Luận văn dao động tự do của vỏ nón cụt FGM

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ THỊ NGỌC ÁNH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA VỎ NÓN CỤT FGM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ THỊ NGỌC ÁNH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA VỎ NÓN CỤT FGM Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 60440107 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐÀO VĂN DŨNG Hà Nội LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy giáo PGS TS Đào Văn Dũng tận tình hướng dẫn khoa học tạo điều kiện giúp đỡ để em hoàn thành luận văn tốt nghiệp Em xin cảm ơn thầy cô môn Cơ học, khoa Toán – Cơ – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQGHN dạy em kiến thức phương pháp, nghiên cứu, lý luận để em hoàn thành luận văn cách thuận lợi Em xin gửi lời cảm ơn đến ban lãnh khoa Toán – Cơ – Tin học; trường Đại học Khoa học Tự nhiên, phòng Sau Đại học ban lãnh đạo Viện Cơ học đồng nghiệp phòng Cơ học Vật rắn tạo điều kiện quan tâm, động viên giúp đỡ để em hoàn thành luận văn Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, bạn bè, người thân bên động viên, khích lệ em trình hoàn thành luận văn Lê Thị Ngọc Ánh Mục lục MỞ ĐẦU Chương - TIẾP CẬN GIẢI TÍCH 1.1 Các hệ thức 1.1.1 Vỏ nón vật liệu tính biến thiên Hình Hình vẽ vỏ nón cụt ES – FGM 1.1.2 Phương trình 1.2 Phương pháp giải 11 1.2.1 Điều kiện biên 11 1.2.2 Dạng nghiệm .11 1.2.3 Phương trình tìm tần số riêng .11 (1.29) 16 Chương – TÍNH TOÁN SỐ .17 2.1 So sánh kết 17 2.2 Kết số cho vỏ nón cụt ES – FGM 18 2.2.2 Ảnh hưởng tỉ phần thể tích 23 2.2.3 Ảnh hưởng tốc độ quay 25 2.2.4 Ảnh hưởng góc nón 26 2.2.5 So sánh tham số tần số trường hợp vỏ nón cụt có gân gia cường không gân gia cường .27 2.2.6 Ảnh hưởng tỉ số .30 2.2.7 Ảnh hưởng tỉ số .31 2.2.8 Ảnh hưởng số gân 32 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO .38 PHỤ LỤC MỞ ĐẦU Vỏ nón có tính biến thiên (FGM) kết cấu ứng dụng rộng rãi lĩnh vực công nghệ khoa học kỹ thuật hàng không, tên lửa, động đẩy thiết bị vũ trụ khác Chính mà có nhiều toán liên quan đến ổn định dao động kết cấu vỏ nón quan tâm nhà nghiên cứu Bài toán dao động tự đóng vai trò quan trọng việc xác định tần số riêng vỏ nón Các kết toán dao động kết cấu làm từ vật liệu Composite, có vật liệu FGM ngày công bố nhiều Hua L [2] phân tích tần số vỏ nón cụt trực hướng với điều kiện biên khác Tác giả [3] khảo sát đặc trưng tần số vỏ nón cụt composite phân lớp với điều kiện biên tựa đơn Nghiên cứu dựa lý thuyết bậc Love phương pháp Galerkin có tính đến gia tốc Coriolis để khảo sát biến thiên tham số tần số tham số hình học, mode dao động tốc độ quay thay đổi Lam cộng [5,6] đề xuất phương pháp cầu phương vi phân (DQM) nghiên cứu với ảnh hưởng điều kiện biên đến đặc trưng dao động tự vỏ nón cụt Ở có xem xét đến ảnh hưởng góc đỉnh nón đến tham số tần số Talebitooti cộng [7] đề cập đến dao động tự vỏ nón composite có gắn gân dọc gân tròn Dựa vào lý thuyết biến dạng trượt bậc vỏ phương pháp cầu phương vi phân QDM, Malekzadeh Heydarpour [8] nghiên cứu ảnh hưởng gia tốc Coriolis kết hợp với tham số hình học vật liệu phân tích dao động tự vỏ nón cụt FGM quay với số điều kiện biên khác Các kết dao động vỏ nón, vỏ trụ FGM kết cấu hình khuyên với bốn tham số phân bố theo quy luật lũy thừa dựa lý thuyết biến dạng trượt bậc nghiên cứu Tornabene cộng [11] Trong năm gần đây, kết cấu làm vật liệu có tính biến thiên (FGM) sử dụng rộng rãi ngành kỹ thuật mà ứng xử dao động ổn định vỏ FGM ngày nhiều quan tâm nghiên cứu nhà khoa học Trong số có Sofiyev [9] nghiên cứu dao động ổn định tuyến tính vỏ nón cụt FGM gân với điều kiện biên khác Chính tác giả để xuất dao động phi tuyến [10] vỏ nón cụt FGM Đối với toán phân tích tuyến tính việc sử dụng lý thuyết vỏ Donnell cải tiến để tìm phương trình chủ đạo phương pháp Garlekin sử dụng để tìm biểu thức đóng xác định tải vồng tới hạn dạng rẽ nhánh biểu diễn tần số bản; phân tích phi tuyến sử dụng lý thuyết chuyển vị lớn dạng von Karman – Donnell phi tuyến động Nhận thấy kết công bố hầu hết nghiên cứu với kết cấu gân gia cường Tuy nhiên thực tế kết cấu vỏ bao gồm vỏ nón thường tăng cường hệ thống gân để đảm bảo độ cứng khả mang tải mà cần khối lượng nhỏ gắn thêm vào Hiện kết cấu làm từ FGM ngày trở nên phổ biến Việc nghiên cứu ổn định dao động kết cấu FGM dạng vỏ vấn đề quan tâm hàng đầu nhằm mục đích đảm bảo cho kết cấu làm việc an toàn tối ưu Trong thực tế để tăng cường khả làm việc kết cấu người ta thường gia cố gân gia cường Cách làm có ưu điểm trọng lượng gân thêm vào mà khả chịu tải kết cấu lại tăng lên nhiều, cần gia cố vị trí xung yếu, phương án tối ưu vật liệu Gần đây, kết cấu FGM có gân gia cường nhận nhiều quan tâm nghiên cứu chủ yếu tập trung vào phân tích ổn định, ổn định sau vồng dao động kết cấu vỏ nhà khoa học nước Tác giả Đ H Bích cộng [12] để cập đến ứng xử vồng panel nón FGM chịu tác dụng tải Tác giả Đ V Dũng cộng [13] nghiên cứu ổn định vỏ nón cụt có gân gia cường chịu tác dụng tải Phương trình cân ổn định tuyến tính nhận dựa lý thuyết vỏ kinh điển kỹ thuật san tác dụng gân Nhìn tổng quan tài liệu Ω chưa có nhiều nghiên cứu dao động tự vỏ nón cụt FGM có gân gia cường lệch tâm (ES – FGM ) quay quanh trục đối xứng Dựa tài liệu tham khảo Hua L [3], nghiên cứu đặc trưng tần số vỏ nón cụt composite phân lớp quay quanh trực đối xứng không gân gia cường, luận văn phát triển nghiên cứu đặc trưng tần số vỏ nón FGM có gân gia cường quay quanh trục đối xứng Luận văn tập trung vào giải toán phương pháp giải tích dựa lý thuyết vỏ Donell, kỹ thuật san tác dụng gân phương pháp Galerkin Các phân tích tiến hành để đánh giá ảnh hưởng gân, tham số vật liệu tham số hình học tác dụng gia tốc Coriolis (sinh vỏ nón quay với tốc độ quay ) đến tham số tần số dao động tự vỏ nón cụt FGM có gân gia cường Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục chương sau: Chương Tiếp cận giải tích: Trình bày hệ thức phương trình chuyển động viết qua thành phần chuyển vị vỏ nón cụt FGM; diễn giải chi tiết cách giải phương trình chuyển động để tìm tần số riêng vỏ nón Chương Tính toán số: Các tính toán số so sánh với công bố trước để khẳng định tin cậy tính toán giải tích khảo sát ảnh hưởng tham số hình học, vật liệu tốc độ quay đến tham số tần số vỏ nón Nội dung cụ thể chương trình bày Chương - TIẾP CẬN GIẢI TÍCH 1.1 Các hệ thức 1.1.1 Vỏ nón vật liệu tính biến thiên v, z ) L hrx,z,θ xθw ( xrux,,αΩ 0R Xét vỏ nón cụt mỏng FGM có bề dày , chiều dài góc nón quay quanh trục đối xứng nối tâm nón chóp nón với tốc độ quay không đổi (Hình 1), bán kính đáy nhỏ đáy lớn vỏ nón cụt Chọn hệ trục tọa độ vỏ nón hệ trục tọa độ cong , gốc tọa độ đặt mặt vỏ, trục theo chiều đường sinh tính từ chóp vỏ nón, trục theo chiều đường tròn trục vuông góc với mặt phẳng (), hướng theo pháp tuyến nón; khoảng cách từ chóp nón đến đáy nhỏ Kí hiệu thành phần chuyển vị điểm mặt trung bình theo phương 2.2.5 So sánh tham số tần số f trường hợp vỏ nón cụt có gân gia cường không gân gia cường Trong phần này, xét tham số tần số hai vỏ nón vỏ nón FGM có gân gia cường vỏ nón FGM không gân Các vỏ nón làm từ hai vật liệu Nhôm Nhôm ôxit Với tính chất vật liệu tham số hình học giống , ,, , υ==380 =70 0.3 GPa GPa ρρmc E=Ecm3800( 2702( kg / m33) o rα=/kmhr=0.004, ==1, ==30 12.5 20 Hai vỏ nón với kích thước hL hình học sau: , , , ; hb1n 0.002 b=st=11 h=b=22hnb=2r2 0.004, = 0, 30 Với vỏ nón có gân tham 1h số hình học gân sau: , Còn vỏ nón FGM không gân 27 1.8 không gân (sóng lùi) không gân(sóng tiê'n) có gân(sóng lùi) có gân (sóng tiê'n) 1.6 1.4 1.2 f 0.8 0.6 0.4 0.2 10 n Hình 10: So sánh tham số tần số f hai trường hợp vỏ nón cụt FGM có gân gia cường vỏ nón FGM không gân gia cường số sóng n thay đổi 28 0.46 0.44 0.42 có gân (sóng lùi) có gân (sóng tiê'n) không gân (sóng lùi) không gân (sóng tiê'n) 0.4 f 0.38 0.36 0.34 0.32 k 10 Hình 11 So sánh tham số tần số hai tường hợp vỏ nón ES – FGM vỏ nón FGM không gân gia cường Tham số tần số hai trường hợp vỏ nón gia cường gân ES – FGM vỏ nón FGM không gia cường thêm gân minh họa Hình 10 Hình 11 Dễ dàng thấy với việc gia cường thêm gân tham số tần số vỏn nón ES –FGM cao hẳn so với trường hợp không gia cường thêm gân Đặc tính phù hợp với tính chất học vật 29 liệu, có thêm gân gia cường vỏ nón có độ cứng khối lượng lớn so với gân gia cường, mà tần số lớn 2.2.6 Ảnh hưởng tỉ số L/r (nmstr,Ω= n/ h)=α (1,4) 20 n==500 r = 30 Xét vỏ nón ES –FGM với hai loại gân trực giao quay với tốc độ quay (rad/s), với tỉ lệ không đổi Việc tính toán với mode cho trường hợp góc nón khác 0.7 o α =30 (sóng lùi) 0.65 o α =30 (sóng tiê'n) 0.6 o α =45 (sóng lùi) o 0.55 α =45 (sóng tiê'n) o f α =60 (sóng lùi) 0.5 o α =60 (sóng tiê'n) 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 1.5 2.5 L/r 30 3.5 4.5 (m, nL) = / r(1,4) Hình 12 Ảnh hưởng tỉ số , Hình 12 biểu diễn ảnh hưởng chiều dài vỏ nón đến tham số tần số Từ hình vẽ nhận thấy với vỏ nón dài tần số chúng thấp so với vỏ nón ngắn Điều phù hợp với thực tế ngành kỹ thuật 2.2.7 Ảnh hưởng tỉ số r/h / stLhΩ ,= n/=r)= =n20 f=100 (1,4) 2.5 :o500 = 30 Vỏ nón ES – FGM có r(nm α r30 tham số hình học sau, , , quay với tốc độ (rad/s) mode Xét ảnh hưởng độ dày vỏ nón đến tham số tần số Hình 13 thể ảnh hưởng xét tỉ lệ dễ thấy với vỏ nón dày tham số tần số chúng lớn so với vỏ nón mỏng Điều phù hợp với tính toán công thức toán học tìm tham số tần số công thức (1.29) 31 0.4 k=1 (sóng lùi) k=1 (sóng tiê'n) k=5 (sóng lùi) k=5 (sóng tiê'n) 0.38 0.36 0.34 f 0.32 0.3 0.28 0.26 100 200 r/h 300 400 500 Hình 13 Ảnh hưởng tỉ số r / h 2.2.8 Ảnh hưởng số gân o (m,αΩn)===100 (2,4) (1,4) 30 Trong phần này, cách đặt gân khảo sát đưa kết tham số tần số cho trường hợp Vẫn sử dụng vỏ nón ES – FGM với tham số vật liệu tham số hình học phần trước khảo sát Nhưng vỏ nón phần có thay đổi số lượng gân cách phân bố gân Cụ thể với ba trường hợp là: 32 Vỏ nón gắn gân dọc; vỏ nón gắn gân vòng vỏ nón gắn gân trực giao Khảo sát tính toán số với mode , tốc độ quay ( rad/s), góc nón (m, n) = (1,4) Bảng 2a Tham số tần số ứng với sóng lùi ba trường hợp phân bố gân gia cường Số gân f 20 30 40 50 60 Gân dọc 0.3287 0.3258 0.3229 0.3201 0.3173 Gân tròn 0.37 0.3852 0.3991 0.4121 0.4241 Gân trực giao 0.3503 0.3573 0.3641 0.3705 0.3767 (m, n) = (1,4) Bảng 2b Tham số tần số ứng với sóng tiến ba trường hợp phân bố gân gia cường Số gân f 20 30 40 50 60 Gân dọc 0.3272 0.3242 0.3213 0.3185 0.3157 Gân tròn 0.3683 0.3835 0.3974 0.4103 0.4223 Gân trực giao 0.3486 0.3557 0.3624 0.3688 0.3750 (m, n) = (2,4) Bảng 3a Tham số tần số ứng với sóng lùi ba trường hợp phân bố gân gia cường) Số gân f 20 30 40 50 60 Gân dọc 0.6642 0.6603 0.6564 0.6526 0.6489 33 Gân vòng 0.6797 0.6831 0.6864 0.6896 0.6926 Gân trực giao 0.6724 0.6727 0.6731 0.6736 0.6743 (m, n) = (2,4) Bảng 3b Tham số tần số ứng với sóng tiến ba trường hợp phân bố gân gia cường Số gân f 20 30 40 50 60 Gân dọc 0.6630 0.6590 0.6552 0.6514 0.6477 Gân vòng 0.6783 0.6817 0.6850 0.6882 0.6912 Gân trực giao 0.6711 0.6714 0.6718 0.6723 0.6729 Các Bảng 2a, 2b, 3a, 3b trình bày tham số tần số vỏ nón cụt ESFGM với ba cách phân bố gân vỏ nón gắn gân dọc, gắn gân vòng gắn hai loại gân trực giao Với kết thể bảng nhận thấy rằng: Tham số tần số f trường hợp gắn gân vòng cao ba trường hợp phân bố gân, điều thể gân vòng có ảnh hưởng lớn đến tần số vỏ Ngoài ra, với việc tăng số lượng gân tham số tần số f thay đổi đáng kể trường hợp gắn gân vòng gắn gân trực giao Tức số gân tăng lên tham số tần số tăng lên Nhưng với trường hợp vỏ nón gân gắn dọc tăng số gân tham số tần số f giảm không đáng kể Kết phần khảo sát số lượng gân có kết luận tương tự với Talebitooti et al [6].Khảo sát có ý nghĩa việc thiết kế kết cấu mục đích sử dụng kỹ thuật sử 34 dụng loại vỏ nón gia cường gân theo dạng phù hợp với đáp ứng yêu cầu kỹ thuật Như chương này, kết khảo sát ảnh hưởng số sóng, tốc độ quay, số gân, tỉ phần thể tích tham số hình học đến tần số vỏ nón trình bày cụ thể Từ kết khảo sát số chi tiết cho ta số kết luận cụ thể trình bày phần kết luận 35 KẾT LUẬN k pháp giải tích để nghiên cứu toán Luận văn trình bày phương Ω dao động tự vỏ nón cụt FGM có gân gia cường lệch tâm Phương trình chuyển động vỏ nón nhận dựa vào lý thuyết vỏ Donnell kỹ thuật san tác dụng gân; sử dụng phương pháp Galerkin để tìm phương trình tính tần số riêng Các tính toán số ảnh hưởng số gân, tốc độ quay , số tỉ phần thể tích tham số hình học đến tham số tần số dao động tự vỏ nón cụt FGM có gân gia cường quay quanh trục đối xứng Luận văn thu số kết sau: i) Đã trình bày chi tiết kết tính toán giải tích tìm phương trình hiển xác định tần số riêng vỏ nón cụt FGM, từ đưa cách xác định tham số tần số nón cụt FGM có gân gia cường lệch tâm ii) Khảo sát tham số tần số dao động tự vỏ nón cụt FGM có gân gia cường Và cho thấy ảnh hưởng số sóng, tỉ phần thể tích, số gân tham số hình học đến tham số tần số vỏ nón: - Tham số tần số vỏ tăng nk số sóng tỉ phần thể tích tăng - Khi tốc độ quay tăng tham Ω số tần số tăng - Sự có mặt gân số lượng gân thay đổi ảnh hưởng đáng kể đến tham số tần số vỏ nón Với vỏ nón có gân gia cường tham số tần số cao hẳn so với gân gân gia cường Với việc gắn gân vòng tham số tần số trường hợp cao so với trường hợp gắn gân dọc gân trực giao - Với vỏ nón dài tham số tần α số vỏ giảm; góc nón có tần ảnh hưởng đến tham số tần số vỏ Với vỏ nón dày tham số tần số vỏ cao so với vỏ nón mỏng 36 Hướng nghiên cứu luận văn: - Giải toán vỏ nón chịu lực cưỡng - Giải toán theo phương pháp hàm ứng suất 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Brush DO, Almroth BO (1975), “Buckling of bar, plates and shells” Mc Graw-Hill, New York [2] Hua L ( 2000), “Frequency analysis of rotating truncated circular orthotropic conical shells with different boundary conditions” Compos Sci Tech;60, pp:29452955 [3] Hua L (2000), “Frequency characteristics of a rotating truncated circular layerd conical shell” Compos Struct; 50:pp59 – 68 [4] Irie T, Yamada G, Tanaka K (1984), “Natural frequencies of truncated conical shells” J Sound Vib;92 pp:337-53 [5] Lam Ky, Hua L (1999), “Influence of boundary conditions on the frequency chacracteristics of a rotating truncated circul ar conical shell” J Sound Vib; 223, pp:171 – 195 [6] Lam Ky, Hua L (1997), “Vibration analysis of rotating truncated circular conical shell” Int J Solids Struct; 34(2), pp:183 –1 97 [7] M Talebitooti, M Ghayour , S Ziaei-Rad, R Talebitooti (2010), “ Free vibrations of rotating composite conical shells with stringer and ring stiffeners” Arch Appl Mech; 80, pp: 201–215 [8] P Malekzadeh, Y Heydarpour (2013), “Free vibration analysis of rotating functionally graded truncated conical shells” Compos Struct;97 pp:176 – 188 [9] Sofiyev AH (2009), “The vibration and stability behavior of freely supported FGM conical shells subjected to external pressure” Compos Struct; 89, pp:356-66 [10] Sofiyev AH (2012), “The non – linear vibration of FGM truncated conical shells” Compos Struct;94, pp:2237 – 2245 [11] Tornabene F (2009), “Free vibration analysis of functionally graded conical, cylindrical and annular shell structures with a four - parameter power – law distribution” Comput Method Appl Mech Eng; 198:2911-35 38 [12] Bich DH, Phuong NT, Tung HV (2012), “Buckling of functionally graded conical panels under mechanical loads” Compos Struct; 94, pp:1397 -1384 [13] Dao Van Dung, Le Kha Hoa, Nguyen Thi Nga, Le Thi Ngoc Anh (2013), “Instability of eccentrically functionally graded truncated conical shells under mechanical loads” Compos struct; 106, pp:104-113 39 Các hệ thức sau: PHỤ LỤC Lij 2232α 43α 32sin 34 34),3 sin ×+ L (2 L )α L πρL Ω ρ α+xL E A m m πL nx2x3(2 π π)x4034+2+x43sin (x3LL 0L)   ( x0 sin + +(A 3+ xα )3023(2 + (2 + (2 − Lω )0sin − 66 E A 0x 0r− sL 0L 01)L 2)x L L = − − + − − A A sin + A + + + 11 ÷ 22 22 211  11sin  αω +2 α2    2Lmω m 43L2ω 34πω πdλ202m   4224ω  π  với 3sin 22 322α 22 × Lα L (2 L )L34α );3  πm(2 ρπL sin m π nxx(2 π320x)40Ω πx4034+2+xE  ( x00 −sin + +(nA 3xLL (2 − xA 66 E 0r−A sL 0) + 2)01LL L + ) L = − − + − − A A sin A + + 11 11 11  α22LL 22  ÷  sin +2 α2  2 λ m π d m    π  20  22 3343 23 23 Ω A 20x(2 + )(2 A L L(πρ ρ Ω L sin Lx2])); nx+ mn L)66π ( B122−π (+ x(mn )+ xα0+L) E12B 32π A Lπ0L 66 0+ r3 2[ sin x+3−A −0α + L + = cot A + + +  22  1222mω2πm 23 320  66 ÷ 0ωL   24dm23Lπω 1 12 ⇔ = 33 + 3L12 (B12L(+12 (xmn A 2E B )(2 A mn L π−x)30x0+ L), +πnr66+ )ω LπA 00 12 66 L+212+=2 4cot α , +A L1A22+=L πρπ2L Ω Ω )233L2sin ]).α662 ÷ m L 3m d3x+2ρ20L 3L π 02 2+  12−+(2x(2 α sin  2mπ 3[ x30 − 4m π  L13 ⇔ L13 = , ω 2365445 22 4243243cot 35 223n 2α 32 264354343 3− ×+266 π +π B B )L + 2Lx([3ρ L π Ω (2 sin ρ sin ++ sin (mn −(2 xπα + πx3B n+ nL mn 5L mn L(LL[(B α 315 [x0π0xL L + −(2 − (L (r+ L(Ω xL )(0xA +− L+L xL )xL )0L))0α))2]]]) ; E 3C 22 23x 000− 012 020)0x 0020 0− + L+21 + = + − + ρ Ω ρ ( cot A Ω α266 + × + A − + − + +sin A +Aα +66 ) 2243 32322 12 22 ω  3 m 22424m ω Lm m ω ππLπωπ  66 ÷ 2m 22m d26ω m 345ππ  Lω 2m  , 2 L121L+L[32=x[L πx042403−2π(2 ρ(323(xρ Ω sin − x00420+Ω +LLsin L ))4)α3]]α L + +  33   m 2m3m ππππ    23 4232232432232m 2322422234354345645 33 5343453 533 43α 5L os L )(2 L x(2 cot ρπ([xπLxm ρ ω sin α + [xπ [πn3Ω x0C (Lπ (0π L 2(B mL5c22L n+ πL π 6− m π0− πα αα α + )0+3))]]L]]) 3m 1I+ [(3L (2 + +ρ x− x3sin xLω )x0L )E xsin + +3sin +0r2− L − Lx+ L2xα x0)× LL 315 3m E A 2− 0r0+ 30x 2(L 0π 0cot 0x 0(2 00( 2)0) −L−× + + − − + = − + − + − + + D ρ A B A Ω B cot c sin D A sin os sin cos ×66 α÷α sin sin α × A D − + + ,+ −α −+αα 222 22 24566 266 3366 2366 2542 3 222 66 322366 L 2ω L2ω 2ω m m πL sin πdsin 2L 42ω 42m m m 25L 43ω π435ππ m π2αα ωLω ωω 34343325232223322422232435345643323 533435 os + (2 Lπ )(2 L + x0(2 L x+ )0)x0)+α cot ρ π + 6− Ω α A(L α 5c22L [α x0C +A L 2(B m m πnLxL n00π m π π0− n− π cot π− )0+3)]]L]) L L IL66 [3(3L ([xLxm + (2 + x(Lπ xL00sin )x(LD )E ++r2− − Lα x2α 315 3xm E 66 0sin 0x 03 0L −L−022+ =2+ −−D − +D ρ2B A0Ω B cot c230r0os A sin sin cos ×266 α÷α sin α ×−+− A + − + ,+ −α −+αα 66  222 + 3366 3 22 sin 322366 45266 542 L L L L m L sin m π L α 4 m m m π m π π π d       33232 22 443 L D xπLLB +)cot D LI+66−2L)xα ))x04203 π120n+(2 n+ π+ C (n3nm (m xLx0π(2 L2)E + 0x 022 r− L23 =×−−− D ( cot B − 22 + ÷+2 B66 ) 22 2 212 2αα ω ω ω L L sin sin α m π d  2   L023 ⇔ L23 = + L123 , ω ⇔ L11 = L11 + L111ω , ω 433 L1113( xL=+030π sin 043 (2 +L xρ0)L −Lx)α 23+ + + 22  3π π   4m24m 43223L 3333 B 342 435) 3L 45) + B sin α (2 (55Ω (2 B (2x + C + ρ sin cos L2([xsin x3m −× x)π ))3663α m π π m m m Lxα π π+ π232−5L ]2 (00xLsin +π + Lmn xπL 12 3)xm 22 0E 0+ 20 0− 3L 0α 00 (2 0L rLA 200x L−α = + − + + − B C c sin ρ A os B Ω α cos cos α + A − + + , 13   22332 2211 12 24 2212 11 ÷   sin απ ωLm L42m ω π ω L 24ω 2dπω L  243m 2m 5m πLω  ω  43223 45 L 3333 B 352B 3435 42 3)L )π 23− sin α (2 (5π5Ω (2 B (2x +0+ + C ρ sin x3m −× x)xπL L ))3α m π m Lm m π 0+])2 2×([xsin (00xLsin +π + xα )x+3+ − xLL 12 E Lcos A 22 00mn 266 L 0π 3L 0α 00 (2 020x rL L−α = − + B C + − c sin ρ os Ω B A α cos cos α + A − + + 13   322 224 24÷ 12 11 2sin 211 243πL2m L 2dα 2L  4m 45πm   LLm 2π  L021 245 262 34× 2, ⇔ L 3= 43 3534 62cot 2+ 3B 5L 4α n 21 ( B + ( B C + ρ L − Ω (2 n π x sin ρ + Ω L L [ ( x − ( x + L ) mn mn π π π nL mn π      L [ L x 15 [ x ( − x L L + ( x (2 + (2 L ) L + x x ) L − + + ) − x L ] x21 )πα00435)] E A L L 12 3ω 2002000+ 320266 L021++=A+22−0 +0022+ρ00 (2r+ A12 +2+ sin cot )÷ −20Ω A6666α+ 423 43243 2π πm 4m 42dm m 6m 4π 435π m 2πL2432m  LL 42m 22 L022 ⇔ L22 = + L122ω , ω 2 33 35 π+ LL L 0] ([3xx(Lx=+−(2 L( x)Lρ4 )3+ −5Lsin − x5 4)xα +  2200 +2 202232 04−  m π m π m π   23 223 45 3+ 435) (2 BxπLx22sin(2 xL x0E +r3− +5C Ω sin(2 α )2L)32), × [n2nxρ −LnL+(Ω +E L )α 42π π π(n(2  +Lπ+ ] 3(π0xL L L I2L 0L 2ρ 022 003(2 0)3 rA 2x + + − + − − ( D B cot + cot C α − D A2222 +−2 +−222662 242 422÷)  D×66− ω ω ω2435πmdπ2  π 422m  2ωm  L033 ⇔ L33 = + L133ω , ω 232 2 443 L D xπLB LI+66−2L)α ))x04203 πn+(2 n+ π+ (n3m (m xnLx0π(2 xL2)E+cot )D + xC 12 0L r− L023 =×−−−− D B α+ B66 ) − 220 22+ 20222(cot 212 ÷ m4sin 3πdα22 α   2L42Lsin 23 3) (π(2 BπL x66 +r2r−+A C n2(2 cot π−nLLD Lx)E  +4n(πxn02L  + L IL2x2Lα 22 0E 0+ 2), − − + ( B cot + cot C α α × ) D − D A − + −  66 2 222222 22 22÷ 23mdπ2    22 33 545 +π L−Ω (Lsin(2 Lπ32([xLρx0ρ (2 +Ω )x=+−+Lα xL )α54)) ] 3Lxsin(2 +− + 023 232240 0224  0 m45ππ    42m 35+ 52 43B3 433 L −mn π+ πL3x(LL π0−+−66 2(3[(xm Lx0B3m + (2 )0x3)550+ LxL)x0 )0 ] 12 L×31+ =+ sin α+−α −+00 23C 1B 11sin 4 sin L2m L5ω43πα m πL    ω4ω 3452 364 33 B A(2 +12 C cxL()os )0os αsin c2)+ 5L((315 −(2 m m π 03) 4] xL (x[sin L22 x0L +π Lα +−Lα )x0264α 0− 00+ 0x + +− + 2242ρ2242Ω + − 442m m L64ω3πππL    m  4ω 2 34+ 24322C 2434 5254− 53 343 B πsin L L )))]2]] L m π−(2 π− − πL L 2+ xB ([2L[x322 [x00Lx0m +π ((2 L )(x0cxx00os + ++ +Lα )A 3α(xn2L E 66 2L 0L 03 0− 02L r) − ×c−os + + + + ( B ρ B + ρ Ω C Ω sin ) sin + α  2A2222 + , + 11 2   α+÷α   43α 34 sin m ω ω L ω ω m L m π ω 4 m m m m π π m π π π d      L031 ⇔ L31 = , ω B 54 +3 5B L ([xm xm x)xL00mn )x)660] π(2 3( L x+π− + L(12 )30−+L +L3− xL L05π L031× =+ 00 033 +−2+B C211 sin +− 242 42α L 4m 54π2sin 3πm α π    LLm 333 55 33 3452 364 33 B A(2 ++π C cxL()os )os αsin c)+ 5L((315 −(2 m m 3) 4] xL (x[sin L22 x0L Lα xπ − +−Lα )x64α 00+ +12 220422ρ002242Ω 020 + + +− − Lm m643πLππ     4442m 5254 2 53 34 2 3234+ 422C B BLL +0m π3−(2 Ω [x322 πsin L ))]2] L π4((2 π− πL 2L 2+ xL ([m x00L + L x)x0cx023− + −++ )66 )A 3α(xnρ24L ELα 0os 0L −−cos + + ( + B B + ρ C sin Ω )r02sin α+× + α + A + +α 22 11 2 43α 22 2mL2 m 32 3 4  ÷ sin 2L2m m 52m πππm ππ d    424m 23 2232342325425 22434 3D cot α L L D B +nπ xn3+ C xπn0L+ + 2−)); )2B )α π ρ Ω )3)]E xn0(2 (xLL2n4sin(2 x0+C π n(2 2n− π π π)nL LL   ×+(LB n2(3m )x035466)034E ([22 x(L (2 + )+ − xL E E I I2  12 22 0π 2I+ 66 2m 0π 0r+ 0+ rA 2L L = + + − + − + − + − − + (1 − cot cot ( cot B B α α + α ) D + −DD ++ )224+D22D +÷+2)rBr266÷ 66 12  32DD1212×++244A 2+ 22 22 66 66 22  2(  422 sin α ω ω ω L ω m ω ω ω ω L π 4 d d d   2  2  L32 2432234 + 34L ⇔ L = 23 cot 2323423α 3)32 , 32 ( B ( × L L D ( L (2 B + (2 (2 C x + x x + + + C + D L L L ) ), B ) ) n − π n π π cot B nL L α π−(nxxπ+ n m π n L n π n π π   n322m    + (2 + L x L ) ) + − − L x ) x E E A I E I I  12 22 0 2 66 66 66 rr 0 E L −0D − + (1 cot (cot B α + α+2)rBr266÷2)  −+44A D −D ++)−2ω +02D D  32DD12=12+×+ 2+ 22 22 66 66 2212  2( 22+÷×  với 2sin 4mL 34223παd45 22  543d 2d    L L+π ρx (2 ρ ×]) −3Lxsin(2 (LΩ L=3([xLπ +Ω )x5 +sin(2 −+Lα xL ) ) α +− + 22240 0224  0 m45ππ    42m 22 332 32 003 333× 2×D 62sin 43 4+ 224 254 2443 5α 54 4365 34L 443543333 α 234sin D Lπ L x2+ L−)x2rL B c2x(π + C α ))x)0A os π ρ3m α sin α [2(nm x2× − + − (α nα sin π × ])0L xΩ + L [(L xos E (L x5+sin I52Ω L 2(2 2m m 12 n2m L π π)+ L π 2(2  ( x00−π )3π )x)002α L+L E]]r I  66 3cot ([− x3L2cL xc(00πn+ + − +L L )0os L )cot − L 3xD E I+ 0n 22 0x 11 2α 32ρ 0x L (2 + 00π 0(2 0− 1E 012 0+ 0s0230+ r π 0 c−D B23D C )2 ÷ +×−×+ − +4os −2266 sin sin α sin α2−÷2α 4+−+D Aα ++ D − ;+÷ 324(+ −π + + 22 33 11 DL+   22 12 22 =   −   4 2 sin 254m π0d 2dα sin 2m L L πα m 435πλπα 3sin m d π m     122 3L2343424m   π5π 43  54 LL+ ρ π(2 −+3L3ω (LxρL 33(3([π α] xx= L )x0)sin +−+−sin Lα xLx05))0× 20ω 000+ − + m 22π4 224  + m54ππ    42m 23 22 2222 222 22 225 232 224 34322363 224 24D 3L 3D 42+ 5+ 4L 54 43 54 52L 4243−xL (2 + (Lπ B B cL os C c−nL26+ os [xπ ρ (2m + x3x(+00π0x0L − (E π Iα + )x2))α πxD L 2m L π m cot nsin  ( x0 + πL)L 326600042435])2] ([−m xπ+ )xL )x2m πnm 12 30ω 32n E E L A I00π 0+ 11 21− 23022 x L sn 00 (2 012 r r 0 α ρ ++ Ω +sin ρ42 232C Ωα +− =×−− +−4+ −+ D − cot α sin αD12L+ D−×66−cos +−4A D −(+223B +22−2211 −×÷), 2+ 33 3ω 2sin 22 22 π 3324 42 sin m 23ωω ω ω π2ω ω sin L ω ω L432α 4m 5424λ 4m 350π mω d22ω π dα πL ωωL  Lm 22  