Phương trình chuyển động của hệ được thiết lập dựa trên sự cân bằng động, phương pháp phần tử hữu hạn và giải bằng phương pháp tích phân số Newmark trên toàn miền thời gian.
Thông báo Khoa học Công nghệ * Số 2-2015 69 PHÂN TÍCH ẢNH HƢỞNG SỐ LƢỢNG VẾT NỨT THỞ ĐẾN ỨNG XỬ ĐỘNG CỦA DẦM BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ThS Đỗ Thị Kim Oanh Khoa Xây dựng, Trường Đại học Xây dựng Miền Trung Tóm tắt: Ảnh hưởng số lượng vết nứt thở đến ứng xử động dầmchịu tải trọng điều hòa phân tích báo Đặc trưng độ cứng phần tử có vết nứt thở biến đổi theo trạng thái vết nứt độ cong trục vị trí vết nứt nên hệ có ứng xử phi tuyến Phương trình chuyển động hệ thiết lập dựa cân động, phương pháp phần tử hữu hạn giải phương pháp tích phân số Newmark tồn miền thời gian.Một chương trình máy tính viết ngơn ngữ lập trình MATLAB để phân tích ảnh hưởng chiều sâu số lượng vết nứt đến ứng xử động khung thực Từ khố: Vết nứt thở, Phân tích động, Dầm, Phần tử hữu hạn Giới thiệu Kết cấu dầm dạng kết cấu phổ biến lĩnh vực kỹ thuật kết cấu xây dựng, việc phân tích ứng xử động lực học kết cấu nhiều nhà khoa học nước quan tâm Dưới tác dụng tải trọng, nứt dầm khó tránh khỏi Sự diện dẫn đến ảnh hưởng xấu đến ứng xử chất lượng kết cấu, chí dẫn đến nguy hiểm cho tồn kết cấu Mơ hình vết nứt mở giới thiệu từ sớm sử dụng phổ biến việc nghiên cứu ứng xử kết cấu [1, 2],với giả thiết phần tử có vết nứt ln ln mở suốt trình dao động Điều làm cho thuận lợi q trình phân tích chưa mơ tả hết chất vết nứt phía bị đóng lại q trình dao động chuyển vị đổi dấu.Hiện tượng ―thở‖của vết nứt xảy hai bề mặtcó thể khép lại chịu nén mở chịu kéo Có số nghiên cứu đề cập đến mơ hình thở vết nứt sau Năm 2000, Kisa Bradon [3] giới thiệu mơ hình phân tích ứng xử đóng lại dầm; cách chia dầm thành hai phần vị trí vết nứt, xác định độ cứng dầm vết nứt mở hoàn toàn dùng mơ hình tiếp xúc để xác định độ cứng vết nứt đónng lại; hệ có ứng xử phi tuyến tính chia thành hai hệ tuyến tính, liên kết với độ cứng gián đoạn cục Năm 2001, Chondros Dimarogonas [4] nghiên cứu dao động dầm Euler liên tục tựa đơn, giả thiết hệ tuyến tính phần, vết nứt thở loại song tuyến tính có hai trạng thái, mở hồn tồn đóng hồn tồn;kết cho thấy có thay đổi tần số tự nhiên so với vết nứt mở Đến năm 2009, Ariaei [5]đã trình bày phương pháp phân tích phản ứng động dầm Euler-Bernoulli với vết nứt thở chịu tải trọng di động phương pháp kỹ thuật phần tử rời rạc phương pháp phần tử hữu hạn; đưa cơng thức tính tốn ma trận độ cứng cho phần tử dầm có vết nứt Thơng báo Khoa học Công nghệ * Số 2-2015 thở thay đổi theo thời gian Năm 2013, Nguyễn Việt Khoa [6] phát triển đề tài phân tích ảnh hưởng vết nứt thở lên kết cấu cầu chịu tải di động; so sánh ảnh hưởng hai trường hợp vết nứt mở vết nứt thở để mô tả phương pháp phát vị trí vết nứt thở dầm.Qua trích dẫn trên, nhận thấy việc phân tích ứng xử động kết cấu ảnh hưởng vết nứt thở quan tâm nhiều mơ hình vật lý khác phương pháp giải khác nhau; có ý nghĩa lý thuyết thực tiễn Tuy nhiên, đối tượng nghiên cứu thường dừng lại cấu kiện dầm;kết phân tích tần số tự nhiên kết cấu có xét đến tải trọng động Tiếp nối quan tâm đến ứng xử kết cấu có vết nứt thở, báo xét ảnh hưởng số lượng vết nứt thở Ac + Bs A - B cs 2 As + Bc E K' e = L sym B 12 I L đến ứng xử động dầm Ma trận độ cứng phần tử khung có vết nứt thở phụ thuộc vào độ cong phần tử vị trí vết nứt tùy thời điểm trình dao động Vì độ cứng dầm thay đổi suốt trình chuyển động dẫn đến ứng xử động lực học phi tuyến tính Cơ sở lý thuyết 2.1 Phần tử phẳng khơng có vết nứt Phần tử điển hình trình bày hình 1, hệ trục tọa độ địa phương x-y hệ trục tọa độ tổng thể x ’-y’ Ma trận độ cứng phần tử hệ tọa độ tổng thể từ tài liệu phần tử hữu hạn thiết lập sau L 2 -B s - Ac + Bs L B c - A - B cs L 4I B s 2 Ac + Bs cosin phương l m ( l cos , m sin ); với α góc hợp trục phần tử với phương nằm ngang có chiều dương theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, ký hiệu 70 , A diện tích mặt cắt - A - B cs 2 - As + Bc L -B c A - B cs 2 As + Bc L -B s L B c L B s L -B s I 2I (1) ngang phần tử, I mơmen qn tính mặt cắt ngang phần tử Kích thước ma trận tương ứng với bậc tự là: q'Te = q'1 q'2 q'3 q'4 q'5 q'6 (2) Thông báo Khoa học Công nghệ * Số 2-2015 71 y Mi+1 h a Mi Ni Pi+1 Pi Hình 1: Phần tử phẳng Ma trận khối lượng tương thích phần tử hệ tọa độ địa phương tổng thể thể sau 140 0 AL M e 70 420 0 70 156 54 22 L 22 L 4L 13 L 0 140 54 13 L 3 L 156 22 L 13 L 22 L 4L 13 L 3 L M'e Te Me Te T m 0 (3) l 0 0 0 0 l m 0 -m l 0 0 (5) Phần tử có vết nứt mở Ma trận độ cứng cho phần tử có vết nứt mở xác địnhdựa sở học rạn nứt sau [3]: e 1 T K c TC T Hình 2: Phần tử dầm hai điểm nút có vết nứt 1 T 0 0 0 1 le 0 1 0 1 T (7) C ma trận độ mềm phần tử có vết nứt mở, tổng số hạng ma trận độ mềm phần tử không nứt c ma trận độ mềm cục ij thêm (1) cij vào vết nứt gây ra, xác định sau: (4) 0 0 0 0 1 x (0) Với ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ cho bởi: l - m 0 T e = 0 Ni+1 (6) vớiT xác định từ điều kiện cân thể Hình 2, thay đổi mơmen, lực cắt lực dọc từ nút sang nút khác W cij (0) ; i , j 1, 2, 3, P1 F , P2 Q, P3 M (8) 1 (1) W cij ; i , j 1, , 3, P1 F , P2 Q , P3 M Pi Pj (9) (0) Pi Pj đó: Pj lực gây chuyển vị, Pilà lực theo hướng chuyển vị; F, Q M lực dọc, lực cắt mômen uốn nút phải phần tử.Với W(1) lượng biến dạng thêm vào vết nứt cho bởi: a W (1) b K ( F ) K (M ) E I * I K II (Q) da (10) W(0)là lượng biến dạng phần tử không nứt: N M Qz 2 EA EI dz le W (0) = Q le (11) N le M le MQle EA EI đó: 2 Thơng báo Khoa học Công nghệ * Số 2-2015 K I (F) F FIF IF bh K II (Q ) a ; K (M ) 6M h hb aF Q I aF II bh tử nguyên vẹn, d” độ cong a ; h aF I (12) a h a 0.752 2.02(a / h) 0.37(1 sin a / 2h) tan a 2h cos( a / 2h) 2h 72 " tức thời dầm vị trí nứt dmax độ cong lớn dầm vị trí nứt q trình dao động Trong cơng thức (14), nhận thấy " FI 2h a a 0.923 0.199(1 sin a / 2h) 2h cos( a / 2h) tan (13) a a 1.122 0.561(a / h) 0.085(a / h) 0.180(a / h) F 3 1 a / h h h * với E =E trường hợp ứng suất phẳng, E*=E/(1-υ2)cho biến dạng phẳng, (a/h) độ sâu tương đối vết nứt, h chiều cao dầm, a chiều sâu vết nứt Mode I mômen uốn M lực dọc F, Mode II nhận từ lực cắt Q Phần tử có vết nứt thở Khi vết nứt thở diện kết cấu, có chứng thực nghiệm vết nứt mở đóng dần từ từ dẫn đến thay đổi từ từ độ cứng mặt cắt ngang cấu kiện trình dao động Ariaei [5] đề xuất phương pháp để xây dựng ma trận độ cứng phần tử có vết nứt thở sử dụng độ cong dầm vị trí vết nứt, độ cứng vị trí vết nứt phụ thuộc vào độ cong vị trí nứt diễn tả hàm liên tục theo thời gian dạng sau: II Kb = Ke + " d = -d max d" K cr - K e 1+ " d max (14) đó: Kb ma trận độ cứng phần tử có vết nứt thở, Kcr ma trận độ cứng phần tử có vết nứt mở, Ke ma trận độ cứng phần độ cứng Kb lớn Ke, d = d độ cứng Kb nhỏ với Kcr.Tỷ số độ " " max dc d" d"max cong phụ thuộc vào chuyển vị vị trí nứt tùy vào thời điểm t Vì K hàm phụ thuộc vào chuyển vị vị trí nứt biến thiên theo t suốt trình chuyển động Trong trình dao động, chuyển vị vị b trí nứt liên tục thay đổi, K b biến thiên liên tục Độ cứng dầm có vết nứt thở thay đổi dẫn đến thay đổi tần số dao động tự nhiên dao động Qua công thức này, nhận thấy độ cứng dầm có vết nứt thở ln lớn độ cứng dầm có vết nứt mở nhỏ độ cứng dầm nguyên Bản chất ứng xử vết nứt thở độ cứng thay đổi tùy thuộc vào độ cong tức thời độ cứng phụ thuộc vào chuyển vị thời điểm hệ nên ứng xử có tính chất phi tuyến.Phương trình chuyển động hệ thiết lập giải phương pháp tích phân số Newmark tồn miền thời gian dựa vào chương trình máy tính viết ngơn ngữ lập trình MATLAB Thơng báo Khoa học Cơng nghệ * Số 2-2015 73 Trong ví dụ số kiểm chứng đầu Kết số tiên khảo sát dao động tự nhiên 3.1 Kiểm chứng chƣơng trình tính Bài báo tiến hành khảo sát một dầm tựa đơn có vết nứt thở số ví dụ số nhằm kiểm tra độ nhịp, tốn xác chương trình máy tính giải tài liệu [4] dầm console viết Các kết từ chương trình có vết nứt thở tài liệu so sánh với kết [8].Kết tỷ số tần số tự nhiên trích dẫn tài liệu có khảo sát thể trongBảng liệu đầu vào giống 1, Hình Bảng Tỷ số tần số tự nhiên dầm tựa đơn vết nứt thở a/h 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Bài báo Nứt Nứt mở thở 1.0000 1.0000 0.9710 0.9878 0.9042 0.9708 0.8247 0.9612 0.7513 0.9574 0.6968 0.9566 Chondros [4] Nứt Nứt mở thở 1.0000 1.0000 0.9865 0.9932 0.9501 0.9744 0.8936 0.9438 0.8182 0.9000 0.7240 0.8399 Sai số (%) Nứt Nứt mở thở 0.00% -1.60% -4.80% -7.70% -8.20% -3.80% 0.00% -0.60% -0.40% 1.80% 6.00% 12.20% Hình Tỷ số tần số tự nhiên dầm tựa đơn vết nứt thở Bảng Tỷ số tần số thứ dầm console vết nứt thở Bài báo a/h Nứt Nứt mở thở 1.0000 1.0000 0.1 0.9942 0.9971 0.2 0.9767 0.9913 Doukaa [8] Nứt Nứt mở thở 1.0000 1.0000 0.9897 0.9948 0.9617 0.9805 Sai số (%) Nứt Nứt mở thở 0.00% 0.00% 0.45% 0.23% 1.56% 1.10% Thông báo Khoa học Công nghệ * Số 2-2015 74 0.3 0.9491 0.9840 0.9166 0.9565 3.55% 2.88% 0.4 0.9068 0.9782 0.8536 0.9210 6.23% 6.21% 0.5 0.8457 0.9738 0.7704 0.8703 9.77% 11.89% Từ kết số kiểm chứng cho thấy kết từ chương trình máy tính báo có độ xác định, sai số nhỏ chiều sâu vết nứt vừa phải sai số lớn chiều sâu vết nứt tăng lên giải thích mơ hình tất lời giải chưa thật xác Bài báo dùng chương trình máy tính viết để khảo sát số 3.2 Ứng xử động dầm Trong khảo sát đầu tiên, báo khảo sát chuyển vị đứng dầm có nhiều vết nứt thở chịu tải trọng động với số liệu đầu vào dựa số liệu dầm có vết nứt thở từ [6] khác số lượng vết nứt Các số liệu E=2.1x1011 N/m2, b=0.5m, h=1.0m, ρ=7855kg/m3, P=200000sin(1.41πt)N Kết chuyển vị đứng dầm xem xét, thể qua Hình 4, Hình 5, Hình Hình Chuyển vị dầm tựa đơn vết nứt thở Hình Chuyển vị dầm tựa có đơn có hai vết nứt thở Hình Chuyển vị dầm tựa đơn có ba vết nứt thở Nhận thấy độ sâu vết nứt tăng chuyển vị tăng lên, điều xác nhận định tính nghiên cứu trước; với số lượng vết nứt có hai chuyển vị dầm chênh lệch khơng nhiều hình 5; Tuy nhiên dầm có nhiều vết nứt chuyển Thơng báo Khoa học Cơng nghệ * Số 2-2015 vị tăng nhiều khác biệt rõ hệ dao động sau thời gian dài Qua kết khảo sát thu đƣợc, nhận thấy tần số dao động tự nhiên trƣờng hợp vết nứt thở nhỏ trƣờng hợp không nứt nhƣng lại lớn trƣờng hợp có vết nứt mở Chuyển vị hệ tăng số lƣợng vết nứt chiều sâu tăng Kết luận Bài báo phân tích ảnh hưởng số lượng độ sâu vết nứt thở đến ứng xử động lực học kết cấu dầm có nhiều vết nứt thở 75 phần tử chịu tác dụng tải trọng điều hòa phương pháp phần tử hữu hạn Mơ hình vết nứt thở tạo ứng xử phi tuyến độ cong vị trí vết nứt xem xét Một chương trình máy tính viết để giải tốn Kết số thực cho thấy ảnh hưởng nhạy số lượng chiều sâu vết nứt thở đến ứng xử động dầm định lượng sơ lược cung cấp cấp báo Nhận định có ý nghĩa cho việc chẩn đốn kết cấu mà quan tâm TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S Christides and A D S Barr, "One demensional theory of cracked Bernoulli Euler beams" International Journal of Mechanical Sceince, vol 26, pp 639-648, 1984 [2] M I Friswell and J E T Penny, "Crack Modeling for Structural Health Monitoring" Structural Health Monitoring, vol 1, no 2, pp 139-148, 2002 [3] M Kisa and J Brandon, "The effects of closure of crack on the dynamics of a cracked cantilever beam" Journal of Sound and Vibration, vol 238, no 1, pp 1-18, 2000 [4] T G Chondros, A D Dimorogonas and J Yao, "Vibration of a beam with a breathing crack" Journal of Sound and Vibration, vol 239, no 1, pp 57-67, 2001 [5] A Ariaei, S Ziaei-Rad and M Ghayour, "Vibration analysis of beams with open and breathing cracks subjected to moving masses" Journal of Sound and Vibration, vol 326, pp 709-724, 2009 [6] K V Nguyen, "Comparison studies of open and breathing crack detections of a bem – like bridge subjected to a moving vehicle" Engineering Structures, vol 51, pp 306-314, 2013 [7] E E Gdoutos, Fracture Mechanics - An Introduction, The Netherlands: Springer, 2005 [8] E Doukaa and L J Hadjileontiadis, "Time–frequency analysis of the free vibration response of a beam with a breathing crack" NDT&E International, vol 38, pp 3-10, 2005 [9] S Mogal, D Behera and S Pawar, "Vibration analysis of cracked beam" International Journal of Advanced Engineering Technology, vol 3, no 1, pp 371-377, 2012 ... có vết nứt mở Chuyển vị hệ tăng số lƣợng vết nứt chiều sâu tăng Kết luận Bài báo phân tích ảnh hưởng số lượng độ sâu vết nứt thở đến ứng xử động lực học kết cấu dầm có nhiều vết nứt thở 75 phần. .. vết nứt thở để mơ tả phương pháp phát vị trí vết nứt thở dầm. Qua trích dẫn trên, nhận thấy việc phân tích ứng xử động kết cấu ảnh hưởng vết nứt thở quan tâm nhiều mơ hình vật lý khác phương pháp. .. Độ cứng dầm có vết nứt thở thay đổi dẫn đến thay đổi tần số dao động tự nhiên dao động Qua công thức này, nhận thấy độ cứng dầm có vết nứt thở ln lớn độ cứng dầm có vết nứt mở nhỏ độ cứng dầm