Ứng dụng của đa thức đối xứng trong một số bài toán phổ thông

✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆● ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✲✲✲✲✲✯✲✲✲✲✲ P❍Ị ❚❘➴◆● ❍×◆● Ù◆● ❉Ư◆● ❈Õ❆ ✣❆ ❚❍Ù❈ ✣➮■ ❳Ù◆● ❚❘❖◆● ▼❐❚ ❙➮ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ P❍✃ ❚❍➷◆● ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ✣➔ ◆➤♥❣ ✲ ✷✵✷✵ ✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆● ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✲✲✲✲✲✯✲✲✲✲✲ P❍Ị ❚❘➴◆● ❍×◆● Ù◆● ❉Ö◆● ❈Õ❆ ✣❆ ❚❍Ù❈ ✣➮■ ❳Ù◆● ❚❘❖◆● ▼❐❚ ❙➮ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ P❍✃ ❚❍➷◆● ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ Pì PP P ữớ ữợ ✲ ✷✵✷✵ ✸ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ▼ð ✤➛✉ ✶ ✣❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❤❛✐ ❜✐➳♥ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ✶✳✶ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❤❛✐ ❜✐➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❤❛✐ ❜✐➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ✣❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❜❛ ❜✐➳♥ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ✷✳✶ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❜❛ ❜✐➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❜❛ ❜✐➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✶ ✶ ✸ ✼ ✼ ✶✸ ✹✻ ✹✻ ✺✼ ✼✵ ✼✶ ✹ ▼Ð ✣❺❯ ✶✳ ▲Þ ❉❖ ❈❍➴◆ ✣➋ ❚⑨■ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❝❤õ ✤➲ q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ð ❜➟❝ ❚r✉♥❣ ❤å❝ P❤ê t❤ỉ♥❣ ✈➔ ❧➔ ❝❤õ ✤➲ ✤÷đ❝ ❇ë ●✐→♦ ❞ư❝ ✈➔ ✣➔♦ t↕♦ ✤÷❛ ✈➔♦ tr♦♥❣ ❝→❝ ❦ý t❤✐ ◗✉è❝ tứ trữợ tợ tữớ t t ỵ tt ữỡ tr ữỡ tr õ q t tt ỵ tt ✤❛ t❤ù❝✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ r➜t ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ð ❜➟❝ ❚r✉♥❣ ❤å❝ P❤ê t❤ỉ♥❣ ✤÷đ❝ ❣✐↔✐ r➜t ❤✐➺✉ q✉↔ ♥➳✉ ú t ự ỵ tt tự t ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ✤➙② ❝ô♥❣ ❧➔ ❝ỉ♥❣ ❝ư s➢❝ ❜➨♥ t❤÷í♥❣ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❦ý t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❝→❝ ❝➜♣✳ ❱ỵ✐ ♠ư❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ✈➔ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝ơ♥❣ ữ ữợ sỹ ữợ t r ự ❚❤➔♥❤✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➣ q✉②➳t ✤à♥❤ ❝❤å♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➲ t➔✐✿ ✏Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ tr♦♥❣ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ♣❤ê t❤ỉ♥❣✑ ✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ❤② ✈å♥❣ t↕♦ ✤÷đ❝ ♠ët t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tèt ❝❤♦ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥ ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ tr♦♥❣ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ♣❤ê t❤æ♥❣✳ ✷✳ ▼Ö❈ ✣➑❈❍ ◆●❍■➊◆ ❈Ù❯ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤➡♠ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ❧➔♠ rã ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿ ✭✶✮ ❑❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❤❛✐ ❜✐➳♥✱ ❜❛ ❜✐➳♥✳ ✭✷✮ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ tr♦♥❣ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ♣❤ê t❤ỉ♥❣ ♥❤÷ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❤❛② ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà✳ ✸✳ ✣➮■ ❚×Đ◆● ❱⑨ P❍❸▼ ❱■ ◆●❍■➊◆ ❈Ù❯ ✺ ✣è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➔ ❝→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲ ✈➲ ✤❛ t❤ù❝✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❤❛✐ ❜✐➳♥✱ ❜❛ ❜✐➳♥✳ P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➔ ♠è✐ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ❣✐ú❛ ❝→❝ ✤è✐ t÷đ♥❣ tr➯♥❀ ❝→❝ ù♥❣ ❞ư♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥✳ ✹✳ ◆❍■➏▼ ❱Ư ◆●❍■➊◆ ❈Ù❯ ◆❤✐➺♠ ✈ư ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➔ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❤❛✐ ❜✐➳♥✱ ❜❛ ❜✐➳♥❀ ❝→❝ ❞↕♥❣ ❜➔✐ t➟♣ ù♥❣ ❞ö♥❣✳ ✺✳ Pì PP Pữỡ ự ỵ tt ✣å❝ t➔✐ ❧✐➺✉✱ ♣❤➙♥ t➼❝❤✱ s♦ s→♥❤✱ tê♥❣ ❤ñ♣ ✈➔ sû ❞ư♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s✉② ❧✉➟♥ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝✳ ✻✳ ❈❻❯ ❚❘Ĩ❈ ❈Õ❆ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❇è ❝ư❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ỗ ữỡ ữỡ tự ố ự ❜✐➳♥ ✈➔ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❤❛✐ ❜✐➳♥✱ s❛✉ ✤â →♣ ❞ư♥❣ ❝❤ó♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ✶✳✶✳ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❤❛✐ ❜✐➳♥ ▼ö❝ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❤❛✐ ❜✐➳♥✳ ✶✳✷✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❤❛✐ ❜✐➳♥ ▼ö❝ ♥➔② ❞➔♥❤ ✤➸ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤❀ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤❀ ❜➔✐ t♦→♥ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû❀ rót ❣å♥ ❜✐➸✉ t❤ù❝❀ t➼♥❤ ❝❤✐❛ ❤➳t✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ✣❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❜❛ ❜✐➳♥ ✈➔ ù♥❣ ❞ư♥❣ ✻ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❜❛ ❜✐➳♥✱ s❛✉ ✤â →♣ ❞ư♥❣ ❝❤ó♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤❀ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤❀ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû❀ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ✷✳✶✳ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❜❛ ❜✐➳♥ ▼ö❝ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ✈➼ ❞ö ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❜❛ ❜✐➳♥✳ ✷✳✷✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❜❛ ❜✐➳♥ ▼ö❝ ♥➔② ❞➔♥❤ ✤➸ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤❀ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤❀ ❜➔✐ t♦→♥ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû❀ rót ❣å♥ ❜✐➸✉ t❤ù❝❀ t➼♥❤ ❝❤✐❛ ❤➳t✳ ✻✼ ❚r♦♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ t❤❛② x = ab, y = bc, z = ac, t❛ ✤÷đ❝ (ab + bc + ac)2 ≥ 3(a2 bc + ab2 c + abc2 ) = 3(a + b + c)abc ❚ø ✤â s✉② r❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❤❛✐ tr♦♥❣ ✭✷✳✷✷✮ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ sè t❤ü❝ a, b, c ✷✳✷✳✶✻ ▼➺♥❤ ợ số tỹ ữỡ x, y, z t❛ ❝â a)σ1 σ2 ≥ 9σ3 , b)σ1 ≥ 27σ3 , c)σ2 ≥ 27σ3 ✭✷✳✷✸✮ ❉♦ x, y, z ❧➔ ❝→❝ sè ❞÷ì♥❣✱ ♥➯♥ σ1 , σ2 , σ3 ❝ơ♥❣ ❧➔ ❝→❝ sè ❞÷ì♥❣✳ ◆❤➙♥ tø♥❣ ✈➳ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ✭✷✳✷✷✮✱ t❛ ✤÷đ❝ σ1 σ2 ≥ 9σ1 σ2 σ3 ✳ ❙❛✉ ❦❤✐ ữợ ữủ t ✤÷đ❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ σ1 σ2 ≥ 9σ3 ✱ tù❝ ❧➔ (x + y + z)(xy + yz + zx) ≥ 9xyz ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ tø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ σ1 ≥ 3σ1 σ2 ✱ s✉② r❛ σ1 ≥ 3σ1 σ2 ❱➻ σ1 σ2 ≥ 9σ3 ✱ ♥➯♥ tø ✤➙② s✉② r❛ σ1 ≥ 27σ3 , tù❝ ❧➔ x+y+z ≥ 27xyz ❚ø ❝æ♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ✤➙② t❛ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤÷❝ q✉❛♥ ❜✐➳t ❣✐ú❛ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝ë♥❣ ✈➔ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ♥❤➙♥✿ x+y+z √ ≥ xyz ❳➨t ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❤ù ❜❛ tr♦♥❣ ✭✷✳✷✸✮✳ ◆❤➙♥ tø♥❣ ✈➳ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ σ2 ≥ 3σ1 σ3 , σ1 σ2 ≥ 9σ3 , t❛ ✤÷đ❝ σ1 σ2 ≥ 27σ1 σ3 ❙✉② r❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ σ2 ≥ 27σ3 , tù❝ ❧➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (xy + yz + xz)3 ≥ 27x2 y z ◆❤➟♥ ①➨t✳ ❈→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ✭✷✳✷✸✮ ✈➝♥ ❝á♥ ✤ó♥❣ ♥➳✉ t❛ t❤❛② ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ x, y, z ❧➔ ❝→❝ sè ❞÷ì♥❣ ❜ð✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ x, y, z ❧➔ ❝→❝ sè ❦❤æ♥❣ ➙♠✳ ✷✳✷✳✶✼ ▼➺♥❤ ✤➲ ợ số ữỡ x, y, z t õ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ σ1 σ2 ≥ 3σ1 σ3 + 2σ2 , σ1 σ2 ≥ 2σ1 σ3 + 3σ2 σ3 , σ1 σ3 ≥ 6σ1 σ2 σ3 ✭✷✳✷✹✮ ❚ø ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✷✷✮✱ t❛ ❝â σ1 σ2 ≥ 3σ2 + 2σ2 ≥ 3σ1 σ3 + 2σ2 ◆❤÷ ✈➟② ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❤ù ♥❤➜t tr♦♥❣ ✭✷✳✷✹✮ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈➔ õ ợ số ữỡ x, y, z t❛ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (x + y + z)2 (xy + yz + zx) ≥ 3(x + y + z)xyz + 2(xy + yz + zx)2 ✻✽ ❳➨t ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❤ù ❤❛✐ tr♦♥❣ ✭✷✳✷✹✮✳ ❚❤❡♦ ✭✷✳✷✷✮✱ t❛ ❝â σ1 ≥ 3σ2 ✱ s✉② r❛ σ1 σ3 ≥ 3σ2 σ3 ▼➦t ❦❤→❝✱ t❤❡♦ ✭✷✳✷✷✮✱ t❛ ❝â σ2 ≥ 3σ1 σ3 , ❞♦ ✤â σ1 σ2 ≥ 3σ1 σ3 = 2σ1 σ3 + σ1 σ3 ≥ 2σ1 σ3 + 3σ2 σ3 ❚ø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈ø❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ trð ❧↕✐ ❝→❝ ❜✐➳♥ (x, y, z) > t❛ ❝â ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (x + y + z)3 xyz + (xy + yz + xz)3 ≥ 6(x + y + z)(xy + yz + xz)xyz ❉➵ t❤➜② r➡♥❣✱ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ✭✷✳✷✹✮ ✈➝♥ ❝á♥ ✤ó♥❣✱ ♥➳✉ x, y, z ❧➔ ❝→❝ sè ❦❤æ♥❣ ➙♠✳ ✷✳✷✳✶✽ ▼➺♥❤ ✤➲ ✭❬✷❪✮✳ ✭❙❝❤✉r✮ ●✐↔ sû x, y, z ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠✳ ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠å✐ r > t❤➻ fr (x, y, z) := xr (x − y)(x − z) + y r (y − x)(y − z) + z r (z − y)(z − x) ≥ ✭✷✳✷✺✮ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈➻ fr (x, y, z) ❧➔ ❤➔♠ ✤è✐ ①ù♥❣ t❤❡♦ ❜✐➳♥ x, y, z ♥➯♥ ❦❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t t❛ ❣✐↔ sû r➡♥❣ x ≥ y ≥ z ❑❤✐ ✤â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➣ ❝❤♦ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❧↕✐ ♥❤÷ s❛✉ fr (x, y, z) = (x − y)[xr (x − z) − y r (y − z)] + z r (x − z)(y − z) ≥ ❉➵ t❤➜② r➡♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ✤ó♥❣✳ ❳➨t ♠ët ✈➔✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ fr (x, y, z) ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ t❤❡♦ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✷✺✮✳ ❚❛ ❝â ❦➳t q✉↔ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✷✳✷✳✶✾ ▼➺♥❤ ✤➲ ✭❬✶❪✮✳ ❱ỵ✐ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠ x, y, z ❣✐ú❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❝ì sð ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ σ1 + 9σ3 ≥ 4σ1 σ2 , σ1 + 4σ2 + 6σ1 σ3 ≥ 5σ1 σ2 ✭✷✳✷✻✮ 2σ1 + 9σ3 ≥ 7σ1 σ2 , σ1 + 3σ2 ≥ 4σ1 σ2 σ2 + 9σ3 ≥ 4σ1 σ2 σ3 , 2σ2 + 9σ3 ≥ 7σ1 σ2 σ3 ✭✷✳✷✼✮ ✭✷✳✷✽✮ ✷✳✷✳✷✵ ▼➺♥❤ ✤➲ ✭❬✶❪✮✳ ❱ỵ✐ s❛✉ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠ x, y, z ❝â ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✷✳✷✳✷✶ ▼➺♥❤ ✤➲ ✭❬✹❪✮✳ ❱ỵ✐ ❝→❝ sè ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ x, y, z ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ σ1 k , (k = 0, 1, ) ✭✷✳✷✾✮ 3n−1 tr♦♥❣ ✤â sk = xk + y k + z k ✳ ❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x = y = z sk ≥ ✷✳✷✳✷✷ ▼➺♥❤ ✤➲ ✭❬✹❪✮✳ ợ ữ tr ✤➲ ✷✳✾✱ t❛ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ sm sn ≤ 3sm+n ✭✷✳✸✵✮ ✻✾ ✷✳✷✳✷✸ ❱➼ ❞ö✳ ❈❤♦ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣ x, y, z ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ (xyz) ≥ (y + z − x)(z + x − y)(x + y − z) ✣➦t x + y + z = σ1, xy + xz + yz = σ2, xyz = σ3✳ ❑❤✐ ✤â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➣ ❝❤♦ ❝â ❞↕♥❣ σ3 ≥ (σ1 − 2x)(σ1 − 2y)(σ1 − 2z) = σ1 − 2(x + y + z)σ1 + (xy + yz + zx)σ1 − 8xyz ⇔ σ1 ≥ σ1 − 2σ1 + 4σ1 σ2 − 8σ3 ⇔ σ1 − 4σ1 σ2 + 9σ3 ≥ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝✉è✐ ❝ị♥❣ ✤ó♥❣ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✷✵✳ ❱➟② ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➣ ❝❤♦ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x = y = z ✳ ✷✳✷✳✷✹ ❱➼ ❞ö✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ sè t❤ü❝ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ a, b, c t❤✐ (a + b + c)2 + 3(abc) ≥ 4(ab + bc + ca) ✣➦t a + b + c = σ1, ab + bc + ca = σ2, abs = σ3✳ ❑❤✐ ✤â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➣ tữỡ ữỡ ợ 2 + 33 ≥ 4σ2 ❘ã r➔♥❣ ❧➔ ♥➳✉ a = b = c = t❤➻ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤ó♥❣✳ ❳➨t tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❦❤✐ tr♦♥❣ ❝→❝ sè ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ a, b, c ❝â ➼t ♥❤➜t ♠ët sè ❞÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â ♥➳✉ σ1 > 0, σ2 ≥ 0, σ3 ≥ t❤➻ t❛ ❝â σ1 ≥ 27σ2 ⇔ σ2 ≥ 3σ3 ❑❤✐ ✤â ❜➜t tự ự tữỡ ữỡ ợ 2 ≥ 4σ2 − 3σ3 ≥ 4σ2 − σ2 = 3σ2 ❚❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✶✺ t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✷✳✷✳✷✺ ❱➼ ❞ö✳ ✭❆♥❤✱ ✶✾✾✾✮✳ ❈❤♦ x, y, z ❧➔ ❝→❝ sè ❦❤æ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ x + y + z = 1✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ 7(xy + yz + zx) ≤ + 9xyz ❱➻ x = y + z = ♥➯♥ t❛ ❝â t❤➸ ✈✐➳t ❧↕✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➣ ❝❤♦ ð ❞↕♥❣ 7(x + y + z)(xy + yz + zx) ≤ 2(x + y + z)3 + 9xyz x + y + z = σ1 , xy + yz + zx = σ2 , xyz = σ3 ✳ ❑❤✐ ✤â t t ự tữỡ ữỡ ợ 71 ≤ 2σ1 + 9σ3 ❚❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✷✵ t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ t❤ù❝ ❝➛♥ ✼✵ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❱⑨ ❑■➌◆ ◆●❍➚ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ ✤↕t ✤÷đ❝ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙②✿ ✶✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ✤÷đ❝ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❤❛✐ ❜✐➳♥✱ s❛✉ ✤â →♣ ❞ư♥❣ ❝❤ó♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû✱ ❝❤✐❛ ✤❛ t❤ù❝ ❤❛② ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ✷✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ✤÷đ❝ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❜❛ ❜✐➳♥✱ s❛✉ ✤â →♣ ❞ư♥❣ ❝❤ó♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû✱ t➼♥❤ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❤❛② ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ✸✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ✤÷đ❝ ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ ✈➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❤❛✐ ❜✐➳♥✱ ❜❛ 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✶✳✷✳✶✷ ❱➼ ❞ö✳ σ1 = x1 + x2 = −p, σ2 = x1 x2 = q ❚ø ✤â s✉② r❛ σ1 ∈ Z, σ2 ∈ Z✳ ❱ỵ✐