Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, NUCE 2021 15 (2V): 49–64 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA DẦM BẬC NANO BẰNG VẬT LIỆU CĨ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN SỬ DỤNG MƠ HÌNH ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC KHƠNG CỤC BỘ Phạm Tuấn Đạta , Trần Văn Liênb,∗, Ngô Trọng Đứcc a Viện Kỹ thuật cơng trình đặc biệt, Học viện Kỹ thuật quân sự, 236 đường Hoàng Quốc Việt, quận Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam b Khoa Xây dựng dân dụng Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng, 55 đường Giải Phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam c Fujita Corporation, 52 đường Lê Đại Hành, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam Nhận ngày 15/03/2021, Sửa xong 05/05/2021, Chấp nhận đăng 06/05/2021 Tóm tắt Bài báo phát triển Mơ hình độ cứng động lực (DSM) để phân tích dao động tự dầm bậc nano vật liệu có tính biến thiên (FGM) sở Lý thuyết đàn hồi khơng cục (NET), gọi mơ hình DSMNET NET có xét đến tham số tỷ lệ chiều dài nên giữ lại hiệu ứng tỷ lệ cho cấu trúc nano xét đến tương tác nguyên tử phân tử không liền kề Đặc trưng vật liệu dầm nano FGM thay đổi phi tuyến theo độ dày dầm Dầm bậc nano mô hình hóa theo lý thuyết dầm Timoshenko phương trình chuyển động rút từ nguyên lý Hamilton DSM sử dụng để thu nghiệm xác phương trình chuyển động có xét đến vị trí thực trục trung hòa với điều kiện biên khác So sánh kết tính tốn DSM-NET với kết công bố khẳng định độ tin cậy mơ hình Từ đó, tác giả tiến hành khảo sát số nhằm đánh giá ảnh hưởng tham số phân bố vật liệu, hình học, khơng cục điều kiện biên dao động tự dầm bậc nano FGM Nghiên cứu áp dụng cho nhiều kết cấu nano FGM khác dầm liên tục hay khung nano nhiều bậc phức tạp Từ khoá: mơ hình độ cứng động lực; lý thuyết đàn hồi khơng cục bộ; vật liệu có tính biến thiên; dầm bậc nano; tần số không thứ nguyên FREE VIBRATION ANALYSIS OF FGM STEPPED NANOBEAMS USING NONLOCAL DYNAMIC STIFFNESS MODEL Abstract This paper presents a nonlocal Dynamic Stiffness Model (DSM) for free vibration analysis of Functionally Graded (FG) stepped nanobeams using the Nonlocal Elastic Theory (NET), called DSM-NET model The NET nanobeam model considers the length scale parameter, which can capture the small scale effect of nano structures considering the interactions of non-adjacent atoms and molecules Material characteristics of FG nanobeams are considered nonlinearly varying throughout the thickness of the beam The nanobeam is modelled according to the Timoshenko beam theory and its equations of motion are derived using Hamilton’s principle The DSM is used to obtain an exact solution of the equation of motion taking into account the neutral axis position with different boundary conditions The DSM-NET is validated by comparing the obtained results with published results Numerical results are presented to show the significance of the material distribution profile, nonlocal effect, and boundary conditions on the free vibration of nanobeams It is shown that the study can be applied to other FG stepped nanobeams as well as more complex of framed nanostructures Keywords: DSM; NET; FGM; stepped nanobeam; nondimensional frequency https://doi.org/10.31814/stce.nuce2021-15(2V)-05 © 2021 Trường Đại học Xây dựng (NUCE) ∗ Tác giả đại diện Địa e-mail: lientv@nuce.edu.vn (Liên, T V.) 49 Đạt, P T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Giới thiệu Vật liệu có tính biến thiên (FGM) [1, 2] vật liệu tổng hợp hệ tạo thành từ hai nhiều vật liệu thành phần với thay đổi liên tục tỷ lệ thành phần theo nhiều hướng FGM sử dụng hệ thống điện micro/nano (MEMS/NEMS) để đạt độ nhạy cao hiệu suất mong muốn Các cấu trúc có kích thước nano dầm, vỏ sử dụng rộng rãi thiết bị NEMS, dầm bậc nano đặc biệt thu hút ngày nhiều ý ứng dụng tiềm khác chúng Lý thuyết đàn hồi cổ điển nghiên cứu đầy đủ xác ứng xử học cấu trúc nano ảnh hưởng hiệu ứng kích thước Do đó, lý thuyết đàn hồi không cục (NET) lần đề xuất Eringen [3] với giả thiết tensor ứng suất điểm không hàm biến dạng mà cịn xét đến biến dạng điểm xung quanh Hiện nay, NET sử dụng rộng rãi để thiết lập phương trình chuyển động cấu trúc nano sử dụng vật liệu đồng [4–6] vật liệu FGM [7] Reddy [8] thiết lập phương trình dao động ổn định dầm nano đồng theo NET cho lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, Timoshenko, Reddy Levinson Nhiều tác giả khác phát triển phương pháp giải tích [9–12], phương pháp Rayleight-Ritz [13], phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) [14–19], phương pháp biến đổi vi phân [20], phương pháp cầu phương vi phân [21], để nghiên cứu ứng xử uốn, ổn định dao động tự nano từ vật liệu đồng Simsek Yurtcu [22], Rahmani Pedram [23] đồng thời nghiên cứu ứng xử uốn ổn định dầm Timoshenko FGM phương pháp giải tích Ngồi ra, Mechab cs [24] nghiên cứu dao động tự do, Uymaz [25] nghiên cứu dao động cưỡng dầm nano, hai sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Ebrahimi Salari [26] ứng dụng phương pháp bán giải tích để phân tích dao động dầm nano Euler - Bernoulli FGM có xét đến vị trí thực trục trung hịa Narendar Gopalakrishnan [27] phát triển phương pháp PTHH phổ để khảo sát dao động dầm nano không cục Các nghiệm giải tích tìm có dạng chuỗi lượng giác kép Navier, đó, chúng bị giới hạn cho dầm với điều kiện gối tựa đơn giản Đối với điều kiện biên khác, tác giả áp dụng FEM để phân tích ứng xử uốn dao động tự dầm nano FGM theo lý thuyết dầm Euler - Bernoulli [28, 29], lý thuyết Timoshenko [30–32] Gần đây, tác giả [33] tìm tần số riêng dạng dao động dầm nano với điều kiện biên khác cách sử dụng khái niệm khơng gian trạng thái Vì FEM xây dựng dựa hàm dạng đa thức không phụ thuộc vào tần số nên khơng dùng để tìm tất tần số dạng dao động, đặc biệt bậc cao Để khắc phục điều này, phương pháp độ cứng động lực (DSM) phát triển để thay FEM cách sử dụng hàm dạng phụ thuộc tần số [34–36] Mặc dù không dễ dàng tìm nghiệm giải tích xác cho toán dao động dầm nano tìm chúng cho phép nghiên cứu dao động xác dầm dải tần số tùy ý Adhikari cs [4, 37] thu ma trận độ cứng động lực nano đồng chịu dao động dọc Hàm đáp ứng tần số thu dùng DSM đề xuất cho thấy mật độ phổ cao gần tần số cực đại Gần đây, Taima cs [38] sử dụng DSM để phân tích dao động cho dầm bậc nano đồng theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli Theo tìm hiểu tác giả, chưa có nghiên cứu phát triển DSM cho toán dao động dầm nano FGM theo lý thuyết đàn hồi không cục Trong báo này, tác giả phát triển DSM để phân tích dao động tự dầm bậc nano FGM sở lý thuyết dầm Timoshenko lý thuyết đàn hồi khơng cục bộ, gọi mơ hình DSM-NET So sánh kết thu DSMNET với kết công bố cho thấy độ tin cậy mơ hình đề xuất Từ đó, tác giả nghiên cứu ảnh hưởng tham số không cục bộ, phân bố vật liệu tham số hình học đến ba tần 50 Đạt, P T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng số dao động không thứ nguyên dầmCỦA nanoDẦM với điều kiện biên khác BẰNG VẬT LIỆU FGM Mơ hình DSM-NET liệu FGM Đớdầm Timoshenko ợ ầ FGMvật (Hình 1), đặ sau z Trục trung hòa Et Gt t t ủ ậ ệu thay đổ ề h x Eb Gb b b b ần lượ ệ môđun đàn hồ , môđun cắ ật độ ối lượ dướ liên quan đế ị tương ứ ủ ậ ệ ớp zdướ Đối với dầm nano FGM (Hình 1), đặc tính vật liệu thay đổi theo chiều dày ầ ể ọa độ ặ ẳ ữ ủ ầ ể ị ủ ầ sau [1]: n z ( , , P(z) = Pb + (Pt − Pb ) + h (1) đó ể ị ọ ể ị ủ ột điể ụ hần lượ h ≤ z ≤ − ả ục trung2 hòa đế ụ ủ ặ ắ ụ ận đượ ế ạ với P ký hiệu môđun đàn hồi E, môđun cắt G mật độ khối lượng ρ; số vật liệu lớptrênvà lớp cùng; / n chỉ số phần thể t b liên quan đến giá trị tương ứng tích, z tọa độ từ mặt phẳng dầm ệ ậ Các chuyểnụ vị ộ dầmầ Timoshenkoểlà: đượ ế ạ Dầm Hình Dầm FGM u(x, z, t) = u0 (x, t) − (z − h0 )θ(x, t); w(x, z, t) = w0 (x,t) (2) vị ngang điểm trục trung hòa; u0 (x, t), w0 (x, t) chuyển vị dọc, chuyển h0 khoảng cách từ trục trung đến trục x; θ làớ góc quayụcụ̉mặt cắt quanh đó hịa ằ ớtrục y Từ ỗ đó, ậ taệnhận biến dạng: trưng ủ ầ ε xx = ∂uự0 /∂x − (z − h0 )∂θ/∂x; ều dài (3) γ xz = ∂w0 /∂x − θ = −ϕ Các quan hệ vật lý không cục cho dầm nano có thểđược viết ởdạng [3]: ∂2 σ xz ∂2 σ xx = Eε ; σ − µ = Gγ (4) σ xx − µ ần xx xz đó lượt là động và ế củxz ầ ∂x2 ∂x2 dài đặc alà chiều trưng vậtliệu; µ = e20 a2 tham sốkhông bộ; e0là số cho cục bên dầm Dựa nguyên lý Hamilton: (δT − δU)dt = ự ọ ố T ần lượ T U động của dầm: ự ắ ủ (5) ầ L δT = I11 ∂θ ∂δθ ∂u0 ∂δθ ∂θ ∂δu0 ∂u0 ∂δu0 ∂w0 ∂δw0 + + − I12 + I22 dx ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t L δU = ệ ố ị ∂δθ ∂δw0 ∂δu0 − M + Q − Qδθ dx ∂x ∂x ∂x ỉ ắ đố ặ ắ 51 N ệ (6) ữ ậ ị ủ ụ Đạt, P T., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng N, M, Q lực dọc, mômen uốn lực cắt dầm: σ xx dA; N= (z − h0 ) σ xx dA; M= A A (7) σ xz dA Q= A E(z) 1, z − h0 , (z − h0 )2 dA; (A11 , A12 , A22 ) = A33 = η G(z)dA (8) A A ρ(z) 1, z − h0 , (z − h0 ) dA (I11 , I12 , I22 ) = A η hệ số hiệu chỉnh cắt, η = 5/6 mặt cắt ngang hình chữ nhật; vị trí trục trung hịa h0 I12 có giá trị là: h0 = n(RE − 1)h ; 2(n + 2)(n + RE ) I12 = nbh2 ρb Rρ − RE ; 2(2 + n) n + RE Rρ = ρt ; ρb RE = Et Eb (9) Từ (5), ta nhận phương trình dao động tự dầm nano FGM có dạng: ∂2 u0 ∂2 θ ∂2 u0 ∂2 θ ∂4 u0 ∂4 θ − A − I + I + µ I − I =0 12 11 12 11 12 ∂x2 ∂x2 ∂t2 ∂t2 ∂x2 ∂t2 ∂x2 ∂t2 ∂2 θ ∂w0 ∂2 u0 ∂2 u0 ∂4 u0 ∂4 θ ∂2 θ − θ − I22 + I12 − µI12 2 + µI22 2 = A22 − A12 + A33 ∂x ∂x ∂x ∂t ∂t ∂x ∂t ∂x ∂t ∂2 w ∂4 w0 ∂2 w0 ∂θ − I11 + µI11 2 = − A33 ∂x ∂x2 ∂t ∂x ∂t A11 (10) điều kiện biên tương ứng ∂3 θ ∂u0 ∂θ ∂3 u0 − I =0 − A12 + µ I11 12 ∂x ∂x ∂x∂t2 ∂x∂t2 ∂w0 ∂3 w0 w0 = or A33 − θ + µI11 =0 ∂x ∂x∂t2 ∂θ ∂2 w0 ∂3 u0 ∂3 θ ∂u0 − A22 + µ I11 + I12 − I =0 θ0 = or A12 22 ∂x ∂x ∂t ∂x∂t2 ∂x∂t2 u0 = or A11 Đặt: ∞ {U, Θ, W} = {u0 (x, t), θ(x, t), w0 (x, t)} e−iωt dt (11) (12) −∞ Phương trình dao động (10) miền tần số có dạng: d2 U d Θ − A − µI ω + I11 ω2 U − I12 ω2 Θ = 12 12 dx2 dx2 d2 U dW d Θ − I12 ω2 U + I22 ω2 − A33 Θ = + A − µI ω + A33 22 22 2 dx dx dx d2 W dΘ A33 − µI11 ω2 − A33 + I11 ω2 W = dx dx A11 − µI11 ω2 − A12 − µI12 ω2 52 (13) Đạt, P T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Đưa vào ma trận vectơ: A11 − µI11 ω2 − A12 − µI12 ω2 ˜ = − A12 − µI12 ω2 A A22 − µI22 ω 0 A33 − µI11 ω2 −I12 ω2 0 I11 ω2 ˜ = −I12 ω2 I22 ω2 − A33 ˜ = 0 A33 ; B C ; −A33 0 I11 ω2 Phương trình (13) viết dạng ma trận: (14) U Θ {z} = W (15) ˜ {z} = {0} ˜ z′′ + B ˜ z′ + C A Chọn nghiệm phương trình (15) dạng {z0 } = {d} eλx dẫn đến (16) ˜ {d} = {0} ˜ +λ B ˜ + C λ2 A Phương trình (16) có nghiệm (17) ˜ =0 ˜ +λ B ˜ + C det λ2 A Từ ta nhận phương trình bậc ba η = λ2 : η3 + aη2 + bη + c = Ký hiệu η1 , η2 , η3 nghiệm phương trình bậc ba λ1,4 = ±k1 ; λ2,5 = ±k2 ; λ3,6 = ±k3 ; kj = √ η j; (18) j = 1, 2, Nghiệm tổng qt phương trình (15) có dạng {z0 (x, ω)} = phương trình thứ ba (16), ta có: α1C1 α2C2 α3C3 α4C4 α5C5 α6C6 C2 C3 C4 C5 C6 {z0 (x, ω)} = C1 β1C1 β2C2 β3C3 β4C4 β5C5 β6C6 {C} = (C1 , , C )T số độc lập α1 = A12 − µI12 ω2 k12 + I12 ω2 A11 − µI11 ω2 k12 + I11 ω2 = α4 ; β1 = d j eλ j x Từ phương trình j=1 k1 x k2 x k3 x −k1 x −k2 x −k3 x e e · e e e e A33 k1 = −β4 A33 − µI11 ω2 k12 + I11 ω2 T (19) (20) Tương tự, α2 = α5 ; β2 = −β5 ; α3 = α6 ; β3 = −β6 , phương trình (19) trở thành: (21) {U, Θ, W}T = [G(x, ω)] {C} α1 ek1 x α2 ek2 x α3 ek3 x α1 e−k1 x α2 e−k2 x α3 e−k3 x k1 x k2 x k3 x −k1 x −k2 x [G(x, ω)] = e e e e e e−k3 x β1 ek1 x β2 ek2 x β3 ek3 x −β1 e−k1 x −β2 e−k2 x −β3 e−k3 x 53 (22) Đạt, P T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng phần tử dầm nano FGM haichiều như Hình 2.phương Chuyển vị trình lực đầuởnút phần Tương tự Xét (19) tử có dạng: đó ầ đó ˆ e = {U1 , Θ1 , U W1 , U2 , Θ2 , W2 }T ; (23) {Pe } = {N1 , M1 , Q1 , N2 , M2 , Q2 }T U1 = z1 (0,ω); Θ1 =z2 (0, ω); W = z3 (0, ω) U2 = z1 (L, ω); Θ2 = z2 (L, ω); W2 = z3 (L, ω) 2 N1 =− A11 − µI11ω ∂xz1 − A12 − µI12ω ∂xz2 x=0; Q1 = − A33 − µI11ω ∂xz3 − A33z2 x=0 M1 = − A12 − µI12 ω2 ∂x z1 − A22 −µI22 ω2 ∂x z2 −µI11 ω2 z3 x=0 z 2 ; Q2 = A33 − µI11 ω ∂ x z3 − A N2 = A11 − µI11 ω ∂ x z1 − A12 − µI12 ω ∂ x z2 33 x=L x=L 2 − µI22 ω ∂ x z2 µI11 ω z3 ị −Chuyể ộ ầ ầ M2 = A12 − µI12 ω ∂x z1 −ềuA22như Hình ự ại đầ x=L (24) ạ y Q2 Q1 N1 L x i M1 1 N2 j W1 W2 M2 U1 U2 2 ự lực nútủcủa phầnầ tử dầm Timoshenko ầ shenko Hình Nút Thay ˆ (21) vào (24), ta ˆe = U [G(0, ω)] [G(L, ω)] · {C} ; {Pe } = −BF (G) x=0 BF (G) x=L với [BF ] toán tử ma trân A11 − µI11 ω2 ∂ x − A12 − µI12 ω2 ∂ x [BF ] = A12 − µI12 ω2 ∂ x − A22 − µI22 ω2 ∂ x −A33 −µI11 ω2 A33 − µI11 ω2 ∂ x Khử vectơ số {C} (25) dẫn đến {Pe (ω)} = −BF (G) x=0 BF (G) x=L · [G(0, ω)] [G(L, ω)] −1 ˆe = K ˆ e (ω) · U ˆe · U ˆ e ma trận độ cúng động lực phần tử dầm nano FGM K 54 (25) · {C} (26) (27) Đạt, P T., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Đối với kết cấu dầm, khung gồm số phần tử dầm nano FGM trên, cách cân ˆ nội lực nút kết cấu, ta thu ma trận độ cứng động lực K(ω) vectơ lực nút Pˆ ˆ vectơ chuyển vị nút kết cấu, phương trình chuyển động kết cấu tồn kết cấu Gọi U theo DSM ˆ ˆ = Pˆ K(ω) · U (28) Do đó, tần số dao động tự {ω} = {ω1 ω2 ωn } tìm thấy từ phương trình (29) ˆ det[K(ω)] =0 Kết tính tốn thảo luận 3.1 So sánh kết tính tốn với kết cơng bố Trong mục này, kết tính tốn số theo mơ hình DSM-NET đề xuất so sánh với kết công bố để kiểm tra độ tin cậy mơ hình So sánh thực tần số không nguyên λ1 = ω1 L2 ρt A/Et I dầm nano đồng không cục đơn giản theo bốn lý thuyết dầm không cục bộ: Euler-Bernoulli (EBT), Timoshenko (TBT), Reddy (RBT) Levinson (LBT) Các kết từ mơ hình DSM-NET đề xuất Bảng phù hợp với kết giải tích Reddy [8] với thông số không cục khác Bảng So sánh tần số không thứ nguyên λ1 = ω1 L2 ρt A/Et I dầm nano đơn giản với tham số không cục khác (tỷ số L/h = 10) µ (10−18 ) EBT [8] TBT [8] RBT [8] LBT [8] Kết 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 9,8696 9,6347 9,4159 9,2113 9,0195 8,8392 8,6693 8,5088 8,3569 8,2129 8,0761 9,7454 9,5135 9,2973 9,0953 8,9059 8,7279 8,5601 8,4017 8,2517 8,1095 7,9744 9,7454 9,5135 9,2974 9,0954 8,9060 8,7279 8,5602 8,4017 8,2517 8,1095 7,9744 9,7657 9,5333 9,3168 9,1144 8,9246 8,7462 8,5780 8,4193 8,2690 8,1265 7,9911 9,7451 9,5132 9,2971 9,0951 8,9057 8,7277 8,5599 8,4015 8,2515 8,1093 7,9742 So sánh thứ hai thực cho dầm nano FGM đơn giản với thơng số hình học vật liệu là: L = 10 nm, b = h = L/10 = nm ; Et = 70 Gpa, Gt = 26 Gpa, ρt = 2700 kg/m3 ; Eb = 393 Gpa, Gb = 157 Gpa, ρb = 3960 kg/m3 [30] Kết tính tốn cho tần số khơng thứ nguyên λi = ωi L2 ρt A/Et I, i = 1, 2, trục trung hòa (NA) trục mặt phẳng (MA) theo DSM-NET so sánh với kết Eltaher cs [30] sử dụng FEM với 100 phần tử thể Bảng Có thể thấy kết tốt, đặc biệt tính đến vị trí thực trục trung hịa sai số nhỏ 0,5% Các so sánh kết tính tốn với kết công bố cho thấy độ tin cậy mơ hình DSM-NET đề xuất 55 Đạt, P T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Bảng So sánh tần số không thứ nguyên dầm nano với kết Eltaher cs Frqs (λi ) µ (10−19 ) MA (Kết quả) NA (Kết quả) MA [30] NA [30] MA (Kết quả) NA (Kết quả) n=0 9,7075 37,0962 78,1547 9,7075 37,0962 78,1547 17,0278 64,1874 136,4469 9,7032 37,0382 77,9135 16,7305 64,2634 136,2956 9,7032 37,0382 77,9135 14,5998 51,8360 110,6544 13,6072 52,1179 110,1423 2,0 8,8713 27,7303 46,9034 17,1057 65,6963 139,3094 8,8713 27,7303 46,9034 16,7366 64,3491 136,6522 17,6526 67,2760 142,5265 17,5472 67,3039 142,4755 15,5611 48,0080 81,9216 8,8674 27,6870 46,7622 15,2894 48,0385 81,7958 8,8674 27,6870 46,7622 13,3416 38,8463 66,5345 12,4351 38,9595 66,1005 4,0 8,2196 23,0989 36,6272 15,6323 49,1097 83,6044 8,2196 23,0989 36,6272 15,2950 48,1026 82,0098 16,1321 50,3002 85,5480 16,0358 50,3114 85,5045 14,4179 39,9980 63,9788 8,2160 23,0628 36,5169 14,1662 40,0154 63,8749 17,5542 67,4009 142,8763 13,5863 42,3969 71,5567 12,4377 38,9905 66,2061 16,1613 50,7383 86,3037 16,0421 50,3839 85,7451 n = 0,5 8,2160 23,0628 36,5169 12,3611 32,3883 51,9778 11,5216 32,4527 51,6184 n=5 17,6845 67,8750 143,8072 n = 10 n=0 13,6100 52,1595 110,3186 n = 0,5 n=5 14,8669 52,7163 119,2343 n = 10 n=0 NA [30] n = 0,5 n=5 MA [30] 12,5883 35,3159 55,8791 11,5241 32,4785 51,7008 n = 10 14,4840 40,9076 65,2873 14,1714 40,0687 64,0420 14,9470 41,9022 66,8071 h1 h b 14,8578 41,9086 66,7711 14,9741 42,2642 67,3952 14,8637 41,9690 66,6590 3.2 Dao động tự dầm bậc nano FGM h b1 h h L L1 L1 L L (a) Chiều ề rộng ộ ụ ề L ộ ầ ầ ậ ầ thay đổ ề o ạ (b)ậ Chiều cao thá đổ ọạ Hình Dầm nano FGM thay đổi dạng bậc ề ậ ậ ệu sau: ẽ ế ả đượ ứậ ệu đầ ố ầ ố ọ sau: xét đế ụ số hìnhhọc ện biên: đơnsau: giả L = 10 nm, Trong mục vớicócác thông vàđiềvật liệu hai đầ – ố ự trườ ợ 3 ế ả; đượ ầ kg/m ố , vt =ứ vứb = 0,3, n đầ b = hđượ = nm, Et = ứ70 Gpa, ρt = 2700 kg/m Eb = 393 Gpa, ρb = 3960 = ầ ề ậ ạ ị /L = 0, 0,1, , 1,0 đó 0,5 [30] (Hình Cácxét kếtđế ộđược số không thứ nguyên đầu được nghiên /L cứu ứ 4) có ụầ tính tốn cáctầnđiề ện đơn giả = tương tươngcho ứớ ba ộ ầbiên: tiên λi = ωi L2 ρt A/Et I; trục trung ầ i = 1, 2, ềcó ợxét đến ậ ạ hịaị với điều kiện biên: đơn giản (S-S), hai đầứ – ầ ố ự/b = tương ứ trườ ợ ầ ứ b /bđầu = tương ộ (C-S công xôn (CF), ngàmđóhai (CC) ngàm – gối tựa ) với trường hợp nghiên ộcứu: ầ ề ậ ạ ị /L = 0, 0,1, , 1,0 ầ ề ậ ạ ị ỷ ệ ề ộ ậ ạộ ị56 ớtương ỷ ệ ứ /L = tương ứ ầ ầ ộ ầ ể ệ ự thay đổ ầ ố ứ đầ ủ ầ ậ ầ ềậ ộ ố ậ ạệ ị ị ụ ộ và điề ể ệ ự thay đổ ủ đó b /b = tươngầ ứ ố đầ ộ ầ ậ ạ/b ị= tương ứ ủ ầ ỷ ệ bướ ố ộ ầ ụ ộ và điề ệ ẽ ậ ầ ề ậ ạ ị ỷ ệ ạ ị ậ ầ ảnh hưở đế ộ ầ ố ứ ấ đượ ụ ầứ ậ FGM này, dầm bậc nano ẽ đó ố ố ầ ầ ể ể ớ ớ ụ ụợ tăng (Hình ự thay ố ự thay đổđổủ ủầ ầ ố bả bả ứ ứợ tăng (Hình ỉ ớ ỉ ớầ ự thay đổ ủ ầ ố bả ứ ỉ ốỉ ốầ ự thay đổ ủ ầ ố bả ứ ớớ ố ố ụ ụ ộ ộ ớ ố ố ụ ụ ộ ộ ậtăng tăng ốbả bả lên,lên, cáccác bả ứ ỷ ỷỷệ ỷệệậệậậtăng lên, tầtầtầtầốốcơ ứứ ứứ ứ tăng lên, ố bả ột xu hướng tăng tầ ố điề ột xu hướng tăng tầ ố điề ệ ột ột xuxu hướng tăng khikhi cáccác tầ tầố điề điề ệ ệệ hướng tăng ố ầể ầ ể ể ứ điề điềệ ứ điề điề ệ ảả ảả Đạt, P T., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (a) (b) (c) ( (d) (c) (d) (e) (f) 57 ệ so so ệ ệ so so ệ ể ệ ệ Đạt, P T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (g) (h) (i) (j) (k) (l) ố thứ nguyên ứ nguyên đầcủa dầm ậsố phi địa ốố Hình Ba tầnầ sốầớkhơng đầu đầ tiên ứ ngun ủ ủFGM ầ ầ bậc nano ậậvới vịớớtrí bậc,ịịtham ậ địa phương điềbiên phương điều kiện phiphi địa phương vàvà điề ệ ệkhác 58 Đạt, P T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng A1) Dầm nano có chiều cao bậc (h1 /h = 0,8) vị trí khác nhau: L1 /L = 0, 0,1, , 1,0 L1 /L = tương ứng h1 = 0,8h toàn dầm, L1 /L = tương ứng h1 = h tồn dầm B1) Dầm nano có chiều rộng bậc (b1 /b = 0,8) vị trí khác nhau: L1 /L = 0, 0,1, , 1,0 b1 /b = tương ứng b1 = 0,8b toàn dầm, b1 /b = tương ứng b1 = b toàn dầm A2) Dầm nano có chiều cao bậc vị trí L1 /L = 0,5 với tỷ lệ khác nhau: h1 /h = 1,0, 0,8, , 0,2; B2) Dầm nano có chiều rộng bậc vị trí L1 /L = 0,5 với tỷ lệ khác nhau: b1 /b = 1,0, 0,8, , 0,2 Hình thể thay đổi ba tần số không thứ nguyên dầm bậc nano FGM với vị trí bậc, tham số khơng cục điều kiện biên khác Hình thể thay đổi ba tần số dầm nano FGM có bậc vị trí L1 /L = 0,5 với tỷ lệ bước, tham số không cục điều kiện biên khác Từ hình vẽ ta có nhận xét sau: a) Tồn vị trí bậc dầm FGM có ảnh hưởng lớn đến tần số khơng thứ nguyên định Vị trí gọi vị trí tới hạn tần số cho trước Các vị trí điểm tới hạn tính từ đầu bên trái dầm nano 0,5L tần số ứng với điều kiện biên S-S (Hình 4(a)) C-F (Hình 4(d)); 0,2L với điều kiện biên C-C (Hình 4(g)) C-S (Hình 4(j)); 0,2L cho tần số thứ hai với điều kiện biên C-F (Hình 4(e)), 0,1L với điều kiện biên C-C (Hình 4(h)) C-S (Hình 4(k)) b) Tần số dầm bậc nano FGM nhạy cảm với vị trí bậc, tỷ lệ bậc điều kiện biên Độ lệch lớn tần số 3,5% (Hình 4(a)) 78,4% (Hình 5(a)) cho điều kiện biên S-S, 11,9% (Hình 4(g)) 32,89% (Hình 5(g)) cho điều kiện biên C-C, 12,99% (Hình 4(j)) 5,1% (Hình 5(j)) cho điều kiện biên C-S, lên đến 33,49% (Hình 4(d)) 243,1% (Hình 5(d)) cho điều kiện biên CF c) Các tần số không thứ nguyên ứng với điều kiện biên C-C cao sau C-S, S-S C-F hầu hết trường hợp d) Sự thay đổi tần số không thứ nguyên độ cao bậc gây vị trí khác rõ rệt so với độ rộng bậc gây e) Khi tham số khơng cục µ tăng, độ lệch lớn tần số không thứ nguyên ứng với điều kiện biên S-S, C-C C-S giảm độ lệch lớn tần số ứng với dầm cơng xơn tăng lên đến 35,2% (Hình 4(d)) 271,22% (Hình 5(d)) Khoảng cách hai tần số liên tiếp giảm xuống tham số không cục tăng f) Khi tỷ lệ bước tăng lên, tần số không thứ nguyên ứng với điều kiện biên S-S, C-C C-S tăng tần số không thứ nguyên ứng với điều kiện biên C-F giảm Đây gọi “nghịch lý không cục bộ”, số tác giả đề cập đến cho trường hợp vật liệu đồng [14, 38–40] Hình cho thấy thay đổi tần số không thứ nguyên dầm bậc nano FGM vị trí bậc dọc dầm với tham số không cục số phần thể tích khác với điều kiện biên S-S (Hình 6(a)) C-F (Hình 6(b)) Hình cho thấy thay đổi tần số không thứ nguyên dầm bậc nano FGM vị trí L1 /L = 0,5 với tỷ lệ bậc, tham số khơng cục số phần thể tích với điều kiện biên S-S (Hình 7(a)) C-F (Hình 7(b)) Từ đồ thị ta có nhận xét sau: a) Các tần số không thứ nguyên dầm nano bậc ứng với điều kiện biên S-S (và C-C, C-S) tăng lên số phần thể tích tăng tham số khơng cục giảm (Hình 6(a), 7(a)) Ngược lại, tần số khơng thứ nguyên dầm nano bậc ứng với điều kiện biên C-F tăng số phần thể tích tham số khơng cục tăng (Hình 6(b), 7(b)) b) Sự thay đổi tần số không thứ nguyên số phần thể tích gây rõ rệt so với tham số không cục gây c) Khi tỷ lệ bậc tăng lên, tần số không thứ nguyên ứng với điều kiện biên S-S theo xu hướng tăng tần số điều kiện biên C-F giảm 59 ầ ầầ ầ ố ốốố đầ ủủủủ ứứứnguyên đầ nguyên đầ ứnguyên nguyên đầ phi địa phương và điề phi địa phương phi địa phương và điề phi địa phươngvà vàđiề điề ầầầầ ệệệệ ậậậậ ớớ Đạt, P T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (a) (b) (c) (d) (d) (e) (f) 60 ị ịị ậ ậậ ố ốố Đạt, P T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (g) (h) (i) (j) (k) (l) ố thứ nguyên đầtiên ủ ầFGM ầ bậc ạ ị Lị1 /L = 0,5 với tỷớ ớlệỷbậc, ỷệlệ ứ ứ đầuđầu ậ ậvị ạ trí Hình Ba tầnầ sốầớkhơng tiên củacủdầm ậ ố phi địa phương và điề ệ ậ tham số ốphi phiđịađịa phương điềkiện ệbiên khác phương vàvà điều 61 ầ ố ậ ứ đầ ủ ầ Đạt, ệP ố phi địa phương và điề ậ ạ ị ỷ ệ T., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (a) S-S ầ ố phương ứ đầ ỉ ố ầ (b) C-F ể ủ ầ ậ ới điề ị ệ ậ ố phi đị Hình Tần số khơng thứ ngun dầm FGM bậc với vị trí bậc, tham số phi địa phương số ậphần thểị tích với điều kiện biên ầ ố ứ đầ ủ ầ ậ khác ố phi đị phương ỉ ố ầ ể ới điề ệ (a) S-S (b) C-F ầ ố nguyên đầ ầ ậ ỷ ệ ậ tham sớ phi đị Hình Tần số khơng thứ nguyên dầm FGM bậc với ứcác tỷể lệ bậc,ủ tham số phi địa phương phương và ố ầ ới điề ệ số phần thể tích khác nhau4 KẾT với điều kiện biên a) S-S, b) C-F LUẬN Kết luận Trong bài báo này, tác giả phát triển để phân tích dao đợng tự dầm bậc nano FGM dựa NET, gọi là mơ hình DSM NET Dầm bậc nano mơ hình hóa theo lý thuyết dầm Timoshenko với phương trình chuyển đợng rút từ nguyên lý , tác giả tìm tần số và dạng dao động riêng kết cấu GM dạng dầm, khung có xét đến vị trí thực trục trung hòa điều kiện biên khác So sánh kết quả tính tốn DSM NET với kết quả công bố khẳng định đợ tin cậy mơ hình Đây là kết quả mới, nhóm tác giả phát triển thời gian gần đ Từ đó, tác giả tiến hành khảo sát số nhằm đánh giá ảnh hưởng tham sớ phân bớ vật liệu, hình học, khơng cục bộ và điều kiện biên đối với dao động tự dầm bậc Các tác giả vị trí tới hạn tại đó sự thay đổi bậc có ảnh hưởng lớn tới một tần số nhất định, đặc biệt tần số không thứ nguyên bản và sự thay đổi dầm bậc theo độ cao là rõ rệt dầm bậc theo bề rộng Đồng thời sự thay đổi số ầ ể ệ so vớ ố ụ ộ ảnh hưởng tham số không cục bộ đối với tần số cao lớn nhiều so với tần số thấp tác giả “nghịch lý không cục bộ” xuất hiện đối với tần số đầu tiên dầm công xôn Nghiên cứu này à bước đầu cho nghiên cứu kết cấu nano FGM khác dầm liên tục khung nano nhiều bậc phức tạp Trong báo này, tác giả phát triển mơ hình DSM để phân tích dao động tự dầm bậc nano FGM dựa NET, gọi mơ hình DSM-NET Dầm bậc nano FGM mơ hình hóa theo lý thuyết dầm Timoshenko với phương trình chuyển động rút từ nguyên lý Hamilton Dùng DSM-NET, tác giả tìm tần số dạng dao động riêng kết cấu nano FGM dạng dầm, khung có xét đến vị trí thực trục trung hịa cho điều kiện biên khác So sánh kết tính tốn DSM-NET với kết công bố khẳng định độ tin cậy mơ hình Đây kết mới, nhóm tác giả phát triển thời gian gần cảmnhằm ơn Từ đó, tác giả tiến hành khảo sátLờisố đánh giá ảnh hưởng tham số phân bố Nghiên cứu này Trường Đại học Xây dựng tài trợ theo đề tài mã sớ vật liệu, hình học, khơng cục điều kiện biên dao động tự dầm bậc nano FGM Các tác giả vị trí tới hạn thay đổi bậc có ảnh hưởng lớn tới tần số định, đặc biệt tần số không thứ nguyên bản, thay đổi dầm bậc theo độ cao rõ rệt dầm bậc theo bề rộng Đồng thời thay đổi số phần thể tích gây rõ rệt so với tham số không cục bộ, ảnh hưởng tham số không cục tần số cao lớn nhiều so 62 TĐ Đạt, P T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng với tần số thấp Ngoài ra, tác giả “nghịch lý không cục bộ” xuất tần số dầm công xôn Nghiên cứu bước đầu cho nghiên cứu kết cấu nano FGM khác dầm liên tục, khung nano nhiều bậc phức tạp Lời cảm ơn Nghiên cứu Trường Đại học Xây dựng tài trợ theo đề tài mã số 35-2020/KHXD-TĐ Tài liệu tham khảo [1] Shen, H.-S (2016) Functionally graded materials: nonlinear analysis of plates and shells CRC press [2] Mahamood, R M., Akinlabi, E T (2017) Functionally Graded Materials Springer International Publishing [3] Eringen, A C (2002) Nonlocal continuum field theories Springer Science & Business Media [4] Karliˇci´c, D., Murmu, T., Adhikari, S., McCarthy, M (2015) Non-Local Structural Mechanics John Wiley & Sons, Inc [5] Polizzotto, C (2001) Nonlocal elasticity and related variational principles International Journal of Solids and Structures, 38(42-43):7359–7380 [6] Eltaher, M A., Khater, M E., Emam, S A (2016) A review on nonlocal elastic models for bending, buckling, vibrations, and wave propagation of nanoscale beams Applied Mathematical Modelling, 40 (5-6):4109–4128 [7] Salehipour, H., Shahidi, A R., Nahvi, H (2015) Modified nonlocal elasticity theory for functionally graded materials International Journal of Engineering Science, 90:44–57 [8] Reddy, J N (2007) Nonlocal theories for bending, buckling and vibration of beams International Journal of Engineering Science, 45(2-8):288–307 [9] Wang, C M., Zhang, Y Y., He, X Q (2007) Vibration of nonlocal Timoshenko beams Nanotechnology, 18(10):105401 [10] Li, C., Lim, C W., Yu, J L., Zeng, Q C (2011) Analytical solutions for vibration of simply supported nonlocal nanobeams with an axial force International Journal of Structural Stability and Dynamics, 11 (02):257–271 [11] Aydogdu, M (2009) A general nonlocal beam theory: Its application to nanobeam bending, buckling and vibration Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures, 41(9):1651–1655 [12] Wang, C M., Kitipornchai, S., Lim, C W., Eisenberger, M (2008) Beam bending solutions based on nonlocal Timoshenko beam theory Journal of Engineering Mechanics, 134(6):475–481 [13] Chakraverty, S., Behera, L (2015) Free vibration of non-uniform nanobeams using Rayleigh–Ritz method Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures, 67:38–46 [14] Eltaher, M A., Alshorbagy, A E., Mahmoud, F F (2013) Vibration analysis of Euler–Bernoulli nanobeams by using finite element method Applied Mathematical Modelling, 37(7):4787–4797 [15] Eltaher, M A., Mahmoud, F F., Assie, A E., Meletis, E I (2013) Coupling effects of nonlocal and surface energy on vibration analysis of nanobeams Applied Mathematics and Computation, 224:760– 774 [16] Pradhan, S C (2012) Nonlocal finite element analysis and small scale effects of CNTs with Timoshenko beam theory Finite Elements in Analysis and Design, 50:8–20 [17] de Sciarra, F M (2014) Finite element modelling of nonlocal beams Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures, 59:144–149 [18] Tuna, M., Kirca, M (2017) Bending, buckling and free vibration analysis of Euler-Bernoulli nanobeams using Eringen’s nonlocal integral model via finite element method Composite Structures, 179:269–284 [19] Alotta, G., Failla, G., Zingales, M (2014) Finite element method for a nonlocal Timoshenko beam model Finite Elements in Analysis and Design, 89:77–92 [20] Ebrahimi, F., Nasirzadeh, P (2015) A nonlocal Timoshenko beam theory for vibration analysis of thick nanobeams using differential transform method Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 1041 63 Đạt, P T., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng [21] Jena, S K., Chakraverty, S (2018) Free vibration analysis of variable cross-section single layered graphene nano-ribbons (SLGNRs) using differential quadrature method Frontiers in Built Environment, [22] S¸ims¸ek, M., Yurtcu, H H (2013) Analytical solutions for bending and buckling of functionally graded nanobeams based on the nonlocal Timoshenko beam theory Composite Structures, 97:378–386 [23] Rahmani, O., Pedram, O (2014) Analysis and modeling the size effect on vibration of functionally graded nanobeams based on nonlocal Timoshenko beam theory International Journal of Engineering Science, 77:55–70 [24] Mechab, I., Meiche, N E., Bernard, F (2016) Free vibration analysis of higher-order shear elasticity nanocomposite beams with consideration of nonlocal elasticity and Poisson effect Journal of Nanomechanics and Micromechanics, 6(3):04016006 [25] Uymaz, B (2013) Forced vibration analysis of functionally graded beams using nonlocal elasticity Composite Structures, 105:227–239 [26] Ebrahimi, F., Salari, E (2015) A semi-analytical method for vibrational and buckling analysis of functionally graded nanobeams considering the physical neutral axis position CMES: Comput Model Eng Sci, 105(2):151–181 [27] Narendar, S., Gopalakrishnan, S (2011) Spectral finite element formulation for nanorods via nonlocal continuum mechanics Journal of Applied Mechanics, 78(6) [28] Eltaher, M A., Alshorbagy, A E., Mahmoud, F F (2013) Determination of neutral axis position and its effect on natural frequencies of functionally graded macro/nanobeams Composite Structures, 99: 193–201 [29] Eltaher, M A., Alshorbagy, A E., Mahmoud, F F (2013) Determination of neutral axis position and its effect on natural frequencies of functionally graded macro/nanobeams Composite Structures, 99: 193–201 [30] Eltaher, M A., Abdelrahman, A A., Al-Nabawy, A., Khater, M., Mansour, A (2014) Vibration of nonlinear graduation of nano-Timoshenko beam considering the neutral axis position Applied Mathematics and Computation, 235:512–529 [31] Eltaher, M A., Khairy, A., Sadoun, A M., Omar, F.-A (2014) Static and buckling analysis of functionally graded Timoshenko nanobeams Applied Mathematics and Computation, 229:283–295 [32] Aria, A I., Friswell, M I (2019) A nonlocal finite element model for buckling and vibration of functionally graded nanobeams Composites Part B: Engineering, 166:233–246 [33] Trinh, L C., Vo, T P., Thai, H.-T., Nguyen, T.-K (2018) Size-dependent vibration of bi-directional functionally graded microbeams with arbitrary boundary conditions Composites Part B: Engineering, 134:225–245 [34] Su, H., Banerjee, J R (2015) Development of dynamic stiffness method for free vibration of functionally graded Timoshenko beams Computers & Structures, 147:107–116 [35] Lien, T V., Duc, N T., Khiem, N T (2019) Free and forced vibration analysis of multiple cracked FGM multi span continuous beams using dynamic stiffness method Latin American Journal of Solids and Structures, 16(2) [36] Lien, T V., Khiem, N T., Duc, N T (2016) Free vibration analysis of functionally graded Timoshenko beam using dynamic stiffness method Journal of Science and Technology in Civil Engineering (STCE) NUCE, 10(5):19–28 [37] Adhikari, S., Murmu, T., McCarthy, M A (2013) Dynamic finite element analysis of axially vibrating nonlocal rods Finite Elements in Analysis and Design, 63:42–50 [38] Taima, M S., El-Sayed, T A., Farghaly, S H (2020) Free vibration analysis of multistepped nonlocal Bernoulli–Euler beams using dynamic stiffness matrix method Journal of Vibration and Control, 27 (7-8):774–789 [39] Li, X.-F., Wang, B.-L (2009) Vibrational modes of Timoshenko beams at small scales Applied Physics Letters, 94(10):101903 [40] Ghavanloo, E., Rafii-Tabar, H., Fazelzadeh, S A (2019) Computational Continuum Mechanics of Nanoscopic Structures Springer International Publishing 64 ... giả phát triển mô hình DSM để phân tích dao động tự dầm bậc nano FGM dựa NET, gọi mô hình DSM-NET Dầm bậc nano FGM mơ hình hóa theo lý thuyết dầm Timoshenko với phương trình chuyển động rút từ nguyên... toán dao động dầm nano FGM theo lý thuyết đàn hồi không cục Trong báo này, tác giả phát triển DSM để phân tích dao động tự dầm bậc nano FGM sở lý thuyết dầm Timoshenko lý thuyết đàn hồi không cục. .. Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng số dao động không thứ nguyên dầmCỦA nanoDẦM với điều kiện biên khác BẰNG VẬT LIỆU FGM Mơ hình DSM-NET liệu FGM Đơ? ?dầm Timoshenko ộ ầ FGMvật (Hình 1), đặ sau