Một số tính chất số học của định thức wendt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN HỒNG ĐẠO MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA ĐỊNH THỨC WENDT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN HỒNG ĐẠO MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA ĐỊNH THỨC WENDT Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Duy Tân THÁI NGUYÊN - 2018 Mục lục Lời mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Định thức ma trận chu trình 1.2 Kết thức hai đa thức 1.3 Vài nét số nguyên đại số 11 Một số tính chất định thức Wendt 14 2.1 Định thức Wendt số tính chất 14 2.2 Định thức Wendt định lý Fermat lớn 19 Một số tính chất số học định thức Wendt 26 3.1 Một số tính chất chia hết Wn 26 3.2 Một tính chất đồng dư Wpn 33 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Lời mở đầu Tính chất số học, mà cụ thể tính chất chia hết đồng dư số học chủ đề cổ điển ẩn chứa nhiều kết đẹp đẽ sâu sắc nhiều thú vị, thu hút nhà tốn học q trình nghiên cứu Tính chất số học định thức chu trình hệ số nhị thức mang tên nhà toán học E Wendt số Trong báo "On a resultant connected with Fermat’s last theorem” nhà toán học Emma Lehmer, bà đánh giá dường E Wendt người giới thiệu định thức mối quan hệ với định lý Fermat lớn Năm 1894 Wendt có tiêu chuẩn dạng định thức cho tồn nghiệm không tầm thường đồng dư thức Fermat xp + y p = z p (mod q), p, q số nguyên tố lẻ khác mà p | q − Kết nghiên cứu E Wendt tạo tiền đề cảm hứng cho nhà tốn học khác việc mở rộng tính chất số học định thức Wendt Wn Nhiều kết Wendt nêu lên chưa giải nhà tốn học khác giải triệt để, với nhiều tính chất số học thú vị liên quan đến định thức Wendt nhà toán học khác phát thêm Tiêu biểu cơng trình nhà toán học Matthews (1895), E Lehmer (1935), Bang (1935), Frame (1980) Chẳng hạn E Lehmer chứng minh Wn = n ≡ 0(mod6), p số nguyên tố lẻ Wp−1 số chia hết cho pp−2 qp (2), 2p−1 − qp (2) = thương Fermat p Mục đích luận văn tìm hiểu định thức Wendt, số tính chất số học mối liên hệ định thức Wendt với định lý Fermat lớn Luận văn có cấu trúc sau: Mở đầu, ba chương, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương phát biểu khái niệm định thức ma trận chu trình, kết thức, với số kết liên quan tới kiến thức chương Chương 2: Một số tính chất định thức Wendt Chương trình bày định thức Wendt định lý Fermat lớn, mối quan hệ chúng số tính chất định thức Wendt Chương 3: Một số tính chất số học định thức Wendt Chương trình bày số tính chất chia hết tính chất đồng dư định thức Wendt Luận văn thực hoàn thành vào tháng năm 2018 trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun Để hồn thành khóa luận tốt nghiệp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Duy Tân, người thầy tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình làm việc để hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên nói chung, thầy cô giảng dạy lớp Cao học 10C nói riêng, tạo điều kiện để giúp tác giả học tập hoàn thành luận văn chương trình thạc sĩ Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học 10C đồng hành tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Gia Bình số tạo điều kiện cho tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018 Tác giả Trần Hoàng Đạo Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương giới thiệu khái niệm số kiến thức định thức ma trận chu trình, kết thức hai đa thức để hỗ trợ cho chương 1.1 Định thức ma trận chu trình Định nghĩa 1.1.1 Cho a0 , a1 , , an−1 n số phức Định thức chu trình Circ(a0 , a1 , , an−1 ) định thức n × n có hàng lấy từ hàng thứ (a0 , a1 , , an−1 ) hốn vị vịng trịn liên tiếp, tức a0 Circ(a0 , , an−1 ) = a1 an−1 an−1 a0 an−2 a1 a2 a0 Bổ đề 1.1.2 Ta có n−1 P (ξnj ), Circ(a0 , a1 , , an−1 ) = j=0 P (x) = a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 , ξn = e2πi/n Chứng minh Đặt  a a1   an−1 a0 A=    a1 a2 Để đơn giản ta ký hiệu j n bậc n đơn vị, n j an−1    an−2      a0 = ξnj , j = 1, , n Khi j, j = 1, , n = Xét ma trận   1 ···      ··· n      2 V =  ··· n      · · ··· ·    n−1 n−1 n−1 ··· n Nhân A với V ta ma trận AV = B = [bij ] cỡ n × n Ta có hệ số bij bij = an−i+1 + an−i+2 = i−1 j (a0 = i−1 j P ( j ) + a1 j j + · · · + an−1 + · · · + an−1 i−2 j + a0 i−1 j + · · · + an−i n−1 ) j Do ta có  P ( 1)    P ( 2) AV = V    · ·  0 ···    ···    ··· ·   · · · P ( n) Lấy định thức hai vế đẳng thức ta suy |A||V | = |B| = P ( ) · · · P ( n )|V | n−1 j Vì |V | = 1≤i