Biến đổi laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân

Lí do chọn đề tài Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng với biến đổi Fourier là hai biến đổi rất hữu ích, các biến đổi này thường được sử dụng để việcgiải quyết các bài toán

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổ Giảitích và các bạn sinh viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS NguyễnVăn Hào đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luậntốt nghiệp

Lần đầu được thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên việc trình bàykhóa luận không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Tác giả xin chânthành cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạnsinh viên

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Tác giả

Phạm Thị Hồng Nhung

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào,khóa luận tốt nghiệp "Biến đổi Laplace và ứng dụng trong việc giảiphương trình vi phân" được hoàn thành không trùng với bất kỳ khóaluận nào khác

Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Tác giả

Phạm Thị Hồng Nhung

Mục lục

1.1 Số phức 4

1.2 Một số vấn đề cơ bản về phương trình vi phân 5

Chương 2 Biến đổi Laplace 7 2.1 Một số khái niệm 7

2.2 Sự hội tụ 10

2.3 Đòi hỏi tính liên tục 11

2.4 Lớp L 12

2.5 Các tính chất cơ bản của biến đổi Laplace 15

2.6 Hội tụ đều 16

2.7 Biến đổi Laplace ngược 18

2.8 Các định lý biến đổi 22

2.9 Đạo hàm và tích phân của biến đổi Laplace 25

Chương 3 Áp dụng của biến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân thường 28 3.1 Biến đổi Laplace của đạo hàm 28

3.2 Phương trình vi phân với hệ số hằng số 31

3.3 Nghiệm tổng quát 35

3.4 Vấn đề giá trị biên 36

3.5 Phương trình vi phân với hệ số đa thức 37

Kết luận 45

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng với biến đổi Fourier

là hai biến đổi rất hữu ích, các biến đổi này thường được sử dụng để việcgiải quyết các bài toán trong lĩnh vực vật lý Qua biến đổi Laplace, các phéptoán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thànhcác phép toán đại số (giống như cách mà hàm logarit chuyển phép toánnhân các số thành phép cộng logarit của chúng) Nhờ một số tính chất riêngcủa nó mà biến đổi Laplace đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình

vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, .Những phương trình thuộc lĩnh vực đó thường xuất hiện trong các bài toánvật lý, trong phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, các bàitoán cơ học, Qua biến đổi Laplace các phương trình này có thể chuyểnthành các phương trình đại số đơn giản hơn Nghiệm của các phương trình

đó là các hàm ảnh trong không gian P , chúng ta dùng biến đổi Laplacengược để có lại hàm gốc trong không gian thực t

Về lịch sử của biến đổi Laplace có thể nói điểm xuất phát từ năm

1744, Leonhard Euler đã sử dụng các biến đổi tích phân

F (s) =

Zχ(x)esxdx và F (s) =

Zχ(x)xsdx

để giải một số phương trình vi phân Về sau J L Langrange, khi nghiêncứu cách tính tích phân của hàm mật độ xác suất, ông đã đưa ra biểu thứctích phân

Z

χ (x)eaxaxdx

Những dạng tích phân này đã thu hút sự chú ý của Langrange Từnăm 1782, Langrange tiếp tục công trình nghiên cứu của Euler, đã sử dụngphép tính tích phân để giải các phương trình vi phân Đến năm 1785, ông

đã đưa ra các biến đổi tích phân (biến đổi Laplace) mà sau này đã trở nênrất phổ biến, từ tích phân dạng

Z

xsφ(x)ds

Tương tự với biến đổi Mellin, qua biến đổi Laplace các phép toán viphân trở thành các phép toán đại số Sử dụng các phép biến đổi ngược,người ta tìm ra lời giải của phương trình Để tiếp cận với lý thuyết này vàhiểu biết phần nào những ứng dụng của nó, được sự định hướng của ngườihướng dẫn em chọn đề tài “Biến đổi Laplace và ứng dụng trong việcgiải phương trình vi phân” để hoàn thành khóa luận Tốt nghiệp Đạihọc chuyên ngành Toán giải tích

Để trình bày được vấn đề theo mục đích đặt ra, chúng tôi bố cục khóaluận thành 03 chương và một bảng phụ lục về bảng biến đổi Laplace củacác hàm cơ bản

Chương 1 Chúng tôi trình bày một số kiến thức căn bản về số phức,mặt phẳng phức cùng một số vấn đề về hàm biến phức Mục đích chínhcủa khóa luận là sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân,nên trong phần này chúng tôi cũng trình bày một số kiến thức căn bảnnhất về phương trình vi phân thường

Chương 2 Chương này dành cho trình bày một số vấn đề cơ bản vềphép biến đổi Laplace gồm: khái niệm và các tính chất của phép biến đổiLaplace; Vấn đề hội tụ của biến đổi Laplace; Biến đổi Laplace ngược vàcác phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược của một hàm cho trước; Đạohàm và tích phân của biến đổi Laplace

Chương 3 Để có thể sử dụng biến đổi Laplace cho mục đích chínhtrong việc giải phương trình vi phân thường, chúng ta cần đến biến đổiLaplace đối với đạo hàm của một hàm cho trước Kết quả đó cũng đượcchúng tôi trình bày một cách chi tiết trước khi vận dụng nó vào mục đíchchính của chương này cũng là mục đích của bản khóa luận - sử dụng biếnđổi Laplace để giải phương trình vi phân

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về biến đổi Laplace và áp dụng của nó trong việc giải phươngtrình vi phân thường

3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu về phương trình vi phân thường và biến đổi Laplace;Ứng dụng của biến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phânthường của một số bài toán cụ thể

4 Phương pháp nghiên cứu

Tra cứu tài liệu, tổng hợp và theo sự chỉ đạo của người hướng dẫn đểhoàn thành mục đích đặt ra

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo

Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thườngnhư các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1 Ta có

|z|2 = z.¯z;1

z =

¯z

|z|2 với z 6= 0.

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.eiθ với r > 0, θ ∈ Rđược gọi là argument của số phức z(argument của số phức z được xác địnhmột cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π) và eiθ = cos θ + i sin θ.Bởi vì eiθ = 1 nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox

và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z Cuối cùng, talưu ý rằng nếu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ)

1.2.1 Định nghĩa

Phương trình vi phân là một phương trình chứa hàm cần tìm và cácđạo hàm của nó Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc một biến độc lập, thìphương trình đó được gọi là phương trình vi phân thường Nếu hàm cầntìm phụ thuộc hai hoặc nhiều biến độc lập thì phương trình được gọi làphương trình vi phân đạo hàm riêng

Trong khóa luận này, chúng tôi chỉ xét phương trình vi phân thường Nhưvậy phương trình vi phân thường có dạng tổng quát

y(n) qua các biến còn lại, thì ta nói phương trình giải ra được đối với y(n)hoặc còn gọi phương trình dạng chính tắc, tức là phương trình (1.1) códạng dưới đây

y(n) = f x, y, y0, , y(n−1) (1.2)

Nghiệm của phương trình (1.1) cũng như (1.2) là hàm y = y(x) khả vi

n lần trên khoảng (a, b) nào đó thỏa mãn các phương trình đó với mọi xthuộc khoảng (a, b) Đường cong y = y(x), x ∈ (a, b) gọi là đường cong tíchphân của phương trình đã cho Để giải phương trình vi phân ta cũng dùngthuật ngữ “tích phân phương trình vi phân” vì lý do này

1.2.2 Bài toán Cauchy

Bài toán tìm nghiệm y = y(x) của phương trình (1.2) xác định trênkhoảng (a, b) nào đó thoả mãn điều kiện

Định lý 1.1 (Tồn tại duy nhất nghiệm) Cho phương trình vi phân cấp ndạng chính tắc

Chương 2 Biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace của hàm f (t) được gọi là tồn tại nếu tích phân (2.1) hội

tụ trong một miền nào đó Trường hợp tích phân trên phân kỳ thì ta nóikhông tồn tại biến đổi Laplace xác định đối với hàm f

Ký hiệu L(f ) được sử dụng cho biến đổi Laplace của hàm f , và tích phântrên là tích phân Riemann thông thường với cận vô tận Hàm F (s) đượcgọi là hàm ảnh của biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace được gọi làthực hay phức nếu biến số s của hàm ảnh F (s) là thực hay phức

Tham số s thuộc một miền nào đó trên đường thẳng thực hoặc trong mặtphẳng phức Chúng ta sẽ chọn s thích hợp sao cho tích phân (2.1) hội tụ.Trong toán học cũng như trong kỹ thuật, miền của biến s đóng một vaitrò hết sức quan trọng Tuy nhiên, trong một trường hợp đặc biệt, khi cácphương trình vi phân giải được, miền của tham số s thường không cần xétđến Khi biến s là phức ta thường sử dụng ký hiệu s = x + iy Ký hiệu L

là biến đổi Laplace, nó tác động lên hàm f = f (t) và sinh ra một hàm mớitheo biến s là hàm F (s) = L (f (t))

Dĩ nhiên, ta có eiθ = 1 Chúng ta cần chứng tỏ (có thể bỏ qua đi dấu trừcũng như những cận lấy tích phân để đơn giản hóa sự tính toán)

x2 + y2 [(x cos yt + y sin yt) + i (x sin yt − y cos yt)]

Ta biểu diễn vế phải của (2.5) như sau

Như vậy đẳng thức (2.5) được chứng minh.

Thêm nữa, chúng ta cũng thu được đẳng thức (2.3) với tham số phức snếu lấy Re(s) > 0 Bởi vì

Sử dụng kết quả trên đây, chúng ta có thể tính được L (cos ωt) và L (sin ωt),với ω là số thực

s + iω Sử dụng tính chất tuyến tính của phép biến đổiLaplace L và các tích phân là toán tử tuyến tính, ta suy ra

L(sin ωt) = 1

2i

1

0

+ 1s

với mọi cách chọn của biến s vì tích phân không bị chặn khi τ → ∞

Để có thể nghiên cứu sâu hơn về biến đổi Laplace, chúng ta cần phân biệthai dạng hội tụ của tích phân Laplace

Có một dạng khác của sự hội tụ đóng vai trò quan trọng nhất theo khíacạnh của Toán học.

2.2.2 Định nghĩa

Tích phân (2.1) được gọi là hội tụ đều đối với s trong một miền Ω nào

đó của mặt phẳng phức nếu với mỗi ε > 0 tồn tại số τ0 sao cho với mọi

τ ≥ τ0 ta có

... data-page="22">

2.7 Biến đổi Laplace ngược

2.7.1 Một số khái niệm

Để áp dụng biến đổi Laplace tới toán Vật lý nh? ?vi? ??c giải phương trình vi phân, cần đến phép biến đổi Laplacengược... gọi l? ?phương trình vi phân đạo hàm riêng

Trong khóa luận này, chúng tơi xét phương trình vi phân thường Nhưvậy phương trình vi phân thường có dạng tổng quát

y(n) qua biến. .. vi phân phương trình chứa hàm cần tìm cácđạo hàm Nếu hàm cần tìm phụ thuộc biến độc lập, th? ?phương trình gọi phương trình vi phân thường Nếu hàm cầntìm phụ thuộc hai nhiều biến độc lập phương trình