Các quy luật phân phối xác suất cơ bản

ân phối đều rời rạc: 2. Phân phối không – một A(p): Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p) X 0 1 P q p  1 2 ... 1 1 1 ... X x x xk P k k k Định lý 1.1: X có phân phối A(p) thì E(X) = p, D(X) = p.q 3. Phân phối nhị thức B(n,p): Định nghĩa 1.2: Định lý1.2: ~ , . . , 0,     k k n k n n p k C p q k n                ~ , , , n p X np D npq      1 P q p  Mod k n p n p 0 0  1 hoaëc k 1 1   ân phối đều rời rạc: 2. Phân phối không – một A(p): Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p) X 0 1 P q p  1 2 ... 1 1 1 ... X x x xk P k k k Định lý 1.1: X có phân phối A(p) thì E(X) = p, D(X) = p.q 3. Phân phối nhị thức B(n,p): Định nghĩa 1.2: Định lý1.2: ~ , . . , 0,     k k n k n n p k C p q k n                ~ , , , n p X np D npq      1 P q p  Mod k n p n p 0 0  1 hoaëc k 1 1   

Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất §1 Các quy luật phân phối rời rạc Phân phối rời rạc: Phân phối khơng – A(p): Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p) X x1 x2 xk P k k  X P q k p Định lý 1.1: X có phân phối A(p) E(X) = p, D(X) = p.q Phân phối nhị thức B(n,p): k k nk  ~  n , p    k  C , k  0, n     Định nghĩa 1.2: n p q Định lý1.2:  ~   n , p     X   np , D     npq , Mod  k0   n  1 p hoaëc k   n  1 p  1 Phân phối siêu bội Bài toán: Cho hộp có N bi có M bi trắng lại đen Lấy ngẫu nhiên từ hộp n bi (khơng hồn lại), n khơng lớn M N-M Hãy lập bảng phân phối xác suất X số bi trắng lấy Giải: C Mk C Nn kM    k   , k  0, n n CN Định nghĩa 1.3: Phân phối nói gọi phân phối siêu bội H(N,M,n)  ~ H ( N , M , n )       np , Định lý 1.3: Giả sử N n M D     npq ,p N 1 N Ghi nhớ: lấy bi có hồn lại: phân phối nhị thức lấy bi khơng hồn lại: phân phối siêu bội Phân phối Poisson P(a),a>0: k Định nghĩa 1.4: a  ~   a       k   e  a , k  0,1, k! Định lý 1.4: X có phân phối P(a) E(X) = D(X) = a Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân phối P(8) Khi ấy: P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng bảng phân phối Poisson)   X 12  0,936204 (cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm  …)    X  12     X  12       5 Chú ý: Nếu gọi X số người ngẫu nhiên sử dụng dịch vụ cơng cộng X tuân theo quy luật phân phối Poisson P(a) với a số người trung bình sử dụng dịch vụ Ví dụ 1.2: Quan sát 20 phút có 10 người vào trạm bưu điện Tính xác suất 10 phút có người vào trạm Giải: Gọi X số người ngẫu nhiên vào trạm 10 phút X có phân phối P(a), a = Khi ấy:    4  e 4! 5 §2: Các quy luật phân phối liên tục   Phân phối chuẩn  a ,  ,   Định nghĩa 2.1:  ~   a,   f  x   e  2  x  a  2 Định lý 2.1: X có phân phối   a ,   E(X) = a, D(X) =  Định nghĩa 2.2: Đại lượng ngẫu nhiên U có phân phối chuẩn tắc (hay chuẩn hóa,Gauss,tự nhiên) N(0,1) nếu: f u   u2 /2 e (hàm mật độ Gauss) 2 Định lý 2.2: U có phân phối N(0,1) u P(u )  (u )  FU  u   0,5   u với   u    0 t2  t /2 e dt  0,5    u  2 e dt tích phân Laplace (hàm lẻ) 2 Định lý 2.3: Giả sử U có phân phối N(0,1) Khi ta có: 1   u1  U  u2     u2     u1     u2     u1  ;  2   U     2              Định lý 2.4:  ~  a ,   U  X a  ~   0,1 e 2 f (u )  u  u    u2  -hàm mật độ Gauss(hàm chẵn-HÌNH 3.1) t2  e dt - tích phân Laplace (hàm lẻ-HÌNH 3.2) 2   u   0.5, u        0.5 tra xuôi:  1,   , ( tra hàng 1,9; cột bảng tích phân Laplace) .tra ngược:   ?   0, 45  hàng 1,6; cột cột nên 1, 64  1, 65 ? $4.Tích phân Laplace (tt) : Tra xi máy tính: Q(u ) |  (u ) | ES : MODE STAT AC SH STAT DISTR Q MS: MODE …SD SH DISTR Q  1,   Q (1 )  ,    1,    Q (  )   , u   u   P(u )    t2  e dt  0,5    u  2      0,        u     u   0,5  P(u )  0,5 • Hình 3.1 Hình 3.2 Định lý 2.5: Giả sử  ~  a,  Khi ta có:  a   a   a   a  1                                          a     2.                  Ví dụ 2.1:Chiều cao X niên có phân phối chuẩn N(165, 52 ).Một niên bị coi lùn có chiều cao nhỏ 160 cm.Hãy tính tỷ lệ niên lùn  160  165      X  160               1         0, 34134  0,     X  160   (1)  P(1)  0,15866 10 Ví dụ :Một đoạn thẳng AB =a cm bị ngắt ngẫu nhiên làm đôi điểm P Hãy tính diện tích trung bình hình chữ nhật có cạnh đoạn Giải : Ký hiệu X=AP ,khi X~U [0, a ], nghĩa là: X ~ fX x  1  , x  0 , a   a  , x  0 , a   S  X (a  X ) a a2 E(S)   x(a  x)dx  (cm ) a0 15 Định nghĩa 2.3:(X,Y) có phân phối miền D  , n eáu ( x , y )  D  f ( x, y)   S ( D ) 0 , n eáu ( x , y )  D  ,v ới S (D ) d iện tích m iền D 16 Ví dụ :Một đoạn thẳng AB =a cm bị ngắt ngẫu nhiên làm ba điểm P,Q Hãy tính thể tích trung bình hình hộp chữ nhật có cạnh đoạn Giải : Ký hiệu X=AP,Y=PQ ,khi (X,Y) có phân phối miền D :  X  a,  Y  a, X  Y  a nghĩa là:   , n eáu ( x , y )  D f ( x, y)   a  , n eáu ( x , y )  D  V  X Y (a  X  Y ) a E(V )   dx a a x  yx(a  x  y) dy (cm3 ) 17 Phân phối mũ E ( ) : Định nghĩa 2.3: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối mũ hàm mật độ X là:  e  x neáu x  0; f ( x)   neáu x  , 0  >0 Định lý 2.7 : X ~ E( )  E( X )   ( X )   Phân phối bình phương:(Xem SGK) Phân phối Student:(Xem SGK) 18 §3 Các định lý giới hạn ( luật số lớn) Định lý Chebyshev: • Định lý 3.1(Bất đẳng thức Chebyshep): Cho X đại lượng ngẫu nhiên.Khi ta có: P ( | X  E ( X ) |  )  D(X )  • Định lý 3.2 (Chebyshep): Cho dãy 1 ,  , ,  n , đơi độc lập có C  : D( X k )  C, k Khi ta có:  l i m P  n   n n  k 1 X k  n n  k 1 E (X k  )      Định lý Bernoulli: • Định lý 3.3 (Bernoulli): Nếu m số lần thành công dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành cơng p thì: 19  m  lim P   p    n   n  Các định lý giới hạn trung tâm Định lý 3.4(Lyapounov): Giả sử 1 ,  , ,  n đôi độc lập n E X k  E(X k)  lim k   3/2 n  n   D   k    k 1  Khi ta có: n n i   E  i   n n i 1 U  i 1  N  0,1 n đủ lớn  n  30  n D  xi   n i 1 20 Hệ 3.1: Giả sử thêm vào ta có E ( X i )  a, D( X i )   , i  1, n Khi ta có U n (  X i  a) n n i 1   N (0,1) n đủ lớn Hệ 3.2: m  p) n U n  N (0,1) p(1  p ) ( n đủ lớn 21 Ví dụ 3.1:Biến ngẫu nhiên X trung bình cộng n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối: 1 ,  ,  n với phương sai: D   i    i  1, 2, n  Xác định n cho với xác suất không bé 0,9973 : a) Hiệu cuả X-E(X) không vượt 0,01 b) Trị tuyệt đối X-E(X) không vượt 0,005 Bài giải: n     i , E (  i )  a  E  X   a; n i 1 D i        22 a )   E   0, 01  0, 9973    a n  0, 01 n    U     0, 9973       0, 01 n       ,  , 9    0, 01 n       ,    ,     2, 785  0, 01 n   ,  n    0, 01   23 b)  (   E     0, 005)  0, 9973  | X  E ( X ) | n 0, 005 n  P  | U |      0, 005 n   2.    0, 9973      0, 9973   0, 005 n  0, 9973      3        0, 005 n    n     0, 005  24 $4.Các cơng thức tính gần Công thức gần siêu bội nhị thức M Định lý 4.1: Khi n0: k Định nghĩa 1.4: a  ~   a       k   e  a , k  0,1, k! Định lý 1.4: X có phân phối P(a) E(X) = D(X) = a Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân. .. sử dụng dịch vụ cơng cộng X tuân theo quy luật phân phối Poisson P(a) với a số người trung bình sử dụng dịch vụ Ví dụ 1.2: Quan sát 20 phút có 10 người vào trạm bưu điện Tính xác suất 10 phút có