y,(t )= y„(t)
3.3.2. Đáp ứng tự nhiên của mạch điện bậc 2.
Đáp ứng tự nhiên Y có dạng hàm mũ là:
yn=Aes > ( 3 . 6 )
Lấy đạo hàm (3.6) thay vào (3.3), ta được:
Ảs2es t + Aalses t + Aa0ses t = 0 S u y r a Aes t(s2 + axs + aữ) = 0
Vì AEST không thể bằng 0 nên phương trình:
s 2+ a l s + a 0= 0 được gọi là phương trình đặc trưng, có nghiệm là:
-AL ±л/а12-4а0
SĨ 2 - --- ---
1,2 2
ứng với mỗi trị của S ta có một đáp ứng tự nhiên: YNL = A1ESL‘, YN2 = A2ES2T
Suy ra: УП = УП, + УП2=А,Е*'*+А2Е^
Vận dụng đáp ứng tự nhiên của mạch ta xác định được phương trình vi phân:
d2 i0 _ dir,—f+ 10—+ 16 / 2 =0 —f+ 10—+ 16 / 2 =0 d t2 d t 2 S2+ 10s + 16 = 0 suy ra Sj = -2; S2 = -8 khi đó I2=ALE~2T + A2 E~ST Các loại tần số tự nhiên _ r — ữ t4“ \ l ữ — 4 ữ n
Nếu A>0 khi đó J 1 2 =— - v 1---°- thì YN(T) = \ESL'+A2ESĨT
Nếu A = 0 khi đó S J 2 = K < 0 thì Y (í) = {A^+A 2T)EKT Nếu A < 0 khi đó
Su2=-A±JSS thì YN(T) = AIE (~a+m‘ + A2EA-ISS)T Dùng công ứiức EULER: EJE =
COS В + J sin В và E ~JE = COS В - J sin ớ Ta được: YN(T) = E~AT(5j COSSST
+ B2 SMSST)
Neu flj = 0 và a0 ф о, slj2 = ±jß thì у (í) = д cosßt + A, sinßt Kết luận: luận:
1. Nếu д > 0 thì đáp ứng tự nhiên có dạng hàm mũ là:
yn{t)^\esUA2e^
Khi đó hàm có tính chất tắt dần không giao động, và dạng sóng của У (T) là:
2. Nếu А = 0 thì đáp ứng tự nhiên có dạng hàm mũ là:
yn(t) = (Ai +A2t)ek t
Khi đó hàm có tính chất tắt dàn giới hạn, và dạng sóng của У (í) là:
Уп
О t
3. Neu А < 0 thì đáp ứng tự nhiên có dạng hàm mũ là: