Ứng dụng của phương trình vi phân trong một số bài toán mạch điện

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO • • • TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 • • • • NGHIÊM THỊ BÌNH ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN • • • Chuyền ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC • • • Người hướng dẫn khoa học: T.s Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất tới phòng sau Đại học, các thầy cô giáo giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và tốt nghiệp. Tôi đặc biệt muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc tói T.s Nguyễn Văn Hùng, ngưòi đã định hướng cho tôi chọn về tài này, và tận tình giúp đỡ, hướng dẫn tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tói sự giúp đỡ của gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp trong thời gian qua. Mặc dù đã cố gắng, xong do điều kiện về thời gian và kinh nghiệm thực tế còn nhiều hạn chế nên trong luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cũng như của các bạn bè, đồng nghiệp. Tôi xỉn chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả l u ậ n văn Nghiêm Thị Bình LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng, luận văn Thạc sĩ chuyên ngàng Toán giải tích với đề tài: “ứng dụng của phương trình vi phân trong một số bài toán mạch điện” đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, luận văn này không giống hoàn toàn bất cứ luận văn hoặc các công trình đã có trước đó. Tôi cũng xin cam đoan rằng các nội dung tham khảo, thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả l u ậ n văn Nghiêm Thị Bình MỤC LỤC 2.1.1. 1.2. Phương trình vi phân thuần nhất với mạch điện không chứa MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong việc nghiên cứu các vấn đề của toán học, lĩnh vực phương trình vi phân không còn là vấn đề mới mẻ, nhưng chúng luôn thu hút được sự quan tâm mạnh mẽ của các nhà toán học, các nhà ứng dụng học, chúng được khai thác rất sâu và rộng. Người ta thấy rằng hầu hết các quy luật của khoa học tự nhiên, của kinh tế, hay của kỹ thuật đều được phát biểu dưới dạng các phương trình vi phân. Từ những năm 60 của thế kỷ 20, nhiều nhà nghiên cứu nước ngoài đã bắt tay vào nghiên cứu các tính chất định tính các mô hình điều khiển kỹ thuật một cách mạnh mẽ. Đặc biệt những kiến thức về phương trình vi phân đã được ứng dụng vào ngành kỹ thuật điện. Thật vậy, cuộc sống con người hiện nay đã gắn liền với ánh sáng của điện, Câu hỏi đặt ra là những nguồn ánh sáng đó xuất hiện từ đâu? Cơ chế xây dựng và hoạt động của nó như thế nào? Một phần được giải thích nhờ những kiến thức của phương trình vi phân. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn các cơ chế hoạt động của dòng điện nhờ phương trình vi phân, nhờ sự gợi ý, giúp đỡ và hướng dẫn của Thầy giáo, T.s Nguyễn Văn Hùng tôi đã quyết định chọn nghiên cứu đề tài: “ứng dụng của phương trình vỉ phân trong một sổ bài toán mạch điện”. 2. Mục đích nghiền cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày một số bài toán về mạch điện nhờ phương trình vi phân 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về một số bài toán về mạch điện một chiều hay xoay chiều, và cụ thể là quá trình quá độ xảy ra trong mạch điện. 5 Sử dụng phương trình vi phân để xây dựng và giải một số bài toán về mạch điện. 4. Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: ứng dụng của phương trình vi phân vào các mạch điện. Phạm vi nghiên cứu: Phương trình vi phân, và ứng dụng của phương trình vi phân vào các bài toán mạch điện. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu của phương trình vi phân. Phương pháp nghiên cứu của kỹ thuật điện. 6 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Phương trình vỉ phân 1.1.1. Phương trình vỉ phân cấp 1 Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp 1 có dạng tổng quát là F(* f *3O = 0 trong đó hàm F xác định trong miền DER 3 Nếu trong miền D, từ phương trình (1.1) ta có thể giải được y' y' = f(x,y) thì ta được phương trình vi phân cấp 1 đã giải ra đạo hàm. Hàm Ỵ = Ọ(X) xác định và khả vi trên khoảng I = (A,B) được gọi là nghiệm của phương trình (1.2) nếu: 1. (jc, <P(X), Ọ\X)) e D với mọi X e D 2. F(x,(p(x),(pXx)) = 0 trê n I Bài toán Cauchy: Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 là vô số, cho nên người ta thường quan tâm đến nghiệm thỏa mãn những điều kiện nào đấy. Chẳng hạn tìm nghiệm của phương trình (1.1) hoặc (1.2) thỏa mãn điều kiện: y(x 0 ) = y 0 trong đó X Ữ , y 0 là các số cho trước. Điều kiện (1.3) được gọi là điều kiện ban đầu. Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.1) hoặc phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.3) được gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện Lỉpschỉzz: Trong miền D hàm F(X,Y) thỏa mãn điều kiện Lipschizz biến y nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho: f(x,y 1 )-f(x,y 2 )\<L\ỵ 1 -y 2 Với VO,Y^GD; VO,Y 2 ) GD (1.1 ) (1.2 ) (1.3) Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm. Giả sử hàm /(X, >■) thỏa mãn điều kiện i, Hàm F(X, y) liên tục trong miền D ii, Hàm F(X, y) thỏa mãn điều kiện Lipschizz theo y trong D Khi đó ứng với mỗi điểm (jc 0 ,_y 0 ) GD tồn tại duy nhất nghiệmỴ = _y(jc) của phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đàu y(jc 0 ) = y 0 Hệ thức (1.4) là nghiệm của (1.2) với mỗi hằng số c được xác định từ (1.6). Nghiệm riêng: Nghiệm của (1.2) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được đảm bảo, được gọi là nghiệm riêng. Nghiệm kì dị: Nghiệm của phương trình (1.2) mà tại mỗi điểm tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ, được gọi là nghiệm kì dị. 1.1.2. Phương trình vỉ phân cấp cao Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát là: F(X,Y,Y\Y", , y (n) ) = 0 Hàm F được xác định trong miền G nào đấy của không gian R N . Trong phương trình (1.7) có thể vắng mặt một trong các biến X, y, y', y^ n ^ (nì R R nhưng Ý nhât thiêt phải có mặt. Nếu từ (1.7) ta giải ra được đạo hàm cấp cao nhất, tức là phương trình (1.7) có dạng: Y W =F O c , y , ( 1 . 8 ) thì ta được PTVP cấp n đã giải ra đối vói đạo hàm cấp cao nhất. Bài toán Cauchy: Là bài toán tìm nghiệm Y = Y(X) của phương trình (1.7) hoặc (1.8) thỏa mãn điều kiện ban đầu: y(xo) = 3W'(*o) = j'o 3 ,M) ( x o) = y 0 ( " _1) trong đó JC 0 , , J 0 y 0 ( n _ 1 ) là các giá trị cho trước. Nghiệm tổng quát: Ta giả thiết rằng miền G là miền thỏa mãn định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình (1.8), tức là nghiệm bài toán Cauchy tồn tại và duy nhất đối với mỗi điểm (jt 0 , , Joy 0 ( " 1 } ) • HàmỴ = <P(X,C Ỉ ,C 2 , ,C ) có các đạo hàmriêng theo X liên tục đến cấp n được gọilà nghiệm tổng quát của phương trình(1.8) trong miền G nếu từ hệ phương trình: = *P( X 0 ’Q = *PX (*0 ’Q < y 0 <-> = ^<->( A : 0 ,C 1 , ,C, Ta có thể xác định được: C? =^i(^o’Jo^o , ’—yo ( "“ 1) ) ^2 =¥2(X 0 ,Y 0 ,Y 0 >->yo ( *) c»° =Wn (*0 '>•••> y 0 (n_1) ) Và hàm Y = Ọ{X,C® là nghiệmcủa phương trình (1.8) ứng với mỗi hệ số c°,c°, ,c° được xác định tò (1.10) khi JC 0 ,J 0 ,y 0 ( " _ 1 ) biến thiên trong G. Nghiệm riêng: Nghiệm của phương trình (1.8) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được đảm bảo gọi là nghiệm riêng của phương trình (1.8). Nghiệm kì dị: Nghiệm của phương trình (1.8) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kì dị của phương trình (1.8). 1.1.3. Phương trình vỉ phân 2 Định nghĩa. Phương phân trình vi cấp 2 có dạng tổng quát là: = 0 Nếu từ (1.11) giải được đối với Y", thì phương trình (1.11) có dạng: y"^f(x,y,y') Bài toán Cauchy: Là bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.11) hoặc (1.12) thỏa mãn điều kiện ban đầu: yW = 3'o.3' l W = 3'o trong đó X 0 , , y 0 ' là các giá trị cho trước. Điều kiện Lỉpschỉzz: Trong miền G hàm F(X,Y,Y') thỏa mãn điều kiện Lipschizz biến Y,Y' nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho: \f(x,yi,yì)- f(x,y 2 ,y2)\ ^ L (|ji -y 2 \ + \yiVl) Với V(x, Y LT Y,') <= G ; V(JC, Y V Y2) G G [...]... Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT VÀO BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN 2.1 Điều kiện đầu và điều kiện cuối của mạch điện 2.1.1 Điều kiên đầu của mach điên • •• Trong khi tìm lời giải cho một mạch điện, ta thấy cần phải tìm một hằng số tích phân dựa vào trạng thái ban đầu của mạch mà trạng thái này phụ thuộc vào các đại lượng ban đầu của các phần tử tích trữ năng lượng Dựa vào tính chất: Hiệu điện thế... hàm của Vậy nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất là: y=Y+ỹ 1.1.5 Phương trình vỉ phân tuyến tính cấp 2 hệ sổ hằng sổ Định nghĩa: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số là phương trình có dạng: y”+py'+qy = f{x) ừong đó: P , Q là các hằng số, /(*) là hàm liên tục Nếu F ( X ) = 0 thì (1.15) còn được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số thuần... trúc nghiệm của phương trình phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất Định lý 1.2 Nếu j2(jc) là hai nghiệm nào đó của phương trình (1.14), thì (trong đó Cj, C 2 là hằng số tùy ý), cũng là nghiệm của phương trình (1.14) Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất Định lý 1.3 Neu ^(x), J2(x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (1.14) thì nghiệm tổng quát Y phương trình (1.14)... Ịìx) + 2 Giải phương trình: Y "+ PY '+ QY = F ( X ) ( P , Q là hằng số) Như ta đã biết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất là Y = Y + Y Trong đó Y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, Y là một nghiệm riêng của phương trình (1.15) Nếu F ( X ) là một hàm liên tục thì cách tìm nghiệm riêng hằng số Y vẫn phải dùng phương pháp biến thiên Trong chương trình này ta... = C 1 Y L (jt)+C2 Y 2 (jt), trong đó Cj, C2 là hằng số tùy ý nhất 2 Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần y"+p(x)y'+q(x)y=f(x) Định lý 1.4 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất (1.13) bằng nghiệm tổng quát của phương trình (1.14) cộng với một nghiệm riêng Ỵ của phương trình (1.13) Dựa vào phương pháp biến thiên hằng số Lagrange ta xác định được... bởi một hay nhiều phàn tử lý tưởng được ghép với nhau theo một cách nào đó 1.2.5 Các khái niệm cơ bản trong mạch điện Dòng điện và quy ước chiều dòng điện Dòng điện là dòng chuyển dời có hướng của các điện tích Cường độ dòng điện (gọi tắt là dòng điện) là lượng điện tích chuyển qua một bề mặt nào đó (tiết diện ngang của dây dẫn, nếu là dòng điện chảy trong dây dẫn) ừong một đơn vị thời gian Dòng điện. .. X ) là những hàm số liên tục Neu F ( X ) = 0 thì (1.13) còn được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất Neu F ( X )^0 thì (1.13) còn được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất Và đặc biệt khi P ( X ) , Q ( X ) là những hằng số thì (1.13) còn được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số là hằng số Phương pháp giải: 1 Giải phương trình có dạng: Y... nguồn điện áp không đổi U ( T ) = điểm T = 0 Tính điện áp quá độ của U C ( T ) và I ( T ) với T = T, UC (T) U =100(V) tại thời và dòng điện quá độ I ( T ) Tính giá tri 2 T , 3T , 5 T , lOr, trong đó T là hằng số thời gian của mạch Vẽ đường cong của U C ( T ) và I ( T ) Giải Phương trình vi phân của quá trình quá độ đối với điện áp quá độ trên điện dung là: RC ịực(0 + u M dt (2.1) = u Phương trình. .. điện một chiều Dòng điện một chiều là dòng điện có chiều và độ lớn không đổi theo thời gian 1.3.2 Định luật Omh Cường độ dòng điện ừong một đoạn mạch tỷ lệ thuận với hiệu điện thế ở hai đàu đoạn mạch, và tỷ lệ nghịch với điện trở của đoạn mạch ' V u AB Hình 1 8 Định luật Omh ì 1.3.3 • Đỉnh luât Kirchhoff: • Định luật Kirchhoff I và II là hai định luật cơ bản để nghiên cứu và tính toán trong mạch điện. .. dòng điện tò cực dương sang cực âm của nguồn ( Ỉ > 0 ) , ngược lại ( I < 0) Hình 1.5 Chiều dòng điện Điện áp Điện áp giữa hai điểm A và B là công cần thiết để làm dịch chuyển một đơn vị điện tích (1 culong) tò A đến B Điện áp ký hiệu là: u (vôn) Công suất Xét mạch điện chịu tác động ở hai đầu một điện áp U , qua đó sẽ có dòng điện /, Công suất tức thời được đưa vào mạch điện (được hấp thụ bởi mạch điện) : . các mạch điện. Phạm vi nghiên cứu: Phương trình vi phân, và ứng dụng của phương trình vi phân vào các bài toán mạch điện. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu của phương trình vi phân. Phương. ra trong mạch điện. 5 Sử dụng phương trình vi phân để xây dựng và giải một số bài toán về mạch điện. 4. Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: ứng dụng của phương trình vi phân. nghiên cứu, trình bày một số bài toán về mạch điện nhờ phương trình vi phân 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về một số bài toán về mạch điện một chiều hay xoay chiều, và cụ thể là quá trình quá