Bài giảng lý thuyết xác suất và thông kê toán chương 7 ước lượng các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

Chương ƯỚC LƯNG CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂ Các số đặc trưng tổng thể trung bình tổng thể, tỷ lệ tổng thể, phương sai tổng thể, sử dụng nhiều phân tích kinh tế - xã hội lónh vực khác Nhưng số đặc trưng thường chưa biết Vì đặt vấn đề cần ước lượng chúng phương pháp mẫu Chúng ta nêu vấn đề thực tế dạng toán học sau: Cho đại lượng ngẫu nhiên X biết chưa biết phân phối xác suất chưa biết tham số θ X Hãy ước lượng θ phương pháp mẫu Vì θ số nên ta dùng số để ước lượng θ Ước lượng gọi ước lượng điểm Ngoài ước lượng điểm, ta dùng ước lượng khoảng Tức khoảng số (θ 1, θ 2) chứa θ I- PHƯƠNG PHÁP HÀM ƯỚC LƯNG 1- Mô tả phương pháp: Giả sử cần ước lượng tham số θ đ.l.n.n X Từ X ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n: WX = (X1, X2, , , Xn) Choïn ˆθ = f(X1, X2, , Xn) θˆ gọi hàm ước lượng θ Trong thực tế người ta thường chọn hàm ước lượng sau: ˆ ª Chọn θ = X = ∑ X i ước n n i =1 lượng trung bình tổng thể n 2 ˆ ª Chọn θ = S = ( X i − X) ∑ n − i =1 ước lượng phương sai tổng thể n ª Chọn θˆ = F = ∑ X i ước n i =1 lượng tỷ lệ tổng thể Từ mẫu cụ thể Wx = (x1, x2, , xn), * ˆ ˆ ta tính giá trị θ (ký hiệu làθ ) Tức là: ˆθ*= f(x1, x2, , xn) Ước lượng điểm θ * ˆ giá trị θ vừa tính -Ước lượng không chệch * Định nghóa: θˆ gọi ước lượng không chệch tham số θ nếu: ˆ E(θ) = θ ˆ ≠ θthì θ Ngược lại, E(θ) ước lượng chệch tham số θ 4- Xác định kích thước mẫu Vấn đề đặt là: ước lượng µ (hoặc p), ta muốn độ tin cậy − α độ xác ε đạt mức cho trước cần kích thước mẫu (n) tối thiểu ? 1- Xác định kích thước mẫu ước lượng trung bình tổng thể a- Nếu biết Var(X) = σ Từ công thức: ε = zα/2 suy ra: σ  n =  zα/  ε  σ n b- Neáu chưa biết σ , ta vào mẫu cho (nếu chưa có mẫu ta tiến hành lấy mẫu với kích thước n1 ≥ 30) để tính s Từ tính n theo công thức: s  n =  zα/  ε  * Chú ý: Nếu toán thực tế đòi hỏi n phải số nguyên tính n theo công thức ta thường kết số không nguyên, ta lấy phần nguyên kết cộng với Thí dụ: Khảo sát thu nhập 100 người ngành, người ta tính được: s = 1,94936 Nếu muốn ước lượng thu nhập trung bình người ngành với độ tin cậy 98% độ xác ε = 0,4 triệu đ/tháng cần khảo sát thu nhập người? Giải: Ta cần xác định kích thước mẫu (n) ước lượng trung bình tổng thể với độ tin cậy 98% độ xác ε = 0,4 Với 1- α = 98% z0,01= 2,326 Vaäy: 1,94936   n =  2,326  = 129 0,4   2- Xác định kích thước mẫu ước lượng tỷ lệ tổng thể Nếu biết f , từ công thức: ta suy ra: ε = zα /2 f (1 − f ) n f ( − f ) n = (zα /2) ε Nếu f, từ công thức: pq ε = zα /2 n suy ra: (z α / ) n= 4ε 5- Xác định độ tin cậy Khi tìm ước lượng khoảng µ (hoặc p), với kích thước mẫu (n) độ xác ε cho trước độ tin cậy ước lượng khoảng đạt %? 1- Xác định độ tin cậy ước lượng trung bình tổng thể Từ công thức: suy ra: ε = zα /2 ε n zα /2 = s s n Sau tính zα /2 ta tra bảng hàm Laplace để tìm Φ (zα /2) Độ tin cậy − α xác định theo công thức: − α = 2Φ (zα /2) 2- Xác định độ tin cậy ước lượng tỷ lệ tổng thể Từ công thức: ε = zα /2 f (1 − f ) suy ra: n ε n zα /2 = f (1 − f ) Độ tin cậy xác định theo công thức: − α = 2Φ (zα /2) Như vậy, tham số: n ; ε ; zα /2 ta biết hai tham số tính tham số lại (công thức tính suy từ công thức tính ε toán ước lượng) TÓM TẮT CHƯƠNG Ước lượng điểm Khái niệm Ước lượng không chệch Ưl k/chệch µ Ưl k/chệch σ Ưl k/chệch p Ước lượng khoảng Khái niệm Ưl µ Ưl p Ưl µ Ưl p Ước lượng µ Biết σ2 Chưa Biết σ n ≥ 30 Chưa Biết σ n < 30 Ước lượng p Xác định n Xác định 1-α Bài tập 7.6; 7.7; 7.8; 7.17 7.18; 7.19; 7.26 Hết chương ... pháp mẫu Vì θ số nên ta dùng số để ước lượng θ Ước lượng gọi ước lượng điểm Ngoài ước lượng điểm, ta dùng ước lượng khoảng Tức khoảng số (θ 1, θ 2) chứa θ I- PHƯƠNG PHÁP HÀM ƯỚC LƯNG 1- Mô... vấn đề cần ước lượng chúng phương pháp mẫu Chúng ta nêu vấn đề thực tế dạng toán học sau: Cho đại lượng ngẫu nhiên X biết chưa biết phân phối xác suất chưa biết tham số θ X Hãy ước lượng θ phương... xn) Ước lượng điểm θ * ˆ giá trị θ vừa tính 2 -Ước lượng không chệch * Định nghóa: θˆ gọi ước lượng không chệch tham số θ nếu: ˆ E(θ) = θ ˆ ≠ θthì θ Ngược lại, E(θ) ước lượng chệch tham số θ