Một số tính chất của đa thức đối xứng và ứng dụng trong đại số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN THƯ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐA THỨC ĐỐI XỨNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 40 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN MINH THÁI NGUYÊN – 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Khái niệm đa thức đối xứng 1.1 Đa thức đối xứng hai biến 1.1.1 Các khái niệm 1.1.2 Tổng lũy thừa công thức Waring 1.1.3 Các định lý đa thức đối xứng hai biến 1.2 Đa thức đối xứng ba biến 1.2.1 Các khái niệm 1.2.2 Tổng lũy thừa tổng nghịch đảo 1.2.3 Quỹ đạo đơn thức 1.2.4 Các định lý đa thức đối xứng ba biến 1.2.5 Đa thức phản đối xứng Ứng dụng tính chất đa thức đối xứng để giải số toán đại số 2.1 Một số tập tính tốn 2.2 Phân tích đa thức thành nhân tử 2.3 Phương trình đối xứng phương trình hồi quy 2.4 Giải hệ phương trình 2.4.1 Hệ phương trình đối xứng hai ẩn ứng dụng 2.4.2 Hệ phương trình đối xứng ba ẩn 2.5 Tìm nghiệm nguyên phương trình đối xứng 2.6 Chứng minh đẳng thức 2.7 Chứng minh bất đẳng thức Đa 3.1 3.2 3.3 thức đối xứng n biến ứng dụng Các khái niệm Biểu diễn tổng lũy thừa qua đa thức đối xứng sở Các định lý đa thức đối xứng nhiều biến Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 11 11 12 14 16 19 21 21 24 27 33 33 37 42 44 50 58 58 60 63 3.4 3.5 3.6 Đa thức phản đối xứng nhiều biến 66 Phương trình hệ phương trình 68 Chứng minh đẳng thức Phân tích đa thức thành nhân tử 72 Kết luận 79 Tài liệu tham khảo 80 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Các tốn đại số ln chiếm vị trí quan trọng tốn phổ thơng, lĩnh vực mà nhà nghiên cứu sáng tạo đầy đủ hồn thiện Tính đối xứng đại số phần quan trọng đại số sơ cấp, toán quen thuộc tài liệu liên quan đến đại số sơ cấp, kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Trong trình giải nhiều toán đại số dạng trực tiếp dạng gián tiếp nhận tốn liên quan đến đa thức đối xứng, giải tốn cách đơn lẻ gặp khơng khó khăn tính hiệu khơng cao giải toán loại Việc nắm bắt đầy đủ khái niệm tính chất đa thức đối xứng, thơng qua áp dụng giải số toán liên quan đến đa thức đối xứng vấn đề nhiều người quan tâm Luận văn giới thiệu khái niệm, tính chất đa thức đối xứng ứng dụng để giải toán đại số thường gặp chương trình tốn sơ cấp Luận văn "Một số tính chất đa thức đối xứng ứng dụng đại số" gồm có phần mở đầu, ba chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Chương Các khái niện đa thức đối xứng Trong chương tác giả trình bày khái niệm, tính chất đa thức đối xứng hai biến, ba biến Một đóng góp nhỏ có ý nghĩa chương Hệ 1.1 công thức Newton Công thức thường sử dụng tốn tính giá trị biểu thức Chương Ứng dụng tính chất đa thức đối xứng để giải số tốn đại số Chương tác giả trình bày ứng dụng đa thức đối xứng ví dụ minh họa cụ thể Các ứng dụng phổ biến tài liệu đại số chương trình tốn phổ thơng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Đa thức đối xứng n biến ứng dụng Chương tác giả trình bày kiến thức đa thức đối xứng n biến số ứng dụng phổ biến thường gặp Luận văn nghiên cứu phần nhỏ đại số thu số kết định Tuy nhiên, luận văn chắn cịn nhiều thiếu xót, nên mong góp ý thầy cơ, bạn đồng nghiệp độc giả quan tâm đến nội dung luận văn để luận văn tác giả hoàn thiện Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hường dẫn TS Nguyễn Văn Minh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới quan tâm thầy, tới thầy cô Ban Giám hiệu, Phịng Đào tạo Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học Đồng thời tác giả xin cảm ơn tới Sở GD - ĐT tỉnh Yên Bái, Ban Giám hiệu, bạn đồng nghiệp trường THPT Hoàng Văn Thụ huyện Lục Yên - Yên Bái gia đình tạo điều kiện cho tác giả học tập hoàn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 10 tháng 06 năm 2012 Tác giả Phạm Văn Thư Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Khái niệm đa thức đối xứng 1.1 1.1.1 Đa thức đối xứng hai biến Các khái niệm Định nghĩa 1.1 (Theo [2]) Một đơn thức f(x,y) biến độc lập x, y (trường hợp chung số phức) hiểu hàm số có dạng f (x, y) = akl xk y l , akl = số (hằng số), k, l số nguyên không âm Số akl gọi hệ số, k+l gọi bậc đơn thức f(x,y) kí hiệu deg[f (x, y)] = deg[axk y l ] = k + l Các số k, l tương ứng gọi bậc đơn thức biến x, y Như vậy, bậc đơn thức hai biến tổng bậc đơn thức theo biến Chẳng hạn: 3x4 y x2 y đơn thức theo x, y với bậc tương ứng Định nghĩa 1.2 (Theo [2]) Hai đơn thức biến x, y gọi đồng dạng (tương tự), chúng có hệ số khác Như vậy, hai đơn thức gọi đồng dạng, chúng có dạng: Axk y l , Bxk y l (A = B) Định nghĩa 1.3 (Theo [2]) Giả sử Axk y l Bxm y n hai đơn thức biến x, y Ta nói đơn thức Axk y l trội đơn thức Bxm y n theo thứ tự biến x, y, k > m, k = m l > n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chẳng hạn: Đơn thức 3x4 y trội đơn thức 3x2 y , đơn thức x4 y trội đơn thức x4 y Định nghĩa 1.4 (Theo [2]) Một hàm số P(x,y) gọi đa thức theo biến số x, y, biểu diễn dạng tổng hữu hạn đơn thức Như vậy, đa thức P(x,y) theo biến số x, y hàm số có dạng akl xk y l P (x, y) = k+l n, ta có sm+n = sm sn − σ2n sm−n (1.2) Thật vậy, sm+n = xm+n + y m+n = (xm + y m )(xn + y n ) − xn y n (xm−n + y m−n ) = sm sn − σ2n sm−n Sử dụng công thức (1.1) biểu thức s1 , s2 chứng minh trên, ta nhận biểu thức sau s = x + y = σ1 , s2 = σ12 − 2σ2 , s3 = σ13 − 3σ1 σ2 , s4 = σ14 − 4σ12 σ2 + 2σ22 , s5 = σ15 − 5σ13 σ2 + 5σ1 σ22 Việc tính tổng lũy thừa sk theo cơng thức lặp (1.1) khơng thuận tiện phải biết trước tổng sk sk−1 Đôi ta cần có biểu thức sk phụ thuộc vào σ1 σ2 Công thức tương ứng tìm năm 1779 nhà tốn học người Anh E.Waring Định lý 1.2 (Công thức Waring (Theo [2])) Tổng lũy thừa sk biểu diễn qua đa thức đối xứng sở σ1 σ2 theo công thức [k/2] (−1)m (k − m − 1)! k−2m m sk = σ1 σ2 , k m! (k − 2m)! m=0 [k/2] kí hiệu phần ngun k/2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.3) Chứng minh Ta chứng minh công thức (1.3) phương pháp quy nạp Với k=1, k=2 cơng thức tương ứng có dạng 1 s1 = σ1 , s2 = σ12 − σ2 2 Như vậy, với k=1, k=2 công thức (1.3) Giả sử công thức Waring cho s1 , s2 , , sk−1 Để chứng minh công thức cho sk ta sử dụng cơng thức (1.1) Ta có 1 sk = [σ1 sk−1 − σ2 sk−2 ] = k k k−1 (−1)m (k − m − 2)! k−2m−1 m σ2 − = σ1 σ1 k m=0 m! (k − 2m − 1)! k−1 (−1)n (k − n − 3)! k−2n−2 n − σ2 = σ2 σ k n! (k − 2n − 2)! n (−1)m (k − m − 2)! (k − 1) k−2m m = σ1 σ2 − k m m! (k − 2m − 1)! (−1)n (k − n − 3)! (k − 2) k−2n−2 n+1 − σ1 σ2 k n n! (k − 2n − 2)! Trong tổng thứ hai thay n+1 m Khi hai tổng kết hợp thành sau: (−1)m (k − m − 2)! (k − 1) k−2m m sk = σ1 σ2 − k k m! (k − 2m − 1)! (−1)m−1 (k − m − 2)! (k − 2) k−2m m − σ1 σ2 = k m (m − 1)! (k − 2m)! k−1 k−2 (−1)m (k − m − 2)! + σ1k−2m σ2m k m m! (k − 2m − 1)! (m − 1)! (k − 2m)! Sử dụng công thức m k − 2m = , = , (m − 1)! m! (k − 2m − 1)! (k − 2m)! ta có (k − 1)(k − 2m) (k − 2)m k(k − m − 1) + = m!(k − 2m)! m!(k − 2m)! m!(k − 2m)! Cuối cùng, (k − m − 1).(k − m − 2)! = (k − m − 1)! nên ta có cơng thức cần phải chứng minh: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [k/2] (−1)m (k − m − 1)! sk = σ1k−2m σ2m , k m! (k − 2m)! m=0 Công thức Waring cho biểu thức sn = xn + y n theo σ1 = x + y, σ2 = xy sau s = σ1 ; s2 = σ12 − 2σ2 ; s3 = σ13 − 3σ1 σ2 ; s4 = σ14 − 4σ12 σ2 + 2σ22 ; s5 = σ15 − 5σ13 σ2 + 5σ1 σ22 ; s6 = σ16 − 6σ14 σ2 + 9σ12 σ22 − 2σ23 ; s7 = σ17 − 7σ15 σ2 + 14σ13 σ22 − 7σ1 σ23 ; s8 = σ18 − 8σ16 σ2 + 20σ14 σ22 − 16σ12 σ23 + 2σ24 ; s9 = σ19 − 9σ17 σ2 + 27σ15 σ22 − 30σ12 σ23 + 9σ1 σ24 ; s10 = σ110 − 10σ18 σ2 + 35σ16 σ22 − 50σ14 σ23 + 25σ12 σ24 − 2σ25 ; 1.1.3 Các định lý đa thức đối xứng hai biến Định lý 1.3 (Theo [2]) Mọi đa thức đối xứng P(x,y) biến x, y biểu diễn dạng đa thức p(σ1 , σ2 ) theo biến σ1 = x + y σ2 = xy , nghĩa P (x, y) = p(σ1 , σ2 ) (1.4) Chứng minh Trước hết ta xét trường hợp đơn thức, lũy thừa x y bậc, nghĩa đơn thức dạng axk y k Hiển nhiên axk y k = a(xy)k = aσ2k Tiếp theo, xét đơn thức dạng bxk y l (k = l) Vì đa thức đối xứng, nên có số hạng dạng bxl y k Để xác định, ta giả sử k < l xét tổng hai đơn thức b(xk y l + xl y k ) = bxk y k (xl−k + y l−k ) = bσ2k sl−k Theo công thức Waring sl−k đa thức biến σ1 , σ2 , nên nhị thức nói đa thức σ1 , σ2 Vì đa thức đối xứng tổng số hạng dạng axk y k b(xk y l + xl y k ), nên đa thức đối xứng biểu diễn dạng đa thức theo biến σ1 σ2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... σ3 đa thức đối xứng sở 20 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.13) Chương Ứng dụng tính chất đa thức đối xứng để giải số toán đại số 2.1 Một số tập tính. .. Theo định lý (1.8), quỹ đạo lại đa thức theo đa thức đối xứng sở, đa thức đối xứng biểu diễn dạng đa thức theo đa thức đối xứng sở 16 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn...n đến tính đối xứng đại số Trình bày nhiều cơng thức tính cho tổng lũy thừa biến theo đa thức đối xứng sở biến tương ứng Tiếp tục nghiên cứu để xây dựng toán đại số liên quan đến đa thức đối xứn