dlx AM) <u*
4.2.So sánh các phân bố thống kê lượng tử.
• Đối với các hệ lượng tử ta đã tìm được ba hàm phân bố khác nhau theo năng lượng:
- Thống kê Maxwell- Boltzmann
• ụ.-s • J M V*; = CAP1 • hay • expỊ^. •---/»(*) = (4.17) • z = Ệ e x p Ị - ( £ , ) . (4.18)
• Thống kê Bose - Einstein
• AM=—rSJSlì ■ <4-1 9) • Thống kê Fermi-Dirax •---M£) = rff.l ■ ---<4-20) • expj^Kl VỚI
• ở đây #(<?) là trọng số thống kê (hay độ suy biến) của các trạng thái lượng tử có năng lượng khác nhau. Sự khác nhau trong các hàm phân bố trên
• là do bản chất và do các tính chất của các đối tượng vi mô diễn tả bởi một ừong ba thống kê đó (xem hình 4.1).
•
• Tuy nhiên, từ các công thức nêu ra ở trên, ta thấy rằng : khi thỏa
mãn điều kiện
• (4.21)
• r____ _ __ ^ 9
• thì thông kê Bose-Einstein và Fermi-Dirac chuyên thành
• thống kê Maxwell- Boltzmann, nghĩa là ta có thể coi thống kê Maxwell- Boltzmann như là trường hợp giới hạn của hai thống kê lượng tử đó (xem hình 4.2).
• Như vậy thống kê Maxwell- Boltzmann mà ta tìm được dựa trên quan niệm cổ điển cũng như lượng tử, có thể coi là trường hợp giới hạn của hai thống kê lượng tử khác.
• • H • H ì n h 4 . 1 • H ì n h 4. 2
• Nhưng, khi tìm hàm phân bố Maxwell- Boltzmann ta đã giả thiết là các hạt khác nhau về phương diện hoán vị tọa độ. Vì vậy, trong trường hợp tổng quát, sự phân bố theo các mức năng lượng (4.17) không thể áp dụng cho các hạt thực, bởi vì sự thực là các hạt không khác biệt nhau (đồng nhất như nhau). Tuy nhiên, có tồn tại một loại các hệ lượng tử mà ta gọi là các hệ lượng tửđịnh xứ, ừong đó các đối tượng vi mô lượng tử có thể xem như là định xứ tại các điểm không gian xác định. Đối với các hệ như vậy nguyên lý về tính không thể phân biệt của các hạt vi mô xem như không có hiệu lực, nghĩa là trong các hệ định xứ, các đòi hỏi về tính đối xứng của hàm sóng không làm giảm số các ừạng thái vi mô khả hữu. Thuộc loại hệ đó là các hệ cấu tạo từ các hạt mà vị trí của chúng là cố định. Thí dụ, hệ các dao động tử điều hòa, mà vị trí không gian của chúng là cố định, sẽ là một hệ định xứ. Ta có thể xem mạng tinh thể của vật rắn như là hệ định xứ. Hoặc là, khi khảo sát các nhiệt dung của các bậc tự do nội tại của các phân tử ừong chất khí, chúng ta chỉ quan tâm tới các nội năng của các phân tử riêng lẻ và có thể không cần quan tâm tới sự phân bố không gian của chúng. Nếu biết số phân tử toàn phần, ta có thể tìm năng lượng và nhiệt dung chất khí. Khi đó, đối với chúng ta, vấn đề : Các phân tử, xem như các đối tượng lượng tử trong thể tích, sẽ là khác biệt nhau (có thể phân biệt với nhau) hay không hoàn toàn không có ý nghĩa. Với các đối tượng lượng tử như vậy được xem như là các hệ định xứ ta vẫn có thể áp dụng phân bố Maxwell- Boltzmann đối với các mức năng lượng rời rạc.
• Còn ừong các trường hợp khác ta phải vận dụng hoặc phân bố Bose- Einstein đối với các hạt hay các hệ có spin nguyên, hoặc là phân bố Fermi- Dừac đối với các hạt hay các hệ có spin bán nguyên.
• Ta thấy rằng cả ba thống kê trùng nhau chỉ trong trường họp khi mà điều kiện (4.21) được thực hiện. Điều kiện đó tương đương với điều kiện sau đây
V ( 2ĩĩmkT Ỵ/ 2
•------ »
--(4.22)
• N{ h2 )
• Nếu bất đẳng thức (4.22) được thực hiện thì đối với một hệ lượng tử bất kì, ta có thể vận dụng phân bố Maxwell- Boltzmann. Còn trong trường hợp ngược lại, thì có thể xảy ra sự suy biến và ta không thể áp dụng phân bố Maxwell- Boltzmann. Điều kiện (4.22) được gọi là tiêu chuẩn suy biến.
• Tiêu chuẩn suy biến phụ thuộc vào nhiều thông số. Trong tiêu chuẩn đó
• (
• có tham gia mật độ — , Khôi lượng m và nhiệt độ T. Nêu
ở nhiệt độ cao ta KV
• có thể dùng phân bố Maxwell- Boltzmann, thì khi nhiệt độ hạ xuống điều kiện (4.22) sẽ bị vi phạm. Khi đó trong hệ bắt đàu thấy biểu hiện các hiệu ứng lượng tử, bắt đầu có suy biến. Sự suy biến ừong chất khí bắt đầu càng sớm nếu khối lượng các hạt càng nhỏ và mật độ càng lớn. Giá trị của nhiệt độ, mà bắt đầu từ nhiệt độ đó và ở dưới nó có xảy ra sự suy biến, được gọi là nhiệt độ suy biến.
•Ta có thể đánh giá được các nhiệt độ suy biến của các chất khí khác nhau. Thí dụ, đối với khí electron nhiệt độ suy biến vào khoảng 2000 - 3000K. Đối với hydrô có khối lượng nhỏ hơn gấp nhiều lần so với các chất khí khác, nhiệt độ suy biến là thấp nhất (ngoài khối lượng, ở đây còn ảnh hưởng của mật độ chất khí), vào khoảng 30K. Đối với tất cả các chất khí thông thường, ở các điều kiện chuẩn, sự khác biệt giữa thống kê lượng tử và thống kê cổ điển là nhỏ không đáng kể. Với độ chính xác cao ta có thể thay cả hai phân bố lượng tử bằng phân bố Maxwell- Boltzmann.
•Nhận xét: Vì phân bố Maxwell- Boltzmann được suy từ phân bố chính
áp dụng được cũng chính là trường hợp mà phân bố chính tắc lượng tử có thể áp dụng được.
• Kết luận chưong 4
•Bằng phương pháp đại số của lý thuyết trường lượng tử, tôi đã xây dựng được phân bố thống kê vô hạn và nhận thấy rằng phân bố thống kê vô hạn hoàn toàn trùng với phân bố thống kê Maxwell- Boltzmann.
• r2ĩĩmkT^'2
• A , V
• 0 nhiệt độ cao, tiêu chuân suy biên —
• N
• h2
• thì đối với một hệ lượng tử ta có thể áp dụng phân bố thống kê vô hạn, còn trường họp ngược lại khi nhiệt độ hạ xuống, tiêu chuấn suy biến bị vi phạm, trong hệ bắt đầu có các hiệu ứng lượng tử, và chúng ta phải áp dụng phân bố thống kê Bose-Einsten cho hệ các hạt đồng nhất boson, áp dụng phân bố thống kê Fermi-Dirac cho hệ các hạt đồng nhất fermion.
»
• KẾT LUÂN CHUNG
• •
• Luận văn “Dao động tử có thống kê vô hạn” đã được thực hiện và đạt được những kết quả sau:
- Đã trình bày một cách lôgic, đầy đủ về hình thức luận của dao động tử điều hòa: Tính toán được các toán tử sinh hạt và hủy hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính, biểu diễn các toán tử sinh Boson, hủy Boson, toán tử số hạt dưới dạng ma trận tạo cơ sở tính toán cho các chương sau. - Xây đựng được phân bố thống kê của dao động tử Boson, thống kê Bose - Einstein. Xây dựng được phân bố thống kê của dao động tử Fermion, thống kê Fermi - Dừac và phân bố thống kê vô hạn bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử.
- Từ việc so sánh các thống kê lượng tử dẫn đến thống kê vô hạn chính là thống kê Maxwell- Boltzmann.