skkn một số bài toán từ một bài toán cơ bản về diện tích các hình tam giác góp phần bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 5

Khai thác và phát triển một số bài toán từ một bài toán cơ bản về diện tích các hình tam giác góp phần bồi dỡng học sinh khá - giỏi lớp 5 I - Đặt vấn đề Những bài tập về hình học, đặc bi

Khai thác và phát triển một số bài toán từ một bài toán cơ bản về diện tích

các hình tam giác góp phần bồi dỡng học sinh khá - giỏi lớp 5

I - Đặt vấn đề

Những bài tập về hình học, đặc biệt là những bài tập có liên quan đến diện tích hình tam giác là một trong những bài tập khó đối với học sinh Tiểu học nhng lại là một mảng kiến thức cần thiết đối với học sinh Tiểu học Đây chính là cơ sở ban đầu để hình thành cho các em những kiến thức cơ bản về hình học, giúp các em học tốt hơn các lớp trên

Bên cạnh đó, tôi thấy một số giáo viên cha khai thác hết phơng pháp dạy học "lấy học sinh làm trung tâm" Thực tế, nhiều giáo viên cũng đã chú ý

đến mảng kiến thức nay song cha "bài bản", giải nhiều bài tập nhng cha có tính hệ thống Giáo viên chỉ đơn thuần giải quyết theo yêu cầu của đề bài nêu

ra là xong Để phát triển khả năng t duy, phát huy tính sáng tạo của học sinh thì phơng pháp dạy học đó cha đạt hiệu quả cao Với thực trạng nh thế, theo tôi vai trò của ngời thầy giáo là hết sức quan trọng Làm thế nào để học sinh tiếp thu bài không nhàm chán, để học sinh vẫn thấy mình đợc "lớn lên" qua các bài giảng, bài thiết kế của thầy? Đó là vấn đề đặt ra của mỗi thầy cô giáo Trong phạm vi bài viết của mình, với vốn kiến thức còn ít ỏi, tôi muốn đa ra một số vấn đề xây dựng một chuỗi bài tập về diện tích và các yếu tố có liên quan đến diện tích của hình tam giác trên cơ sở của một bài toán cơ bản từ đó nhằm khai thác và phát triển tối đa thành một hệ thống các bài toán khác từ dễ

đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Từ đó giúp học sinh tích cực suy nghĩ, tìm tòi phát triển năng lực trí tuệ

II - Nội dung

Để học sinh giải một số bài tập có liên quan đến diện tích hình tam giác thì trớc hết giáo viên phải hớng dẫn học sinh biết áp dụng một số phơng pháp sau:

1 Vận dụng công thức để tính diện tích.

- áp dụng trực tiếp công thức:

- áp dụng công thức tính diện tích để tính độ dài đoạn thẳng (cạnh đáy, chiều cao)

2 Dùng tỷ số (tỷ số về số đo các đoạn thẳng, tỷ số về số đo diện tích).

Điều này đợc thể hiện dới những hình thức sau:

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~

Trang 1

- Nếu hai tam giác có cùng diện tích thì đáy của chúng tỷ lệ nghịch với chiều cao (tơng ứng)

- Nếu hai tam giác có chung chiều cao thì diện tích của chúng tỷ lệ thuận với đáy (tơng ứng)

- Nếu hai tam giác có chung đáy thì diện tích của chúng tỷ lệ thuận với chiều cao (tơng ứng)

3 Thực hiện phép tính trên số đo diện tích và các thao tác phân tích, tổng hợp trên hình Điều này đợc thể hiện nh sau:

- Một hình đợc chia ra nhiều hình nhỏ thì diện tích của hình đó bằng tổng diện tích các hình nhỏ

- Hai hình có diện tích bằng nhau mà cùng có phần chung hoặc có phần bằng nhau thì phần còn lại tơng ứng cũng bằng nhau

ở hệ thống các bài tập sau đây, tôi đa ra 2 ví dụ cơ bản từ đó phát triển thành các mẫu bài tập:

+ Tính và so sánh diện tích các hình tam giác

+ Tính và so sánh độ dài các cạnh đáy

+ Tính và so sánh độ dài các đờng cao

+ Các bài tập về chứng minh (hay chứng tỏ).

Chúng ta bắt đầu từ một bài toán đơn giản đợc đa ra trong sách giáo khoa nh sau:

Ví dụ 1:

Cho hình tam giác ABC Điểm M là điểm chính giữa của cạnh

BC Hãy so sánh diện tích của 2 hình tam giác ABM và AMC

Giải:

Ta có hình vẽ bên

Kí hiệu S là diện tích

Hai tam giác ABM và AMC

có chung chiều cao hạ từ A và có

đáy BM = MC nên: SABM = SAMC

Từ ví dụ trên ta có thể phát triển bằng cách

kẻ thêm 2 đờng cao của hai tam giác AMB và AMC và yêu cầu so sánh 2 đ-ờng cao đó, ta sẽ đợc bài tập 1 nh sau:

Bài tập 1: Cho tam giác ABC Điểm M là điểm chính giữa của BC HB

và CK tơng ứng là hai đờng cao của 2 tam giác ABM và ACM

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~

Trang 2 A

Chứng tỏ rằng BH = CK.

Giải:

Ta có hình vẽ bên

Theo ví dụ 1 ta có SABM = SAMC (1)

Mà SBMA =

2

AM

BH 

SCAM =

2

AM

CK 

Từ (1) và (2) suy ra:

2

AM

BH 

= 2

AM

CK 

Hay

2 2

CK BH

 Vậy BH = CK (đ.p.c.m)

Từ bài tập 1 ta có thể phát triển bằng cách thêm một vài yếu tố mới và yêu cầu tính và so sánh diện tích các hình tam giác ta sẽ đợc các bài tập sau:

Bài tập 2: Cho hình tam giác ABC Điểm M là điểm chính giữa của BC

và N là điểm chính giữa của AC Tính diện tích tam giác ABC Biết diện tích tam giác MNC là 2 cm2

Giải:

Ta có hình vẽ bên

Theo ví dụ 1 ta có:

SABM = SAMC =

2

1 SABC

Lại có: SMNC =

2

1 SMAC (chung

đờng cao hạ từ M và NC =

2

1

AC) Do đó SMNC =

4

1 SABC hay SABC = 4 SMNC = 4  2 = 8 (cm2)

Bài tập 3: Cho tam giác ABC Điểm M là điểm chính giữa của BC

Từ M kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AC tại N Tính S MNC Biết

S ABC = 24 cm2

Giải:

Ta có hình vẽ bên

Vì MN // AB (gt) nên ABMN

là hình thang Suy ra các đờng

cao hạ từ đỉnh A và B xuống

MN của 2 tam giác AMN và

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~

Trang 3

(2)

A

B

M

C N

A

B

H

K M

C

A

B

M

C N

BMN bằng nhau.

Mặt khác:

Hai tam giác AMN và BMN chung đáy MN nên S AMN = S BMN (1)

Lại có:S AMN = SBMN (chung đờng cao hạ từ đỉnh N, BM = MC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: S MNC = S MNA =

2

1

S MAC

Mà theo ví dụ 1 thì SAMC =

2

1

S ABC

Nên S MNC =

4

1

S ABC Hay S MNC = 24 : 4 = 6 (cm2)

Từ bài tập này ta có thể phát triển bằng cách thêm một vài yếu tố mới

và yêu cầu tính và so sánh độ dài các đờng cao; tính và so sánh độ dài các cạnh đáy của hình tam giác ta sẽ đợc các bài tập sau:

Bài tập 4: Cho tam giác ABC có AB = 4cm Điểm M và N lần lợt là

điểm chính giữa của BC và AC Tính đờng cao MK của tam giác MAB Biết SANC = 4cm2

Giải:

Ta có hình vẽ bên

Ta có: SAMB = SAMC (chung đờng

cao hạ từ đỉnh A; MB = MC);

S MAN = S MNC (chung đờng cao

hạ từ đỉnh M và MB = MC)

Mà S MAC = 2S MNC = 2  4 = 8 (cm2)

Vậy độ dài đờng giao MK của  MAN là: 4 ( )

4

8 2

m c





Bài tập 5: Cho tam giác ABC Điểm M là điểm chính giữa của BC

Nối AM, trên AM lấy điểm N sao cho AN = NM Tính đờng cao NQ

của tam giác NAC Biết đờng cao BK của tam giác BAC là 8 cm

Giải:

Ta có hình vẽ bên

Ta thấy: S CNA =

2

1

S CMA (chung

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~

Trang 4

A

B

M

C N

K

A

B

M

C N

K Q

đờng cao hạ từ đỉnh C và AN =

2

1 AM)

S AMC =

2

1

S ABC (theo ví dụ 1) Ta suy ra S CNA =

4

1

S ABC (1)

Mà NAC và BAC có chung cạnh đáy AC nên theo (1)

Thì NQ =

4

1

BK Vậy NQ =

4

1

x 8 = 2 (cm)

Bài tập 6: Cho tam giác ABC Điểm M là điểm chính giữa của BC Trên

AM lấy điểm I sao cho IM =

2

1

AI Kéo dài CI cắt AB tại N

Tính S ABC biết S BMN = 24cm2

Giải:

Ta có hình vẽ bên

Từ A ta kẻ đờng cao AH của

ANC Từ M ta kẻ đờng cao

MK của MIC Ta thấy:

S CMI =

2

1

S CIA *(chung đờng cao hạ từ C, MI =

2

1

IA)

Lại có, AIC và MIC chung đáy IC nên theo (*) thì MK =

2

1

AH Từ đó suy

ra: S MNC =

2

1

S ANC (chung đáy NC và đờng cao MK =

2

1

AH) Mà S MNB = S NMC (chung đờng cao hạ từ N và đờng cao BM = MC (gt))

Do đó S BMN =

4

1

S ABC Hay S ABC = 4S BMN Vậy S ABC = 4  24 = 96 (cm2)

Bài tập 7: Cho tam giác ABC Điểm M là điểm chính giữa của BC.

Trên MA lấy điểm I sao cho IM =

2

1

AI Kéo dài CI cắt AB tại N

a/ Chứng tỏ N là điểm chính giữa của cạnh AB

b/ Tính S ABC Biết S AIN = 4cm2

Giải:

Ta có hình vẽ bên

a/ Kẻ đờng cao AP của ANC

và đờng cao BH của BNC

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~

Trang 5

A

B

M

C

N

I

P

H

A

B

M

C

N

K I H

Ta thấy: S IBM = S IMC (chung

đờng cao hạ từ I và BM = MC)

Suy ra: S IMC =

2

1

S IBC (1)

Mà S CIM =

2

1

S CIA (chung đờng cao hạ từ C và MI =

2

1

IA).

Nên theo (1) thì S BIC = S AIC (2)

Mặt khác BIC và AIC có chung đáy IC nên theo (2)

Ta có: AP = BH

Do đó S ANC = S BNC (chung đáy NC và AP = BH) (3)

Lại có, ANC và BNC có chung đờng cao hạ từ C nên theo (3) thì

AN = BN Hay N là điểm chính giữa của cạnh của cạnh AB (đ.p.c.m)

b/ Ta thấy: S IAN = S IBN (chung đờng cao hạ từ I và AM = BN)

Hay S IAH =

2

1

S IAB

Mà S BIM =

2

1

S BAI (chung đờng cao hạ từ B và IM =

2

1

AI(gt)).

Nên S IAN = S IBM

Mà S BIM =

3

1

S BAM (4)(chung đờng cao hạ từ B, IM =

3

1

AM).

Và S ABM =

2

1

S ABC (theo ví dụ 1)

Nên theo (4) ta có: S IAN =

6

1

S ABC Hay S ABC = 6S IAN Vậy S ABC = 6  4 = 24 (cm2)

Bài tập 8: Cho tam giác ABC Điểm M là điểm chính giữa của BC Trên

AC lấy điểm N sao cho AN =

4

1

AC Nối MN cắt BA kéo dài tại K

a/ Tính S ABC biết S AKN = 50 cm2

b/ So sánh KN và KM

Giải:

Ta có hình vẽ bên

a/ Ta có: S NBM = S NMC (1) (chung

đờng cao hạ từ N và BM = MC).

S KBM = S KMC (1) (chung

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~

Trang 6 A

N K

đờng cao hạ từ K và BM = MC).

Mà S KBM = S KNB + S NBM

S KMC = S KNC + S NMC Ta suy ra S KNB + S NBM = S KNC + S NMC Nên theo (1) ta có: S KNB = S KNC

Mà S KAN =

3

1

S KNC (chung đờng cao hạ từ A và AN =

3

1

NC).

Hay S KNC = 3S KAN = 3  5 = 150(cm2)

S ANB = S KNB - S AKN = 150 - 50 = 100(cm2)

Mà S BAN =

4

1

S BAC (chung đờng cao hạ từ B và AN =

4

1

AC).

S ABC = 4S BAN

Vậy S ABC = 4  100 = 400(cm2) b/ Theo a/ ta có: S NBC = S ABC - S ANB = 400 - 100 = 300(cm2)

Suy ra: S NMC = 300 : 2 = 150(cm2) (1)

Mà S KNC = 3S KNA = 3  50 = 150(cm2) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: S CNK = S CMN (3)

2 CNK và CMN lại có chung đờng cao hạ từ C nên theo (3) ta có:

KN = NM Hay KN =

2

1 KM

Vậy KN =

2

1 KM

Bài tập 9: Cho tam giác ABC Trên BC lấy điểm K sao cho KB

= KC Trên AK lấy điểm H sao cho HA = HK Nối BH kéo dài cắt AC tại Q Nối H với C

a/ Tính S ABC Biết S BHK = 100cm2

b/ Hãy so sánh AQ với QC

c/ Hãy so sánh S AHQ với S ABC ?

Giải:

Ta có hình vẽ bên

a/ Ta thấy S BHK =

2

1

S BAK (chung

đờng cao hạ từ B và HK = AK (gt)).

Mà S ABK =

2

1

S ABC (chung đờng cao hạ từ A và BK =

2

1

BC).

Suy ra: S BHK =

4

1

S ABC ; Hay S ABC = 4 S BHK

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~

Trang 7 A

B

K

C H

E Q I

Vậy S ABC = 4  100 = 400(cm2)

b/ Từ A kẻ dờng cao AI của ABQ ; Từ C kẻ dờng cao CE của CBE

Xét 2 tam giác: BHA và BHC:

Ta thấy: S BHA = S BHK

S HBK = S HKC suy ra S AHB =

2

1

S CHB (1)

Mà AHB và CHB có chung đáy HB nên từ (1) ta có: AI =

2

1 CE

Mặt khác AI và CE lần lợt là 2 đờng cao của 2 AHQ và CHQ nên suy

ra: SAHQ =

2

1

SCHQ (chung HQ) (2)

Mà HAQ và HQC lại có lại có chung đờng cao hạ từ H nên từ (2) ta có

AQ =

2

1

QC

c/ Ta có SAHQ =

2

1 SCHQ (theo b/) Hay SHAQ =

3

1

SHAC(3)

Mà SCHA =

2

1 SCKA

SAKC =

2

1 SABC suy ra SCHA =

4

1

SABC nên từ (3) ta có

SAHQ =

12

1 SABC

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC M là một điểm nằm trên BC sao cho

AM = AC Tính SABC Biết SAMB = 2cm2

Giải:

Ta có hình vẽ bên

Ta có: SBAM =

3

1 SBAC (chung đờng

cao hạ từ B và AM =

3

1

AC).

Suy ra: SABC = 3SAMB = 3  2 = 6(cm2 )

Từ ví dụ 2 ta phát triển bằng cách thêm một vài yếu tố mới ta sẽ đợc các bài tập sau:

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~

Trang 8 A

B

C M

Bài tập 1: Cho tam giác ABC và BC = 3cm Trên AC lấy M sao cho

AM =

3

1

AC Tính đờng cao AH của ABC Biết SAMB là 2cm2

Giải:

Ta có hình vẽ bên

Ta có: SABC = 3SAMB (theo ví dụ 2)

áp dụng công thức tính diện tích

hình tam giác SABC =

2

BC

AH 

;

3

2 3 2 3

3 2 3

2

cm S

S ABC AMB











Bài tập 2: Cho tam giác ABC Trên BC lấy điểm F sao cho BF

=

3

1

BC Trên AB lấy điểm E sao cho AE =

3

1

AB Nối A với F và C với E cắt nhau tại H Biết SAEH = 3cm2

Tính:

a/ SACH

b/ SABC ?

Giải:

Ta có hình vẽ bên

Từ B kẻ đờng cao BI của BAF

Từ C kẻ đờng cao CK của CAF

a/ Ta có: SBHF =

2

1 SCHF (chung đờng

cao hạ từ H và BF =

2

1

CF) (1).

Mặt khác 2 BHF và CHF có chung HF nên từ (1) ta có: BI =

2

1

CK

Lại có BI và CK lần lợt là đờng cao của các tam giác BAH và CAH (2)

Mà BAH và CAH chung đáy nên từ (2) ta có: SBAH =

2

1 SCAH

Hay SCAH = 2SBAH

Mặt khác, SHAB = 3SHAE (chung đờng cao hạ từ H và AB = 3AE (gt))

Suy ra: SHAB = 3  3 = 9(cm2)

Vậy: SAHC = 2  9 = 18(cm2)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~

Trang 9

A

B

C M

H

A

B

C

K

H E

F

I

b/ Ta có: SCAE = SCHA + SEAH = 18 + 3 = 21(cm2).

Mà SCAE =

3

1 SCAB (chung đờng cao hạ từ C và AE =

3

1

AB).

Suy ra: SABC = 3SCAE = 3  21 = 63(cm2)

Bài tập 3: Cho tam giác ABC Trên AC lấy điểm M sao cho

AM =

3

1

AC Trên BC lấy điểm N sao cho BN =

3

1

BC Nối AN và BN cắt nhau tại E

a/ Chứng tỏ rằng SAEM = SBEN

b/ Kẻ đờng cao MK của

MEC và đờng cao NH của NEC Chứng tỏ rằng NH = MK

Giải:

Ta có hình vẽ bên

a/ Xét 2 ABM và ABN Ta có:

SBAM =

3

1

SBAC (chung đờng cao

hạ từ B và AM =

3

1

AC).

SABN =

3

1

SABC (chung đờng cao hạ từ A và BN =

3

1

BC).

Từ đó suy ra: SABM = SABN Cùng bớt SABE ta có: SAEM = SBEN (đ.p.c.m)

b/ Theo a/ ta có: SAEM = SBEN

Mà SEAM =

2

1 SEMC (chung đờng cao hạ từ E và AM =

2

1

MC).

SEBN =

2

1 SBNC (chung đờng cao hạ từ E và BN =

2

1

NC).

Suy ra SMEC = SNEC (1)

Mặt khác 2 tam giác MEC và NEC có chung đáy EC nên từ (1)

ta có: NH = MK (đ.p.c.m).

Bài tập 4: Cho tam giác ABC Trên AC lấy điểm H sao cho

AH =

3

1

AC Trên BC lấy điểm M sao cho BM =

3

1

BC Nối AM và BH cắt nhau tại O Từ C kẻ đờng cao CE của tam giác COM, CF là đờng cao của tam giác COH

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~

Trang 10

A

B

C

K H

N

E

M

Tính CE và CF biết

4

3



OH

OM

và CE + CF = 14cm

Giải:

Ta có hình vẽ bên

Theo bài tập 3 ta có: SCHO = SCMO

Mà theo bài ra

4

3



OH

OM

Khi diện tích không đổi thì đờng cao và đáy

là 2 đại lợng tỷ lệ nghịch với nhau thành ra:

3

4



CE

CE

Mà CE + CF = 14cm (gt) Nên áp dụng bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ

số của chúng ta có:

CE = 14 : (4 + 3)  4 = 8(cm)

CF = 14 - 8 = 6(cm) Vậy CE = 8cm CF = 6cm

Bài tập 5: Cho tam giác ABC Trên AC lấy điểm P sao cho AP

=

3

1

AC Trên BC lấy điểm N sao cho NB = NC Nối BP và AN cắt nhau tại O Tính SABC Biết SAOP là a

Giải:

Ta có hình vẽ bên

Kẻ đờng cao BD của tam giác BAN

và đờng cao CE của tam giác CAN

Ta có: SABN = SACN (chung đờng cao

hạ từ A và BN = NC(gt)) (1)

Hai BAN và CAN có chung đáyAN nên từ (1) ta có: BD = CE (2)

Xét hai tam giác ABO và ACO ta có:

AO chung

BD và CE lần lợt là hai đờng cao của tam giác BOA và COA (3)

Từ (2) và (3) suy ra SBOA = SCOA

Mà SOAC = 3SOAP (chung đờng cao hạ từ O và CA = 3AP)

Nên SOAC = 3  a và SOBA = 3a

Lại có SABP = SABO + SAOP = 3a + a = 4a

Mà SBAP =

3

1 SBAC (chung đờng cao hạ từ B và AP =

3

1

AC).

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~

Trang 11

A

B

C

O

H F

E M

A

B

C

N E

M

Vậy SABC = 3SABP = 3  4a = 12a.

Bài tập 6: Cho tam giác ABC Trên AB lấy điểm M sao cho AP

=

3

1

AB Trên AC lấy điểm E sao cho EC =

3

1

AC Nối AN, BE và CM cắt

nhau lần lợt tại các điểm K, F, H (hình vẽ).

a/ Chứng tỏ rằng SMAH = SNBC = SECF

b/ Biết SAMH = 3cm2 Tính SHKF ?

Giải:

a/ Ta có: S HAM =

3

1 SHAB (chung

đờng cao hạ từ H và AM =

3

1

AB).

Ta có: S ABN =

2

1

S ANC (chung đờng

cao hạ từ A và BN =

2

1

NC).

2 ABN và ACN có chung đáy AN

nên đờng cao hạ từ B xuống AN bằng

2

1 đờng cao hạ từ C xuống AN

Lại có SBAH =

2

1 SCAH (chung đáy AH và đờng cao hạ từ B xuống AH

bằng đờng cao hạ từ C xuống AH).

Suy ra SCHA = 2SBHA = 2  3SAMH = 6SAMH

Suy ra SCMA = 7SAMH

Mặt khác SCMA = SCAB (chung đờng cao hạ từ C và AM =

3

1

AB).

Nên SABC = 3SAMC = 3  7SAMH = 21SAMH

Tức SAMH =

21

1 SABC (1)

Lý luận tơng tự ta có: SBNK =

21

1 SABC (2)

SCEF =

2

1 SABC (3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra: SMAH = SNBK = SECF (đ.p.c.m)

b/ Theo a/ thì SMAC = 7SMAH = 7  3 = 21(cm2)

Suy ra SABC = 21  3 = 63(cm2)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~

Trang 12

B

M

A

H

E

F

C N

K