y,(t )= y„(t)
YN(T )= E~ AT (B1 COSSST + B2 SMSS T)
4. Nếu AX = 0 và A0 * 0 thì đáp ứng tự nhiên có dạng hàm mũ là:
y (í) = A cosJ3t + Ạị sin pt
Khi đó hàm có tính chất giao động biên độ không đổi, dạng sóng của Y (T) là
Bài toán 3.4: Xác định đáp ứng tự nhiên V trong mạch Hình 3.3
40 AHình 3.3 Hình 3.3 Giải: _ V — V 1 dv Phương trình nút A:- — + / + —■— = 0 4 4 dt
Phương trình vòng bên phải: RÌ+—-V
dt "l Í A > d v d "l \ d V — — + V-v„ + — — — + V -v„ 4 [ d t d t 4 [ d t Lấy đạo hàm (3.9) và đơn giản ta được:
^ + (R + l)^ + (R + 4)v = Rv1 +^ dt dt s dt 4: R + ' V 4 1H © +v 8 (3.7) (3.8)
Thay I từ (3.7) vào (3.8) ta được: -R
(3.9)= =
Để tìm đáp ứng tự nhiên VN ta giải phương trình:
^- + (R + l)^ + (R + 4)v = 0 dt2 dt
Khi đó phương trình đặc trưng và các nghiệm của nó là:
52 + (/? + l)á' + /? + 4 = 0 _ -(fl + l) ±yỊ(R + l)2-4(R + 4) *1,2 - 2 ~(R + 1)±J R2-2R-15) si2=--- --- 1,2 2
Kết quả ứng với vài giá trị cụ thể của điện trở R:
J3R = 6Q , slj2 = -2,-5 thì VN=AÍe_2í + ẠjE~5‘
Ị3R = 5 Q , sh 2 = - 3 , - 3 t h ì vn={\ + Ạ?)é'* PR = 1Q , s1 2=-l± j2 ứiì V =(B1cos2í+52sin2í)e_'
Kết luân:
Nếu R = 6Q ta có hai nghiệm Ju là hai nghiệm thực phân biệt, đều âm,
nên tính chất nghiệm V tắt dần không dao động.
Neu R — 5Q. ta có hai nghiệm s là hai nghiệm kép ứiực âm, nên tính
chất nghiệm V tắt dàn tới hạn.
Nếu R - 1Q ta có hai nghiệm í là nghiệm phức liên họp, nên tính chất
nghiệm V dao động tắt dàn.
Bài toán. 3.5: Xác định dòng ị(t) ừong mạch (Hình 3.4). Cho V = 1 là nguồn DC
Hình 3.4
Giải:
Phương trình mạch điện có dạng:
L— + RÌ + — f/dí = v„
dt cJ '
Lấy vi phân 2 vế , thay các giá tri vào:
d2i di ĩ
L^i + R- + -i = 0
dt dt c
d2ỉ -di .. _
^4 + 3—+ 2ỉ = 0 dt
Phương trình đặc trưng và các nghiệm của phương trình vi phân là:
S + 3s + 2 = 0 2= —lj —2
Vậy: ỉ (t) = ỉ'n(í) = Aje _í+ A2e”2í
Ta thấy 2 nghiệm 2 là hai nghiệm thực phân biệt, đều âm, nên tính chất nghiệm i(t) tắt dần không dao động.