BÀI 5: ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người BÀI 5: ƢỚC LƢỢNG CÁC THAM CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Mục tiêu - Hiểu rõ phương pháp ước lượng điểm ước lượng khoảng tin cậy, sở phương pháp xuất phát từ suy luận hợp lý từ thực nghiệm, - Nắm thủ tục bước tiến hành toán ước lượng giá trị tham số dựa tiêu chuẩn hàm ước lượng thông tin từ mẫu điều tra, cụ thể là: chọn tham số cơng thức cần sử dụng tìm khoảng tin cậy cho tham số tương ứng, biết phân tích giải thích ý nghĩa lý thuyết thực tế khoảng tin cậy, Nội dung I PHƢƠNG PHÁP ƢỚC LƢỢNG ĐIỂM I.1 Phƣơng pháp hàm ƣớc lƣợng I.1.1 Khái niệm Giả sử biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật phân phối xác suất biết dạng, giá trị tham số  chưa biết Ta phải ước lượng  thông qua kết thực nghiệm Muốn ta thực n phép thử độc lập X Khi ta có mẫu ngẫu nhiên kích thước n W = (X1; X2; ;Xi; ; Xn) Từ mẫu ta lập thống kê G  f X1 , X , , X n ,  Vì G hàm biến ngẫu nhiên nên gọi hàm ước lượng  Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người I.1.2 Các tiêu chuẩn lựa chọn hàm ước lượng I.1.2.1 Ước lượng không chệch Định nghĩa: Thống kê G gọi ước lượng không chệch tham số  biến ngẫu nhiên X E (G)   Ngược lại E (G)   G gọi ước lượng chệch  Như theo §4 chương 6, ta rút số kết luận sau: * Trung bình mẫu X ước lượng khơng chệch kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên X * Tần suất mẫu f ước lượng không chệch xác suất p trường hợp biến ngẫu nhiên gốc phân phối A(p) * Phương sai mẫu S2 phương sai S* ước lượng không chệch phương sai 2 Thí dụ: Để ước lượng trung bình (m) phân phối gốc Người ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n = xây dựng hàm ước lượng sau: a X  1 X1  X 2 b G1  X1  X 3 c G2  X1  X 5 Hãy chứng tỏ ước lượng không chệch m Giải Từ biến ngẫu nhiên gốc X tổng thể, ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n = Ta có: W = (X1; X2) Khi ta có: E(X1) = E(X2) = E(X) = m Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người V(X1) = V(X2) = V(X) =  Vậy: 1 1  1  1  E ( X )  E X  X   E X   E X   E  X   E  X  2 2  2  2  1 E( X )  m  m  m 2 X ước lượng không chệch m Tương tự X , ta dễ dàng thấy G1 G2 ước lượng không chệch m I.1.2.2 Ước lượng hiệu Định nghĩa: Thống kê G gọi ước lượng hiệu tham số  biến ngẫu nhiên gốc X ước lượng khơng chệch có phương sai nhỏ so với ước lượng khơng chệch khác xây dựng mẫu Để xét xem G có phải ước lượng hiệu tham số  biến ngẫu nhiên gốc X hay khơng ta cần phải tìm giá trị nhỏ có phương sai hàm ước lượng Người ta chứng minh rằng: + Trung bình mẫu X ước lượng hiệu kỳ vọng toán  biến ngẫu nhiên X ~ N ;  + Tần suất mẫu f ước lượng hiệu xác suất P biến ngẫu nhiên X~A(P) Khi ước lượng ước lượng khơng chệch  , song ước lượng hiệu so sánh phương sai chúng để tìm ước lượng hiệu hơn.Ước lượng có phương sai nhỏ ước lượng hiệu Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Thí du: Trở lại thí dụ mục 1.2.1 Ta có ước lượng X , G1 G2 ước lượng không chệch m Ta xét xem ước lượng X , G1 G2, ước lượng hiệu Ta có: 1 1  1  1  V ( X )  V  X  X   V  X   V  X   V X   V X  2  2  2  1 2  V (X )        0,5 4 Tương tự ta có: 13   0,56 ;V (G2 )    0,52 25 V(G1) = Như vậy: V( X ) < V(G2) < V(G1), nên X hiệu ước lượng G1 G2 I.1.2.3 Ước lượng vững Khi xét mẫu có kích thước n ta thấy mẫu lớn thống kê G mẫu gần tham số  cần ước lượng Định nghĩa: Thống kê G gọi ước lượng vững biến ngẫu nhiên X G hội tụ theo xác suất đến  n   + Trung bình mẫu ước lượng vững kỳ vọng toán biên ngẫu nhiên gốc X tuân theo quy luật phân phối chuẩn, vì:   lim P X      n  + Tần suất mẫu f ước lượng vững biến ngẫu nhiên gốc X tuân theo quy luật A(P), vì: lim P f  P     n  Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người I.2 Phƣơng pháp ƣớc lƣợng hợp lý tối đa Giả sử biết quy luật phân phối xác suất tổng quát biến ngẫu nhiên gốc X dạng hàm mật độ xác suất  cần phải ước lượng  X Lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n : W  X1 , X , , X n  Xây dựng hàm đối số  giá trị cụ thể mẫu Lx1 , x , , x n ,   f x1 ,  f x2 ,  f xn ,  Hàm L gọi hàm hợp lý tham số  Giá trị hàm hợp lý xác suất hay mật độ xác suất điểm x1 , x , , x n  Cịn giá trị thống kê G điểm đó: g  f x1 , x , , x n  gọi ước lượng hợp lý tối đa  ứng với giá trị  , hàm hợp lý đạt cực đại * Các bước tìm giá trị  để hàm L đạt cực đại: a Tìm đạo hàm bậc lnL theo  ( L lnL đạt cực đại giá trị  ) b Giải phương trình  ln L =0  Giả sử ta tìm nghiệm:     f x1 ; x2 , xn  ^ c Tìm đạo hàm bậc 2: ^ Nếu    mà  ln L   ln L  lnL đạt cực đại  Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Khi   f x , x , , x n  ước lượng hợp lý tối đa cần tìm  ^ I.3 Phƣơng pháp ƣớc lƣợng điểm Sau xác định hàm ước lượng G dùng để ước lượng tham số  (G phải có tính chất nêu trên, tối thiểu tính khơng chệch) dựa vào mẫu tính giá trị g G lấy g làm giá trị xấp xỉ cho  Cách ước lượng giá trị  gọi phương pháp ước lượng điểm II PHƢƠNG PHÁP ƢỚC LƢỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY II.1 Nội dung phƣơng pháp Để ước lượng tham số  biến ngẫu nhiên gốc X tổng thể, người ta chọn thống kê G mẫu, xây dựng khoảng giá trị [ T1 ;T2 ] cho với xác suất 1    cho trước, khoảng thỏa mãn: PT1    T2     (1) Khi T1 ,T2  thỏa mãn (1) gọi khoảng tin cậy ước lượng Còn xác suất 1    gọi độ tin cậy (hệ số tin cậy) ước lượng Để tìm khoảng tin cậy, ta xuất phát từ thống kê G mẫu Xây dựng hàm h  h , G  , cho quy luật phân phối xác suất biết khơng phụ thuộc vào  II.2 Đƣờng lối chung để tìm khoảng tin cậy Bước 1: Từ tập hợp tổng quát ta rút mẫu ngẫu nhiên kích thước n Từ xác định thống kê G mẫu để ước lượng  Bước 2: Chọn hàm h  h , G  cho quy luật phân phối xác suất h biết không phụ thuộc vào tham số  Bước 3: Với độ tin cậy 1    cho trước, tìm cặp giá trị 1 &  thỏa mãn: 1     Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Từ xác định cặp giá trị h1 & h2 tương ứng cho: Ph1  h  h2     Bước 4: Suy biểu thức tương đương: PT1    T2     III ƢỚC LƢỢNG KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN Giả sử tổng thể biến ngẫu nhiên gốc X phân phối chuẩn X ~ N  ,   chưa biết tham số  = E(X) Để xác định  , từ tập hợp tổng quát ( từ tổng thể ) ta rút mẫu ngẫu nhiên kích thước n: W  X1 , X , , X n  Từ mẫu ta xác định trung bình mẫu X  độ lệch tiêu chuẩn mẫu S  Để chọn hàm h thích hợp ta xét trường hợp sau: III.1 Trƣờng hợp biết phƣơng sai biến ngẫu nhiên X Hàm h chọn là: h U  X    n  Biến ngẫu nhiên U ~ N( , ) Với độ tin cậy 1    cho trước ta tìm cặp giá trị 1 &  cho 1     Từ ta tìm giá trị : h1  U 11 h2  U  Với độ tin cậy 1    tham số  biến ngẫu nhiên gốc X nằm khoảng: Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người      X  U2 ; X  U 1  n n   (2c) Đây khoảng tin cậy tổng quát Ta có khoảng tin cậy đặc biệt là: Khoảng tin cậy đối xứng: 1        P X  U    X  U n n     1   (3) Nếu 1   ;  ta có khoảng tin cậy bên trái  (ước lượng tối đa)    P      X  U      n   (4) Nếu 1  0;   ta có khoảng tin cậy bên phải  (ước lượng tối thiểu)    P X  U          n   (5) Minh họa hình học - Khoảng tin cậy đối xứng (hình 1) 1   2  T1  T2 (hình 1) - Khoảng tin cậy bên phải (hình 2), bên trái (hình 3) Xác suất thống kê tốn học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người 1   2   T1 T2 ( hình 2) (hình 3) * Với độ tin cậy 1    hiển nhiên khoảng tin cậy ngắn tốt Độ dài khoảng tin cậy ký hiệu I, ta thấy I ngắn khoảng tin cậy đối xứng I xác định công thức : I 2 n U (6) Từ (6) tìm kích thước mẫu tối thiểu n cho với độ tin cậy 1    cho trước, độ dài khoảng tin cậy không vượt giá trị I0 cho trước, Khi đó: Chú ý: n 4 2 U I 02 (7) Trong công thức (3) ta ký hiệu:   n U (8)  gọi độ xác ước lượng Nó phản ánh mức độ sai lệch trung bình mẫu so với trung bình tổng thể với xác suất 1    cho trước Thí dụ: Trọng lượng sợi biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn gam Cân thử 25 sợi loại ta thu bảng số liệu: Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Trọng lượng (gam) 20 21 22 23 Số sợi 12 Với độ tin cậy 0,95, tìm khoảng tin cậy đối xứng trọng lượng trung bình sợi nói Giải Gọi X là:” Trọng lượng sợi” Theo giả thiết X ~ N  ,   ,  = E(X) trọng lượng trung bình sợi, μ chưa biết cần ước lượng Đây toán ước lượng khoảng tin cậy đối xứng giá trị tham số  biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn N  ,   trường hợp biết  ,   1 Khoảng tin cậy đối xứng  :    P X  U    X  U n n 2     1   Lấy từ tổng thể mẫu ngẫu nhiên kích thước n = 25 Gọi Xi trọng lượng   sợi thứ i , i  1,25 Ta có mẫu: W  X1 , X , , X 25  Từ đó: X 25 k X i  x   ni xi  21,72  25 i 1 25 i 1 Với độ tin cậy (1   )  0,95  U   U 0,025  1,96 Vậy khoảng tin cậy đối xứng  Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 10 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người   1 1,96;21,72  1,96   21,72  25 25   21,72  0,392;21,72  0,392 21,328;22,122 gam Vậy với độ tin cậy 0,95, qua mẫu cụ thể, khoảng tin cậy đối xứng trọng lượng trung bình sợi : 21,328    22,122 gam III.2 Trƣờng hợp chƣa biết phƣơng sai biến ngẫu nhiên gốc X tổng thể kích thƣớc mẫu n < 30 Ta chọn hàm h: h T  X    n S X trung bình mẫu; S độ lệch tiêu chuẩn mẫu Ta biết T ~ T n1 Với độ tin cậy 1    cho trước ta tìm cặp giá trị 1 &  cho: 1     Từ tìm giá trị tới hạn Student tương ứng : h1  t1n11  & h2  tn22  Hoàn toàn tương tự mục (2.1) ta có khoảng tin cậy  với độ tin cậy 1    :  S n 1 S n1   X  t ; X  t  n n   Từ ta có khoảng tin cậy trường hợp đặc biệt sau: a Khoảng tin cậy đối xứng: 1    Xác suất thống kê toán học – Bài  Trang 11 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người  S n 1 S n 1  P X  t    X  t     n n   b (9) Khoảng tin cậy bên phải 1   ;   S n1  P      X  t     n   c (10) Khoảng tin cậy bên trái 1  0;     S n1 P X  t         n   (11) * Độ dài khoảng tin cậy ngắn lần độ xác xác định biểu thức: I  2.  2S n t n 1 (12) * Việc xác định kích thước mẫu tối thiểu n cho với độ tin cậy 1    cho trước, độ dài khoảng tin cậy không vượt giá trị I0 cho trước giải phương pháp mẫu kép Trước hết điều tra mẫu sơ m  W1  X1 , X , , X m  Từ xác định phương sai mẫu mẫu sơ đó: S2  Với : X  m  Xi  X m  i 1  m  Xi m i 1 Sau lập mẫu thứ kích thước( n – m ): W2  X m1 , X m2 , , X n  Người ta chứng minh rằng: Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 12 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người 1 n    Xi   n n i 1  T ~ T m 1 S Khi ta tìm t m 1 cho: 1 n S m1 n S m1  P  X i  t     X i  t      n n n n i 1 2  i 1  I Do đó: 2S n t m 1 Từ ta suy kích thước mẫu cần tìm: 4S n I0  m1  t      (13) Như vậy, dựa vào mẫu sơ có ta tìm kích thước mẫu thức đáp ứng yêu cầu chất lượng ước lượng Trên thực tế cần điều tra tiếp mẫu thứ có kích thước ( n – m ) đủ Chú ý: Trong trường hợp chưa biết  biến ngẫu nhiên gốc X kích thước mẫu n > 30 cơng thức (9, 10, 11, 12, 13 ) ta dùng U  thay cho tn1 Thí dụ: Phỏng vấn gia đình có người chi phí hàng tháng cho nhu yếu phẩm thu số liệu sau: 150 ngàn đồng; 180 ngàn đồng; 200 ngàn đông; 250 ngàn đồng; 300 ngàn đồng Vậy phải vấn gia đình loại để với độ tin cậy 95% sai số việc ước lượng chi phí trung bình hàng tháng cho nhu yếu phẩm không vượt 30 ngàn đồng Giả thiết chi phí hàng tháng cho nhu yếu phẩm biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Giải Gọi X chi phí hàng tháng cho nhu yếu phẩm  X ~ N  ,  , Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 13 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người  = E(X) chi phí nhu yếu phẩm trung bình chưa biết cần ước lượng Đây tốn xác định kích thước mẫu tối thiểu cho việc ước lượng tham số  phân phối N  ,   chưa biết rõ  Theo phương pháp mẫu kép, từ mẫu sơ kích thước n = Ta có: X  216 ngàn ; S  3530 ; t 04,975  2,776  I  2  2.30  60 ngàn Theo công thức (12) ta có :  4.3530 2   n , 776   31 gia đình  60  Như cần vấn thêm 31 – = 26 gia đình IV ƢỚC LƢỢNG KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI A(P) Giả sử tổng thể biến ngẫu nhiên X phân phối A(P), với E(X) = p V(X) = P.(1-P), P chưa biết cần phải xác định Để xác định P, từ tập hợp tổng quát ta rút mẫu ngẫu nhiên kích thước n: W  X1 , X , , X n  Với n lớn ta chọn: h U   f  P n ~ N (0,1) f (1  f ) Tiến hành hoàn toàn tương tự Ta có: a Nếu 1     , khoảng tin cậy đối xứng P : Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 14 Trung tâm Đào tạo E-Learning  P f    b f (1  f ) n f (1  f ) U   P  f  n  U   1   (14) Nếu 1   ;  , khoảng tin cậy bên trái (ULTĐ) P:  P    P  f    c Cơ hội học tập cho người f (1  f ) n  U       (15) Nếu 1  0;   , khoảng tin cậy bên phải (ULTT) P:  P f    f (1  f ) n  U   P         (16) * Độ dài khoảng tin cậy ngắn : I  2  f (1  f ) n U (17) * Kích thước mẫu tối thiểu đảm bảo độ tin cậy 1    cho trước độ dài khoảng tin cậy không vượt giá trị I0 cho trước  f (1  f )  n U  I   (18) Trong f tần suất mẫu sơ kích thước m  Thí dụ: Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm nhà máy A Ta thấy có 160 sản phẩm loại I Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại I tối đa nhà máy với độ tin cậy 0,95 Giải Gọi P tỷ lệ sản phẩm loại I nhà máy Bài toán yêu cầu ước lượng tham số P biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật A(P) khoảng tin cậy tối đa Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 15 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Công thức cần sử dụng là:  P    P  f    Theo ra, ta có: f (1  f ) n  U       n  400 m 160  f    0,4 m  160 n 400    0,95  U   U 0,05  1,645 Vậy khoảng tin cậy tối đa P là:   0,4  (1  0,4)  P  0,4   1,645    400    P  0,4  0,0403  P  0,4403 Kết luận: Với độ tin cậy 0,95, tỷ lệ sản phẩm loại I tối đa là: 0,4403% V ƢỚC LƢỢNG PHƢƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN THEO QUY LUẬT CHUẨN Giả sử tổng thể biến ngẫu nhiên gốc X phân phối theo quy luật chuẩn   N  ,  ,  = V(X) độ phân tán X chưa biết cần ước lượng Để ước lượng  từ tổng thể ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n: W  X1 , X , , X n  Từ mẫu ta xác định tham số đặc trưng mẫu mẫu Để chọn thống kê G ta xét trường hợp : V.1 Đã biết kỳvọng toán  biến ngẫu nhiên X Chọn : G  2  nS *2 2 (19) Thống kê  phân phối theo quy luật chuẩn với n bậc tự :  (n) Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 16 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Do với độ tin cậy 1    cho trước ta tìm cặp giá trị 1 &  cho 1     Cuối ta có:  nS *2 nS *2  P 2   1    ( n)   ( n )     (20) Với độ tin cậy 1    cho trước, khoảng tin cậy  có dạng:  nS *2 nS *2   ;   2 (n)  12 (n)    (21) Ta có khoảng tin cậy sau: a Nếu 1     ,ta có khoảng tin cậy hai phía:     nS *2 nS * P 2    1  ( n )   ( n)    1   (22) Cần ý khoảng tin cậy không đối xứng b Nếu 1   ;  , khoảng tin cậy bên phải   nS *2    1 P    1 (n)   (23) c Nếu 1  0;   , khoảng tin cậy bên trái   nS *2  P            ( n)  (24) V.2 Chƣa biết kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên X Chọn thống kê : G  2  Xác suất thống kê toán học – Bài n  1S 2 Trang 17 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Thống kê  phân phối theo quy luật  với ( n – ) bậc tự do, ta tìm cặp giá trị 1 &  để cho 1      (n  1) S (n  1) S  P 2   1    (n  1)   ( n  ) 11   Từ ta có: a Nếu 1     , ta có khoảng tin cậy hai phía     (n  1) S (n  1) S  P     1   (n  1)     (n  1) 1   b (26) Nếu 1   ;  , khoảng tin cậy bên trái    n  1S     1 P      ( n  ) 1   c (25) (27) Nếu 1  0;   , khoảng tin cậy bên phải   (n  1) S  P            (n  1)  (28) Thí dụ: Hãy ước lượng phương sai kích thước chi tiết sở số liệu mẫu cho bảng Kích thước SP 135 140 145 150 155 Số sản phẩm 10 Biết 1    0,05 kích thước chi tiết phân phối theo quy luật chuẩn Giải Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 18 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Gọi X kích thước chi tiết Theo giả thiết X ~ N  ,   ;   E (X ) kích thước trung bình chưa biết,   V ( X ) độ phân tán X chưa biết cần ước lượng Công thức cần sử dụng là:    (n  1) S (n  1) S  P     1   (n  1)     (n  1) 1   Số liệu có: n = 30, -  = 0,9    0,1    0,05  2 n  1   02,05 29  42,56 Vậy:  1  n  1   02,95 29  17,71 Qua mẫu cụ thể ta tìm : x  144,163 ms  33,48 n 30 ms  33,48  34,63 n 1 29  s  5,89 s2  Vậy khoảng tin cậy  : 29.34,63   29.34,63 2    17,71   42,56  21,98   Xác suất thống kê toán học – Bài  62,77  Trang 19 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người TÓM LƢỢC Phương pháp mẫu cho phép giải toán ước lượng tham số sau: Từ tổng thể nghiên cứu, rút mẫu ngẫu nhiên kích thước n dựa vào xây dựng thống kê G dùng để ước lượng  Thống kê G phải có số tính chất đó, tối thiểu phải ước lượng khơng chệch tham số θ Có phương pháp thường sử dụng G để ước lượng  : - Phương pháp ước lượng điểm - Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy Chương đề cập tới tốn ước lượng cụ thể, là: ước lượng giá trị trung bình tổng thể, ước lượng giá trị phương sai ước lượng tỷ lệ cấu thành tổng thể Chúc Anh/ Chị học tập tốt! TÀI LIỆU THAM KHẢO TỐNG ĐÌNH QUỲ: Giáo trình xác suất thống kê.NXB Giáo dục, 1999 NGUYỄN CAO VĂN, TRẦN THÁI NINH: Giáo trình Lý thuyết Xác suất Thống kê toán, Nhà xuất Giáo dục Hà Nội 2002 NGUYỄN THẾ HỆ: Lý thuyết xác suất thống kê toán, Viện Đại Học Mở Hà Nội 2011 NGUYỄN VĂN HỘ: Xác suất thống kê toán , Viện Đại Học Mở Hà Nội, 2001 Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 20 ... = 25 Gọi Xi trọng lượng   sợi thứ i , i  1, 25 Ta có mẫu: W  X1 , X , , X 25  Từ đó: X 25 k X i  x   ni xi  21,72  25 i 1 25 i 1 Với độ tin cậy (1   )  0, 95  U   U 0,0 25 ... phương sai kích thước chi tiết sở số liệu mẫu cho bảng Kích thước SP 1 35 140 1 45 150 155 Số sản phẩm 10 Biết 1    0, 05 kích thước chi tiết phân phối theo quy luật chuẩn Giải Xác suất thống...    0, 95  U   U 0, 05  1,6 45 Vậy khoảng tin cậy tối đa P là:   0,4  (1  0,4)  P  0,4   1,6 45    400    P  0,4  0,0403  P  0,4403 Kết luận: Với độ tin cậy 0, 95, tỷ lệ