Sự tồn tại và nghiệm tối ưu của một số bài toán trong giải tích phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP BỘ SỰ TỒN TẠI VÀ NGHIỆM TỐI ƢU CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG GIẢI TÍCH PHI TUYẾN MÃ SỐ : B2005.23.68 CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI : PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA TP.HCM, NĂM 2007 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CÁP BỘ SỰ TỒN TẠI VÀ NGHIỆM TỐI ƢU CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG GIẢI TÍCH PHI TUYẾN MÃ SỐ : B2005.23.68 CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI : PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA TP.HCM, NĂM 2007 DANH SÁCH NHỮNG NGƢỜI THAM GIA THỰC HIỆN PGS. TS. Nguyễn Bích Huy PGS.TS. Nguyễn Định o0o 1 TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ Tên đề tài: Sự tồn tại nghiệm và nghiệm tối ƣu của một số bài toán trong giải tích phi tuyến Mã số : B2005.23.68 Chủ nhiệm đề tài : PGS.TS. Lê Hoàn Háo, Điện thoại (08)75 22 625 Cơ quan chủ trì đề tài : Trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp.HCM Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện : PGS.TS. Nguyễn Bích Huy PGS.TS. Nguyễn Định Thời gian thực hiện: 4/2005 đến 4/2006 1. Mục tiêu : đề tài nhăm 3 mục tiêu chính sau đây - Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và cấu trúc của tập nghiệm cho phƣơng trình tích phân và tập nghiệm yếu của phƣơng trình sóng nửa tuyến tính - Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm cho lớp bài toán Cauchy bậc hai trong thang các không gian Banach. - Thiết lập các điều kiện tối ƣu dạng Karush - Kuhn - Tucker, các điều kiện điểm yên ngựa, đối ngẫu và ổn định cho các bài toán tối ƣu lồi trong không gian vector tôpô lồi địa phƣơng Hausdorff. 2. Nội dung chính: - Chƣơng 1. Tính compact và liên thông của tập nghiệm - Chƣơng 2. Bài toán Cauchy bậc hai trong thang các không gian Banach và áp dụng cho phƣơng trình Kirchhoff. - Chƣơng 3. Các điêu kiện chính qui dạng Farkas trong các bài toán tối ƣu lồi vô hạn. 3. Kết quả chính đạt đƣợc (khoa học, ứng dụng, đào tạo, kinh tế - xã hội): - Kết quả về khoa học : 3 bài báo, trong đó hai bài đã công bố trong tạp chí toán học nƣớc ngoài năm 2004 - 2005 và một bài công bố năm 2006 trong Demonstrator số 36. 2 - Kết quả đào tạo : Những nội dung trên đã đƣợc chúng tôi nghiên cứu trong một thời gian dài, các két quả từng bƣớc đƣợc triền khai trong các luận văn Thạc sĩ và luận án Tiến sĩ. Đã bảo vệ thành công 5 Thạc sĩ (10 - 2005) 1) Trần Trí Dũng, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hoa. Đề tài: Phƣơng trình vi phân đôi sô lệch trong không gian Banach - Công thức biên thiên hằng số và dáng điệu tiệm cận. 2) Nguyễn Thị Cúc Hƣơng, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hoa. Đề tài : Tính dao động, tính không dao động và tính ổn định cho phƣơng trình vi phân trung hòa đối số lệch 3) Lê Trần Tố Loan, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hoa. Đề tài : Phƣơng trình vi tích phân phi tuyến loại Hyperbolic. 4) Nguyễn Thanh Hà, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Nguyễn Bích Huy. Đề tài : Bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach. 5) Lê Thị Tuyết Nhung, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Nguyễn Bích Huy. Đề tài : vector riêng dƣơng của ánh xạ tuyến tính. Danh sách luận văn thạc sĩ, luận án tiến sĩ hoàn thành năm 2007 1) Trần Thị Thu Nguyệt, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hóa. Đề tài : Một vài cách tính bậc tôpô và ứng dụng vào bài toán phân nhảnh toàn cục của bất đẳng thức biến phân. 2) Phan Kim Khánh, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hóa. Đề tài . Tính compắc, liên thông của tập nghiệm một số phƣơng trình vi, tích phân. 3) Nguyễn Đình Tƣờng Long, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hóa. Đề tài : Giá trị ban đâu của nghiệm bị chặn của phƣơng trình vi phân tuyên tính với hàm ràng buộc tuần hoàn. 4) Lê Thị Phƣơng Ngọc (Tiến sĩ), Ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hóa. Đề tài: Ƣng dụng phƣơng pháp diêm bát động trong sự tôn tại nghiệm của phƣơng trình. Nguyễn Khải Hoàn, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Nguyễn Bích Huy. Đề tài : Một sô nghiên cứu vê phƣơng trình logistic. 5) Trần Thị Bích Thu, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Nguyễn Bích Huy. Đề tài: Một số lớp bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach. 3 SUMMARY Project Title: The existence of solution and optimality solution of some problems in non-linear Analysis Code number : B2005.23.68 Coordinator : associate professor Doctor Lê Hoàn Hóa Implementing Institution : hochiminhcity university of education Cooperating Institution(s) : associate professor doctor Nguyen Bich Huy, associate professor doctor Nguyễn Đinh. Duration : from May 2005 to June 2006 1. Objectives - Study the existence and the structure of the solution set of integral equations and weak solution set of semi linear wave equations - Study second-order Cauchy problem in a scale of Banach spaces - Provide Karush - Kuhn - Tucker and saddle point optimality condition , duality and stability for consistent convex optimization problem posed in locally convex topological vector spaces 2. Main contents - The connectivity and compactness of solution sets. - A second-order Cauchy problem in a scale of Banach spaces and applications to Kirchhoff equations. - New Farkas-type constraint qualifications in convex infinite programming. 3. Results obtained - Three were published in foreign mathematical Bulletins - The result of these three papers were used in five Master-degree thesis. 4 MỤC LỤC TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI 1 CHƢƠNG 1 : TÍNH LIÊN THÔNG VÀ COMPAC CỦA TẬP NGHIỆM 5 The connectivity and compactness of solution sets 8 CHƢƠNG 2: BÀI TOÁN CAUCHY BẬC HAI TRONG THANG CÁC KHÔNG GIAN BANACH VÀ ÁP DỤNG CHO PHƢƠNG TRÌNH KIRCHHOFF 22 A second-order Cauchv problem in a scale of Banach spaces and application to Kirchhoff equations 24 CHƢƠNG 3: CÁC ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY DẠNG FARKAS TRONG CÁC BÀI TOÁN TỐI ƢU LỒI VÔ HẠN 37 New Farkas –Type constraint qualifications in convex infinite programming Error! Bookmark not defined. THUYẾT MINH ĐỀ TÀI 65 5 CHƢƠNG 1 : TÍNH LIÊN THÔNG VÀ COMPAC CỦA TẬP NGHIỆM Nội dung: Chúng tôi chứng minh tập nghiệm của phƣơng trình tích phân sau là tập khác rỗng, compắc và liên thông: (1) và tính compắc, liên thông của tập nghiệm yếu cho phƣơng trình sóng nửa tuyến tính với các điều kiện biên ban đầu : (2) trong đó u o , u 1 , f là hàm cho trƣớc, hàm chƣa biết u (x, t) và giá trị biên chƣa biết P(t) thỏa mãn phƣơng trình tích phân phi tuyến sau : trong đó g,H,k cho trƣớc. Công cụ chính là lý thuyết bậc tôpô của trƣờng compắc. 1. Tổng quan: Bên cạnh bài toán về sự tồn tại nghiệm, số nghiệm hoặc cấu trúc của tập nghiệm cho các phƣơng trình vi phân, phƣơng trình tích phân, phƣơng trình đạo hàm riêng đã đƣợc nghiên cứu. Nhiều tác giả nghiên cứu về tính liên thông của tập nghiệm. Thí dụ một áp dụng là định lý: Nếu bài toán giá trị biên hỗn hợp cho phƣơng trình Parabolic nửa tuyến tính có hai nghiệm phân biệt thì tập nghiệm là vô hạn không đếm đƣợc. Theo [4], định lý khởi đầu là ống nghiệm có mặt cắt là tập liên thông đƣợc chứng minh bởi Kneser. Tính liên thông của tập nghiệm đƣợc thiết lập đầu tiên bởi Fukuhara. Các định lý này đƣợc nhiều tác giả mở rộng cho lớp phƣơng trình vi phân tổng quát. Từ các định lý cơ bản trên, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm cho phƣơng trình (1) và bài toán (2). Sự tồn tại nghiệm của (1) - (2) đƣợc thiết lập trong ([2],[6]). Trên cơ sở các kết quả của ([2],[6]), sử dụng lý thuyết bậc tôpô cho trƣờng compắc và định lý về sự sắp xỉ lipsit địa phƣơng của ánh xạ liên tục, chúng tôi chứng minh tập nghiệm của [1] và tập nghiệm yếu của [2] khác rỗng, compắc, liên thông. 2. Định lý Ì về tính compắc liên thông của tập nghiệm. Cho E là không gian Banach với chuẩn ||. Đặt X 0 = C([0,  ), E) là không gian Frechet các hàm liên tục từ [0,  ) vào Evới họ nửa chuẩn:   n P (x) sup | x(t)|,t [0, n] với mọi n   6 Và mêtric Khảo sát phƣơng trình tích phân: (I) Trong đó f, g thỏa mãn các điều kiện : (I 1 ) f : [0,  ) x E  E liên tục với tính chất : Với mỗi n  , k n > 0 sao cho (I 2 ) g : [0,  ) 2 x E → E hoàn toàn liên tục sao cho : g(t,.,.) : I x A  E liên tục đều đối với t trong khoảng bị chặn, với mọi tập bị chặn I  [0,  ) và tập bị chặn A  E (I 3 ) |x| lim g | (t,s,x)| x0   đều đối với (t, s)  [0,  ) 2 . Định lý 1: Giả sử f và g thỏa mãn (I 1 )-(I 3 ) theo thứ tự. Khi đó tập nghiệm của phƣơng trình (I) trên [0,  ) là tập khác rỗng, compắc, liên thông. Để chứng minh định lý 1 ta cần đến định lý điểm bất động loại KrasuoselsKii trong không gian lồi địa phƣơng [2], định lý về tính compắc liên thông của tập nghiệm [4, p. 312, Định lý 48.2], định lý về sự xấp xỉ lipsit địa phƣơng của ánh xạ liên tục [1] ([1], chƣơng 2, trang 53), định lý về mở rộng liên tục (xem [7, chƣơng 2, trang 49]). 3. Định lý 2 về tính compắc, liên thông của tập nghiệm yếu. Cho  = (0, 1), Q T =   (o, T), T > 0, L P = L P () , H 1 = H 1 (), H 2 = H 2 () trong đó H 1 , H 2 là không gian Sobolev trên . Chuẩn trên L 2 là ||||, <.,.> là tích vô hƣớng trên L 2 hay cặp của phiếm hàm tuyến tính liên tục với phần tử của không gian, chuẩn trên không gian Banach X ghi là |||| , L P (0,T; X), 1P   là không gian Banach các hàm số thực u : (0,T)  X đo đƣợc, sao cho: Khi đó V là không gian con đóng của H1 và trên 1 H V, || V || và ||V||V =   là hai chuẩn tƣơng đƣơng. Các giả thiết sau đây đƣợc lập ([6]) 7 (A 4 ) Hàm HC 1 () thỏa mãn f (0, 0) = 0 và tồn tại hằng số h o > 0 sao cho: Hàm số f :  2   thỏa mãn f (0, 0) = 0 và các điều kiện sau : Tồn tại hai hằng số ,   (0, 1] và hai hàm số B1, B2 :  +   + liên tục và thỏa mãn : Định lý 2 : (A 1 ) - (A 4 ) và (F 1 ) thỏa mãn. Giả sử thêm f liên tục . Khi đó, với mọi T > 0, tập hợp nghiệm yếu (u, P) của bài toán (2) sao cho u L  (0, T, v), u 1 L  (0, T, L 2 ), u t (0, t) L 2 (0, T,), P(t)  H 1 (0, t) là tập khác rỗng, compắc và liên thông. Để chứng minh định lý 2 ta cần định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm cho trƣờng compắc. Các kết quả trong chƣơng 1 sẽ đƣợc công bố trong tạp chí Demonstrato số 36 năm 2006 (đính kèm toàn văn bài báo : The connectivity and compactness of solution sets) [...]... (+))/ (H2) Tồn tại cac số C > 0, K > 0 sao cho | |   | |  Định lý 2 Giả sử các giả thiết (H1), (H2) đƣợc thỏa mãn và uo, u1  A () Khi đó tồn tại T’  T số sao cho bài toàn (1) có nghiệm u  C2 [0, T’], A ()) Để chứng minh định lý 2, ta chỉ cần sử dụng định lý 1 cho A, B là các ánh xạ sau: Bài toán là một dạng mở rộng của phƣơng trình Kirchhoff và đƣợc nghiên cứu ban đầu trong các bài báo của D Gourdin... New York Berlin Heidelberg Tokyo, Part I 21 CHƢƠNG 2: BÀI TOÁN CAUCHY BẬC HAI TRONG THANG CÁC KHÔNG GIAN BANACH VÀ ÁP DỤNG CHO PHƢƠNG TRÌNH KIRCHHOFF Các phƣơng trình vi phân trong thang các không gian Banach đƣợc ứng dụng nhiều trong Cơ học, Vật lý, Phƣơng trình đạo hàm riêng để nghiên cứu các bài toán chứa kỳ dị Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các phƣơng trình cấp 1 với điều kiện Lipschitz đƣợc... Nirenberg, Nishida, Tuschke, Một lớp phƣơng trình cấp 1 thỏa điều kiện dạng compắc cũng đã đƣợc Deimling nghiên cứu Barkova và Zabreiko nghiên cứu các phƣơng trình cấp 2 thỏa điều kiện Lipshitz và cũng nhận đƣợc các kết quả tƣơng tự nhƣ phƣơng trình cấp 1 Trong đề tài khoa học này chúng tôi sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của một lớp bài toán Cauchy cấp 2 thỏa điều kiện dạng compắc trong thang các không gian... trình Kirchhoff và đƣợc nghiên cứu ban đầu trong các bài báo của D Gourdin và M Mechab Các tác giả trên đã dùng phƣơng pháp khác để nghiên cứu bài toán và phải xây dựng các đánh giá khá phức tạp và dài dòng Ngoài ra, các giả thiết của họ đặt ra nặng hơn các giả thiết nêu trên của chúng tôi và khoảng tồn tại nghiệm của họ cũng hẹp hơn của chúng tôi 23 Journal of Differential Equations www.elsevier.com/locate/jde... chứng minh sự tồn tại nghiệm trong lớp hàm Gevrey của phƣơng trình dạng Kirchhoff 1 Về một lớp bài toán Cauchy bậc hai trong thang các không gian Banach Cho (E, ||),   [a,b]  (0,) là một thang các không gian Banach, nghĩa là với mọi cặp , ’  [a,b],  < ’ thì ta luôn có Định lý 1 Giả sử các điều kiện sau đây đƣợc thỏa mãn 1) Với mọi cặp (, ) mà   <  < b thì A là ánh xạ song tuyến tính... || || | | Ta có (E,||),  > 0 là một thang các không gian Banach và A{Q) = U{E:  >0} Nếu I  M là một khoảng thì ta viết u  C2 (I,A()) nếu tồn tại A > 0 sao cho u  C2 (I,E) Ta xét bài toán Cauchy sau đây trong do P,Q là các tập mở trong ,P Q và P bị chặn còn hàm f :r x + → thỏa mãn các điều kiện sau: (H1) f(t,.,u)  C () với mọi (t, u)  [0,T]x + và với mọi   Nn thì ánh xạ u → f(.,.,... đƣợc thỏa mãn 1) Với mọi cặp (, ) mà   <  < b thì A là ánh xạ song tuyến tính từ E x E vào E và với hằng số M không phụ thuộc ,  2) B là ánh xạ hoàng toàn liên tục C1([0, T], E) vào C ([0, T], Eb), hơn nữa 3) u0, u1  Eb Khi đó, với mỗi   (a, b) tồn tại số T = min{  √ } sao cho bài toán Cauchy Có nghiệm u : [0, T]  E 2 Ứng dụng cho phƣơng trình Kirchhoff Cho   n là tập mở, ta sẽ ký... to take Tm = T for all m Step 3 Passing to limit There exists a subsequence of sequence {um, Pm} (it was chosen two times), still denoted by {um, Pm}, such that : um  u in L(0, T; V) weak* , um  u strongly in L2(Qr), u'm  u' in L (0, T; L2) weak*, 16 Then (u, P) is the weak solution of the problem Step 4 Uniqueness of the solution The proof of the theorem 2 The proof consists of the following steps . KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ Tên đề tài: Sự tồn tại nghiệm và nghiệm tối ƣu của một số bài toán trong giải tích phi tuyến Mã số : B2005.23.68 Chủ nhiệm đề tài. BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CÁP BỘ SỰ TỒN TẠI VÀ NGHIỆM TỐI ƢU CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG GIẢI TÍCH PHI TUYẾN MÃ SỐ : B2005.23.68 CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI : PGS.TS. LÊ HOÀN. DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP BỘ SỰ TỒN TẠI VÀ NGHIỆM TỐI ƢU CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG GIẢI TÍCH PHI TUYẾN