Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

Quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận “Một số ứng dụngcủa đạo hàm hàm số một biến số” đã giúp em tìm hiểu sâu sắc hơn môn Giải tích nói chung, phép tính đạo hàm nói riêng và vị trí

Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học này em đã

nhận được rất nhiều sự quan tâm giúp đỡ của các thầy, cô giáo và

các bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong

khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải

tích, đã tận tình dạy dỗ em trong bốn năm học vừa qua và tạo điều

kiện thuận lợi cho em thực hiện bản khóa luận này

Em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc của mình tới ThS Trần Thị Thu

-người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá

trình thực hiện đề tài nghiên cứu này

Em xin cảm ơn mọi sự giúp đỡ, góp ý, phê bình của các thầy, cô và

các bạn sinh viên để em có thể hoàn thành được bản khóa luận như

ngày hôm nay

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Trần Minh Sơn

Quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận “Một số ứng dụng

của đạo hàm hàm số một biến số” đã giúp em tìm hiểu sâu sắc hơn

môn Giải tích nói chung, phép tính đạo hàm nói riêng và vị trí quan

trọng của nó Qua đó cũng giúp em bước đầu làm quen với công tác

nghiên cứu khoa học

Em xin cam đoan đề tài này được hoàn thành do nỗ lực tìm hiểu,

nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của

ThS Trần Thị Thu cũng như các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích

Tuy đề tài này không phải là mới nhưng kết quả nghiên cứu của đề

tài không trùng lặp với bất kì kết quả nào của các tác giả khác

Em rất vui mừng và hạnh phúc vì đã nhận được sự đóng góp ý kiến

của các thầy, cô và các bạn sinh viên

Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Trần Minh Sơn

LỜI NÓI ĐẦU 1

1 Các kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Định nghĩa đạo hàm 3

1.1.1 Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm 3

1.1.2 Đạo hàm tại một điểm 5

1.1.3 Đạo hàm một bên 7

1.1.4 Đạo hàm trên một tập bất kì 8

1.2 Quy tắc tính đạo hàm 9

1.2.1 Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số 9

1.2.2 Đạo hàm của tích hai hàm số 10

1.2.3 Đạo hàm của thương hai hàm số 10

1.3 Đạo hàm của hàm hợp 11

1.4 Đạo hàm của hàm ngược 12

1.5 Đạo hàm của hàm cho bởi tham số 13

1.6 Đạo hàm cấp cao 14

1.7 Một số định lí cơ bản của hàm khả vi 15

1.8 Công thức Taylor 18

1.8.1 Công thức Taylor với số dư dạng Lagrange 18

1.8.2 Khai triển Mac – Laurin 19

2 Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số 20

2.1 Ứng dụng đạo hàm hàm số một biến số trong các bài

toán thực tế 20

2.1.1 Ứng dụng trong mô tả chuyển động của chất điểm 21

2.1.2 Ứng dụng trong bài toán kinh tế 24

2.2 Ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số trong các

bài toán sơ cấp 29

2.2.1 Ứng dụng tìm giới hạn của hàm số 30

2.2.2 Ứng dụng tìm cực trị địa phương, giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập 35

2.2.3 Ứng dụng tìm điểm uốn của đồ thị hàm số 41

2.2.4 Ứng dụng đạo hàm để viết phương trình tiếp

2.2.8 Ứng dụng giải một số bài toán tổ hợp 56

2.2.9 Ứng dụng giải các bài toán về phương trình hàm 62

2.3 Ứng dụng của đạo hàm trong toán cao cấp 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO 67

LỜI NÓI ĐẦU

I Lí do chọn đề tài

Phép tính đạo hàm là một trong những phép tính cơ bản của Giải

tích toán học Nhờ có phép tính đạo hàm mà nhiều bài toán trong

thực tế, trong toán sơ cấp hay cao cấp được giải quyết nhanh gọn và

dễ hiểu

Vận dụng phép tính đạo hàm của hàm số một biến số vào giải toán

tuy không phải là một vấn đề mới nhưng là một phương pháp rất lí

thú và lôi cuốn đối với học sinh Với phương pháp này, học sinh có thể

giải quyết được rất nhiều bài toán thực tế, Đại số và Giải tích, các bài

toán trong các kỳ thi học sinh giỏi cũng như trong các kì thi Đại học,

Cao đẳng như tìm giới hạn, viết phương trình tiếp tuyến, tìm giá trị

lớn nhất, nhỏ nhất, của hàm số một biến số

Hiện nay, có nhiều cuốn sách viết về vấn đề này nhưng với mục

đích là tìm hiểu sâu sắc hơn nữa về giải tích toán học, để tích lũy vốn

kinh nghiệm cho bản thân phục vụ cho công tác giảng dạy sau này,

đồng thời giúp độc giả có cái nhìn tổng quan và sâu sắc hơn về ứng

dụng của đạo hàm hàm số một biến số em đã chọn đề tài “Một số ứng

dụng của đạo hàm hàm số một biến số” để thực hiện khóa luận tốt

nghiệp Đại học

II Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu này nhằm tìm hiểu một số ứng dụng của đạo hàm hàm

số một biến số trong việc giải các bài toán thực tế, sơ cấp và cao cấp.

III Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu tập trung đến một số ứng dụng của đạo hàm hàm số

một biến số trong việc giải các bài toán sơ cấp, sơ lược một vài ứng

dụng trong giải một số bài toán thực tế và trong toán cao cấp

IV Các phương pháp nghiên cứu

Phương pháp thống kê, phương pháp phân tích, phương pháp tổng

hợp, phương pháp so sánh và nghiên cứu các tài liệu liên quan

V Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục sách tham khảo cấu trúc

khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1 "Các kiến thức chuẩn bị" trình bày các khái niệm, định

lí và các các kiến thức liên quan đến đạo hàm hàm số một biến số

Nội dung của chương chủ yếu được lấy trong các tài liệu [2, 5, 8] mục

"Tài liệu tham khảo" ở trang cuối của bản khóa luận

Chương 2 "Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số"

trình bày một số ứng dụng điển hình của đạo hàm hàm số một biến

số trong việc giải các bài toán thực tế, các bài toán sơ cấp và các bài

toán cao cấp Ở mỗi ứng dụng em đưa ra phương pháp vận dụng, ví

dụ minh họa và các bài tập đề nghị Nội dung chương 2 được tham

khảo trong các tài liệu mà em đã nêu tại mục "Tài liệu tham khảo" ở

trang cuối của bản khóa luận

Các kiến thức chuẩn bị

Trong chương này em sẽ hệ thống các khái niệm, định lí và các

các kiến thức liên quan đến đạo hàm hàm số một biến số, một số

chứng minh em xin phép không trình bày, độc giả quan tâm có thể

tra cứu trong các tài liệu [2, 5, 8]

1.1 Định nghĩa đạo hàm

1.1.1 Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

Bài toán 1 Bài toán tìm vận tốc tức thời

Một chất điểm M chuyển động trên trục s0Os (hình 1.1)

Hình 1.1

Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t

s = s(t)

Hãy tìm một đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của

chuyển động tại thời điểm t0 ?

Giải Trong khoảng thời gian từ t0 đến t, chất điểm đi được quãng

động tại thời điểm t0

Từ nhận xét trên, người ta đưa ra định nghĩa sau đây

“Giới hạn hữu hạn (nếu có) lim

t→t 0

s(t) − s(t0)

t − t0 được gọi là vận tốc tứcthời của chuyển động tại thời điểm t0”

Đó là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động

tại thời điểm t0

Bài toán 2 Bài toán tìm cường độ tức thời

Điện lượng Q chuyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t :

Q = Q(t)

Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian |t − t0|

là :

Itb = Q(t) − Q(t0)

t − t0 .Nếu |t − t0| càng nhỏ thì tỉ số này càng biểu thị chính xác hơncường độ dòng điện tại thời điểm t0 Người ta đưa ra định nghĩa sau

đã cho Giới hạn trên dẫn tới một khái niệm quan trọng trong Toán

học, đó là khái niệm đạo hàm

1.1.2 Đạo hàm tại một điểm

Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a, b) ⊂ R và

x0 ∈ (a, b) Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

lim

x→x 0

f (x) − f (x0)

x − x0

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x0

và kí hiệu là f0(x0) hoặc y0(x0), nghĩa là

Chú ý 1.1 Đại lượng ∆x = x − x0 được gọi là số gia của đối số tại

x0 Đại lượng ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) được gọi là số gia của hàm

số ứng với số gia ∆x tại điểm x0

∆y

∆x = −

12(2 + ∆x);

−1

4 .

Vậy f0(2) = −1

4 .

Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a, b) ⊂ R và có đạohàm tại x0 ∈ (a, b) Đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x0 là hệ

số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M0(x0, f (x0))

Định lí 1.1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a, b) ⊂ R và

x0 ∈ (a, b) Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liêntục tại điểm x0

1.1.3 Đạo hàm một bên

Định nghĩa 1.2 (Đạo hàm bên phải) Cho hàm số y = f (x) xác định

trên (a, b) ⊂ R và x0 ∈ (a, b) Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái) Cho hàm số y = f (x) xác định

trên (a, b) ⊂ R và x0 ∈ (a, b) Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

Các đạo hàm bên phải và bên trái được gọi chung là đạo hàm một

bên Từ các tính chất của giới hạn một bên suy ra ngay định lí sau

đây:

Định lí 1.2 (Điều kiện cần và đủ để hàm số có đạo hàm) Cho hàm

số y = f (x) xác định trên (a, b) ⊂ R và x0 ∈ (a, b) Hàm số y = f (x)

có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f0(x+0 ), f0(x−0) tồn tại và bằng nhau

Khi đó, ta có

f0(x+0) = f0(x−0) = f0(x0)

Ví dụ 1.2 Xét hàm f (x) = |x| Tại điểm x0 = 0 ta có

Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm trên một khoảng) Hàm số y = f (x)

được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a, b) ⊂ R nếu nó có đạo hàm tạimọi điểm x trên khoảng đó

Định nghĩa 1.5 (Đạo hàm trên một đoạn) Hàm số y = f (x) được

gọi là có đạo hàm trên đoạn [a; b] nếu thỏa mãn các điều kiện sau :

Có đạo hàm tại mọi x thuộc (a ; b) ;

Có đạo hàm bên phải tại x = a ;

Có đạo hàm bên trái tại x = b

Ví dụ 1.3 Sử dụng định nghĩa đạo hàm dễ dàng ta chứng minh được

1.2 Quy tắc tính đạo hàm

1.2.1 Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số

Định lí 1.3 Nếu hai hàm số u = u (x) và v = v (x) có đạo hàm trên

J ⊂ R thì hàm số f (x) = u (x) + v (x) và g(x) = u (x) − v (x) cũng cóđạo hàm trên J và

a) f0(x) = u0(x) + v0(x)

b) g0(x) = u0(x) − v0(x)

Nhận xét 1.2 Có thể mở rộng định lí trên cho tổng hay hiệu của

nhiều hàm số : Nếu các hàm số u = u(x), v = v(x), , w = w(x) có

đạo hàm trên J ⊂ R thì trên J ta có

1.2.2 Đạo hàm của tích hai hàm số

Định lí 1.4 Nếu hai hàm số u = u (x) và v = v (x) có đạo hàm trên

J ⊂ R thì hàm số y(x) = u (x) v (x) cũng có đạo hàm trên J và

y0(x) = u0(x) v (x) + u (x) v0(x)

Đặc biệt, nếu k là hằng số thì y0(x) = [ku (x)]0 = ku0(x)

Ví dụ 1.5 Tìm đạo hàm của hàm số f (x) = 2x2 + 1
√x trênkhoảng (0; +∞)

1.2.3 Đạo hàm của thương hai hàm số

Định lí 1.5 Nếu hai hàm số u = u (x) và v = v (x) có đạo hàm trên

J ⊂ R và v (x) 6= 0 với mọi x ∈ J thì hàm số y = u (x)

v (x) cũng có đạohàm trên J và

ii, Nếu hàm số v = v (x) có đạo hàm trên J ⊂ R và v (x) 6= 0 vớimọi x ∈ J thì trên J ta có

1

−9x2 − 2x − 9(x2 − 1)2 .Tương tự ta dễ dàng chứng minh được:

2) Hàm số y = tan x có đạo hàm tại mọi x 6= π

2 + kπ, k ∈ Z và

y0 = 1cos2x.

3) Hàm số y = cot x có đạo hàm tại mọi x 6= kπ, k ∈ Z và

y0 = −1sin2x.

1.3 Đạo hàm của hàm hợp

Định lí 1.6 Cho hai tập U, V trong R Giả sử hàm f : U → V , f (x)khả vi tại x0 ∈ U và hàm g : V → R, g(x) khả vi tại y0 = f (x0) ∈ V Khi đó, hàm hợp g[f (x)] khả vi tại x0 và

(g[f (x)])0 = g0[f (x0)] f0(x0)

Ví dụ 1.7 Tìm đạo hàm của hàm số y = cos 5x.

Giải Áp dụng định lí 1.6 ta có

y0 = (cos 5x)0 = − sin 5x.(5x)0 = −5 sin 5x

Vậy y0 = −5 sin 5x

1.4 Đạo hàm của hàm ngược

Định lí 1.7 Cho hàm f : (a, b) → R liên tục, đơn điệu thực sự trongkhoảng (a; b) và f có đạo hàm f0(x0) 6= 0 tại x0 ∈ (a; b) Khi đó,hàm ngược g = f−1 của hàm f có đạo hàm tại điểm y0 = f (x0) và

 Ta có

(arcsin x)0 = 1

cos y =

1p

1.5 Đạo hàm của hàm cho bởi tham số

Định lí 1.8 Giả sử y = f (x) là hàm số cho bởi tham số

trong đó x = x(t) và y = y(t) là các hàm khả vi tại t = t0 với

x0(t0) 6= 0 Hơn nữa giả sử rằng hàm x = x(t) liên tục và đơn điệu

thực sự trong khoảng (a, b) Khi đó, theo định lí 1.9 hàm x = x(t) có

hàm ngược t = t(x) khả vi tại x0 = x(t0) và t0x(x0) = 1

x0(t0) Lấy đạohàm của hàm y đối với x tại x0 theo quy tắc đạo hàm hàm hợp ta



1.6 Đạo hàm cấp cao

Định nghĩa 1.6 Giả sử U ⊂ R là tập hợp mở, f : U → R là hàmkhả vi trên U Khi đó xác định hàm f0 : U → R, x 7→ f0(x) Nếu tại

x0 ∈ U hàm f0 : U → R khả vi thì ta gọi đạo hàm của f0 tại x0 là đạohàm cấp hai của hàm f tại x0 và kí hiệu là f00(x0) : f00(x0) = (f0)0(x0)

Hàm f có đạo hàm cấp hai tại x0 còn gọi là khả vi cấp hai tại đó

Một cách tổng quát, giả sử tồn tại đạo hàm cấp n − 1 của f trên

U , khi đó có xác định hàm f(n−1) : U → R, x 7→ f(n−1)(x) Nếu hàm

f(n−1) khả vi tại x0 ∈ U thì ta gọi đạo hàm của f(n−1) tại x0 là đạohàm cấp n của f tại x0 và kí hiệu là f(n) và f(n) = (f(n−1))0 Hàm f

có đạo hàm cấp n tại x0 còn gọi là khả vi cấp n tại đó

Đạo hàm của hàm số f được gọi là đạo hàm cấp một của f Ta quy

ước đạo hàm cấp không của hàm số f chính là f

Điểm x0 mà tại đó hàm f đạt cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa

phương được gọi chung là điểm cực trị của hàm f

Định lí 1.9 (Định lý Fermat) Cho tập hợp mở U ⊂ R và hàm

f : U → R Nếu điểm c ∈ U là điểm cực trị địa phương của hàm f và

f khả vi tại c thì f0(c) = 0

Chú ý 1.2 Điểm x0 tại đó f0(x0) = 0 được gọi là điểm dừng của

hàm f Như vậy nếu hàm f : U → R (U mở) là hàm khả vi trên U thìnhững điểm cực trị của f phải nằm trong số các điểm dừng của f

Định lí 1.10 (Định lý Rolle) Giả sử hàm số f : [a, b] → R thỏa mãn:

a) f liên tục trên [a, b];

b) f khả vi trong (a, b);

c) f (a) = f (b)

Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f0(c) = 0

Định lí 1.11 (Định lý Lagrange) Giả sử hàm số f : [a, b] → R thỏamãn:

a) f liên tục trên [a, b];

b) f khả vi trong (a, b)

Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho

f (b) − f (a) = f0(c) (b − a) (1.1)

Chú ý 1.3

1 Định lí Rolle là một trường hợp riêng của định lí Lagrange

2 Công thức (1.1) được gọi là công thức số gia hữu hạn Lagrange

Lấy a = x0, b = x0+ ∆x khi đó b − a = ∆x Vì c ở giữa x0 và x0+ ∆x

nên c có thể viết dưới dạng c = x0 + θ∆x, trong đó 0 < θ < 1 Công

thức (1.1) có thể viết lại dưới dạng:

a) Nếu f0(x) = 0, ∀x ∈ (a, b) thì f là một hằng số trên [a, b].

b) Nếu f0(x) > 0(f0(x) < 0) với mọi x ∈ (a, b) thì f tăng (giảm)

thực sự trên [a, b]

Định lí 1.12 (Định lý Cauchy) Giả sử các hàm số f, g : [a, b] → Rthỏa mãn:

a) f, g liên tục trên [a, b];

b) f, g khả vi trong khoảng (a, b)

Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho

số f (x) và g(x) xác định và liên tục trong lân cận nào đó của điểm

x0 trong đó x0 là một số hay dấu ∞, và khi x → x0 cả hai hàm đều

tiến tới 0, còn các đạo hàm f0(x) và g0(x) tồn tại trong lân cận nói

trên (có thể trừ điểm x0), đồng thời không triệt tiêu cùng một lúc khi

x 6= x0 và tồn tại giới hạn hữu hạn lim

Định lí 1.14 (Định lí L’ Hospital khử dạng vô định ∞

∞) Nếu cáchàm số f (x) và g(x) khi x → x0 cùng tiến tới vô cùng, còn các đạo

hàm f0(x) và g0(x) tồn tại với mọi x thuộc lân cận nào đó của điểm

x0, và khác x0, thêm vào đó (f0)2+ (g0)2 6= 0 trong lân cận nói trên và

x 6= x0, và tồn tại giới hạn hữu hạn lim

1.8.1 Công thức Taylor với số dư dạng Lagrange

Định lí 1.15 Giả sử hàm f : (a, b) → R có đạo hàm đến cấp n + 1trong (a, b), x0 ∈ (a, b) Khi đó với mọi x ∈ (a, b) ta có

k

+ f

(n+1)(c)(n + 1)! (x − x0)

n+1

trong đó c là một điểm ở giữa x và x0

Ngoài công thức trên ta có công thức Taylor với số dư dạng Peano

như sau

Định lí 1.16 Cho tập hợp mở U ⊂ R Giả sử hàm f : U → R cóđạo hàm đến cấp n trong một lân cận nào đó của x0 ∈ U và f(n)(x)liên tục tại x0 Khi đó với x ở trong lân cận nói trên của x0 ta có

k

+ o ((x − x0)n)

Tính chất 1.1 Cho f, g là hai hàm số nhận khai triển hữu hạn lân

cận điểm x = 0, khi đó :

a) λf + g, λ ∈ R cũng nhận khai triển hữu hạn lân cận điểm x = 0.b) f.g cũng nhận khai triển hữu hạn lân cận x = 0.

c) Nếu f (0) = 0 thì hàm hợp g [f (x)] cũng nhận khai triển hữu

hạn lân cận điểm x = 0

d) Nếu g (0) 6= 0 thì f

g cũng nhận khai triển hữu hạn lân cận x = 0.

1.8.2 Khai triển Mac – Laurin

Khai triển Taylor với số dư dạng Peano của hàm f (x) trong lân

cận của điểm x0 = 0 còn được gọi là khai triển Mac Laurin:

f (x) = f (0) + f

0(0)1! x +

f00(0)2! x

2 + + f

(n)(0)n! x

xnn! + o (x

2n+1

Một số ứng dụng của đạo hàm

hàm số một biến số

Trong chương này, em sẽ giới thiệu một số ứng dụng cơ bản và

quan trọng của đạo hàm hàm số một biến số trong việc giải bài toán

thực tế như vật lí, toán kinh tế và trong các bài toán sơ cấp

2.1 Ứng dụng đạo hàm hàm số một biến số trong

các bài toán thực tế

Đạo hàm của hàm số một biến số có rất nhiều ứng dụng hay và

đặc sắc trong các bài toán thực tế Nó như một công cụ hữu hiệu để

nghiên cứu chuyên sâu vào nhiều lĩnh vực như Vật lí hay kinh tế, Do

trình độ và thời gian có hạn nên trong mục này em chỉ trình bày sơ

lược một vài ứng dụng cơ bản của nó trong bài toán chuyển động của

chất điểm và trong bài toán kinh tế

2.1.1 Ứng dụng trong mô tả chuyển động của chất điểm

Có nhiều phương pháp mô tả chuyển động của chất điểm sử dụng

đạo hàm của hàm số một biến số như phương pháp véctơ, phương

pháp tọa độ tự nhiên, phương pháp tọa độ, Trong phần này, em sẽ

trình bày phương pháp véctơ trong việc mô tả chuyển động của chất

điểm

Phương pháp

Xét chuyển động của chất điểm M đối với hệ quy chiếu K được

quy ước là đứng yên Giả sử phương trình chuyển động của chất điểm

M có dạng

−

→r = −→r (t)

Véctơ vận tốc của chất điểm M ở thời điểm t bằng đạo hàm bậc

nhất theo thời gian của −→r (t), tức là

Véctơ gia tốc của chất điểm M ở thời điểm t bằng đạo hàm bậc

nhất theo thời gian của −→v (t), hay bằng đạo hàm bậc hai theo thờigian của −→r (t), tức là

Ví dụ minh họa

Ví dụ 2.1 Xét chuyển động có phương trình r (t) = 20 sin



πt + π6

,

t được tính bằng giây

a) Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2(s);

b) Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2(s)

Giải a) Ta có

v (t) = r0(t) = 20π cos



πt + π6



Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2(s) là

v (2) = 20π cos

2π + π

b) Ta có

w (t) = r00(t) = −20π2 sin



πt + π6



Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2(s) là

w (2) = −20π2 sin

2π + π

Ví dụ 2.2 Vận tốc của một chất điểm chuyển động được cho bởi

công thức v (t) = 3t2 + 8t, trong đó t được tính bằng giây và là một

số dương, v(t) tính bằng m/s Tìm gia tốc của chất điểm

a) Tại thời điểm t = 4(s);

b) Tại thời điểm vận tốc chuyển động bằng 11(m/s)

trí cân bằng Dùng búa gõ vào quả nặng, truyền cho nó vận tốc ban

đầu bằng 20cm/s hướng theo trục của lò xo Viết phương trình dao

Chọn gốc thời gian t = 0 vào lúc gõ búa vào vật nặng ở vị trí cân

bằng và chiều dương của trục Ox là chiều vận tốc ban đầu Ta có điều

kiện ban đầu khi t = 0 thì r = 0 và v = r0 = 0, 2 m/s

Từ đó, suy ra A cos ϕ = 0 ⇔





ϕ = π2

2

(m)

Bài tập đề nghị

Bài tập 2.1 Xét chuyển động có phương trình r (t) = 10 sin πt, t

được tính bằng giây

a) Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 5(s);

b) Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 10(s)

Bài tập 2.2 Chất điểm có khối lượng m chuyển động dao động theo

phương trình:

x = A cos (ωt + α)

trong đó A, α và ω là các đại lượng không đổi Tìm vận tốc, gia tốc

của chất điểm, và lực tác dụng lên chất điểm

2.1.2 Ứng dụng trong bài toán kinh tế

Đạo hàm hàm số một biến nói riêng và đạo hàm nói chung là một

công cụ đặc biệt quan trọng, được vận dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh

vực kinh tế Trong mục nhỏ này, em xin trình bày ứng dụng đạo hàm

cấp một của hàm số một biến số trong việc nghiên cứu thị trường và

trong sản xuất, kinh doanh

Phương pháp

+ Đạo hàm và độ dốc của đường cong

Cho y = f (x) xác định trên D và có đồ thị là đường cong (C),

x0 ∈ D

- Gọi ϕ là góc nghiêng của đường thẳng M0M so với trục Ox

- Gọi α là góc nghiêng của tiếp tuyến M0T so với trục Ox

Ta có: tan ϕ = M N

M0N =

∆y

∆x, khi ∆x → 0 suy ra M → M0 tức là,đường thẳng M0M đến vị trí tiếp tuyến M T do đó ϕ → α

Ta kết luận: Đạo hàm của hàm số y = f (x) tại x0 là hệ số góc của

tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M0(x0, x0) và f0(x0) là số đo độ dốc

của đường cong y = f (x) tại điểm M0(x0, x0)

+ Đạo hàm và giá trị biên tế trong kinh tế

Cho mô hình hàm số y = f (x), x và y là các biến kinh tế, trong đó

x là biến độc lập hay biến đầu vào, y là biến phụ thuộc hay biến đầu

ra Trong quản trị kinh doanh chúng ta quan tâm đến xu hướng thay

đổi của y khi x thay đổi một lượng nhỏ Với định nghĩa đạo hàm ta

Khi ∆x = 1 thì suy ra ∆y = f0(x0)

Vậy đạo hàm biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi của biến số y khi biến

số x tăng thêm một đơn vị

Với quan hệ hàm y = f (x), để mô tả sự thay đổi của biến kinh tế

y khi biến kinh tế x thay đổi, ta gọi f0(x0) là giá trị biên tế y tại x0

(còn gọi là biên tế)

Với mỗi hàm kinh tế ta có một tên gọi riêng như:

- Với hàm chi phí T C = f (x), x là sản lượng thì T C0(x) được gọi

Q0(100) = 5

2√

100 = 0, 25.

Điều này có nghĩa là: Khi tăng mức sử dụng lao động từ 100 lên

101 thì sản lượng sẽ tăng lên 0, 25 đơn vị sản phẩm

Ví dụ 2.5 Giả sử một cửa hàng quần áo có hàm cầu một cái áo là

P (Q) = 8 − 2Q2

trong đó Q là sản lượng, P là giá bán

Ta có sự thay đổi giá bán theo lượng cầu là:

P0(Q) = −4Q

Giả sử ở mức Q = 10 đơn vị thì P0(10) = −40 nghĩa là khi tăng

sản lượng lên 1 đơn vị (từ 10 lên 11) thì giá giảm 40 đơn vị tiền tệ

Ví dụ 2.6 Hàm chi phí một sản phẩm được cho là

T C(Q) = 0, 0001Q3 − 0, 02Q2 + 5Q + 100trong đó Q là sản lượng

Ta có sự thay đổi chi phí theo sản lượng là:

T C0(Q) = 0, 0003Q2 − 0, 04Q + 5.

Giả sử ở mức Q = 50 đơn vị thì T C0(50) = 3, 75 nghĩa là khi tăng

sản lượng lên 1 đơn vị (từ 50 lên 51) thì chi phí tăng thêm 3, 75 đơn

Khi P = 10 thì T R0(10) = 720 nghĩa là khi tăng giá bán lên 1 đơn

vị tiền tệ (từ 10 lên 11) thì doanh thu sẽ tăng thêm 720 đơn vị tiền

tệ

Khi P = 50 thì T R0(50) = −400 nghĩa là khi tăng giá bán lên 1

đơn vị tiền tệ (từ 50 lên 51) thì doanh thu sẽ giảm 400 đơn vị tiền tệ

Bài tập đề nghị

Bài tập 2.3 Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là Q = 10L3,

L là số công nhân Tìm sản phẩm biên tế của lao động tại L = 100

Bài tập 2.4 Giả sử một cửa hàng quần áo có hàm cầu một cái áo là

P (Q) = 5 − 13Q2

trong đó Q là sản lượng, P là giá bán Tìm giá bán biên khi Q = 10

2.2 Ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

trong các bài toán sơ cấp

Với công cụ là đạo hàm hàm số một biến số, ta có thể giải quyết

một loạt các bài toán sơ cấp hay và khó Sử dụng đạo hàm hàm số

một biến cho ta những lời giải ngắn gọn, dễ hiểu, dễ vận dụng hơn rất

nhiều so với những cách giải thông thường khác

Trong mục này, em xin trình bày những ứng dụng cơ bản của đạo

hàm hàm số một biến số trong việc giải một số dạng toán sơ cấp

thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp, Đại học, Cao đẳng hoặc trong

các đề thi học sinh giỏi như: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số; chứng

minh bất đẳng thức; giải phương trình, hệ phương trình; giải toán tổ

hợp; viết phương trình tiếp tuyến;

Ta có bài toán khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = f (x), hợp lí

hơn cả là tiến hành theo lược đồ sau:

1 Tìm miền xác định của hàm số, tính tuần hoàn, các giao điểm

với trục Ox và các khoảng giữ dấu, sự đối xứng của đồ thị hàm số,

tìm các điểm gián đoạn và các khoảng liên tục

2 Tìm các tiệm cận

3 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số và các điểm cực trị.

4 Tìm các khoảng giữ bề lồi và các điểm uốn của đồ thị hàm số

5 Vẽ đồ thị hàm số

Như vậy muốn khảo sát hàm số, ta cần giải quyết rất nhiều ý nhỏ

bên trong Trong phần tiếp theo, em xin trình bày ứng dụng của đạo

hàm hàm số một biến số trong việc khảo sát hàm số một biến số đó

là tính giới hạn của hàm số, tìm các điểm cực trị, điểm uốn của hàm

số

2.2.1 Ứng dụng tìm giới hạn của hàm số

Giới hạn hàm số đóng vai trò quan trọng trong giải tích và có rất

nhiều phương pháp tính giới hạn hàm số Ta có thể sử dụng đạo hàm

như một công cụ hữu hiệu để khử giới hạn dạng vô định

Giải Ở đây có dạng vô định 0

tan x



Giải Ở đây có dạng vô định ∞ − ∞

Ta có

lim

x→0

1sin x − 1

Áp dụng định lí L’ Hospital ta nhận được

lim

x→0

1sin x − 1

sin xcosx = 0.