Luận văn dao động tử có thống kê vô hạn

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN ĐẠI NGHĨA DAO ĐÔNG TỬ CÓ THỐNG KÊ VÔ HAN •• Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết Vật lí toán Mã số: 60 44 01 03 • ••• LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. LƯU THỊ KIM THANH HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Khoa Vật lý Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa học mình. Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn thể thấy cô giáo nhà trường giảng dạy, hướng dẫn tận tình cho em trình học tập trường. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo, PGS. TS. Lưu Thị Kim Thanh, người trực tiếp hướng dẫn tận tình, động viên em ừong suốt trình học tập nghiên cứu để luận văn hoàn thành. Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2014 Học viên Nguyễn Đại Nghĩa LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi. Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực. Các kết không trùng với kết công bố. Hoc viên Nguyễn Đại Nghĩa • • MUC LUC MỞ ĐẦU • 1. Lý chọn đề tài • Các hạt phân loại theo nhiều tiêu chí. Nếu xét vai trò cấu thành liên kết giới vật chất, chúng gồm hai loại: loại cấu thành nên giới vật chất loại truyền tương tác liên kết hệ vật chât. Các hạt câu thành vật chât đêu có spin S = — , tức fermion. • • , , Cho đến cho rằng, giới hạt vật chất có bốn loại tương tác bản: Tương tác hấp dẫn liên kết tất hạt có khối lượng vũ trụ. Tương tác điện từ, xẩy hạt mang điện tích, nhờ có cấu tạo nguyên tử phân tử. Tương tác mạnh, liên kết quark để tạo thành hadrron, có proton, neutron hạt tạo nên hạt nhân nguyên tử. Tương tác yếu, gây nên đa số tượng phóng xạ, có phóng xạ Ị3 .Trừ tương tác hấp dẫn, tất tương tác khác truyền hạt boson, có spin 5=1. Pho ton Ỵ truyền tương tác điện từ, hạt gluon GA truyền tương tác mạnh, hạt w+ , W' z truyền tương tác yếu. • Do ba tương tác mạnh, yếu, điện từ truyền hạt boson, nên có nhiều thử nghiệm xây dựng lý thuyết hấp dẫn tương tự ba loại kia. Khi boson truyền tương tác hấp dẫn gọi graviton. Tuy nhiên, tồn graviton phải có spin 5=2 [1]. • Một điểm khác biệt hạt vi mô hệ nhiều hạt đồng ta phân biệt hạt với hạt khác. Đó thực khách quan giới vi mô lí thuyết hóa dạng nguyên lý gọi nguyên lý bất khả phân biệt hạt đồng nhất. Nguyên lý bất khả phân biệt hạt đồng sau: Các ừạng thái vật • lý hệ nhiều hạt đồng phải trạng thái bất biến phép hoán vị hạt. • Từ nguyên lý bất khả phân biệt hạt đồng ta biết hàm sóng diễn tả hệ hạt đồng thuộc hai loại sau: - Là hàm đối xứng với phép hoán vị hai hạt cho hệ boson đồng nhất, hạt có spin nguyên (như photon,;r-meson, K — MESON , .; - Là hàm phản đối xứng với phép hoán vị hai hạt cho hệ fermion đồng nhất, hạt có spin bán nguyên (như elecừon, proton, neutron, neutrino, .). • Từ suy nguyên lý loại trừ Pauli: T RONG HỆ NHIỀU FERMION ĐỒNG NHẤT KHÔNG THỂ CÓ HƠN MỘT HẠT CÙNG Ở MỘT TRẠNG THÁI khác, hay, nói cách MỖI TRẠNG THÁI CỦA HỆ CHỈ CÓ THỂ HOẶC BỊ BỎ TRỔNG HOẶC BỊ CHIẾM BỞI MỘT FERMION MÀ THÔI . Nguyên lý cho phép giải thích phân bố điện tử theo trạng thái ừong nguyên tử thiết lập sở lý thuyết xếp nguyên tố bảng phân hạng tuần hoàn Mendeleev, cần lưu ý thực tế, dựa số liệu thực nghiệm phổ nguyên tử, Pauli phát nguyên lý năm 1925, tức trước Cơ học lượng tử đời, Năm 1945 Wolfgang Pauli nhận giải Nobel Vật lí nguyên lý mình. Điều tuyệt vời nguyên lý loại trừ Pauli lại phù hợp hoàn toàn với Cơ học lượng tử ta thấy trên, hệ nguyên lý bất khả phân biệt hạt đồng nhất. Trong lý thuyết lượng tử vật rắn, nguyên lý loại trừ Pauli đóng vai trò quan trọng phân loại chất rắn thành chất bán dẫn, kim loại điện môi [2]. • Trong biểu diễn số hạt, dao động tử Boson đặc trưng toán tử sinh, hủy hạt Boson : • hệ thức giao hoán, theo [â,â+] = ââ+ -â+â = • • tuân Đối với hệ hạt fermion đồng có spin bán nguyên, tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli: Trong hệ nhiều fermion đồng có hạt ừạng thái lượng tử (n=0,l). Trạng thái hệ mô tả hàm sóng phản đối xứng. • Vậy, biểu diễn số hạt, dao động tử fermion đặc trưng toán tử sinh, hủy hạt fermion tuân theo hệ thức phản giao hoán, • • • â , â j = ââ + â â = l Dao động tử có thống kê vô hạn o. w. Greenberg [8] đưa vào lý thuyết sau: Từ hệ thức giao hoán toán tử sinh, hủy boson fermion, dẫn đến ý tưởng tìm hệ thức toán tử có đặc tính trung gian thống kê Bose thống kê Fermi, cách lấy trung bình hai hệ thức [â,â*] = l;{M*} = l. • Và thu hệ thức toán tử cho dao động tử có thống kê vô hạn • • • • â â = l. A+ A -Ị Trong năm gần việc nghiên cứu nhóm lượng tử đại số lượng tử kích thích thêm quan tâm ngày nhiều đến hạt tuân theo thống kê khác với thống kê Bose-Einstein thống kê Fermi- Dừac thống kê para Bose, para Fermi, thống kê vô hạn thống kê biến dạng . với tư cách thống kê mở rộng. Cho đến cách mở rộng đáng ý khuôn khổ đại số lượng tử [3,4,5,6,7,9,10,11]. Với mong muốn tiếp cận với vật lí học đại, em chọn • đề tài “Dao động tử có thống kê vô hạn” để làm luận văn thạc sĩ hướng dẫn khoa học cô giáo, PGS. TS. Lưu Thị Kim Thanh. 2. Mục đích nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu đề tài nghiên cứu thống kê vô hạn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử boson, thống kê Boson- Einstein - Nghiên cứu dao động tử fermion, thống kê Fermi-Dirac - Nghiên cứu dao động tử có thống kê vô hạn, thống kê vô hạn 4. Đối tượng nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu đề tài hệ dao động tử có thống kê vô hạn. • 5. Những đóng góp đề tài - Đề tài có ý nghĩa góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học ừong nhà trường sư phạm, nâng cao lực nghiên cứu khoa học học viên cao học. - Nghiên cứu vấn đề theo hướng thống kê lượng tử. 6. Phương pháp nghiên cứu • Đề tài sử dụng phương pháp vật lí lí thuyết: Phương pháp vật lí thống kê, phương pháp lí thuyết trường lượng tử, phương pháp giải tích khác. • NỘI DUNG ■ CHƯƠNG 1: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIÈU HÒA • 1.1 Biểu diễn sổ hạt dao động tử điều hòa tuyến tính • Dao động tử điều hòa chiều chất điểm có khối lượng m, • chuyển động tác dụng lực chuẩn đàn hồi f = - kx dọc theo đường thẳng đó. Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian toán tử điều hòa chiều [1], • • • [ 2] : TAT px2 mũ} • m • Trong đó: X • • - q - X A A P X - P - - IH • H = ^ + (1.1) toán tử tọa độ, ■* toán tử xung lượng. Hệ thức giao hoán P Q : A A A A h • ■■ -ifl • p>q • n fl h Ề y/ = -ih • • PA = -ih. Do ta biểu diễn Hamiltonian theo P theo Q sau: • • A • H = ^- + 2M • • A ”2 MCỞ a2 2 л2 .2 MH • H = — + — — = — i2 ' — m ^ r > m ^ ĩ? h V meo v ' • m • 1* |r. .r)2-(âr)2l • 2 Lv ' v7 . -I й • ■)(â + â+)-(â-â+)(â-â+)] _ 2‘ LV” • = -.Й _______f 2â+â) ооV 22 • • h2 v . â â )■ ' л • • / (1.4) +Л , А A Ta biểu diễn toán tử â â+ ngược lại qua P Q : • . • ịirìh Л p = 'V ~ v ' =>ẫ -ầ = - . • 12 л л+ , л _ q _ л /2raứ> • i ịrrih V fii Từ ta thu đươc: Ầ = J— ~Q I — iii V 2i0Ä iv v (1.5) m\л.pâ (1.6) =J— "Ợ ỉ — V m vi vii Ta chứng minh hệ thức giao hoán [â,â +] = Thật viii vậy:ix L:. ./>1 I [â,â*]= aa -a a = Cữh m 'q ' i M Í„ (1.7) A A dcxlvii dcxlviii dcxlix dcl dcli dclii dcliii dcliv dclv dclvi dclvii dclx dclviii dclix Chọn gôc tính lượng E = r dclxi dclxii Thì H\ N )- H A N A h ti A hay H - S N (với £ lượng lượng tử dclxiii lượng). dclxiv Chú ý rằng: dclxv TrF=ỵ(n\F\n)-, dclxvi n dclxvii /pv1|n) = /(n)|n). V / dclxviii dclxix Ta tính sô hạt trung bình mức lượng là: dclxx dclxxii dclxxi dclxxv (dclxxvii \ dclxxviii dclxxix dclxxvi H- ỊẤ N T dclxxx expdclxxxi \- P dclxxxii rdclxxxiii V dclxxxiv dclxxxvi dclxxxix dclxxxv dcxcdcxci exP (3.25 dcxcii dcxciii dcxcvi V T dcxciv ì ~ P HJU N dcxcv L l ) dcxcvii dcxcviii dcxcix dcc Ta có: ( (A } ^ dcci (ex r r N T p1 - P H- JU N -T R dccii V V R ll J exp|-/?(f dcciii r dclxxiii < dclxxiv < dclxxxvii < dclxxxviii < A dcciv dccv .n = s (N № A .N ỊN dccvi n =0n =0 dccvii _ Q-pụ-ụ) dccix ( R dccx dccxi dccxii dccxiii ( dccviii X\ {AN dccxix dccxiv dccxv exP dccxvi dccxviii dccxvii H- JU N - PỤ - Ụ )N dccxxi dccxxii dccxxiii dccxxv T dccxx iL L- P = dccxxiv J) V V/ dccxxvi A & dccxxviii dccxxix dccxxx -pụ-M) l + e =X(nK n =0 dccxxvii -pụ-ụ)ỉỳ dccxxxi Vậy = dccxxxii Q -P{°-K) x + ẽ^-v) i + e^-vV dccxxxiii dccxxxiv Đây công thức xác định số hạt trung bình trạng thái lượng tử, nên ta viết: dccxxxv n(e) = f ( e ) = -^J dccxxxvi e K T +1 dccxxxvii (3.26) Đây hàm phân bố Fermi - Dirac. Ý nghĩa phân bố biểu diễn xác suất có điện tử nằm mức lượng £ nhiệt độ T. dccxxxviii Kết luận chương dccxxxix Trong chương xây dựng dao động tử Fermion, tìm phân bố thống kê dao động tử Fermion thống kê Fermi - Dirac. Ta tính số hạt trung bình ừên mức lượng. dccxl CHƯƠNG 4: DAO ĐÔNG TỬ CÓ THỐNG KÊ VÔ HAN • • Từ hệ thức giao hoán dẫn o.w. Greenberg đến ý tưởng • tìm hệ thức toán tử mà có đặc tính trung gian thống kê Bose thống kê Fermi, cách lấy trung bình hai hệ thức (4.1) (4.2) thu hệ thức toán tử cho thống kê vô hạn là: ẫ(k)ỉ?(l) = s„. • (4.3) Hệ thức (4.3) trường hợp đặt biệt hệ thức giao hoán biến • dạng q q—»0: k(k)í+ụ)-qíi*(l)í(k) = u . • (4.4) Từ hệ thức (4.3) ta có hệ thức toán tử thống kê vô hạn • trường họp hệ dao động tử đơn mode • ââ =1. (4.5) Toán tử số dao động tử xác định sau: • • • • • Và thỏa mãn hệ thức: • = -â; • • NX • Ạ N,ầ (4.7) = â+. r=i Trong trường hợp đa mode hệ dao động tử có thống kê vô • hạn đặc trưng toán tử â(. â* thỏa mãn hệ thức sau: • • A A+ ấ ấ i j = Ô ij- C* (4.8) Toán tử số dao động tử mode Ỉ là: • ú i =K ầ i+'ZKK ầ i ẳ k+'ZKK ầ l ầ i ầ  • • k kịkỵ (4.9) • â + -+Z í ẫl .a; â a. .a, â, +. ' i“v *2 *1 • • • thỏa mãn hệ thức giao hoán sau: • • • ÁU, =-[...]... chương sau 3 ccxlvii CHƯƠNG3 DAO ĐỘNG TỬ BOSON 2: 2.1 Dao động tử Boson [1], [2], [5],[4], [6], [10] 2.1.1 Dao động tử Boson ccxlviii Hệ thức giao hoán tử Boson thỏa mãn hệ thức: [â,â+] = l ccxlix (2.1) ccl Toán tử số dao động N có dạng: N = â+â ccli (2.2) ccliiTrong đó: â : là toán tử hủy dao động, ccliii â+ : là toán tử sinh dao động tử ccliv Kết hợp (2.1) với (2.2) ta có: cclv [ N, â] = [ â+â, â... nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu ta tưởng tượng rằng cxi л cxii lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử N sẽ là toán tử sô hạt, â sẽ là toán tử hủy hạt, â+ sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái |n) với năng lượng E N = H sẽ là trạng thái chứa n hạt, đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa cxiii Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể coi là... â+ â = ccxl Kết luận chương 1 ccxli Trong chương 1 tôi đã trình bày một cách lôgic, đầy đủ và hình thức luận của dao động tử điều hòa: - Chứng minh được các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh, hủy Boson toán tử số hạt ccxlii -Biểu diễn Hamiltonian của dao động tử điều hòa theo các toán tử ccxliii ccxliv â,â A + - Tìm được biểu diễn ma trận của các toán tử sinh hủy Boson, toán tử số ccxlv hạt 3... chân không, |l) là trạng thái chứa một lượng tử, | 2) là trạng thái chứa hai lượng tử |n) là trạng thái chứa n lượng tử cix cx A Toán tử N có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số năng lượng Toán tử â khi tác dụng lên ừạng thái tỉ lệ với I N I N) cho một - 1) do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán tử â+ khi tác dụng lên IN ) cho một trạng... tơ cơ sở riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N cxlix cl W= Ær"|0>' Tác dụng toán tử â,â+ lên các véc tơ trạng thái I N ) ta được: cli â|n) = *Jnịn — l) ; ầ + \n) -yỊn + l\n + l ) clii Với toán tử số hạt N được biểu diễn theo các toán tử sinh hạt và hủy hạt: cliii cliv N=ââ Л clv Ta sẽ xem xét là đối với các hạt Boson là các hạt có spin nguyên thì nó có tuân theo các hệ thức giao hoán hay... + l); = â+â|«) Suy ra N|w) cclxxx cclxxxi cclxxxii cclxxxiii = а+л/п |w -l) = -\/nVw|n) = и W) Ta có toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng p liên hệ với các toán tử dao động â, â+ như sau: cclxxxiv J ; ) cclxxxv Р -I^2 _ i) v (2.7) cclxxxvi p là: Khi ấy hệ thức giao hoán giữa toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng cclxxxvii cclxxxviii [ ß , p ] = ß p - p ß А А ДА cclxxxixỊH ccxc _ỉh 2 ~ ДА IH = 2... thái này lix lxi toán tử N, sử dụng công thức (1.11) ta có: lx VÎ: Hệ thức này có nghĩa là: lxii Véc tơ trạng thái â+ cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử N ứng với tri riêng (n + 1) lxiii Tương tự như vậy â+2|n);â+31n) cũng là véc tơ trạng thái của toán tử lxiv N ứng với trị riêng (n + 2) , (n + 3) lxv Kết luận 2: lxvi 'I\ A I\ lxvii Nêu I N ) là một véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng... trị riêng civ dao động tử A n V h + _ 2y h EN - Vậy các trạng thái dừng của điều hòa có năng lượng gián đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai ừạng thái kề nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng ĨÌ cv E 2 = cvi 2+/ 1+ỉ h Ei = 2 h cvii cviii =>AE Ì2 =E 2 -E Ỉ = H Trạng thái Ịo) có năng lượng thấp nhất là Eo, ừạng thái tiếp theo |l) với mức năng lượng E 0 + H có thể được xem... kết quả việc thêm một lượng tử năng lượng H vào trạng thái |0) Trạng thái tiếp theo |2) ứng với năng lượng E Ị + H E H có thể được xem như là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng Ĩ Ĩ vào trạng thái |l), cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng FI vào trạng thái |0) Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là Eo, thì có thể coi trạng thái |0) là trạng thái không chứa lượng tử nào Vì vậy |0) được gọi... toán tử â lên li véc tơ ừạng thái \n) Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử N và sử dụng công thức (1.10) ta có: lii Nâ| «) = â^N-l |n) = âN| n)-â|«) liii = Ẫ(N — l)| w) = {N — l)â| w) (114) liv Hệ ứiức trên có nghĩa là: lv Véc tơ trạng thái â| N ) cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n - 1) lvi Tương tự như vậy  2 \ N );  3 \ N ) cũng là véc tơ trạng thái của toán tử . cứu thống kê vô hạn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu -Nghiên cứu dao động tử boson, thống kê Boson- Einstein -Nghiên cứu dao động tử fermion, thống kê Fermi-Dirac -Nghiên cứu dao động tử có thống kê vô hạn, . tuân theo các thống kê khác với thống kê Bose-Einstein và thống kê Fermi- Dừac như thống kê para Bose, para Fermi, thống kê vô hạn và các thống kê biến dạng . với tư cách là những thống kê mở rộng thống kê vô hạn, thống kê vô hạn 4. Đối tượng nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu của đề tài là hệ các dao động tử có thống kê vô • hạn. 5. Những đóng góp mới của đề tài - Đề tài có ý nghĩa góp phần