Ứng xử động của dầm sandwich lõi từ vật liệu cơ tính biến thiên hai chiều chịu lực di động

Bài viết phân tích dao động của dầm sandwich lõi làm từ vật liệu cơ tính biến thiên hai chiều (2D-FGM) chịu lực di động. Mặt đáy của dầm hoàn toàn bằng kim loại, mặt trên làm bằng gốm. Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao, sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp phương pháp Newmark để tính đáp ứng động cho dầm.

KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG ỨNG XỬ ĐỘNG CỦA DẦM SANDWICH LÕI TỪ VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN HAI CHIỀU CHỊU LỰC DI ĐỘNG TS LÊ THỊ HÀ Đại học Giao thơng vận tải Tóm tắt: Bài báo phân tích dao động dầm sandwich lõi làm từ vật liệu tính biến thiên hai chiều (2D-FGM) chịu lực di động Mặt đáy dầm nhiệt theo nhiều hướng, việc nghiên cứu kết cấu dầm với tính chất vật liệu biến đổi theo hai ba hướng không gian quan trọng Đối hoàn toàn kim loại, mặt làm gốm Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao, sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp phương pháp Newmark để tính đáp ứng động cho dầm Ngồi ra, báo nghiên cứu ảnh hưởng tham số vật liệu, tốc độ lực di động đến dao động với dầm sandwich cho vật liệu FGM thay đổi theo hướng không gian, số nhà khoa học nước quan tâm nghiên cứu Chẳng hạn, sở lý thuyết dầm bậc ba cổ điển, Võ Phương Thức cộng [1] xây dựng phương trình chuyển động cho dầm sandwich FGM có lõi dầm Kết số báo minh họa ảnh hưởng tham số vật liệu, tỉ số hình học đến đáp ứng tần số tham số động cho dầm vật liệu nhất, lớp mặt mặt FG hoàn hảo sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính tần số dao động riêng dạng mode dao động dầm Bằng lý thuyết dầm bậc ba cải tiến, Nguyễn cộng [2] phân tích dao động ổn định dầm sandwich với điều kiện Abstract: This paper analysis vibration of sandwich beams with bi-directional functionally graded core excited by a moving concentrated load The lower face is made of isotropic metal, whereas the upper face is isotropic ceramic Using the thirdorder shear deformation theory,a finite element formulation is derived and used in combination with the Newmark method in computing the vibration response A parametric study is carried out to highlight the effect of the material distribution and moving load speed on the vibration characteristics of the beams The numerical results show that the two grading indexes which govern the variation of the effective material properties have opposite effect on the natural frequencies, dynamic magnification factor.The influence of the aspect ratio on the dynamic behavior of the beams is also examined and discussed Giới thiệu Kết cấu dầm làm từ vật liệu FGM với khả kháng nhiệt tốt ngày ứng dụng rộng rãi ngành công nghiệp đại Các toán tĩnh học động học kết cấu dầm FGM nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu chủ yếu xét đến kết cấu với tính chất vật liệu biến đổi theo hướng không gian Trong thực tế, kết cấu dầm chống lại tác dụng Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 biên khác Tác giả rằng, tần số dao động tự chịu ảnh hưởng nhiều thay đổi số phân bổ vật liệu ảnh hưởng thay đổi chiều cao lõi dầm… Ngoài ra, Volkan and Muhittin [3] phân tích dao động tự ổn định dầm sandwich phương pháp phần tử hữu hạn nhiều bậc (multi-layer finite element) Với lý thuyết dầm bậc cao Reddy, Lê Thị Hà Trần Thị Trâm [4] tính tốn đáp ứng động dầm sandwich lớp mặt mặt FGM biến thiên chiều chịu lực di động Bài báo nghiên cứu ảnh hưởng tham số vật liệu FGM có lỗ rỗng biến thiên theo chiều dày dầm, ảnh hưởng nhiệt độ, tỉ số chiều cao lõi dầm chiều cao dầm đến đáp ứng động lực học dầm Theo tác giả biết có số tác giả nghiên cứu kết cấu dầm FGM với tính chất vật liệu thay đổi theo hai hướng chiều dài chiều dày dầm, gọi tắt dầm 2D- FGM Điển hình, Simsek [5] nghiên cứu ổn định dầm 2D Timoshenko FGM, tính chất vật liệu thay đổi theo chiều dày chiều dài dầm quy luật mũ Tải trọng ổn định tới hạn dầm 2D- FG thu phương pháp Ritz Tác giả ứng xử ổn định dầm 2D- FG chịu ảnh hưởng lớn tham số vật liệu Dao 23 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG động tự cưỡng dầm 2D Timoshenko FG tác động tải trọng di động nghiên cứu Simsek [6], phương trình chuyển động giải với trợ giúp phương pháp tích phân Newmark-β ẩn, kết nhận đáp ứng tự cưỡng chịu ảnh hưởng tham số vật liệu Gần đây, phương pháp phần tử hữu hạn, Nguyễn cộng [6] nghiên cứu dao động cưỡng dầm Timoshenko 2D-FGM chịu tác dụng lực di động Trong đó, dầm cấu tạo bốn vật liệu thành phần, tác giả nghiên cứu ảnh hưởng phân bố vật liệu, tốc độ lực di động đến dao động dầm Trong báo này, tác giả phân tích đáp ứng động dầm sandwich có lõi làm vật liệu 2DFGM chịu lực di động, lớp bề mặt làm từ vật liệu gốm lớp hoàn toàn vật liệu kim loại Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao Shi [7], báo nghiên cứu ảnh hưởng tham số phân bố vật liệu theo chiều dài dày dầm, ảnh hưởng tốc độ lực di động, ảnh hưởng tỉ số chiều cao lõi dầm chiều cao dầm đến dao động dầm khảo sát chi tiết báo Dầm sandwich chịu tác dụng lực di động Hình minh họa dầm sandwich có lõi làm từ vật liệu 2D-FGM lớp bề mặt dầm vật liệu dầm chịu tác dụng lực di động với vận tốc không đổi Giả thiết lực F đại lượng khơng đổi Trên hình vẽ, trục 0x chọn dầm trục 0z vng góc với mặt phẳng dầm Trong báo này, giả thiết dầm có chiều dài L, chiều cao h, chiều cao lõi dầm hc, lõi dầm luôn đối xứng qua trục dầm Lực di chuyển dầm bám dính với dầm suốt q trình di chuyển từ đầu dầm đến cuối dầm lực chuyển động với tốc độ không thay đổi suốt chiều dài dầm F Gốm x z 2D- FGM x hc Kim loại Hình Dầm sandwich có lõi làm vật liệu 2D-FGM chịu lực F di động Thể tích vật liệu dầm theo lớp giả thiết theo quy luật số mũ:  Vc ( x, z )   n m    x 1 z  Vc ( x, z )  1       l   hc    Vc1 ( x, z )   đó: - thể tích vật liệu gốm lớp dầm (k=1, 2, 3), m,n số mũ vật liệu phân bố theo chiều dài chiều dày dầm, x - biến minh họa cho vật liệu thay đổi theo trục x z - biến minh họa vật liệu thay đổi theo trục z 24 h h z c ;   2  h h  z c ; c   2 (1)  h h  z c ; c   2  Tính chất hiệu dụng P (mơ đun đàn hồi, mô đun trượt, mật độ khối,…) cho dầm sandwich có lõi làm từ vật liệu 2D- FGM viết sau: Pk ( x, z )  ( Pc  Pm )Vck ( x, z )  Pm (2) Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 KẾT CẤU - CƠNG NGHỆ XÂY DỰNG đó: Pc, Pm - tính chất hiệu dụng gốm k kim loại, P - tính chất hiệu dụng cho tầng thứ k dầm Dựa lý thuyết biến dạng trượt bậc ba Shi [8], chuyển vị dọc trục u(x,z,t) chuyển vị ngang w(x, z, t) điểm đó, cho sau:  u ( x, z, t )  u  z (  w0, x )  z    w( x, z, t )  w0 Từ đó, trường ứng suất tiếp đó: t - biến thời gian, , u0(x, t) w0(x, t) tương ứng chuyển vị dọc trục chuyển vị ngang điểm nằm trục dầm, γ0 - góc quay sinh trượt thiết diện ngang dầm, z - khoảng cách từ điểm đến trục dầm Biến dạng dọc trục biến dạng trượt , tính dựa trường chuyển vị (3)  xx  u0, x  z  0, x  w0, xx    z 3 0, x (3)  xz    3 z 2 ứng suất pháp (4) tính tốn:  x  E ( x, z ). xx  E ( x, z )[u0, x  z ( 0, x  w0, xx )   z 3 0, x ]  xz  G ( x, z ) xz  E ( x, z )   3 z 2  2(1   ) (5) đó: E(x,z) G(x,z) tương ứng mô đun đàn hồi mô đun trượt phụ thuộc vào hai biến x, z, biểu thức cho hàm lượng biến dạng đàn hồi cho dầm sandwich lõi 2D- FGM viết sau: 2 L   A11u0, x  A12u0, x ( 0, x  w0, xx )  A22 ( 0, x  w0, xx ) U    dx  2 A34 u0, x 0, x  2 A44 0, x ( 0, x  w0, xx )   A66 0,2 x  B44 02  (6) đó, A11, A12, A22, A34, A44, A66 B44 độ cứng dầm định nghĩa sau: ( A11 , A12 , A22 , A34 , A44 , A66 )( x, z )   E k ( x, z )(1, z, z , z , z , z )dA A (7) B44 ( x, z )   G ( x, z )(1  6 z  9 z )dA k 2 A Trong biểu thức (7), A diện tích thiết diện ngang dầm, Ek(x,z), Gk(x,z) tương ứng mô đun đàn hồi mô đun trượt tầng thứ k dầm sandwich Từ trường chuyển vị (3), biểu thức động cho dầm sandwich xây dựng đây: 2 2 L  I11 (u0  w0 )  I 22 (  w0, x )   I 66  I12u0 (  w0, x )  T   dx  2 I 34u0  2 I 44 (  wo, x )  (8) Trong biểu thức (8), I11, I12, I22, I34, I44, I66 mô-men khối lượng định nghĩa sau: ( I11 , I12 , I 22 , I 34 , I 44 , I 66 )( x, z )    k ( x, z )(1, z, z , z , z , z )dA (9) A đó: - mật độ khối lớp thứ k dầm sandwich có lõi vật liệu 2D- FGM Thế lực di động (V) viết sau: V   Fw( x) ( x  vti ) (10) đó: δ(.) - hàm Dirac delta x - tọa độ đo từ đầu trái đến đầu phải dầm Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, ta chia dầm thành nhiều phần tử, phần tử chiều dàilvà phần tử có nút, nút có bậc tự Từ chuyển Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 vị góc trượt ngang nội suy từ chuyển vị nút sau: u0 = Nu.d, w0 = Nw.d, γ0 = Nγ.d (11) đó: Nu, Nw Nγ tương ứng kí hiệu ma trận hàm dạng cho u0,w0 γ0 Ở hàm dạng tuyến tính sử dụng cho chuyển vị dọc trục u0(x, t) góc trượt ngang γ0, hàm dạng Hermit cho chuyển vị ngang Ngoài ra, d vec tơ chuyển vị nút cho phần tử dầm khởi tạo từ nút phần tử dầm dựa trường chuyển vị (3) Sử dụng 25 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG hàm nội suy, biểu thức lượng biến dạng đàn hồi viết dạng: U  dT kd (12) Trên biểu thức (12), k ma trận độ cứng phần tử biểu diễn dạng: k = k11 + k12 + k22 + k34 + k44 + k66 + ks (13) và: l l 0 k11   N uT, x A11 N u , x dx; k12   N uT, x A12 ( N , x  N w, xx )dx; l l k 22   ( N , x  N w, xx ) A22 ( N , x  N w, xx )dx; k 34  2  N uT, x A34 N  , x dx; T 0 l l 0 k 44  2  NT, x A44 ( N , x  N w, xx )dx; k 66    NT, x A66 N , x dx; (14) l k s   NT B44 N dx  d   d  Tương tự, động dầm viết dạng: T    m   t   t  T đó: m - ma trận khối lượng phần tử quán biểu diễn sau: m = m11 + m12 + m22 + m34 + m44 + m66 l (15) (16) l m11    N  N I11  Nu  N w  dx; m12  2 Nu I12  N  N w, x  dx; T u T w 0 l l m 22    N  N w, x  I 22  N y  N w, x  dx; m34  2  NuT I 34 N dx; T (17) l l m 44  2  NT, x I 44  N y  N w, x  dx; m 66    NT I 66 N dx; Các ma trận độ cứng ma trận khối lượng phần tử ghép nối lại để tạo thành ma trận độ cứng ma trận khối lượng tổng thể cho dầm Phương trình vi phân chuyển động cho dầm sandwich theo ngôn ngữ phần tử hữu hạn thiết lập: MD  KD  Fex (18) đó: D,M K tương ứng véc-tơ chuyển vị nút, ma trận khối lượng ma trận độ cứng tổng thể kết cấu dầm, (18) ma trận cản bỏ qua Sử dụng phương pháp tích phân trực tiếp Newmark giải đáp ứng động cho dầm ex F (18) vectơ lực nút dầm Kết số Cho dầm sandwich lõi FGM gồm hai pha, gốm (alumina-Al2O3, Ec= 380 Gpa, ρc = 3960 kg/m ,ν=0.3) kim loại (nhôm-Al, Em= 70 Gpa, ρm= 2702 26 kg/m ,ν=0.3) Tham số tần số báo chuẩn hóa theo cơng thức:  1L2 m h Em (19) Trong công thức (19), µ - tham số tần số dầm, ω1 - tần số dao động dầm Tham số động học cho dầm chuẩn hóa theo công thức (20) như:  w ( L / 2, t )   Dd  max  w st   (20) Trong (20), Wst = F L3/48EmI độ võng tĩnh dầm thép chịu tác dụng lực F dầm Tần số tham số động lực học bảng tính tốn cho m=0 sử dụng thơng số hình học vật liệu theo tài liệu so sánh Từ bảng 2, kết mà báo thu hoàn toàn đáng tin cậy Các kết tính tốn cho dầm sandwich cho tỉ số L/h=20 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Bảng So sánh tham số tần số dầm sandwich lõi FGM (hc/h = 0.5, m=0) Tài liệu [2] Bài báo Tài liệu [2] Bài báo L/h 20 n=0 4.0691 4.0685 4.2445 4.2446 n=0.5 3.7976 3.7878 3.9695 3.9696 n=1 3.6636 3.6484 3.8387 3.8379 n=2 3.5530 3.5356 3.7402 3.7392 n=5 3.4914 3.4799 3.7081 3.7077 n=10 3.4830 3.4795 3.7214 3.7215 Bảng Tham số động học dầm tương ứng với tốc độ lực di động (hc=h, m=0) n Dd [8] Dd [bài báo] v(m/s) [8] v(m/s) [bài báo] 0.2 1.0344 1.0395 222 221 0.5 1.1444 1.1497 198 197 1.2503 1.2561 179 177 1.3376 1.3441 164 162 Gốm 0.9328 0.9373 252 251 Kim loại 1.7324 1.7408 132 130 Hình minh họa tham số tần số dầm sandwich có lõi làm từ vật liệu 2D-FGM với giá trị khác n m Trên hình vẽ, tác giả cố định tỉ số L/h=20, tỉ số hc /h thay đổi (hc /h=14, 1/2, 2/3, 3/4) Từ hình 2, ta thấy rõ ảnh hưởng tham số vật liệu, tỉ số hc /h đến tham số tần số dầm Với giá trị n cho trước tham số tần số có xu hướng giảm dần tăng dần n Đồng thời giảm rõ giá trị m cao Ảnh hưởng tham số vật liệu theo chiều dài dầm m giống ảnh hưởng tham số vật liệu theo chiều dày dầm Ngồi ra, hình ảnh hưởng tỉ số hc /h đến tham số tần số dầm Khi tỉ số h c /h mà tăng dần tham số tần số tăng dần lên Hình mối quan hệ tham số động học tốc độ lực di động, hình bên trái cố định tham số vật liệu theo chiều dày (n=0.5), thay đổi giá trị tham số vật liệu theo chiều dài (m=0, 0.5,1, 1.5), hình bên phải cố định tham số vật liệu theo chiều dài thay đổi giá trị tham số vật liệu theo chiều dày (n=0, 0.5,1, 1.5) Hình vẽ minh họa, tăng tham số vật liệu n, m lên tham số động học tăng nhẹ tham số vật liệu thay đổi hay cố định Ngoài ra, hình tăng giảm tham số động học tham số vận tốc lực di động thay đổi Hình Mối quan hệ tham số tần số tham số vật liệu n m Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 27 KẾT CẤU - CƠNG NGHỆ XÂY DỰNG Hình Mối quan hệ tham số động học tốc độ lực di động (hc/h=1/2) Hình minh họa mối quan hệ tham số động học tham số vật liệu n,m cho số giá trị tỉ số hc/h(hc/h=14, 1/2, 2/3, 3/4) Hình vẽ ảnh hưởng rõ nét tham số vật liệu theo chiều dày chiều dài dầm lên tham số động học dầm Khi tham số vật liệu n,m tăng dần lên tham số động học tăng mạnh tỉ số hc/h=14, ½, tăng nhẹ tỉ số hc/h= 2/3, ¾ Điều dễ hiểu, tỉ số hc/h tăng đồng nghĩa lõi dầm 2D-FGM tăng lên làm dầm cứng Hình rằng, tỉ số hc/h có xu hướng tăng dần tham số động học lại có xu hướng giảm dần Kết luận Bài báo phân tích đáp ứng động dầm sandwich lõi 2D-FGM tựa giản đơn chịu lực di động phương pháp phần tử hữu hạn Dựa hàm dạng tuyến tính cho chuyển vị dọc trục góc trượt ngang, hàm dạng Hermit cho chuyển vị ngang, tác giả thiết lập ma trận độ cứng ma trận khối lượng cho dầm sandwich Dưới hỗ trợ Maple Matlap, tham số tần số dầm tính cho vài giá trị khác tham số vật liệu,n,m Kết báo rằng, tham số tần số, tham số động học dầm sandwich có lõi làm từ vật liệu 2D-FGM chịu ảnh hưởng nhiều tham số vật liệu tốc độ lực di động Các tham số tần số giảm dần tham số vật liệu n, m, tăng lên Tuy nhiên, tỉ số hc/h dầm tăng lên tham số động học dầm lại giảm Hình Mối quan hệ tham số động học tham số vật liệu (v=100m/s) 28 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG TÀI LIỆU THAM KHẢO M Simsek (2016) Buckling of timoshenko beams composed of two-dimensional functionally graded Vo, T.P., H.T.Thai, T.K.Nguyen, A.Maheri, and J Lee (2014) Finite lement model for vibration and buckling of functionally graded sandwich beams based on a refined shear deformation theory Engineering Structures, 64, pp 12-22 Nguyen, T.K., T.T.P Nguyen, P.T Vo, and H.T.Thai (2015) Vibration and buckling analysis of FG material (2d-fgm) having different boundary conditions Composite Structures, 149, 304–314 M Simsek (2015) Bi-directional functionally graded materials (bdfgms) for free and forced vibration of timoshenko beams with various boundary conditions Composite Structures, 133, 968–978 sandwich beams by a new higher-order shear G.shi and K Y Lam (1999) Finite element formulation deformation theory Composite Part B, 76, pp 273- vibration analysis of composite beams based on 285 higher-order beam theory Journal of Sound and Volkan Kahyaa and Muhittin Turana (2018) Vibration and stability analysis of functionally graded sandwich Vibration, 219, pp 696-610 Şimşek, M., and T Kocatürk Free and forced vibration beams by a multi-layer finite element Composites Part of a functionally graded beam B, 146, pp 198-2012 concentrated moving Lê Thị Hà, Trần Thị Trâm (2016) Phân tích ứng xử harmonic subjected to a load, Structures 90(2009), pp.465–473 động dầm sandwich có vỏ FGM chịu lực di Ngày nhận bài: 31/01/2019 động Tạp chí giao thơng vận tải, số 58, trang 34 Ngày nhận sửa lần cuối: 26/3/2019 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 Composite 29 ... cao lõi dầm chiều cao dầm đến dao động dầm khảo sát chi tiết báo Dầm sandwich chịu tác dụng lực di động Hình minh họa dầm sandwich có lõi làm từ vật liệu 2D-FGM lớp bề mặt dầm vật liệu dầm chịu. .. hưởng phân bố vật liệu, tốc độ lực di động đến dao động dầm Trong báo này, tác giả phân tích đáp ứng động dầm sandwich có lõi làm vật liệu 2DFGM chịu lực di động, lớp bề mặt làm từ vật liệu gốm lớp... h, chiều cao lõi dầm hc, lõi dầm luôn đối xứng qua trục dầm Lực di chuyển dầm ln bám dính với dầm suốt q trình di chuyển từ đầu dầm đến cuối dầm lực chuyển động với tốc độ không thay đổi suốt chiều