ân phối đều rời rạc: 2. Phân phối không – một A(p): Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p) X 0 1 P q p 1 2 ... 1 1 1 ... X x x xk P k k k Định lý 1.1: X có phân phối A(p) thì E(X) = p, D(X) = p.q 3. Phân phối nhị thức B(n,p): Định nghĩa 1.2: Định lý1.2: ~ , . . , 0, k k n k n n p k C p q k n ~ , , , n p X np D npq 1 P q p Mod k n p n p 0 0 1 hoaëc k 1 1 ân phối đều rời rạc: 2. Phân phối không – một A(p): Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p) X 0 1 P q p 1 2 ... 1 1 1 ... X x x xk P k k k Định lý 1.1: X có phân phối A(p) thì E(X) = p, D(X) = p.q 3. Phân phối nhị thức B(n,p): Định nghĩa 1.2: Định lý1.2: ~ , . . , 0, k k n k n n p k C p q k n ~ , , , n p X np D npq 1 P q p Mod k n p n p 0 0 1 hoaëc k 1 1
Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất §1 Các quy luật phân phối rời rạc Phân phối rời rạc: Phân phối khơng – A(p): Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p) X x1 x2 xk P k k X P q k p Định lý 1.1: X có phân phối A(p) E(X) = p, D(X) = p.q Phân phối nhị thức B(n,p): k k nk ~ n , p k C , k 0, n Định nghĩa 1.2: n p q Định lý1.2: ~ n , p X np , D npq , Mod k0 n 1 p hoaëc k n 1 p 1 Phân phối siêu bội Bài toán: Cho hộp có N bi có M bi trắng lại đen Lấy ngẫu nhiên từ hộp n bi (khơng hồn lại), n khơng lớn M N-M Hãy lập bảng phân phối xác suất X số bi trắng lấy Giải: C Mk C Nn kM k , k 0, n n CN Định nghĩa 1.3: Phân phối nói gọi phân phối siêu bội H(N,M,n) ~ H ( N , M , n ) np , Định lý 1.3: Giả sử N n M D npq ,p N 1 N Ghi nhớ: lấy bi có hồn lại: phân phối nhị thức lấy bi khơng hồn lại: phân phối siêu bội Phân phối Poisson P(a),a>0: k Định nghĩa 1.4: a ~ a k e a , k 0,1, k! Định lý 1.4: X có phân phối P(a) E(X) = D(X) = a Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân phối P(8) Khi ấy: P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng bảng phân phối Poisson) X 12 0,936204 (cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm …) X 12 X 12 5 Chú ý: Nếu gọi X số người ngẫu nhiên sử dụng dịch vụ cơng cộng X tuân theo quy luật phân phối Poisson P(a) với a số người trung bình sử dụng dịch vụ Ví dụ 1.2: Quan sát 20 phút có 10 người vào trạm bưu điện Tính xác suất 10 phút có người vào trạm Giải: Gọi X số người ngẫu nhiên vào trạm 10 phút X có phân phối P(a), a = Khi ấy: 4 e 4! 5 §2: Các quy luật phân phối liên tục Phân phối chuẩn a , , Định nghĩa 2.1: ~ a, f x e 2 x a 2 Định lý 2.1: X có phân phối a , E(X) = a, D(X) = Định nghĩa 2.2: Đại lượng ngẫu nhiên U có phân phối chuẩn tắc (hay chuẩn hóa,Gauss,tự nhiên) N(0,1) nếu: f u u2 /2 e (hàm mật độ Gauss) 2 Định lý 2.2: U có phân phối N(0,1) u P(u ) (u ) FU u 0,5 u với u 0 t2 t /2 e dt 0,5 u 2 e dt tích phân Laplace (hàm lẻ) 2 Định lý 2.3: Giả sử U có phân phối N(0,1) Khi ta có: 1 u1 U u2 u2 u1 u2 u1 ; 2 U 2 Định lý 2.4: ~ a , U X a ~ 0,1 e 2 f (u ) u u u2 -hàm mật độ Gauss(hàm chẵn-HÌNH 3.1) t2 e dt - tích phân Laplace (hàm lẻ-HÌNH 3.2) 2 u 0.5, u 0.5 tra xuôi: 1, , ( tra hàng 1,9; cột bảng tích phân Laplace) .tra ngược: ? 0, 45 hàng 1,6; cột cột nên 1, 64 1, 65 ? $4.Tích phân Laplace (tt) : Tra xi máy tính: Q(u ) | (u ) | ES : MODE STAT AC SH STAT DISTR Q MS: MODE …SD SH DISTR Q 1, Q (1 ) , 1, Q ( ) , u u P(u ) t2 e dt 0,5 u 2 0, u u 0,5 P(u ) 0,5 • Hình 3.1 Hình 3.2 Định lý 2.5: Giả sử ~ a, Khi ta có: a a a a 1 a 2. Ví dụ 2.1:Chiều cao X niên có phân phối chuẩn N(165, 52 ).Một niên bị coi lùn có chiều cao nhỏ 160 cm.Hãy tính tỷ lệ niên lùn 160 165 X 160 1 0, 34134 0, X 160 (1) P(1) 0,15866 10 Ví dụ :Một đoạn thẳng AB =a cm bị ngắt ngẫu nhiên làm đôi điểm P Hãy tính diện tích trung bình hình chữ nhật có cạnh đoạn Giải : Ký hiệu X=AP ,khi X~U [0, a ], nghĩa là: X ~ fX x 1 , x 0 , a a , x 0 , a S X (a X ) a a2 E(S) x(a x)dx (cm ) a0 15 Định nghĩa 2.3:(X,Y) có phân phối miền D , n eáu ( x , y ) D f ( x, y) S ( D ) 0 , n eáu ( x , y ) D ,v ới S (D ) d iện tích m iền D 16 Ví dụ :Một đoạn thẳng AB =a cm bị ngắt ngẫu nhiên làm ba điểm P,Q Hãy tính thể tích trung bình hình hộp chữ nhật có cạnh đoạn Giải : Ký hiệu X=AP,Y=PQ ,khi (X,Y) có phân phối miền D : X a, Y a, X Y a nghĩa là: , n eáu ( x , y ) D f ( x, y) a , n eáu ( x , y ) D V X Y (a X Y ) a E(V ) dx a a x yx(a x y) dy (cm3 ) 17 Phân phối mũ E ( ) : Định nghĩa 2.3: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối mũ hàm mật độ X là: e x neáu x 0; f ( x) neáu x , 0 >0 Định lý 2.7 : X ~ E( ) E( X ) ( X ) Phân phối bình phương:(Xem SGK) Phân phối Student:(Xem SGK) 18 §3 Các định lý giới hạn ( luật số lớn) Định lý Chebyshev: • Định lý 3.1(Bất đẳng thức Chebyshep): Cho X đại lượng ngẫu nhiên.Khi ta có: P ( | X E ( X ) | ) D(X ) • Định lý 3.2 (Chebyshep): Cho dãy 1 , , , n , đơi độc lập có C : D( X k ) C, k Khi ta có: l i m P n n n k 1 X k n n k 1 E (X k ) Định lý Bernoulli: • Định lý 3.3 (Bernoulli): Nếu m số lần thành công dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành cơng p thì: 19 m lim P p n n Các định lý giới hạn trung tâm Định lý 3.4(Lyapounov): Giả sử 1 , , , n đôi độc lập n E X k E(X k) lim k 3/2 n n D k k 1 Khi ta có: n n i E i n n i 1 U i 1 N 0,1 n đủ lớn n 30 n D xi n i 1 20 Hệ 3.1: Giả sử thêm vào ta có E ( X i ) a, D( X i ) , i 1, n Khi ta có U n ( X i a) n n i 1 N (0,1) n đủ lớn Hệ 3.2: m p) n U n N (0,1) p(1 p ) ( n đủ lớn 21 Ví dụ 3.1:Biến ngẫu nhiên X trung bình cộng n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối: 1 , , n với phương sai: D i i 1, 2, n Xác định n cho với xác suất không bé 0,9973 : a) Hiệu cuả X-E(X) không vượt 0,01 b) Trị tuyệt đối X-E(X) không vượt 0,005 Bài giải: n i , E ( i ) a E X a; n i 1 D i 22 a ) E 0, 01 0, 9973 a n 0, 01 n U 0, 9973 0, 01 n , , 9 0, 01 n , , 2, 785 0, 01 n , n 0, 01 23 b) ( E 0, 005) 0, 9973 | X E ( X ) | n 0, 005 n P | U | 0, 005 n 2. 0, 9973 0, 9973 0, 005 n 0, 9973 3 0, 005 n n 0, 005 24 $4.Các cơng thức tính gần Công thức gần siêu bội nhị thức M Định lý 4.1: Khi n0: k Định nghĩa 1.4: a ~ a k e a , k 0,1, k! Định lý 1.4: X có phân phối P(a) E(X) = D(X) = a Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân. .. sử dụng dịch vụ cơng cộng X tuân theo quy luật phân phối Poisson P(a) với a số người trung bình sử dụng dịch vụ Ví dụ 1.2: Quan sát 20 phút có 10 người vào trạm bưu điện Tính xác suất 10 phút có