Đa thức đối xứng và ứng dụng trong đại số sơ cấp

Đa thức có vị trí quan trọng trong toán học không những nh- một đối t-ợng nghiên cứu trọng tâm của Đại số mà còn là một công cụ đắc lực của Giải tích, ngoài ra lý thuyết đa thức còn đ-ợc

Mục lục

Mở đầu

Ch-ơng 1: Kiến thức chuẩn bị

1.1 Đa thức một ẩn 3

1.2 Đa thức nhiều ẩn 5

Ch-ơng 2: Đa thức đối xứng 2.1 Định nghĩa đa thức đối xứng 8

2.2 Ph-ơng pháp biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản 8

Ch-ơng 3: ứng dụng của đa thức đối xứng 3.1 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 13

3.2 Giải các bài toán về ph-ơng trình bậc hai 22

3.3 Giải hệ ph-ơng trình nhiều ẩn 26

3.4 Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình đối xứng 31

3.5 Trục căn thức ở mẫu số 36

3.6 Phân tích đa thức thành nhân tử 38

3.7 Một số ứng dụng đối với các đa thức chứa tham số 42

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

Mở ĐầU

1 Lí do chọn đề tài

Môn toán là môn học có vai trò rất quan trọng trong kho tàng tri thức của loài ng-ời Môn toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện các thao tác và phẩm chất t- duy

Một bộ phận lớn trong toán học là Đại số mà trong đó khái niệm cơ bản

là khái niệm Đa thức Đa thức có vị trí quan trọng trong toán học không những nh- một đối t-ợng nghiên cứu trọng tâm của Đại số mà còn là một công cụ

đắc lực của Giải tích, ngoài ra lý thuyết đa thức còn đ-ợc sử dụng nhiều trong toán sơ cấp, toán cao cấp, toán ứng dụng

Một dạng đa thức nhiều biến đặc biệt có rất nhiều ứng dụng là đa thức

đối xứng Đa thức đối xứng đ-ợc sử dụng trong việc tìm nghiệm của các ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình nhiều ẩn, chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức, trục căn thức ở mẫu số

Tuy vậy vấn đề đa thức đối xứng chỉ mới đ-ợc trình bày một cách sơ l-ợc, ch-a đ-ợc phân loại và hệ thống một cách chi tiết Tài liệu về đa thức còn ít nên việc nghiên cứu về đa thức đối xứng còn gặp nhiều khó khăn

Đ-ợc sự giúp đỡ tận tình của cô giáo, Th.s Nguyễn Thị Kiều Nga,

cùng với lòng say mê nghiên cứu, em đã mạnh dạn chọn đề tài : “ Đa thức đối xứng và ứng dụng trong đại số sơ cấp ” để làm khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu các bài toán có sử dụng đa thức đối xứng và cách giải các bài toán liên quan

3 Đối t-ợng nghiên cứu

Các ứng dụng của đa thức đối xứng

4 Ph-ơng pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh

Ta th-ờng viết f(x) theo chiều tăng (hoặc giảm) những bậc của các hạng tử

Do đó f(x) thuộc A[x] th-ờng biểu diễn d-ới dạng:

Trong đó ai A (i 0, n), a0 0

1.1.2 Nghiệm của đa thức :

Cho đa thức P(x) A[x] có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 K A, K ,

α gọi là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(α) = 0

1.1.3 Phép chia với d- :

* Định lí : Cho hai đa thức P(x), Q(x) A[x], A là một tr-ờng và Q(x) ≠ 0 Khi đó tồn tại duy nhất những đa thức S(x) và R(x) thỏa mãn điều kiện sau: P(x) = Q(x).S(x) + R(x), trong đó degR(x) < degQ(x) nếu R(x) ≠ 0

* Nhận xét : Cho f(x) là một đa thức bậc n trên A Khi đó luôn tồn tại

tr-ờng K A để f(x) có n nghiệm trong K

a

( 1)

a

a ( 1)

aC«ng thøc (*) gäi lµ c«ng thøc Viet

2, Với hai đa thức P(x) và Q(x) bất kì, nếu P(x) Q(x) (mod (x)) thì Q(x) P(x) (mod (x))

3, Với mọi đa thức P(x), Q(x) và R(x), nếu P(x) Q(x) (mod (x)) và Q(x) R(x) (mod (x)) thì P(x) R(x) (mod (x))

4, Với mọi đa thức P(x), Q(x) và R(x), nếu P(x) Q(x) (mod (x)) thì P(x).R(x) Q(x).R(x) (mod (x))

5, Cho những đa thức bất kì P1(x), P2(x), …, Pn(x), Q1(x), Q2(x),…,

Qn(x) và u1(x), u2(x), …, un(x), nếu Pi(x) Qi(x) (mod (x)), i = 1,2,…,n thì

u1(x).P1(x) + … + un(x).Pn(x) u1(x).Q1(x) + … + un(x).Qn(x) (mod (x))

6, Với các đa thức bất kì P(x), Q(x) và R(x),

nếu P(x) + Q(x) R(x) (mod (x)) thì P(x) R(x) – Q(x) (mod (x))

7, Cho những đa thức bất kì P1(x), P2(x), …, Pn(x), Q1(x), Q2(x),…,

Qn(x) và u1(x), u2(x), … , un(x), nếu Pi(x) Qi(x) (mod (x)), i = 1, 2, …, n thì

P1(x).P2 (x) …Pn(x) Q1(x).Q2(x) …Qn(x) (mod (x))

8, Với hai thức P(x) và Q(x) bất kì và mọi số tự nhiên t,

nếu P(x) Q(x) (mod (x)) thì Pt(x) Qt(x) (mod (x))

9, Với các đa thức P(x), Q(x), F(x), nếu P(x) Q(x) (mod (x)) thì F(P(x)) F(Q(x)) (mod (x))

1.2 Đa thức nhiều ẩn

1.2.1 Định nghĩa

Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn:

Cho R là vành giao hoán, có đơn vị 1R Đặt :

A = { (a0, a1, …, an, …)| ai R, chỉ có hữu hạn ai ≠ 0}

Trên A xét 2 phép toán (+), (.) nh- sau :

a = (a0, a1, …, an, …) ; b = (b0, b1, … , bn, …)

a + b := (a0 + b0, a1 + b1, … ,an + bn, …)

a.b := (c0, c1, … , cn, …) víi ck = i j

0 i, j k i+ j=k

Lặp lại quá trình xây dựng vành đa thức một biến thay R bằng R[x] ta

có vành đa thức 2 biến R[x,y] tức là R[x,y] = R[x][y]

f(x,y) R[x,y], f(x,y) = cmym + cm-1ym-1 + … + c1y + c0 với ci R[x]

Khi đó với mọi f (x1, x2, …, xn) R[x1, x2, …, xn] ta có:

f (x1, x2, …, xn) = a x với a(i) (i) (i) R và có hữu hạn a(i) ≠ 0

Biểu thức (i) i 1 i 2 i n

Khi đó số i1 + i2 + … + in đ-ợc gọi là bậc của đơn thức

Bậc của đa thức f R[x1, x2, …, xn] \{0} là số lớn nhất trong các bậc của các đơn thức có a(i) ≠ 0 Kí hiệu là deg (f)

Nếu các hạng tử của f(x1, x2, …,xn) có bậc bằng nhau và bằng k thì f

đ-ợc gọi là đa thức đẳng cấp bậc k hay một dạng bậc k

k = 1 ta gọi là dạng tuyến tính

k = 2 ta gọi là dạng toàn ph-ơng

k = 3 ta gọi là dạng lập ph-ơng

P x , x , , x P x , x , , xNói cách khác một đa thức là đối xứng nếu nó không thay đổi khi thay

đổi vai trò của biến cho nhau trong dạng khai triển của nó

2.2.1 Các kiến thức liên quan

a, Cách sắp xếp đa thức của n ẩn x1, x2, …, xn theo thứ tự từ điển

Bằng cách này ta có thể sắp xếp các hạng tử của đa thức f (x , , x ) từ 1 n

cao đến thấp Cách sắp xếp nh- thế gọi là sắp xếp theo thứ tự từ điển

Ta kí hiệu C(f) là hạng tử cao nhất của f

ax x x là hạng tử cao nhất của một đa thức đối xứng thì

các số mũ của hạng tử cao nhất thỏa mãn bất đẳng thức 1 2 n

b, Định lí : Mọi đa thức đối xứng f (x , x , , x )1 2 n A[x , x , , x ]đều biểu 1 2 ndiễn một cách duy nhất d-ới dạng một đa thức ( ,1 2, , n)của các đa thức

đối xứng cơ bản 1, 2, …, n với các hệ tử trong A

2.2.2 Ph-ơng pháp biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản

Nếu P1 = 0 thì P = Q1 Ta đã biểu diễn xong

Nếu P1 0 thì ta chuyển qua b-ớc 2

B-ớc 2: P1 là một đa thức đối xứng Hạng tử cao nhất của nó là

Nếu P2 = 0 thì P = Q1 + Q2 Ta đã biểu diễn xong.

ở đây Q1, Q2, … là những đơn thức của những đa thức đối xứng cơ bản

và hạng tử cao nhất của mỗi đa thức Pi theo cách sắp xếp theo thứ tự từ điển nằm tr-ớc hạng tử cao nhất của đa thức Pi-1

Quá trình này không thể tiếp tục mãi, giả sử với một m nào đó ta có

Hạng tử cao nhất của đa thức P là x13.x22.x3

Đặt Q1 = 1 2 3

P1 = P – Q1

= x13.x22.x3 + x13.x2.x32 + x12.x23.x3 + x12.x2.x33 +

+ x1.x23.x32 + x1.x22.x33 – (x1 + x2 + x3)(x1x2 + x1x3 + x2x3)(x1x2x3) = -3x12.x22.x32

Ta thấy P1 0 và P1 là đa thức đối xứng

Cho một đa thức đối xứng f(x1, …, xn)

Ta phân tích đa thức đối xứng đa cho thành tổng của các đa thức đối xứng đẳng cấp Sau đó biểu diễn mỗi đa thức đối xứng đẳng cấp qua các đa thức đối xứng cơ bản bằng ph-ơng pháp hệ tử bất định

Ví dụ sau sẽ cụ thể hóa ph-ơng pháp này:

Ví dụ : Biểu diễn đa thức sau theo những đa thức đối xứng cơ bản

P2(x1, x2, x3) = 10x14.x24.x34 là đa thức đối xứng đẳng cấp bậc 12

Ta biểu diễn đa thức P1, P2 qua các đa thức đối xứng cơ bản

Đối với đa thức P1

Hạng tử cao nhất của P1 là 2x13

B-ớc 2 : Xác định tập hợp M

M (t , t , t ) 3 t t t 0, t t t 3

= (3,0,0);(2,1,0);(1,1,1)

Hệ thống số mũ Hạng tử cao nhất Tổ hợp đa thức đối xứng cơ bản

* Đối với đa thức P2

P2(x1, x2, x3) = 10x14.x24.x34 = 10 34Vậy P(x1, x2, x3) = 2 13 3 1 2 3 3 10 34

Ch-ơng 3 : ứng dụng của đa thức đối xứng

Đ-a đa thức đối xứng về đa thức đối xứng cơ bản

Chứng minh với các biểu thức mới

3.1.1.3 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Chứng minh rằng Sk xk yk z , k N thỏa mãn những đẳng k

Ta biểu diễn vế trái qua đa thức đối xứng cơ bản bằng ph-ơng pháp hệ

Do đó vế trái có biểu diễn là 14 - 4 12 2 + 2 22 + 4 1 3

Theo giả thiết 1= 0 do đó vế trái có biểu diễn là 2 22

Hay vế trái có biểu diễn là 2 xy yz zx 2

* Xét tr-ờng hợp hai biến :

Ta có thể áp dụng kết quả của các đa thức đối xứng để chứng minh nhiều bất đẳng thức Cơ sở của ph-ơng pháp này cần chú ý, giả sử 1, 2 là những số thực

CÇn chøng minh r»ng víi nh÷ng gi¸ trÞ thùc bÊt k× x, y (hoÆc nh÷ng gi¸ trÞ kh«ng ©m bÊt k× hoÆc víi x + y a tïy theo ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n )

Ta biÓu diÔn f(x, y) qua 1, 2 trong ®a thøc t×m ®-îc ta thay 1 bëi

Nếu x, y, z d-ơng thì đẳng thức xảy ra khi x y z

Dấu “=” xảy ra khi x y z

Bây giờ, ta thay x, y, z t-ơng ứng bằng xy, yz, zx

Khi đó ta có:

Dấu “=” xảy ra khi xy yz zx Nếu x, y, z 0 thì x y z

Ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với x, y là các số thực bất kì ta có:

x y xy yx Giải :

VÝ dô 3 : Chøng minh r»ng víi mäi a, b tho¶ m·n a + b= 1 th×

Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh

VÝ dô 5 : Chøng minh r»ng nÕu a, b lµ c¸c sè thùc, a b c vµ c 0 th× ta

3.2.2 C¸c vÝ dô

Ví dụ 1: Cho ph-ơng trình bậc hai x2 + 5x + 7 = 0 Hãy lập một ph-ơng trình bậc hai mà các nghiệm là lập ph-ơng của các nghiệm của ph-ơng trình đã cho

Tìm giá trị của các biểu thức sau : A = x14 + x24 ; B = x16 + x26 ;

Trong đó x1, x2 là nghiệm của (*)

VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh

VÝ dô 4 : Cho p,q ¡ sao cho x2 x p q 0 cã nghiÖm lµ , d-¬ng T×m biÓu thøc cña 4 4 qua p vµ q

u v

VÝ dô 5 : LËp ph-¬ng tr×nh bËc hai z + pz + q = 0 (2 p,q ¡ ) mµ c¸c nghiÖm lµ

Bài 3: Chứng minh rằng nếu x1, x2 là nghiệm của ph-ơng trình x2 + px + q = 0 Với p, q là các số nguyên thì với n là số tự nhiên bất kì khác không số x1n + x2n

là số nguyên

Bài 4: Gọi x1, x2 là nghiệm của ph-ơng trình x2 – x – 3 = 0

Lập ph-ơng trình bậc hai có các nghiệm y1, y2 thoả mãn :

Hệ ph-ơng trình mới này th-ờng là các hệ ph-ơng trình đơn giản hơn nên dễ giải hơn, sau đó ta giải hệ ph-ơng trình đại số bậc nhất n ẩn

Trong tr-ờng hợp có 2 ẩn thì phép giải đ-a đến một ph-ơng trình bậc hai

3.3.2 Ph-ơng pháp giải

* Biểu diễn từng vế của các ph-ơng trình trong hệ qua các đa thức đối xứng cơ bản i (i 1, n)

* Ta thu đ-ợc hệ mới với ẩn là i Giải hệ tìm i

* Vận dụng công thức Viet tìm ra nghiệm của hệ ban đầu

§Æt 1

2

x y

xy

Vậy hệ đã cho có 6 nghiệm là :

(1,2,3) ; (1,3,2) ; (2,1,3) ; (2,3,1) ; (3,2,1) ; (3,1,2)

Ví dụ 3 : Giải hệ ph-ơng trình

1( )3

2(2)1

Ví dụ 4 : Giải hệ ph-ơng trình sau 2 2 2 3 3 3

x + y + z = 0

x + y + z = x + y + zxyz = 2

22

Do đó x, y, z là nghiệm của ph-ơng trình sau :

Hệ trở thành :

t t t

Vậy nghiệm của hệ đã cho là hoán vị của {–1, –1, 2}

3.3.4 Bài tập áp dụng

Bài 1 : Giải hệ 3 3 3

0630

31

xyz

Bài 4 : Giải hệ

9

127

3.4.2 Ph-ơng pháp giải

* Đối với ph-ơng trình hai biến:

Xét ph-ơng trình mà biểu thức hai vế có dạng đa thức đối xứng của các biến, tùy theo từng bài toán cụ thể mà ta làm nh- sau :

Rút 2 theo 1 (1)

Cách 1 : Từ (*) và (1) ta suy ra đ-ợc x, y là nghiệm của ph-ơng trình bậc hai t2 1t 2 0 với điều kiện 0 Từ đó suy ra điều kiện của 1

Cách 2 : Do x, y là số nguyên nên x, y là số thực Do đó cần kết hợp với (1) ta tìm đ-ợc điều kiện của 1 Tìm x, y theo 1, 2

* Đối với ph-ơng trình có ba biến

Ta biểu diễn ph-ơng trình ban đầu theo ph-ơng trình của 1, 2, 3Thông th-ờng trong quá trình tính toán một biến i nào đó sẽ bị triệt tiêu

Khi đó ta có thể làm t-ơng tự nh- tr-ờng hợp ph-ơng trình hai biến

3.4.3 Các ví dụ

VÝ dô 1: T×m c¸c sè nguyªn d-¬ng tháa m·n ph-¬ng tr×nh :

Với 1 = 0; 2 = 0 thì x = y = 0 là nghiệm của ph-ơng trình

Với 1 = 9; 2 = 20 ta có (4, 5) và (5, 4) là nghiệm của ph-ơng trình Vậy ph-ơng trình đã cho có 3 nghiệm nguyên là

(0, 0) ; (4, 5) ; (5, 4)

VÝ dô 4 : T×m nghiÖm nguyªn cña ph-¬ng tr×nh x2 y2 x y 8

Vậy ph-ơng trình đã cho có 3 nghiệm là :(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)

3 3 3

1

2

1

1

c b a

c b a

*

2 1

*

,

;

1

4

,,

;

1

3

N n m a a

a

R c b a c b a

n m n

n

n n n

3.6 Phân tích đa thức thành nhân tử

3.6.1 Cơ sở lí luận

Ta có thể phân tích thành nhân tử các đa thức đối xứng này bằng cách biểu diễn đa thức đó qua các đa thức đối xứng cơ bản Việc phân tích các đa

thức của các đa thức đối xứng cơ bản th-ờng đơn giản hơn nên việc phân tích mới thành nhân tử sẽ đơn giản hơn

Ta thấy f x, y, z chia hết cho 1 = x + y + z

f không thay đổi khi thay x vào –x, y bởi –y, z bởi –z Do đó f chia hết cho - x + y + z ; x – y + z ; x + y – z

3.7 Một số ứng dụng đối với các đa thức có chứa tham số

3.7.1 Giải ph-ơng trình dựa vào công thức Viet

3.7.1.1 Cơ sở lí luận

Dùng định lí Viet, ta tìm đ-ợc mối liên hệ giữa các nghiệm, từ đó kết hợp với giả thiết bài toán ta tìm đ-ợc nghiệm của ph-ơng trình

3.7.1.2 Ph-ơng pháp giải

Dựa vào định lí Viet xác định nghiệm của ph-ơng trình

Đối với ph-ơng trình chứa tham số thay x = x0 vào ph-ơng trình, sau đó tìm giá trị tham số

3.7.1.3 Các ví dụ

Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình x4 8x3 18x2 mx 3 0(1) , biết rằng ph-ơng trình có 4 nghiệm thỏa mãn x1 x2 x3 x 4

Giải :

Theo gi¶ thiÕt vµ c«ng thøc Viet ta cã :

Vậy ph-ơng trình đã cho có 4 nghiệm 1, 3, 2 5, 2 5

Ví dụ 2: Hãy tìm những giá trị của tham số m sao cho những nghiệm

1, 2, 3của đa thức p(x) x3 2x2 mx 4 thỏa mãn điều kiện

VÝ dô 3: H·y t×m diÖn tÝch cña tam gi¸c mµ 3 ®-êng cao cña nã lµ nghiÖm ph-¬ng tr×nh y – ay3 2 by – c 0

Hay

2

cS

4ab c b 8bc

3.7.1.4 Bµi tËp ¸p dông

Bµi 1: H·y t×m nh÷ng gi¸ trÞ cña m sao cho gi÷a nh÷ng nghiÖm 1, 2, 3 cña

®a thøc p(x) = x3 + mx + n tháa m·n 1 2 3

(ë ®©y m«®un cña sè phøc 2 )

Bµi 2: Cho p1, p2, q1, q2 lµ nh÷ng sè nguyªn vµ lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh

* BiÓu diÔn biÓu thøc C th«ng qua p, q, r

Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu x1, x2, x3 là các nghiệm của ph-ơng trình

Ta thấy f là đa thức đẳng cấp bậc 6 với hạng tử cao nhất là x14x22

Ta biểu diễn f(x1, x2, x3) qua 1, 2, 3 bằng ph-ơng pháp hệ tử bất

3.7.2.4 Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho x1, x2, x3, x4 là những nghiệm của ph-ơng trình :

x4 + px3 + qx2 + rx + s = 0 với p,q, r,s Ă ,s 0 Hãy biểu diễn thông qua p, q, r, s những hàm của các biến x1, x2, x3, x4

3.7.3.2 Ph-ơng pháp giải

Để xác định đa thức ta đi tìm hệ số của đa thức này, ta làm nh- sau : Xác định dạng tổng quát của đa thức cần xác định bằng cách dùng công thức Viet tìm mối liên hệ giữa các đa thức đối xứng cơ bản với các hệ số của đa thức

Từ điều kiện của bài toán tìm giá trị của các đa thức đối xứng cơ bản

Từ giá trị của các đa thức đối xứng cơ bản tìm giá trị của các hệ số của đa thức cần xác định, từ đó tìm đ-ợc đa thức thoả mãn đề bài

3.7.3.3 Các ví dụ

Ví dụ 1: Hãy tìm những đa thức bậc 3 mà nghiệm 1, 2, 3 của nó thoả mãn những đẳng thức sau:

Theo gi¶ thiÕt ta cã :

* NÕu c 0 XÐt hai tr-êng hîp sau :

3.7.3.4 Bài tập áp dụng

Bài 1: Xác định đa thức p(x) R x ,p(x) x4 ax3 bx c có các số a, b, c

là 3 trong 4 nghiệm của nó

Bài 2: Lập những đa thức bậc 4 mà những nghiệm của nó thoả mãn đẳng thức sau: