ dấu “+” số mũ? xuất số mũ ảo e v 1  cos v  1sin v [Error! Reference source not found., tr 356] Đến nửa sau kỷ 19 lũy thừa a (với a >  vơ tỷ) thức định nghĩa r s giới hạn chung tất dãy a n a n với (rn) (sn) hai dãy hữu tỷ hội tụ tăng hội tụ giảm đến  Các sở toán học định nghĩa khái niệm giới hạn nguyên lý Cantor (Cantor (1845-1918)) dãy đoạn lồng vào thắt lại: Nếu [an, bn] dãy đoạn thỏa [an+1, bn+1]  [an, bn] với n lim (bn  an ) = tồn số thực  Comment [A14]: Bỏ dấu “+” số mũ thông báo việc khám phá công thức e x 1  e x 1  2cos x , 2 1     n   thỏa    [a , b ] Khi khái niệm lũy thừa định nghĩa hồn thiện, đồng thời có định n n 1 n Comment [A13]: Bỏ dấu “+” số mũ? nghĩa hàm số, từ hàm số mũ hình thành qua biểu thức y  a Như vậy, kết hàm số mũ hàm số ngược hàm số logarit xem hệ mối quan hệ chúng Khi thức đời, đáp ứng yêu cầu đặt ban đầu hàm số mũ phát huy ảnh hưởng phát lĩnh vực khác, có lĩnh vực tốn học Phần sau đề cập ảnh hưởng hàm số mũ x 2.2 Những tác động hàm số mũ lĩnh vực 2.2.1 Đối với lĩnh vực tốn học  Phương trình vi phân Do hàm số mũ có tính chất đặc biệt y '  ky với k số Vì vậy, hàm số mũ nghiệm phương trình vi phân y '  ky Phương trình có nghiệm khác y(t )  Cekt , C số, t biến, thuộc dạng nghiệm y(t )  y(0)ekt Phương trình vi phân có vai trị, vị trí quan trọng toán học khoa học kỹ thuật Phương trình vi phân dùng để mơ hình hóa tượng tự nhiên có thay đổi diễn để dự đốn diễn biến tương lai Khi đó, tượng tự nhiên mơ hình hóa tốn học thỏa mãn phương trình vi phân cấp y '  ky cho thấy tốc độ thay đổi tỷ lệ thuận với quy mơ ban đầu Trong đó, số tượng quen thuộc biết tượng tăng trưởng dân số, tăng trưởng số cá thể (vi khuẩn, sinh vật) quần thể, phân rã chất phóng xạ, tốc độ phản ứng hóa học tỷ lệ với nồng độ chất phản ứng đó, giảm nhiệt vật thể so với môi trường xung quanh, lãi suất kép tỷ lệ với số tiền gửi vào,… Hay hàm số mũ có vai trị biểu diễn dự báo hành vi tương lai tượng có thay đổi theo thời gian Các tượng mơ hình hóa để khai thác ứng dụng thực tiễn Trong phạm vi báo, chọn lọc trình bày số mơ hình, đặc biệt mơ hình ứng dụng đời sống ngày người mơ hình có liên quan đến chương trình dạy học nhà trường Ngồi ra, hàm số mũ có vai trị, vị trí đặc biệt quan trọng nhiều lĩnh vực diện nhiều biểu thức nghiệm phương trình vi phân cấp biểu diễn thay đổi trạng thái vật, tượng  Phương trình mũ Comment [A15]: Diễn đạt? Đây phương trình với diện biểu thức hàm mũ a x Phương trình sử dụng giải nhiều vấn đề toán học ứng dụng giải toán khoa học kỹ thuật khảo cổ học, tài chính, tượng tăng giảm tự nhiên Phương trình đơn giản có dạng y  A0e x giúp tìm đại lượng chưa biết lĩnh vực như: khảo cổ học, tài chính, dân số nhiều tượng khác khoa học kỹ thuật Ví dụ cần đến phương trình mũ M  M 0e0,06t yêu cầu: “Mất vốn đầu tư gấp đôi giá trị lãi suất 6%/năm ghép lãi suất liên tục?” [[7], tr.453] Những phương trình mũ “mở rộng” phức tạp hơn, dạng biểu thức có phần tử lũy thừa kết nối với phép tốn Những phương trình có nhiều ứng dụng khoa học kỹ thuật Chẳng hạn, bắt gặp phương trình 1 1  (1  j )  n  an j    1 e e j  j nghĩa tốn lĩnh vực tài cho phương trình là: ie thể 1 e Comment [A16]: Phương trình hay hàm số? Comment [A17]: Cần giải thích yếu tố xuất Comment [A18]: Cần giải thích a…? Hệ số giá trị chuỗi tiền kép tăng dần phát sinh cuối kỳ giá trị vào thời điểm chuỗi tiền gồm khoản tiền 1$ phát sinh vào cuối năm thứ nhất, khoản tiền sau tăng dần e% năm khoản tiền cuối (1  e)n1 $ phát sinh vào năm thứ n [[7], tr 107] Có phương trình mũ “mở rộng” đặc biệt , có nhiều ứng dụng mang tên riêng e x  e x e x  e x Chẳng hạn phương trình hàm hyperbol sinh x  , cosh x  ứng dụng 2 khoa học kỹ thuật cho tượng phân rã, hấp thụ Comment [A19]: công thức Hàm hyperbol ứng dụng vào khoa học kỹ thuật đại lượng ánh sáng, vận tốc, điện phóng xạ hấp thụ bị phân rã dần dần, phân rã biểu diễn hàm hyperbol [[8], tr 463]  Các tốn có liên quan đến lũy thừa Hàm số mũ có nhiều định nghĩa khác nhau, định nghĩa thể q trình phát sinh phát triển hàm số mũ y  a x ,  a  Với định nghĩa này, ngồi vai trị hàm số, hàm số mũ cịn cịn có vai trị lũy thừa Khi đó, với x số nguyên dương, biểu thức a giúp cho việc biểu diễn a x biểu thị cho nhân lặp lặp lại số a x  a x lan số lớn thuận lợi dạng dạng lũy thừa Cũng với nghĩa lũy thừa, biểu thức x n ( x n  f x (n) : họ hàm số mũ xác định N) thành phần tạo nên chuỗi lũy thừa, chuỗi Taylor – Maclaurin hay phương trình đa thức, đường cong, mũ Những lý thuyết làm thành phần góp phần thúc đẩy phát triển khoa học kỹ thuật, có tốn học Sự thể lũy thừa x n toán sau: Chuỗi lũy thừa Comment [A20]: Hàm số quy tắc cho tương ứng Phải muốn nói tới biểu thức xuất vế phải công thức Comment [A21]: Chú ý cách ký hiệu tập hợp số tự nhiên Biểu thức x n diện chuỗi lũy thừa   cn ( x  a)n  c0  c1 ( x  a)  c2 ( x  a)2  Đây hàm số biểu diễn dạng n 0 chuỗi lũy thừa Sự xuất hàm số dạng giúp giải nhiều tốn vật lý, hóa  (1) n x n học tốn học Chẳng hạn, vật lý hàm Bessel J ( x)   n sử dụng n  ( n !) để biểu diễn tượng tự nhiên, Kepler sử dụng giải phương trình mơ tả chuyển động hành tinh Ngoài ra, việc biểu diễn hàm số chuỗi lũy thừa mở cánh cửa cho việc lấy tích phân hàm số khơng có nguyên hàm sơ cấp, giải phương trình vi phân, xấp xỉ hàm số đa thức Chuỗi Taylor - Maclaurin Đây trường hợp đặc biệt chuỗi lũy thừa biểu diễn hàm số Chuỗi Taylor – Maclaurin   f ( n ) (a) f ( n) (0) n f ( x)   ( x  a) n , f ( x)   x giúp toán học mở rộng phạm vi n! n! n 0 n 0 hàm số lấy tích phân mà trước hàm chưa tính Chẳng hạn hàm số f ( x)  e x khơng lấy tích phân phương pháp mà biết đến nay, ngun hàm khơng phải hàm sơ cấp Ngoài việc mở rộng phạm vi hàm số lấy tích phân, chuỗi Taylor – Maclaurin cịn dùng cho tính xấp xỉ hàm số - phương pháp mà nhà khoa học máy tính thích chúng đa thức hàm số đơn giản nhất; sau nhà vật lý học, kỹ sư sử dụng phương pháp Comment [A22]: biểu thức? Nếu muốn gọi hàm số cần ký hiệu f(x) =… lĩnh vực lý thuyết tương đối, quang học, xạ vật đen, lưỡng cực điện, vận tốc sóng nước, phương trình biểu diễn lĩnh vực phức tạp  Đối với định nghĩa hàm logarit Phân tích cho thấy hàm số mũ nảy sinh phát triển độc lập với hàm số logarit Kết hàm số ngược hàm số mũ hàm số logarit hệ mối quan hệ chúng Điều thể vai trò định hàm số mũ việc định nghĩa hàm số logarit toán liên quan giải phương trình logarit 2.2.2 Đối với lĩnh vực khoa học kỹ thuật Phần trình bày ảnh hưởng hàm số mũ lĩnh khoa học kỹ thuật Cụ thể, tính chất hàm số mũ khai thác để ứng dụng nhiều toán quan trọng khoa học kỹ thuật, đặc biệt mơ hình sau Các mơ hình hóa liên quan hàm số mũ: Hàm số mũ phát huy tốt lĩnh vực khoa học kỹ thuật, mơ hình hóa có tính tăng trưởng (suy giảm) tự nhiên chủ đề đặc trưng cho hàm số mũ Như cho thấy, hàm số mũ nghiệm phương trình vi phân cấp y '  ky dùng biểu diễn dự đoán tượng có thay đổi theo thời gian Mặt khác, đạo hàm y ' có ý nghĩa biểu diễn cho tốc độ thay đổi y '  ky nên tốc độ tỷ lệ với quy mô tượng Đây yếu tố đặc biệt hàm số mũ vơ hữu ích cho việc mơ hình hóa tốn học tự nhiên có tính tăng trưởng (suy giảm) theo thời gian Mơ hình hóa tượng tăng trưởng dân số Tốc độ tăng trưởng tương đối: dP dP Gọi P(t) dân số vào thời điểm t, ta có  kP hay k dt P dt dP Đại lượng (tốc độ tăng trưởng chia cho quy mô dân số) gọi tốc độ tăng trưởng P dt tương đối Các tính chất sử dụng để xây dựng mơ hình hóa tốn học cho tượng tăng trưởng dân số với số liệu ví dụ chúng tơi lượt trích [[8], tr.447] sau: Ví dụ 1: Sử dụng liệu dân số giới 2560 triệu người vào năm 1950 3040 triệu người vào năm 1960 để mơ hình hóa dân số giới vào nửa sau kỷ 20 (Giả sử tốc độ tăng trưởng dân số tỷ lệ với quy mô dân số) Tốc độ tăng trưởng tương đối bao nhiêu? Sử dụng mơ hình để ước tính dân số giới vào năm 1993 dự đoán dân số vào năm 2020 Giải: Gọi t thời gian tính theo năm t=0 vào năm 1950 Gọi P(t) dân số tính theo triệu người Ta có: P(0)=2560 P(10)=3040 dP Theo giả thiết ta có:  kP dt Do đó: P(t )  P(0)ekt  2560ekt P(10)  2560e10k  3040 k 3040 ln  0,017185 10 2560 Tốc độ tăng trưởng tương đối 1,7%/năm mơ hình hóa tăng trưởng P(t )  2560e0,017185t Comment [A23]: Thay dấu xấp xỉ Ước tính dân số giới vào năm 1993 P(43)  2560e0,017185(43)  5360 triệu Dự đoán dân số vào năm 2020 P(70)  2560e0,017185(70)  8524 triệu Mơ hình hóa dựa giả định tốc độ tăng trưởng dân số tỷ lệ với quy mô dP dân số (  kP ) Tiếp theo cần xem xét tính hợp lý thực tế giả định Thật vậy, giả sử dt có quần thể (ví dụ vi khuẩn) có quy mơ P=1000 thời điểm định, quần thể phát triển với tốc độ P’=300 vi khuẩn/ Giả sử thêm 1000 vi khuẩn loại vào quần thể ban đầu Cũng trước, 1000 vi khuẩn thêm vào tăng trưởng với tốc độ 300 vi khuẩn/ Chúng ta đoán trước tổng số lượng vi khuẩn 2000 gia tăng với tốc độ ban đầu 600 vi khuẩn/ (nếu diện tích khơng gian điều kiện dinh dưỡng cho phép) Vậy, tăng quy mơ lên gấp đơi, tốc độ tăng trưởng tăng gấp đôi, hay tốc độ tăng trưởng tỷ lệ với quy mô quần thể điều hợp lý Rõ ràng, với mơ hình vừa khảo sát cho thấy hàm số mũ có tác động tích cực đến việc giải tượng có thay đổi theo thời gian Những tượng biến đổi theo thời gian thường gặp mà thực mơ hình hóa hàm số mũ như: phân rã chất phóng xạ, nồng độ chất phản ứng hóa học, giảm nhiệt vật thể so với môi trường xung quanh, Kết luận Phân tích hàm số mũ phát sinh hình thành xuất phát từ nhu cầu sống người qua toán lãi suất Bài báo cho thấy, với phát triển toán học khoa học kỹ thuật, hàm số mũ xây dựng trở nên khái niệm toán học hoàn thiện Bài báo khả đặc biệt hàm số mũ tác động mạnh mẽ, thúc đẩy đến phát triển khoa học kỹ thuật toán học Như vậy, hàm số mũ trường hợp minh chứng cho hai mặt tác động biện chứng trình phát triển khái niệm toán học mà báo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Trung, Nguyễn Chiến Thắng (2013), Lịch sử kiến thức tốn học trường phổ thơng, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội [2] Florian Cajori (1993), A history of mathematical notations – Two volumes bound as one, Dover publications – Inc New York [3] Lorenzo J Curtis (1978), Concept of the exponential law prior to 1900, Am J Phys., Vol 46, No 9, September 1978 [4] Victor J Katz (2009), A history of mathematics, Third edition, Pearson Education [5] Nguyễn Mạnh Cảng (2011), Dạy học mở rộng khái niệm số mũ lũy thừa lớp 12 trung học phổ thông (Ban nâng cao) theo quan điểm lý thuyết tình Comment [A24]: Thay dấu với dấu xấp xỉ, thay số mũ 0,017185.43 Comment [A25]: Tương tự huống, Tạp chí khoa học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Vol 57, No 10, pp 8-13 [6] Nhà xuất Hồng Đức (2016), Giải tích Calculus, phiên thứ [7] Bùi Phúc Trung (2011), Giáo trình Tốn tài 1, Trường Đại học Kinh tế TP Hồ Chí Minh, NXB Thống Kê [8] James Stewart (2010) Calculus Early Transcendentals 7E ABSTRACT Two aspects of dialectical impact of the process of developing mathematical concepts: case exponential function Exponential functions have many applications in life, science and technology The process of exponential to arise and to take shape from the needs of human life When completed, the exponential function effected, impulsed other areas of development, including mathematics The exponential function is a testament to the two dialectical effects of the process of developing the mathematical concept that the article points to shortly Keywords: Exponential, power, interest, growth, exponential law Comment [A26]: Nên bổ sung thông tin