Một số ứng dụng của tích phân hàm một biến số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN **************** NGUYỄN THỊ NHUNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI - Năm 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN **************** NGUYỄN THỊ NHUNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học ThS TRẦN THỊ THU HÀ NỘI - Năm 2017 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NHUNG LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Trần Thị Thu - giảng viên khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Cô dành nhiều thời gian đáng quý tận tình hướng dẫn truyền kinh nghiệm quý báu cho em trình em thực khóa luận Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc thầy giáo, cô giáo khoa Toán, tới gia đình, bạn bè người sát cánh bên em, nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên trình học tập em thực hoàn chỉnh khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng để thực đề tài cách hoàn chỉnh nhất, song bước đầu em làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, tiếp cận với nên hạn chế kiến thức kinh nghiệm tránh khỏi thiếu sót định mà thân chưa thấy Vì vậy, em mong nhận góp ý bạn sinh viên đặc biệt thầy giáo, cô giáo giảng dạy môn Toán để khóa luận em hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 22 tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Nhung Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NHUNG LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài em nghiên cứu tìm hiểu hướng dẫn Ths Trần Thị Thu - giảng viên khoa Toán Đề tài em nghiên cứu hoàn thành sở kế thừa phát huy công trình nghiên cứu có liên quan Kết đề tài trung thực, không trùng lặp với đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 22 tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Nhung Mục lục LỜI MỞ ĐẦU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa tích phân 11 1.2 Các tính chất tích phân 13 1.3 Tổng Darboux tính chất 14 1.4 Các điều kiện khả tích 15 1.5 Một số kiến thức liên quan 16 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ 2.1 20 Ứng dụng tích phân toán sơ cấp 20 2.1.1 Ứng dụng để giải toán dãy số 21 2.1.2 Ứng dụng để giải toán tổ hợp 24 2.1.3 Ứng dụng để giải toán phương trình đại số phương trình lượng giác 28 2.1.4 Ứng dụng để tìm độ dài đường cong 38 2.1.5 Ứng dụng để giải toán tìm diện tích, thể tích 41 2.2 Ứng dụng tích phân toán vật lý 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.1 NGUYỄN THỊ NHUNG Ứng dụng tích phân toán chuyển động chất điểm 54 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NHUNG LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích ngành Toán học nghiên cứu khái niệm giới hạn, đạo hàm, tích phân, Một số tích phân kiến thức quen thuộc học sinh Trung học phổ thông sinh viên trường Đại học, Cao đẳng Mặc dù vậy, để nắm vững khái niệm, tính chất tích phân đồng thời ứng dụng tích phân vào toán Giải tích, Vật lý, lại vấn đề hoàn toàn không đơn giản Trong năm học Trung học phổ thông, học sinh làm quen với khái niệm tích phân, bước đầu biết vận dụng để tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể ứng dụng vật lí tìm công, lực tác dụng vật toán đơn giản Lên học Toán Đại học, tích phân ứng dụng ngày mở rộng toán tìm nghiệm phương trình, chứng minh bất đẳng thức, Lúc để giải vấn đề lại toán khó Nó yêu cầu người học không nắm vững vàng kiến thức định nghĩa, định lí, tính chất mà đòi hỏi người học phải có tư Toán học phát triển đồng thời biết sử dụng kết hợp cách khéo léo công cụ đại số hình học giải tích để giải toán Và nhiều học sinh mắc sai lầm việc giải toán ứng dụng tích phân, chưa Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NHUNG biết cách làm toán ứng dụng tích phân, Vì vậy, với mong muốn hệ thống tập chung, phân loại kiến thức đặc biệt tập ứng dụng tích phân nhằm đem lại cho học sinh, sinh viên trình học tập nghiên cứu tích phân hàm biến số, em lựa chọn đề tài: "Một số ứng dụng tích phân hàm biến số" cho khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu thực khóa luận tốt nghiệp - Nghiên cứu ứng dụng tích phân hàm biến lĩnh vực Toán học liên môn Toán - Lý Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu, giáo trình liên quan đến khái niệm, tính chất số định lí liên quan để rút phương pháp giải cho số tích phân - Phân loại kiến thức nêu dạng tập liên quan đến ứng dụng tích phân hàm biến Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc giáo trình, tài liệu liên quan tới ứng dụng tích phân hàm biến để phân Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NHUNG loại hệ thống hóa kiến thức - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn giảng viên khác để hoàn thiện mặt nội dung hình thức khóa luận Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội có mong muốn tìm hiểu ứng dụng tích phân hàm biến Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày sở lí thuyết định nghĩa, tính chất tích phân số định lí liên quan Chương 2: Một số ứng dụng tích phân hàm biến số Chương đưa hệ thống, phân loại dạng tập giúp cho việc giải tập thuận lợi từ nhằm phát triển tư giải toán phức tạp liên quan đến tích phân ứng dụng tích phân xác định Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương em hệ thống lại số kiến thức có liên quan định nghĩa, định lí, tính chất tích phân để phục vụ cho chương sau Như biết, hình học sơ cấp dạy ta cách tính diện tích hình phẳng đơn giản hình chữ nhật, hình thang, Vậy với hình phẳng công thức diện tích tính nào? Để giải vấn đề ta xét toán: Cho hàm số y = f (x) liên tục lấy giá trị dương đoạn [a, b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b gọi hình thang cong (phần tô đậm hình bên) Vậy diện tích hình thang cong ABba bao nhiêu? Lời giải Để giải toán ta phải: Định nghĩa diện tích hình thang cong Tìm cách tính diện tích Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NHUNG a) ρ2 = a2 cos 2ϕ (đường Lemniscat), b) ρ = a(1 + cos ϕ) (đường hình tim hay đường Cardinoid) 2.1.5.2 Tính diện tích xung quanh vật thể tròn xoay Mặt tròn xoay mặt cong sinh ta quay quanh trục Ox cung đường cong phẳng AB có phương trình y = f (x), x ∈ [a, b] với f (x) hàm số đơn trị có đạo hàm liên tục [a, b], A(a, f (a)), B(b, f (b)) Diện tích mặt tròn xoay tính theo công thức b S = 2π f (x) + f (x)dx a +) Trong trường hợp cung AB cho phương trình tham số:   x = x(t) , t0 < t < t1 ,  y = y(t) t1 y(t) x (t) + y (x)dt S = 2π t0 +) Trong trường hợp cung AB cho phương trình hệ tọa độ cực: r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β, β S = 2π r(ϕ) sin ϕ r2 (ϕ) + r (ϕ)dϕ α Ví dụ 2.22 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo thành quay đường cong sau: y = 2px, ≤ x ≤ quanh trục Ox Lời giải Từ phương trình: y = 2px, ta có: 2yy = 2p ⇔ y = 45 p p =√ y 2px Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NHUNG p 2px + √ dx 2px p √ 2px + dx = 2π p 2x Do đó: Sx = 2π Sx = 2π √ p 2x + pdx √ (p + 2x) 1 √ 2π p (p + 2x) d(p + 2x) = = 2π p 2 2 √ 2π 3 = π p (p + 2) − p = (p + 2) p2 + 2p − p2 3 1 Vậy Sx = 2π (p + 2) p2 + 2p − p2 Ví dụ 2.23 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo thành quay đường cong sau: x = a(t − sin), y = a(1 − cos t), ≤ t ≤ 2π quanh trục Ox Lời giải 2π y(t) x (t) + y (t)dt Ta có: Sx = 2π 2π a(1 − cos t) a2 (1 − cos t)2 + a2 sin2 tdt = 2π 2π sin2 = 2πa t 2(1 − cos t)dt 2π 2π t t t sin3 = 4πa sin sin dt = 8πa 2 0 π t = 16πa2 sin3 zdz (vì = z ⇒ dt = 2dz) 2 π (1 − cos2 z)d(− cos z) Sx = 16πa = −16πa2 cos z π Vậy Sx = − cos3 z 64 πa 46 π = −16πa2 − = 64 πa Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NHUNG Ví dụ 2.24 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo thành quay đường cong sau: 2 x3 + y = a3 quanh trục Ox Lời giải Tham số hóa đường hình cách đặt: x = a cos3 t, y = a sin3 t, ≤ t ≤ 2π ta ý đường cong đối xứng qua trục tọa độ π y(t) x (t) + y (t)dt Ta có: Sx = 2π 0π = 4π a sin3 t 9a2 cos4 t sin2 t + 9a2 sin4 t cos2 tdt 0π = 4π a sin3 t.3a sin t cos tdt π = 12πa2 sin4 td(sin t) = 12πa2 12 Vậy Sx = πa2 Bài tập đề nghị sin t π = 12 πa Bài tập 2.16 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo thành quay đường cong sau: a) x = a cos3 t, y = a sin3 t, (a > 0) quay quanh trục Oy, b) y = 2x − x2 , y = quanh trục Ox 2.1.5.3 Tính thể tích vật thể Ta biết công thức tính thể tích hình chóp, hình nón, hình 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NHUNG trụ, Vậy với vật thể bất kì, công thức tính thể tích nào? Bằng cách xây dựng tương tự định nghĩa tích phân, ta tìm cách tính thể tích vật thể V (hình trên) Cho vật thể không gian tọa độ Oxyz Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm a b Gọi S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ b) Giả sử S = S(x) hàm số liên tục Người ta chứng minh thể tích V B b V = S(x)dx a x2 y z Ví dụ 2.25 Tính thể tích ellipsoid + + = a b c Lời giải Ta cắt ellipsoid mặt phẳng x = x0 , x0 ∈ [−a; a] có thiết diện ellip có phương trình y2 b2 1− x20 a2 z2 + c2 1− x20 a2 = x2 Do diện tích thiết diện f (x) = πbc − a Vậy thể tích ellipsoid a V = a f (x)dx = πbc −a −a x2 − dx = πabc (đvtt) a 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NHUNG Ví dụ 2.26 Tính thể tích hình cầu bán kính R Lời giải Ta chọn tâm hình cầu làm gốc tọa độ sử dụng hệ tọa độ vuông góc Oxyz Thiết diện vuông góc với trục Oz có độ cao z có diện tích s(z) = πr2 = π(R2 − z ) Từ đó, theo công thức tính thể tích vật thể cho ta +R π(R2 − z )dx V = −R R =πR R dz − −R z dz = πR3 −R Vậy thể tích hình cầu là: V = πR3 (đvtt) Đây công thức tính thể tích hình cầu sử dụng lớp Bài tập đề nghị Bài tập 2.17 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt sau: x2 y c + = 1, z = x, z = 0, a) b a x2 y z b) + − = 1, z = a b c 2.1.5.4 Tính thể tích vật thể tròn xoay Ở mục 2.1.5.3, ta có công thức tính thể tích vật thể bất kỳ, ta tìm hiểu công thức tính thể tích vật thể tròn xoay Vật thể tròn xoay vật thể sinh ta quay quanh trục đồ thị hàm số y = f (x), x ∈ [a, b] với f (x) hàm số đơn 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NHUNG trị có đạo hàm liên tục [a, b] Trường hợp 1: Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [a, b] Khi đó, thể tích vật thể tròn xoay giới hạn đồ thị hàm số y = f (x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox là: b y dx V =π a Trường hợp 2: Cho hàm số x = g(y) liên tục đoạn [a, b] Khi đó, thể tích vật thể tròn xoay giới hạn đồ thị hàm số x = g(y), trục Oy hai đường thẳng y = a, y = b quay quanh trục Oy là: b x2 dy V =π a Trường hợp 3: Cho hai hàm số y = f (x) y = g(x) liên tục đoạn [a, b] Khi đó, thể tích vật thể tròn xoay giới hạn hai đồ thị y = f (x), y = g(x) hai đường thẳng x = a, y = b quay quanh trục Ox là: b f (x) − g (x) dx V =π a 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NHUNG Ví dụ 2.27 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh miền D giới x hạn y = xe , trục Ox x = 0, x = quay quanh trục Ox Lời giải Thể tích vật thể cần tìm có dạng: x2 ex dx V =π Xét x2 ex dx I=π Đặt:   u = x2 ⇒   = e − 2J.du = 2xdx  v = ex  dv = ex dx Khi đó: x I=x e xex dx −2 (2.5) Tính xex dx J= Đặt:   u = x ⇒  dv = ex dx   du = dx  v = ex Khi đó: J = xe x 1 x − x e dx = e − e = (2.6) 0 Từ (2.5) (2.6) suy ra: I = e − Vậy: V = (e − 2)π (đvtt) Ví dụ 2.28 Tính thể tích hình elipsoid tròn xoay sinh elip: 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NHUNG x2 y + = quay quanh trục Ox b a2 Lời giải Hình elip nhận trục Ox làm trục đối xứng nên khối elipsoid tròn xoay sinh nửa phía Ox elip quanh quanh Ox a2 Ta có: y = (b − x2 ) y = b Thể tích cần tìm là: a2 (b − x2 ) b2 b a2 πa2 x3 V =π (b − x )dx = b − b −b b b −b = πa2 b Vậy V = πa2 b (đvtt) Ví dụ 2.29 Thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn y = x2 + 1; y = 1; y = trục Oy quay quanh trục Oy Lời giải Ta có: y = x2 + ⇔ x2 = y − Thể tích vật thể cần tìm là: 2 x2 dy = π V =π Vậy V = 1 (y − 1)dy = π y − y 2 = π π (đvtt) Ví dụ 2.30 Cho D miền phẳng giới hạn đường: x2 y = y = Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo + x2 thành cho D quay quanh trục Ox 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NHUNG Lời giải  Xét phương trình: y = x = −1 x2  = ⇔ + x2 x=1 Thể tích vật thể cần tìm: V =π −1 x2 dx − (1 + x2 )2 =π x2 dx −1 dx − 2 −1 (1 + x ) x3 =π − dx − 2 12 −1 (1 + x ) =π I− −1 I = dx 2 −1 (1 + x ) Tính I: Đặt x = tan t, t ∈ −π Đổi cận: x = −1 ⇒ t = π x=1⇒t= Khi đó: −π I= π = (1 + tan2 t) dt = (1 + tan2 t)2 −π π −π π , 2 ⇒ dx = (1 + tan2 t)dt −π cos2 tdt π 1 (1 + cos 2t)dt = t + sin 2t 2 π = −π π + π + (đvtt) Bài tập đề nghị Vậy: V = Bài tập 2.18 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục Ox: 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NHUNG a) y = ln x, y = 0, x = 1, x = e, b) y = x2 , y = x Bài tập 2.19 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi: a) đường tròn: (x − a)2 + y = b2 với < b < a, b) y = (x − 2)2 y = Bài tập 2.20 Tính thể tích khối tròn xoay D quay quanh trục Ox a) D = y = x2 , y = b) D = y = 2.2 √ √ x , x, y = x, y = Ứng dụng tích phân toán vật lý Dựa định nghĩa lý thuyết vật lý, người ta xây dựng hệ thống ứng dụng to lớn tích phân vật lý Vì mặt kiến thức thời gian có hạn, em xin phép nêu ứng dụng tích phân vật lý 2.2.1 Ứng dụng tích phân toán chuyển động chất điểm Bên cạnh ứng dụng tích phân toán học, tích phân có ứng dụng to lớn toán chuyển động chất 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NHUNG điểm Phương pháp • Lập phương trình dựa liệu toán • Đưa dạng vi phân: vế có vi phân, biến vi phân nằm vế với vi phân • Tích phân hai vế theo cận xác định ta thu kết cần tìm Ví dụ 2.31 Một vật có khối lượng m = 1kg, vận tốc ban đầu v0 = 10m/s, chịu lực cản có độ lớn Fc = kv, với v vận tốc vật, số k = 1kg/s a Viết biểu thức vận tốc vật thời điểm t b Chứng minh vận tốc vật giảm dần theo hàm số bậc đường Lời giải Bài toán xét vật chuyển động tác dụng lực, Fc +) Chọn chiều dương chiều chuyển động +) Theo định luật II-Newton: −Fc = ma ⇔ −kv = m dv dt a Bây ta đưa vi phân dv dt vế, đồng thời ta biến v với vi phân dv dt = − m dv k v 55 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NHUNG Do ta xét chuyển động vật từ thời điểm ban đầu t = đến thời điểm t đó, vận tốc từ v0 đến giá trị v đó, tích phân vế theo cận này, ta t v dt = − v0 m dv k v m m v0 (ln v − ln v0 ) = ln k k v k − t ⇔v = v0 e m ⇔t = − b Vận tốc theo quãng đường s Ta xét chuyển động dừng lại, tức chuyển động theo chiều, nên quãng đường xem tọa độ vật s = x Từ công thức có ý a dv ds −kv = m Với v = ta suy −kds = mdv dt dt v k k Tích phân hai vế dv = − s + v0 ⇒ v = − s + v0 m m v0 Ví dụ 2.32 Tại thời điểm t = 0, lực F = kt tác dụng lên vật nhỏ khối lượng m đứng yên trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang (k số) Hướng lực luôn hợp với phương ngang góc α hình vẽ a Tính vật tốc vật bắt đầu rời khỏi mặt phẳng ngang b Quãng đương vật thời điểm Lời giải +) Chọn Ox nằm ngang theo hướng chuyển động ban đầu vật, Oy thẳng đứng hướng lên 56 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NHUNG +) Phương trình định luật II-Newton trục Ox k cos αt = max = m ⇔ k cos αtdt = dvx m v t x ⇔ dvx = ⇔ dvx dt k cos αt m k vx = cos αt2 2m Trên trục Oy k sin αt + N = mg a Khi vật rời k mặt phẳng ngang N = ⇒ t = mg k sin α mg cos α Lúc vy = 0, vx = 2k sin2 α b Quãng đường vật đến lúc dx k Từ công thức = vx ⇒ dx = vx dt = cos αt2 dt dt 2m x t k k cos αt3 Suy ra: dx = cos α t dt ⇒ x 2m 6m 0 Ngoài ứng dụng toán chuyển động trên, tích phân có nhiều ứng dụng khác toán vật lý tính công lực biến thiên, tính mômen, Do thời gian lực có hạn nên em xin phép tìm tòi hoàn thiện thời gian 57 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NHUNG Kết luận Khóa luận "Một số ứng dụng tích phân hàm biến" trình bày vấn đề sau: Một là: Đưa khái niệm, tính chất, định lý liên quan đến tích phân xác định Hai là: Nêu ứng dụng tích phân toán sơ cấp giải tích tính giới hạn dãy số, giải toán tổ hợp, giải số phương trình, toán liên quan đến hình học tìm độ dài đường cong, tính diện tích Cuối khóa luận trình bày ứng dụng tích phân vật lý Bên cạnh đó, thời gian có hạn nên số ứng dụng em trình bày cách tóm lược mà chưa vào chuyên sâu, hệ thống tập chưa phong phú hợp lí Em mong nhận góp ý, bảo thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên 58 Tài liệu tham khảo [1] Tô Văn Ban (2005), Giải tích tập nâng cao, Nhà xuất Giáo dục [2] Trần Đức Long (2010), Giáo trình Giải tích 2, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, tái lần thứ [3] Trần Đức Long (2006), Bài tập Giải tích 2, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, tái lần thứ [4] Nguyễn Văn Mậu (1993), Phương pháp giải phương trình bất phương trình, Nhà xuất Giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh, Đặng Huy Ruận (2002), Phép tính vi phân tích phân hàm biến, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Đoàn Quỳnh - Tổng chủ biên (2007), Giải tích 12 - nâng cao, Nhà xuất Giáo dục [7] 123doc.org.document/2425234-mot-so-ung-dung-cua-tichphan-trong-vat-ly.htm 59 ... Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ Sau hệ thống lại số kiến thức liên quan chương em sâu tìm hiểu ứng dụng tích phân hàm biến số số lĩnh vực Toán học, Vật lý, 2.1 Ứng dụng tích. .. 16 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ 2.1 20 Ứng dụng tích phân toán sơ cấp 20 2.1.1 Ứng dụng để giải toán dãy số 21 2.1.2 Ứng dụng để giải toán tổ hợp 24 2.1.3 Ứng dụng. .. trình bày sở lí thuyết định nghĩa, tính chất tích phân số định lí liên quan Chương 2: Một số ứng dụng tích phân hàm biến số Chương đưa hệ thống, phân loại dạng tập giúp cho việc giải tập thuận