Biến đổi laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân

Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo tổ Giải tích bạn sinh viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào tận tình giúp đỡ em trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Lần đầu thực công tác nghiên cứu khoa học nên việc trình bày khóa luận không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên Hà Nội, tháng năm 2011 Tác giả Phạm Thị Hồng Nhung Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, khóa luận tốt nghiệp "Biến đổi Laplace ứng dụng việc giải phương trình vi phân" hoàn thành không trùng với khóa luận khác Trong trình làm khóa luận, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2011 Tác giả Phạm Thị Hồng Nhung Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số phức 1.2 Một số vấn đề phương trình vi phân Chương Biến đổi Laplace 2.1 Một số khái niệm 2.2 Sự hội tụ 10 2.3 Đòi hỏi tính liên tục 11 2.4 Lớp L 12 2.5 Các tính chất biến đổi Laplace 15 2.6 Hội tụ 16 2.7 Biến đổi Laplace ngược 18 2.8 Các định lý biến đổi 22 2.9 Đạo hàm tích phân biến đổi Laplace 25 Chương Áp dụng biến đổi Laplace việc giải phương trình vi phân thường 28 3.1 Biến đổi Laplace đạo hàm 28 3.2 Phương trình vi phân với hệ số số 31 3.3 Nghiệm tổng quát 35 3.4 Vấn đề giá trị biên 36 3.5 Phương trình vi phân với hệ số đa thức 37 Phụ lục 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Mở đầu Lí chọn đề tài Biến đổi Laplace biến đổi tích phân với biến đổi Fourier hai biến đổi hữu ích, biến đổi thường sử dụng để việc giải toán lĩnh vực vật lý Qua biến đổi Laplace, phép toán giải tích phức tạp đạo hàm, tích phân đơn giản hóa thành phép toán đại số (giống cách mà hàm logarit chuyển phép toán nhân số thành phép cộng logarit chúng) Nhờ số tính chất riêng mà biến đổi Laplace đặc biệt hữu ích giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, Những phương trình thuộc lĩnh vực thường xuất toán vật lý, phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, toán học, Qua biến đổi Laplace phương trình chuyển thành phương trình đại số đơn giản Nghiệm phương trình hàm ảnh không gian P , dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc không gian thực t Về lịch sử biến đổi Laplace nói điểm xuất phát từ năm 1744, Leonhard Euler sử dụng biến đổi tích phân F (s) = χ(x)esx dx F (s) = χ(x)xs dx để giải số phương trình vi phân Về sau J L Langrange, nghiên cứu cách tính tích phân hàm mật độ xác suất, ông đưa biểu thức tích phân χ (x)eax ax dx Những dạng tích phân thu hút ý Langrange Từ năm 1782, Langrange tiếp tục công trình nghiên cứu Euler, sử dụng phép tính tích phân để giải phương trình vi phân Đến năm 1785, ông đưa biến đổi tích phân (biến đổi Laplace) mà sau trở nên phổ biến, từ tích phân dạng xs φ(x)ds Tương tự với biến đổi Mellin, qua biến đổi Laplace phép toán vi phân trở thành phép toán đại số Sử dụng phép biến đổi ngược, người ta tìm lời giải phương trình Để tiếp cận với lý thuyết hiểu biết phần ứng dụng nó, định hướng người hướng dẫn em chọn đề tài “Biến đổi Laplace ứng dụng việc giải phương trình vi phân” để hoàn thành khóa luận Tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Toán giải tích Để trình bày vấn đề theo mục đích đặt ra, bố cục khóa luận thành 03 chương bảng phụ lục bảng biến đổi Laplace hàm Chương Chúng trình bày số kiến thức số phức, mặt phẳng phức số vấn đề hàm biến phức Mục đích khóa luận sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân, nên phần trình bày số kiến thức phương trình vi phân thường Chương Chương dành cho trình bày số vấn đề phép biến đổi Laplace gồm: khái niệm tính chất phép biến đổi Laplace; Vấn đề hội tụ biến đổi Laplace; Biến đổi Laplace ngược phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược hàm cho trước; Đạo hàm tích phân biến đổi Laplace Chương Để sử dụng biến đổi Laplace cho mục đích việc giải phương trình vi phân thường, cần đến biến đổi Laplace đạo hàm hàm cho trước Kết trình bày cách chi tiết trước vận dụng vào mục đích chương mục đích khóa luận - sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân 2 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu biến đổi Laplace áp dụng việc giải phương trình vi phân thường Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu phương trình vi phân thường biến đổi Laplace; Ứng dụng biến đổi Laplace việc giải phương trình vi phân thường số toán cụ thể Phương pháp nghiên cứu Tra cứu tài liệu, tổng hợp theo đạo người hướng dẫn để hoàn thành mục đích đặt Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số phức Định nghĩa Số phức số có dạng z = x + iy; với x, y ∈ R i đơn vị ảo mà i2 = −1 Ta gọi x phần thực y phần ảo, kí hiệu x = Rez, y = Imz Tập hợp số phức kí hiệu C Tập hợp số phức đồng với mặt phẳng R2 phép tương ứng C → R2 z = x + iy → (x, y) Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox trục thực, Oy trục ảo Phép cộng phép nhân số phức thực cách thông thường phép toán tập hợp số thực với lưu ý i2 = −1 Ta có z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i (y1 + y2 ) z1 z2 = (x1 + iy1 ) (x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i (x1 y2 + y1 x2 ) Với số phức z = x + iy ta xác định modul số phức z |z| = x2 + y Số phức liên hợp số phức z = x + iy kí hiệu z = x − iy Không khó khăn, ta kiểm tra Rez = z + z¯ z − z¯ ; Imz = 2i |z|2 = z.¯ z; z¯ = với z = z |z| Số phức khác biểu diễn dạng cực z = r.eiθ với r > 0, θ ∈ R gọi argument số phức z(argument số phức z xác định cách với sai khác bội 2π) eiθ = cos θ + i sin θ Bởi eiθ = nên r = |z| θ góc hợp chiều dương trục Ox nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ qua điểm z Cuối cùng, ta lưu ý z = r.eiθ w = s.eiϕ z.w = r.s.ei(θ+ϕ) 1.2 Một số vấn đề phương trình vi phân 1.2.1 Định nghĩa Phương trình vi phân phương trình chứa hàm cần tìm đạo hàm Nếu hàm cần tìm phụ thuộc biến độc lập, phương trình gọi phương trình vi phân thường Nếu hàm cần tìm phụ thuộc hai nhiều biến độc lập phương trình gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng Trong khóa luận này, xét phương trình vi phân thường Như phương trình vi phân thường có dạng tổng quát F x, y, y , y , y (n) = 0, (1.1) F hàm xác định miền G không gian Rn+2 gồm biến độc lập x y hàm biến độc lập đạo hàm cấp đến cấp n Cấp phương trình vi phân thường xác định cấp cao đạo hàm xuất phương trình Nếu từ phương trình (1.1) ta tìm biểu diễn đạo hàm cấp cao y (n) qua biến lại, ta nói phương trình giải y (n) gọi phương trình dạng tắc, tức phương trình (1.1) có dạng y (n) = f x, y, y , , y (n−1) (1.2) Nghiệm phương trình (1.1) (1.2) hàm y = y(x) khả vi n lần khoảng (a, b) thỏa mãn phương trình với x thuộc khoảng (a, b) Đường cong y = y(x), x ∈ (a, b) gọi đường cong tích phân phương trình cho Để giải phương trình vi phân ta dùng thuật ngữ “tích phân phương trình vi phân” lý 1.2.2 Bài toán Cauchy Bài toán tìm nghiệm y = y(x) phương trình (1.2) xác định khoảng (a, b) thoả mãn điều kiện (n−1) y0 = y (x0 ) , y0 = y (x0 ) , , y0 = y (n−1) (x0 ) , (1.3) gọi toán Cauchy Điều kiện (1.3) gọi điều kiện đầu 1.2.3 Vấn đề tồn nghiệm phương trình vi phân Ở đây, giới thiệu vấn đề tồn nghiệm phương trình vi phân Việc chứng minh định lý này, tham khảo tài liệu trích dẫn [1] Định lý 1.1 (Tồn nghiệm) Cho phương trình vi phân cấp n dạng tắc y (n) = f x, y, y , , y (n−1) Nếu vế phải phương trình hàm liên tục n + biến (n−1) miền Rn+1 chứa điểm x0 , y0 , y , , y0 đạo hàm riêng ∂f ∂f ∂f , , , (n) ∂y ∂y ∂y liên tục tồn khoảng (a, b) chứa điểm x0 để khoảng tồn hàm y = y(x) khả vi n lần khoảng thỏa mãn điều kiện đầu (1.3) Phương trình vi phân với điều kiện đầu Phương pháp biến đổi Laplace việc giải phương trình vi phân tổng quát hóa theo bước sau Bước Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình Các kết nhận gọi biến đổi phương trình Bước Thu phương trình L(y) = F (s) với F (s) biểu thức đại số biến s Bước Sử dụng kết biến đổi Laplace ngược để suy nghiệm phương trình y = L (F (s)) Ví dụ 3.3 Giải phương trình vi phân y + y = et + t + 1, với điều kiện đầu y(0) = y (0) = y (0) = Lấy biến đổi Laplace hai vế ta L(y ) + L(y ) = L(et ) + L(t) + L(1), hay ta có s3 L(y) − s2 y(0) − sy (0) + s2 L(y) − sy(0) − y (0) = 1 + 2+ s−1 s s Thay điều kiện đầu phương trình, vào phương trình ta nhận 2s2 − s L(y) + s L(y) = s (s − 1) Từ suy 2s2 − L(y) = s (s + 1)(s − 1) Sử dụng đồng thức ta giải L(y) = − 1 1 + − + s2 s4 2(s + 1) 2(s − 1) 32 Từ tính chất tuyến tính biến đổi Laplace ngược hàm gốc biết đây, ta nhận nghiệm phương trình cần giải s2 y = −L−1 s4 + L−1 − L−1 s+1 + L−1 s−1 1 = −t + t3 − e−t + et 2 Tổng quát, phương pháp biến đổi Laplace chứng minh áp dụng với phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số số, nghĩa giải phương trình dn y dn−1 y an n + an−1 n−1 + + a0 y = f (t) dt dt (3.3) y(0) = y0 , y (0) = y1 , , y (n−1) (0) = yn−1 Ví dụ 3.4 Giải phương trình y + y = Eua (t), với điều kiện đầu y(0) = 0, y (0) = Lấy biến đổi Laplace với t < a E (hằng số) t ≥ a ta nhận Ee−as s L(y) − sy(0) − y (0) + L(y) = s Từ đó, ta có Ee−as L(y) = + s + s(s2 + 1) 1 s = +E − e−as s +1 s s +1 Khi 1 s −1 + EL − e−as 2 s +1 s s +1 = sin t + Eua (t) (1 − cos(t − a)) y = L−1 33 dựa vào định lý 2.8.1 Chúng ta viết y dạng sin t, y= t 0) F (s − a) e F (s), (a 0) sF (s) − f (0+ ) s2 F (s) − sf (0+ ) − f (0+ ) sn F (s) − sn−1 f (0+ ) − sn−2 f (0+ ) − − f (n−1) (0+ ) F (s) s F (s) F (n) (s) −as Hàm gốc f (t) c1 f1 (t) + c2 f2 (t) t f( ) a a eat f (t) ua (t)f (t − a) f (t) f (t) f (n) (t) t f (τ )dτ −tf (t) (−1)n tn f (t) f (t) t ∞ F (x)dx s t f (τ )g(t − τ )dτ F (s)G(s) lim+ f (t) = f (0+ ) lim sF (s) s→∞ t→0 lim sF (s) lim f (t) t→∞ s→0 δ(t) 1 s s2 t tn−1 (n − 1)! tν−1 Γ(ν) et dn n −t Ln (t) = (t e ) n! dtn eat , (n = 1, 2, ) sn , (ν > 0) sν (s − 1)n , (n = 0, 1, 2, ) sn+1 s−a 41 s(s − a) , (a = b) (s − a)(s − b) s , (a = b) (s − a)(s − b) s (s − a)2 a s + a2 s s + a2 a (s − b)2 + a2 s−b (s − b)2 + a2 a s2 − a2 s s − a2 a (s − b)2 − a2 s−b (s − b)2 − a2 (s2 + a2 )2 s (s2 + a2 )2 s2 (s2 + a2 )2 s3 (s2 + a2 )2 s2 − a2 (s2 + a2 )2 (s2 − a2 )2 s (s2 − a2 )2 s2 (s2 − a2 )2 s3 (s2 − a2 )2 at (e − 1) a eat − ebt a−b aeat −bebt a−b (1 + at)eat sin at cos at ebt sin at ebt cos at sinh at cosh at ebt sinh at ebt coshat (sin at − at cos at) 2a3 (t sin at) 2a (sin at + at cos at) 2a cos at − sin at t cos at (at cosh at − sinh at) 2a3 (t sinh at) 2a (sinh at + at cosh at) 2a cosh at + 12 at sinh at 42 s + a2 (s2 − a2 )2 ab , (a2 = b2 ) 2 2 (s + a )(s + b ) s , (a2 = b2 ) 2 (s + a )(s2 + b2 ) s2 , (a2 = b2 ) 2 2 (s + a )(s + b ) s3 , (a2 = b2 ) 2 2 (s + a )(s + b ) ab , (a2 = b2 ) 2 (s − a )(s2 − b2 ) s , (a2 = b2 ) 2 2 (s − a )(s − b ) s2 , (a2 = b2 ) 2 2 (s − a )(s − b ) s3 , (a2 = b2 ) (s2 − a2 )(s2 − b2 ) a2 s2 (s2 + a2 ) a2 s2 (s2 − a2 ) √ s √ s+a √ s s+a √ √ s+a+ s+b √ s s √ (s − a) s √ s−a+b √ s2 + a2 √ s − a2 t cosh at eat a sin bt − b sin at a2 − b2 cos bt − cos at a2 − b2 a sin at − b sin bt a2 − b2 a2 cos at − b2 cos bt a2 − b2 b sinh at − a sinh bt a2 − b2 cosh at − cosh bt a2 − b2 a sinh at − b sinh bt a2 − b2 a cosh at − b2 cosh bt a2 − b2 t − sin at a sinh at − t a √ πt −at e √ πt √ √ erf ( at) a e−bt − e−at √ 2(b − a) πt3 t π √ at √ e erf ( at) a √ √ − beb t erf c(b t) πt J0 (at) I0 (at) 43 √ ν ( s2 + a2 − s) √ , (ν > −1) + a2 s √ ν (s − s2 − a2 ) √ , (ν > −1) s2 − a2 , (ν > 0) (s2 + a2 )ν , (ν > 0) (s2 − a2 )ν √ ( s2 + a2 − s)ν , (ν > 0) √ (s − s2 − a2 )ν , (ν > 0) √ √ s−a− s−b aν Jν (at) aν Iν (at) √ ν− π t Jν− 21 (at) Γ(ν) 2a √ ν− 12 π t Iν− 21 (at) Γ(ν) 2a νaν Jν (at) tν νa Iν (at) t √ (ebt − eat ) 2t πt √ cos at √ πt √ sin at √ πa ν/2 √ t Jν (2 at) a e−a /4t √ πt a √ e−a /4t πt3 a erf c √ t 0, √ 0 0) s√ e−a s , (a > 0) √ e−a s , (a > 0) s √ 2 e−k s +a √ s2√+ a2 2 e−k s −a √ s − a2 −as e , (a > 0) e−as , (a > 0) s s es /4 erf c e−as = s(eas − 1) s(1 − e−as ) ua (t) 2 √ e−t π t , [t] số nguyên lớn ≤ t a 44 Kết luận Khóa luận giải vấn đề Mục đích khóa luận sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân Tuy nhiên để thực điều đó, trình bày số kiến thức số phức, mặt phẳng phức số vấn đề hàm biến phức; Hệ thống hóa số kiến thức phương trình vi phân thường Trình bày một cách hệ thống lý thuyết biến đổi Laplace gồm: khái niệm tính chất phép biến đổi Laplace; Vấn đề hội tụ biến đổi Laplace; Biến đổi Laplace ngược phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược hàm cho trước; Đạo hàm tích phân biến đổi Laplace Trình bày kết biến đổi Laplace đạo hàm hàm cho trước Từ áp dụng kết giải phương trình vi phân gồm: Phương trình vi phân với điều kiện đầu; Phương trình vi phân tổng quát; Phương trình vi phân với hệ số đa thức; Bài toán giá trị biên; Phương pháp xử lý toán tìm nghiệm phương trình vi phân với hệ số đa thức có điểm kỳ dị quy 45 Tài liệu tham khảo [1] E A Coddington (1989), An Introduction to Ordinary Differential Equations, Dover Publications, inc, New York [2] G Doetsch (1963), Guide to the Applications of Laplace Transfroms, Van Nostrand Co [3] A C Grove (1991), An Introduction to the Laplace Transfrom and the Z - Transfrom, Prentice- Hall [4] P B Guest (1991), Laplace Transfroms and an Introduction to Distributions, Ellis Horwood [5] J L Schiff (1988), The Laplace Transfrom, Springer- Verlag [...]... dx được Chương 3 Áp dụng của biến đổi Laplace trong vi c giải phương trình vi phân thường Để giải các phương trình vi phân thường, chúng ta cần biết đến biến đổi Laplace đối với đạo hàm f của một hàm f Sự tiện dụng của L(f ) là nó có thể biểu diễn dưới dạng của L(f ) Tuy nhiên, vấn đề chính ở đây là ở tầm quan trọng của nó mà chúng ta có thể giải một lớp lớn các phương trình vi phân có tính hiệu lực... phương trình vi phân có thể tổng quát hóa theo các bước sau Bước 1 Lấy biến đổi Laplace cả hai vế của phương trình Các kết quả nhận được gọi là biến đổi phương trình Bước 2 Thu được phương trình L(y) = F (s) với F (s) là một biểu thức đại số đối với biến s Bước 3 Sử dụng các kết quả của biến đổi Laplace ngược để suy ra nghiệm của phương trình y = L (F (s)) Ví dụ 3.3 Giải phương trình vi phân y + y =... Lấy biến đổi Laplace cả hai vế của phương trình đã cho ta nhận được L(y ) + L(y) = L(1) Từ (3.2) ta suy ra 1 s2 L(y) − sy(0) − y (0) + L(y) = s Từ đó ta nhận được 1 1 s L(y) = = − 2 2 s (s + 1) s s + 1 Sử dụng các biến đổi Laplace đã biết ta nhận được nghiệm của phương trình đã cho là y = 1 − cos t 31 Phương trình vi phân với điều kiện đầu Phương pháp biến đổi Laplace đối với vi c giải các phương trình. .. Khi biến đổi Laplace tồn tại, tức là với tất cả các hàm f ∈ L Như một hệ quả, bất kỳ hàm F (s) không s − 1 es có tính chất này, chẳng hạn các hàm , hoặc s2 , không thể là biến s+1 s đổi Laplace của bất cứ hàm f nào 17 2.7 Biến đổi Laplace ngược 2.7.1 Một số khái niệm Để có thể áp dụng biến đổi Laplace tới các bài toán Vật lý cũng như vi c giải các phương trình vi phân, chúng ta cần đến phép biến đổi Laplace. .. L (f (t)) = sL (f (t)) − f (0) − k=1 3.2 Phương trình vi phân với hệ số hằng số Định lý đạo hàm dưới dạng của định lý 3.1.1 cho ta khả năng sử dụng biến đổi Laplace như một công cụ hiệu lực đối với vi c giải các phương trình vi phân thường Để thấy được ý nghĩa của vấn đề, trước hết chúng tôi minh họa điều đó qua ví dụ dưới đây Ví dụ 3.2 Giải phương trình vi phân sau d2 y + y = 1, dt2 với điều kiện... không tồn tại biến đổi Laplace xác định đối với hàm f Ký hiệu L(f ) được sử dụng cho biến đổi Laplace của hàm f , và tích phân trên là tích phân Riemann thông thường với cận vô tận Hàm F (s) được gọi là hàm ảnh của biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace được gọi là thực hay phức nếu biến số s của hàm ảnh F (s) là thực hay phức Tham số s thuộc một miền nào đó trên đường thẳng thực hoặc trong mặt phẳng... và đẳng thức được xác định trong miền chung của F và G 2.7.3 Một số phương pháp tìm hàm gốc (i) Sử dụng kết quả của biến đổi thuận và tính duy nhất của biến đổi ngược Từ tính duy nhất của biến đổi ngược, ta suy ra rằng giữa biến đổi thuận và biến đổi ngược có sự tương ứng 1-1 Như thế ta có thể sử dụng các kết quả đã biết của biến đổi thuận để tìm lại hàm gốc Ví dụ 2.12 L−1 1 1 + 2(s − 1) 2(s + 1) 1... sao cho tích phân (2.1) hội tụ Trong toán học cũng như trong kỹ thuật, miền của biến s đóng một vai trò hết sức quan trọng Tuy nhiên, trong một trường hợp đặc biệt, khi các phương trình vi phân giải được, miền của tham số s thường không cần xét đến Khi biến s là phức ta thường sử dụng ký hiệu s = x + iy Ký hiệu L là biến đổi Laplace, nó tác động lên hàm f = f (t) và sinh ra một hàm mới theo biến s là... là hàm Bessel bậc 0 (iii) Biến đổi Laplace ngược của một phân thức hữu tỷ Nhiều ứng dụng của phép biến đổi Laplace cần đến vi c tìm biến đổi ngược F (s) của các phân thức hữu tỷ có dạng F (s) = P (s) , Q(s) ở đó bậc của Q(s) lớn hơn bậc của P (s) và hệ số của lũy thừa lớn nhất của Q(s) bằng 1 Ta vi t Q(s) = (s − a)m (s2 + ps + q)n là tích của các thừa số có dạng (s − a)m và (s2 + ps + q)n ; với p2...Chương 2 Biến đổi Laplace 2.1 Một số khái niệm 2.1.1 Định nghĩa Giả sử f là hàm biến thực hoặc phức của biến t > 0 và s là tham số thực hoặc phức Biến đổi Laplace của hàm f được xác định và ký hiệu bởi ∞ τ e−st f (t)dt = lim F (s) = L (f (t)) = e−st f (t)dt τ →∞ 0 (2.1) 0 Biến đổi Laplace của hàm f (t) được gọi là tồn tại nếu tích phân (2.1) hội tụ trong một miền nào đó Trường hợp tích phân trên phân kỳ ... biến đổi Laplace áp dụng vi c giải phương trình vi phân thường Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu phương trình vi phân thường biến đổi Laplace; Ứng dụng biến đổi Laplace vi c giải phương trình vi. .. ngược phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược hàm cho trước; Đạo hàm tích phân biến đổi Laplace Chương Để sử dụng biến đổi Laplace cho mục đích vi c giải phương trình vi phân thường, cần đến biến đổi. .. hàm tích phân biến đổi Laplace 25 Chương Áp dụng biến đổi Laplace vi c giải phương trình vi phân thường 28 3.1 Biến đổi Laplace đạo hàm 28 3.2 Phương trình vi phân với hệ