Trong chƣơng này chúng ta xét bài toán tối ƣu sau: (P) Minimize f(x)
subject to ft(x) 0, t T, x C,
trong đó T là một tập chỉ số tùy ý (có thể là tập vô hạn), C là một tập lồi đóng, không rỗng của một không gian vectơ tôpô lồi địa phƣong Hausdorff X và f, ft : X {+}, t T, là các hàm lồi chân chính, nửa liên tục dƣới (ngắn gọn, l.s.c).
Trong suốt chƣơng này chúng ta sẽ giả thiết rằng hệ ràng buộc sau là tƣơng thích:
:= { ft(x) 0, t T, x C }, (1) với tập nghiệm A (A ).
Ta sẽ ký hiệu X* là không gian đối ngẫu tôpô của X, đƣợc trang bị bởi tôpô yếu*; (T) là không gian gồm các dãy suy rộng hữu hạn A = (t)tT sao cho t , mọi t T, và chỉ có một số hữu hạn các t khác không. Giá của (T
) là tập supp :={t T | t 0}. Để ý rằng (T) là đối ngẫu tôpô của không gian tích T
(trang bị tôpô tích). Ngoài ra,
38
Với một tập D X, hàm chỉ tiêu D đƣợc định nghĩa bởi D(x) = 0 nếu x D và
D(x) = +∞ nếu D. Nón pháp tuyến của tập D tại x đƣợc định nghĩa là : Nếu x D và ND(x) = nếu trái lại.
Cho h : X {+∞} là hàm lồi nửa liên tục dƣới. Miền hữu hiệu, đồ thị và trên đồ thị của h các tập đƣợc định nghĩa tƣơng ứng nhƣ sau :
Hàm đối ngẫu của h, H* : X* {+∞}, đƣợc định nghĩa là
Dưới vi phân của h tại a dom h đƣợc định nghĩa là tập
Với > 0, -s dƣới vi phân của h tại a dom h đƣợc định nghĩa là tập ồi đóng yếu*
Để ý rằng a domh, thì (xem[5, Lemma 2.1])
Nón đặc trƣng của hệ