Bài tập 2.2.1. Cho tam giác ABC với (I) là đường tròn nội tiếp. Tiếp điểm của (I) trên BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Gọi M, N, P lần lượt là điểm chung của các cặp đường thẳng (EF,BC), (DF,CA), (DE,AB).
Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. Bài giải
* Xét cực và đối cực đối với (I).
Vì AI là phân giác góc A, mà ∆AEF cân tại A ⇒AI⊥EF. Áp dụng định lý Brianchon ta có: AD, BE, CF đồng quy tại S. Dễ thấy rằng đường đối cực của M đi qua D nên suy ra đường đối cực của M là AD.
Hoàn toàn tương tự ta cũng có: đường đối cực của N là BE và đường đối cực của P là CF.
Bài tập 2.2.2. Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với BC, CA, AB lầ lượt là D, E, F. Đường tròn nội tiếp tam giác DEF tiếp xúc với EF, FD, DE lần lượt là M, P, N.
Chứng minh rằng: AM, BP, CN đồng quy. Bài giải
Gọi I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF và
ABC.
GọiH, K, Llần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng(M P, EF),
(M N, F D), (M P, DE).
Theo bài toán [2.2.1] thì H, K, L thẳng hàng (*).
+ Áp dụng định Brianchon đối với ∆DEF nội tiếp đường tròn
(I) ta có DM, EN, F P đồng quy nên H, M, F, E thẳng hàng. Do đó M thuộc đường đối cực của (H) đối với (O) .
Mặt khác: E, F lần lượt là tiếp điểm của các đường tiếp tuyến
AC và AB đối với (O) suy ra OA⊥EF. Do đó A thuộc đường đối cực của H đối với (O) nên ta có AM là đường đối cực của H đối với (O)
(1).
Tương tự ta có:
• CN là đường đối cực của L đối với (O) (3). Từ (1), (2), (3), (*) ta có đpcm.
Bài tập 2.2.3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của (O) tại A, B cắt nhau tại S. Một cát tuyến quay quanh S cắt CA, CB tại M, N và cắt (O) lần lượt tại P, Q.
Chứng minh rằng M,N,P,Q thẳng hàng. Bài giải
Vẽ tiếp tuyến M E, M F của (O) cắt SA, SB tại K, L. Gọi I = SM ∩KL.
• Áp dụng định lý Brianchon cho lục giác SKM L ngoại tiếp đường tròn (O), ta có: BE, SM, KL, AD đồng quy tại I.
• Áp dụng định lý Pascal cho lục giác nội tiếp ADEEBC, ta có:
AD ∩BE = I
DE ∩BC = N0
EE ∩CA = M
thẳng hàng
Do ED là đường đối cực của M đối với (O) nên M, N, P, Q thẳng hàng.
Bài tập 2.2.4. Cho đường tròn (S) và hai điểm I, J trên nó. Lấy 2 điểm A, B lần lượt nằm trên tiếp tuyến (S) tại I, J. Vẽ AC và BD tiếp xúc với (S) lần lượt tại C và D. Kí hiệu P = ID∩AC, Q = J C∩BD. Chứng minh rằng: P Q∩AB ∈ IJ.
Bài giải (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ta có bốn điểm C, D, I, J ∈ (S) nên 3 đường AB, CD, P Q đồng quy (1).
• Sáu đường thẳng IA, IA, AC, BJ, BJ, BD tiếp xúc với (S) nên áp dụng định lý Brianchon ta có ba đường IJ, AB và đường thẳng nối hai điểm IA∩ BD và AC ∩ BJ đồng quy.
• Sáu đường AC, AC, AI, BD, BD, BJ tiếp xúc với(S)nên áp dụng định lý Brianchon ta có ba đường CD, AB và đường thẳng nối hai điểm IA∩BD và AC∩BJ đồng quy. Suy ra ba đường IJ, CD, AB
đồng quy (2).
Từ (1) và (2) suy ra P Q, AB, IJ đồng quy hay P Q∩AB thuộc IJ. Bài tập 2.2.5. Hãy dựng thêm tiếp tuyến của đường tròn(S) biết năm tiếp tuyến thuộc (S).
Bài giải
Giả sử (S) có năm tiếp tuyến a1, a2, a3, a4, a5. Ta cần dựng thêm tiếp tuyến a6 của (S).
+ Cách dựng:
• Bước 1: (d) = ((a1 ∩a2),(a4 ∩a5)).
• Bước 2: Trên (d) lấy điểm O bất kỳ.
• Bước 3: Dựng: (
d1 = (O, a2 ∩a3);
d2 = (O, a3 ∩a4).
• Bước 4: Khi đó đường thẳng a6 = (a1∩d2, a5∩d1) là đường thẳng cần tìm.
+ Chứng minh:
Xét lục giác tạo bởi a1, a2, a3, a4, a5, a6. Vì (d) đi qua (a1 ∩a2, a4 ∩ a5);
(d1) đi qua (a2 ∩a3, a5 ∩a6);
(d2) đi qua (a3 ∩a4, a6 ∩a1).
Do d, d1, d2 đồng quy nên theo định lý Brianchon giác này ngoại tiếp một đường tròn(S0)nào đó; mà sáu đường thẳnga1, a2, a3, a4, a5, a6
Vậy ta đã dựng được tiếp tuyến a6 ∈ S.
Bài tập 2.2.6. Hãy dựng thêm tiếp tuyến của đường tròn (S) biết bốn tiếp tuyến thuộc (S).
Bài giải
Giả sử ta dựng được bốn tiếp tuyến a, b, c, d và M là tiếp điểm của a. Ta cần dựng tiếp tuyến e của (S).
+ Cách dựng:
• Bước 1: Dựng p qua (M, c∩d).
• Bước 2: Trên p lấy O bất kỳ.
• Bước 3: Dựng q qua (O, a∩ b), r qua (O, b∩c).
• Bước 4: Khi đó, e = (a∩r, d∩q) là tiếp tuyến cần dựng. +Chứng minh:
Xét lục giác được tạo ra bởi sáu cạnh aabcde có: p qua (M, c∩d) (M = a∩a); q qua (a∩b, e∩d); r qua (b∩c, a∩e).
Do p, q, r đồng quy nên theo định lý Brianchon, ngũ giác này nội tiếp một đường tròn (S0) nào đó; mà qua bốn đường thẳng a, b, c, d và 1 tiếp điểm M của a có duy nhất 1 đường tròn (S) nên S ≡ S0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vậy e là tiếp tuyến của (S).
Bài tập 2.2.7. Hãy dựng thêm tiếp tuyến của đường tròn (S) biết ba tiếp tuyến của (S) và hai tiếp điểm của a, b (a, b là hai tiếp tuyến của
(S)).
Bài giải
Giả sử A, B, C ∈ (S), tiếp tuyến a đi qua A và tiếp tuyến b đi qua
B. Ta cần dựng d của (S). +Cách dựng:
• Bước 1: Dựng p qua (A), b∩c;
• Bước 2: Trên p lấy điểm O bất kỳ;
• Bước 3: Dựng q qua B, O, r = (O);
+Chứng minh:
Xét lục giác tạo bởi sáu cạnh aabbqq có: p qua b∩c và A= (a∩a); q qua a∩d và B = (b∩b); r qua a∩b và (c∩d).
Do p, q, r đồng quy tại O nên theo định lý Brianchon, lục giác này nội tiếp một đường tròn (S0) nào đó; mà qua ba tiếp tuyến a, b, c và hai tiếp điểm A, B lần lượt của a, b xác định duy nhất đường tròn (S)
nên S ≡ S0.
Suy ra D ∈ (S).
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. (ABN) cắt CD ở P, (CDM) cắt AB ở Q.
Chứng minh rằng AC, P Q, BD đồng quy.
Bài 2. Cho parabol (G) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC
cố định. Chứng minh rằng: mỗi đường thẳng nối hai điểm thuộc hai cạnh cho trước đều đi qua một điểm cố định, ba đường thẳng nối mỗi đỉnh với tiếp điểm thuộc cạnh đối diện đồng quy tại điểm E. Tìm quỹ tích điểm E.
Bài 3. Cho elip (G) và tam giác ABC có các cạnh AB, BC, CA
tiếp xúc với (G) lần lượt tại các điểm M, N, L. Chứng minh rằng [ABM].[BCN].[CAL] = −1.
Bài 4. Cho parabol (G) và tam giác AC có các cạnh tiếp xúc với
(G).Từ B kẻ đường thẳng b0 song song với AC. Đặt H và K là hai giao điểm của b; với (G). Đặt L là giao điểm của hai tiếp tuyến tại H
và K của (G).
Chứng minh rằng: LA song song với BC còn LC song song với AB.
Bài 5. Trong mặt phẳng afin cho (H) với hai đường tiệm cận a
và b. Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên (H). Gọi a0 là đường thẳng đi qua A và song song với a, b0 là đường thẳng đi qua B và song song với b. Đường thẳng AC ∩ b0 = P, BD ∩ a0 = Q. Chứng minhh rằng:
Kết luận
Khóa luận với đề tài: “ Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon trong Hình học sơ cấp”, tôi đã nghiên cứu được các nội dung chủ yếu sau:
• Luận văn trình bày một số bài tập hình học phẳng liên quan đến đường tròn được giải bằng cách ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon trong hình học sơ cấp. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
• Ngoài sự nỗ lực học hỏi và tìm tòi của bản thân, đề tài của tôi đã được hoàn thành dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn của cô NGUYỄN THỊ TRÀ cùng ý kiến đóng góp của các thầy cô trong khoa Toán và các bạn sinh viên. Theo tôi, đề tài thực tập cơ bản đã đạt được mục đích đề ra, nó đã mang lại sự cần thiết và những lợi ích của thực tập chuyên ngành nói chung và việc đào tạo Cử nhân ngành Toán nói riêng, góp phần thúc đẩy sự tìm tòi, nghiên cứu toán học của bản thân tôi.
Tuy nhiên do thời gian có hạn và mới bắt đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài này cũng không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mong được sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của thầy, cô và các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn.
[1] Bùi Văn Bình, Nguyễn Văn Vạn, Hình học sơ cấp tập 1, Nhà xuất bản Giáo dục 1993.
[2] Văn Như Cương, Hình học xạ ảnh, Nhà xuất bản Giáo dục 1998. [3] Văn Như Cương, Bài tập Hình học xạ ảnh, Nhà xuất bản Giáo dục
1998.
[4] Phạm Bình Đô, Bài tập Hình học xạ ảnh, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm 2008.
[5] Nguyễn Minh Chương, Lê Đình Phi, Nguyễn Công Quý, Hình học sơ cấp, Nhà xuất bản Giáo dục Hà Nội 1965.