Giải bài toán giá trị riêng của dầm bằng phương pháp biến đổi vi phân

bộ giáo dục đào tạo trờng đại học bách khoa hà nội - LUN VN THC S KHOA HC GII BI TON GI TR RIấNG CA DM BNG PHNG PHP BIN I VI PHN Chuyờn ngnh : C HC K THUT NGUYN S NAM Ngi hng dn khoa hc : GS.TSKH NGUYN VN KHANG H NI 2009 Mc lc Luõn thac s khoa hc MC LC Li núi u Chng Gii thiu cỏc lý thuyt v dm v phng phỏp bin i vi phõn Error! Bookmark not defined I Cỏc mụ hỡnh dm II Phng phỏp bin i vi phõn 2.1 nh ngha Error! Bookmark not defined 2.2 Mt s tớnh cht ca phộp bin i vi phõn Error! Bookmark not defined 2.3 o hm ca hm gc Error! Bookmark not defined 2.4 Phộp bin i vi phõn v cỏc iu kin biờn Chng Thit lp phng trỡnh dao ng un ca cỏc mụ hỡnh dmError! Bookmark not defined I Thit lp phng trỡnh dao ng un ca dm Euler-Bernoulli 14 1.1 Thit lp phng trỡnh dao ng ca dm EBT chu ti phõn b q(x,t) bng nguyờn lý Hamilton Error! Bookmark not defined a) Phng trỡnh dao ng Error! Bookmark not defined b) iu kin biờn Error! Bookmark not defined 1.2 Thit lp phng trỡnh dao ng ca dm chu ti trng q(x,t) bng nguyờn lý d'Alambert Nguyờn Sy Nam Error! Bookmark not defined C hoc ky thuõt 2007-2009 Mc lc Luõn thac s khoa hc II Thit lp phng trỡnh dao ng un ca dm Timoshenko thit din khụng i 22 2.1 Thit lp phng trỡnh dao ng dm Timoshenko chu ti trng phõn b q(x,t) bng nguyờn lý Hamilton Error! Bookmark not defined a) Phng trỡnh dao ng 23 b) iu kin biờn 26 2.2 Thit lp phng trỡnh dao ng dm Timoshenko chu ti trng phõn b q(x,t) bng nguyờn lý d'Alambert Error! Bookmark not defined III Thit lp phng trỡnh dao ng ca dm Reddy-Bickford thit din khụng i 31 3.1 Thit lp phng trỡnh dao ng un dm Reddy - Bickford chu ti trng phõn b q(x,t) Error! Bookmark not defined a) Phng trỡnh dao ng 32 b iu kin biờn 37 Chng p dng phng phỏp bin i vi phõn tớnh tn s riờng ca dm Euler-Bernoulli Error! Bookmark not defined 3.1 Lý thuyt chung Error! Bookmark not defined 3.2 Thit lp phng trỡnh c trng cho cỏc dm Error! Bookmark not defined 3.2.1 Xột dm cú mt u l ngm, u t Error! Bookmark not defined 3.2.2 Dm hai u gi ta n (hai u bn l) Error! Bookmark not defined Nguyờn Sy Nam C hoc ky thuõt 2007-2009 Mc lc Luõn thac s khoa hc 3.2.3 Dm mt u ngm mt u gi ta n Error! Bookmark not defined 3.2.4 Dm cú hai u ngm Error! Bookmark not defined 3.2.5 Dm cú mt u gi ta n, mt u t Error! Bookmark not defined 3.2.6 Dm hai u t Error! Bookmark not defined 3.3 Gii cỏc phng trỡnh c trng Error! Bookmark not defined 3.4 V cỏc mode dao ng riờng ca cỏc dm Error! Bookmark not defined Chng Error! Bookmark not defined p dng phng phỏp bin i vi phõn tớnh tn s riờng ca dm Timoshenko 87 4.1 Lý thuyt chung Error! Bookmark not defined 4.2 Tớnh toỏn s dao ng riờng ca cỏc dm Error! Bookmark not defined 4.2.1 Dm cú hai u l hai gi ta n Error! Bookmark not defined 4.2.2 Dm cú mt u ngm mt u gi ta n Error! Bookmark not defined 4.2.3 Dm cú mt u ngm mt u t Error! Bookmark not defined 4.2.4 Dm cú mt u bn l mt u t Error! Bookmark not defined 4.2.5 Dm cú hai u ngm Nguyờn Sy Nam Error! Bookmark not defined C hoc ky thuõt 2007-2009 Luõn thac s khoa hc 4.2.6 Dm cú mt u bn l mt u t Mc lc Error! Bookmark not defined 4.3 Kt qu tớnh toỏn s Error! Bookmark not defined Kt lun 102 Ti liu tham kho 103 Ph lc 104 Túm tt lun Nguyờn Sy Nam C hoc ky thuõt 2007-2009 Luõn thac s khoa hoc Li noi õu LI NểI U Dao ng riờng ca cụng trỡnh, vi hai c trng (tn s v dng dao ng) l nhng c trng ng hc quan trng ca kt cu cụng trỡnh Nu xỏc nh c tn s dao ng riờng ca kt cu ta cú th xỏc nh dng dao ng v tớnh toỏn kt cu trỏnh c hin tng cng hng, cng nh xỏc nh c tỏc ng ca ngoi lc thụng qua vic phõn tớch ti trng theo dng dao ng chớnh Bi toỏn xỏc nh tn s v dng dao ng riờng ca cỏc cụng trỡnh núi chung cng ó c rt nhiu cỏc tỏc gi v ngoi nc nghiờn cu gii quyt bng nhiu phng phỏp nghiờn cu dao ng nh cỏc phng phỏp gii tớch, cỏc phng phỏp s (phng phỏp phn t hu hn l mt nhng phng phỏp s rt hiu qu), Trong lun ny tỏc gi cp ti hai ca bi toỏn v dm cũn khỏ mi m: Th nht, l lý thuyt ca cỏc dm Trong cỏc cụng trỡnh nghiờn cu nc s dng lý thuyt v dm thng ch cp ti mụ hỡnh lý thuyt dm Euler - Bernoulli v lý thuyt dm Timoshenko, ú lý thuyt dm Euler Bernoulli c dựng nhiu hn c v ó b nh hng ca bin dng ct v quỏn tớnh, lý thuyt dm Timoshenko ó cp ti nh hng ca bin dng ct v quỏn tớnh ú nú chớnh xỏc hn Mt lý thuyt dm khỏ mi m theo tỏc gi c bit cha cú cụng trỡnh nghiờn cu nc no cp ti l lý thuyt dm Reddy Bickford, lý thuyt ny cú im khỏc so vi hai lý thuyt dm l mt ct ngang ca dm bin dng c gi thit l khụng phng, nú l cỏc ng cong bc ba, nm,Lý thuyt ny t chớnh xỏc hn c v c cỏc cụng trỡnh nghiờn cu trờn th gii s dng nhiu nhng nm gn õy v c bit c s dng cỏc cụng trỡnh nghiờn cu v dm composite Nguyờn Sy Nam Trang C hoc ky thuõt 2007-2009 Luõn thac s khoa hoc Li noi õu Th hai, l bi toỏn xỏc nh tn s v dng dao ng riờng, lun ny cp ti mt phng phỏp, m theo ngi hng dn l GS.TSKH Nguyn Vn Khang cho bit thỡ phng phỏp ny trờn th gii cng mi s dng nhng nm gn õy, cũn nc cha cú cụng trỡnh no s dng nú, ú l phng phỏp nghiờn cu dao ng bng phng phỏp bin i vi phõn (Differential Transform Method - DTM) Do thi gian cú hn nờn hai trờn c tỏc gi ln lt cp ti bi toỏn dao ng t ca dm Mc dự cũn khụng ớt cha c gii quyt trn bi toỏn, song ti ó gii thiu v a c c s v phng phỏp nghiờn cu cũn khỏ mi m ny Cui cựng tỏc gi xin chõn thnh cm n cỏc thy b mụn C hc ng dng trng i hc Bỏch Khoa H Ni, c bit l GS.TSKH Nguyn Vn Khang ngi hng dn ó nhit tỡnh hng dn v cung cp cỏc ti liu cho tỏc gi thc hin ti ny H Ni, ngy 10 thỏng 11 nm 2009 Nguyn S Nam Nguyờn Sy Nam Trang C hoc ky thuõt 2007-2009 Luõn thac s khoa hoc Chng Chng GII THIU CC Lí THUYT V DM V PHNG PHP BIN I VI PHN (Differential Transform Method DTM) I CC Mễ HèNH DM Mt s mụ hỡnh dm cú th tỡm c sỏch chuyờn ngnh, cỏc bi bỏo khoa hc, ú nú th hin cỏc ng x ng hc ca cỏc dm , m c s ca cỏc lý thuyt ú da vo cỏc trng chuyn v n gin nht l mụ hỡnh dm Euler Bernoulli, lý thuyt ny ó b qua nh hng ca quỏn tớnh quay v bin dng ct ngang phng Tuy nhiờn, mụ hỡnh dm Euler-Becnoulli ó khụng thnh cụng cung cp kt qu chớnh xỏc cỏc dm cú t l dy-di tng i ln Trong nhng trng hp nh vy, cỏc lý thuyt bin dng ct ó c cp ti, mụ hỡnh dm Timoshenko ó a bin dng ct l hm bc nht v mụ hỡnh dm Reddy-Bickford cú bin dng ct l hm bc ba, ú nú l chớnh xỏc hn din t nhiu mụ hỡnh dm khỏc nhau, chỳng ta gii thiu v h ta gc: trc ta x dc theo chiu di ca dm , trc ta z dc theo chiu dy (chiu cao) ca dm, v trc ta y dc theo chiu rng ca dm Trong lý thuyt chung v dm, tt c cỏc loi ti trng t v hỡnh dng gõy chuyn v (u,v,w) dc theo cỏc trc ta (x,y,z) ch l nhng hm ca ta x v ta z õy tip tc gi nh rng chuyn v v dc trc y l ng nht bng 0, dm nh vy gi l dm phng Lý thuyt n gin nht l mụ hỡnh dm Euler Bernoulli (Euler Bernoulli Beam Theory - EBT), m da vo trng chuyn v: Nguyờn Sy Nam Trang C hoc ky thuõt 2007-2009 Luõn thac s khoa hoc Chng w o x w ( x, z) = w ( x ) u ( x , z) = z (1.1) Trong ú w0 l dch chuyn theo phng z ca mt im cú ta (x,0) nm trờn mt trung hũa (z = 0), u(x,z) dch chuyn theo hng trc x, w(x,z) chuyn v un ca dm Hỡnh 1.1 S bin dng ca cỏc dm a_ dm Euler Bernoulli b_ dm Timoshenko c_ dm Reddy - Bickford Nguyờn Sy Nam Trang C hoc ky thuõt 2007-2009 Luõn thac s khoa hoc Chng Lý thuyt tip theo th t ca mụ hỡnh dm l mụ hỡnh dm Timoshenko (TBT Timoshenko Beam Theory) [Timoshenko (1921)], da vo c s ca trng chuyn v: u ( x, z) = z( x ) w ( x , z) = w ( x ) (1.2) Trong ú chớnh l gúc xoay ca mt ct ngang Trong mụ hỡnh dm Timoshenko gi nh thụng thng ca mụ hỡnh dm Euler Bernoulli c m rng v mt hng s ca bin dng ct ngang theo chiu dy ca h ta ó c a thờm vo Mụ hỡnh dm Timoshenko yờu cu h s hiu chnh trt phi bự p c li gi nh ng sut ct l hng s Nh ó nờu trc ú, cỏc h s hiu chnh trt khụng ch ph thuc vo vt liu v cỏc thụng s hỡnh hc, m cũn ph thuc vo ti trng v iu kin biờn Trong lý thuyt bc cao, gi thuyt ca Euler Bernoulli v Timoshenko c m rng hn na bng cỏch b i gi nh mt ct ngang l phng bin dng, mt ct ngang ú l cỏc hm bc hai, ba, v ngi ta thy rng lý thuyt bc cao hn bc ba l rt him c s dng vỡ chớnh xỏc tng lờn l khụng ỏng k vic gii cỏc phng trỡnh thỡ tr nờn rt khú khn hn rt nhiu Mụ hỡnh dm bc hai da vo c s trng chuyn v : u ( x, z) = z( x ) + z ( x ) (1.3) w ( x , z) = w ( x ) ú bõy gi l gúc nghiờng u ti z = ca ng bin dng nh hỡnh x 1c, v v cựng vi xỏc nh c tớnh bc hai ca ng bin dng Tng t, mụ hỡnh dm bc ba da vo trng chuyn v: Nguyờn Sy Nam Trang C hoc ky thuõt 2007-2009 Luõn thac s khoa hoc Chng d 2() dw () EI 2 = k *GA + k *GA() I2() L d Ld (4.6) Rỳt gn ta cú: d w () d() L2 = L * w () d d kG (4.7) d 2() k *GAL dw () k *GAL2 L2 () + = d EI d EI E (4.8) S dng tớnh cht phộp bin i vi phõn : d mg f(x) = dx m F(k) = (k + m)! G ( k + m) k! p dng cho (4.7) v (4.8) ta cú: (k + 2)! (k + 1)! L2 W (k + 2) = L (k + 1) * W (k ) k! k! kG (4.9) k * GAL2 L2 (k + 2)! k * GAL (k + 1)! (k ) W (k + 1) + (k + 2) = k! EI k! EI E (4.10) L L2 W (k + 2) = (k + 1) * W (k ) k+2 k G (k + 2)(k + 1) ( k + 2) = (4.11) k *GAL2 L2 k *GAL 1 W (k + 1) + (k ) EI k + EI E ( k + )( k + ) (4.12) Hai phng trỡnh (4.11) v (4.12) l hai phng trỡnh bin i vi phõn ca hai phng trỡnh dao ng (4.1) v (4.2) Nh vy t phng trỡnh o hm nh phộp bin i vi phõn ta ó a nú v phng trỡnh dng chui T phng trỡnh chui ny da vo cỏc iu kin biờn ta cú th xõy dng c phng trỡnh c Nguyờn Sy Nam Trang 89 C hoc ky thuõt 2007-2009 Luõn thac s khoa hoc Chng trng ca dao ng, gii cỏc phng trỡnh c trng ú ta thu c tn s riờng ca dm Vit li phng trỡnh (4.11), (4.12) dng ma trn: W (k + 2) (k + 1)! * (k + 2) = (k + )! k GAL EI L2 k! k *G + (k + 2)! L W (k + 1) (k + 1) W (k ) k *GAL2 L2 (k ) E EI (4.13) 4.2 Tớnh toỏn s dao ng riờng ca cỏc dm 4.2.1 Dm cú hai u l hai gi ta n *) iu kin biờn trỏi: = , w = 0, =0 (4.14) S dng cụng thc bin i vi phõn nh bng 1.2 ta cú: W(0) = v (1) = *) Biu kin biờn phi: = 1, w = 0, (4.15) =0 (4.16) p dng cụng thc bin i vi phõn nh bng 2.1 ta cú: N N k =0 k =0 W ( k ) = , k ( k ) = t (0) = c2 , W (1) = c1 Nguyờn Sy Nam (4.17) (4.18) Trang 90 C hoc ky thuõt 2007-2009 Luõn thac s khoa hoc Chng Thay W(0) = 0, (0) = c1, W (1) = c2, (1) = vo (4.11) v (4.12) tớnh c ln lt cỏc W(k+2) , (k+2) vi k = 0,1,2,3 theo c1, c2 Sau ú thay cỏc W(k+2) v (k+2) tỡm c vo hai phng trỡnh (4.17), rỳt gn ta s thu c mt h hai phng phng trỡnh cú dng: f11( N ) c1+ f12( N ) c2 = (4.19) f 21( N ) c1 + f 22( N ) c2 = (4.20) Vit li hai phng trỡnh trờn : f11( N ) (N) f 21 f12( N ) c1 = f 22( N ) c (4.21) Vi f11( N ) , f12( N ) , f 21( N ) , f 22( N ) l cỏc a thc ca ng vi N, bc ca a thc cng tng tng ng Phng trỡnh c trng xỏc nh tn s riờng c tỡm bng cỏch cho nh thc ca (4.21) bng 0: f11( N ) f 21( N ) f12( N ) =0 f 22( N ) (4.22) Vớ d vi tớnh toỏn dm thộp cú N = 4: bxh = 0.1x0.1 (m2) L = 1m; E = 2.1011 N/m2; = 7850 kg/m3 G = 8.1010 kN/m2; k* = 5/6; Nguyờn Sy Nam Trang 91 C hoc ky thuõt 2007-2009 Luõn thac s khoa hoc Chng Thay cỏc phn t vo hai phng trỡnh (4.17) ta cú hai phng trỡnh: Phng trỡnh c trng: Tng t nh bi toỏn dm Euler Bernoulli chng 3, ta s dng phng phỏp dõy cung tỡm nghim gn ỳng T phng trỡnh tn s ta xỏc nh c cỏc giỏ tr (N), quỏ trỡnh tớnh toỏn s c dng li phng trỡnh sau c tha món: ( N ) ( N 1) (4.23) Vi l s thc dng nh 4.2.2 Dm cú mt u ngm mt u gi ta n Nguyờn Sy Nam Trang 92 C hoc ky thuõt 2007-2009 Luõn thac s khoa hoc Chng *) iu kin biờn trỏi: = , w = 0, = (4.24) T bng 1.2 ta cú: W(0) = v (0) = *) Biu kin biờn phi: = 1, w = 0, (4.25) =0 (4.26) p dng cụng thc bin i vi phõn bng 1.2 ta cú: N N k =0 k =0 W ( k ) = , k ( k ) = (4.27) t W (1) = c1, (1) = c2 Thay W(0) = 0, (0) = 0, W (1) = c1 v (1) = c2 vo (4.11) v (4.12) tớnh c ln lt cỏc W(k+2) , (k+2) vi k = 0,1,2,3 theo c1, c2 Sau ú thay cỏc W(k+2) v (k+2) tỡm c vo hai phng trỡnh (4.27), rỳt gn ta s thu c mt h hai phng trỡnh cú dng: f11( N ) (N) f 21 f12( N ) c1 = f 22( N ) c (4.28) Trỡnh t tớnh toỏn ging nh trng hp dm hai u bn l mc 2.2.1 chng ny 4.2.3 Dm cú mt u ngm mt u t *) iu kin biờn trỏi: = , w = 0, = (4.29) bin i vi phõn iu kin biờn theo bng 1.2 ta cú: W0 = v = Nguyờn Sy Nam (4.30) Trang 93 C hoc ky thuõt 2007-2009 Luõn thac s khoa hoc Chng *) Biu kin biờn phi: = 1, w = 0, + = (4.31) Bin i vi phõn ta cú: N N k ( k ) = (kW(k ) + (k )) = k =0 (4.32) n =0 t W1 = c1, = c2 Thay W(0) = 0, (0) = 0, W (1) = c1 v (1) = c2 vo (4.11) v (4.12) tớnh c ln lt cỏc W(k+2) , (k+2) vi k = 0,1,2,3 theo c1, c2 Sau ú thay cỏc W(k+2) v (k+2) tỡm c vo hai phng trỡnh (4.32), rỳt gn ta s thu c mt h hai phng trỡnh cú dng: f11( N ) (N) f 21 f12( N ) c1 = f 22( N ) c (4.32) Trỡnh t tớnh toỏn ging nh trng hp dm hai u bn l mc 2.2.1 chng ny 4.2.4 Dm cú mt u bn l mt u t *) iu kin biờn trỏi: = , w = 0, =0 (4.33) Bin i vi phõn ta cú: W(0) = v (1) = *) Biu kin biờn phi: = 1, (4.34) w = 0, +=0 (4.35) p dng cụng thc bin i vi phõn ta cú: Nguyờn Sy Nam Trang 94 C hoc ky thuõt 2007-2009 Luõn thac s khoa hoc Chng N N k ( k ) = k (kW (k ) + (k )) = n = (4.36) = t (0) = c1, W (1) = c2 Thay W(0) = 0, (0) = c1, W (1) = c2 v (1) = vo (4.11) v (4.12) tớnh c ln lt cỏc W(k+2) , (k+2) vi k = 0,1,2,3 theo c1, c2 Sau ú thay cỏc W(k+2) v (k+2) tỡm c vo hai phng trỡnh (4.36), rỳt gn ta s thu c mt h hai phng trỡnh cú dng: f11( N ) (N) f 21 f12( N ) c1 = f 22( N ) c (4.37) Trỡnh t tớnh toỏn ging nh trng hp dm hai u bn l mc 2.2.1 chng ny 4.2.5 Dm cú hai u ngm *) iu kin biờn trỏi: = , w = 0, = (3.38) Bin i vi phõn ta cú: W(0) = v (0) = *) Biu kin biờn phi: = 1, w = 0, = (4.39) (4.40) p dng cụng thc bin i vi phõn ta cú: N (k ) = k = N W (k ) = n (4.41) = t W1 = c1, = c2 Thay W(0) = 0, (0) = 0, W (1) = c1 v (1) = c2 vo (4.11) v (4.12) tớnh c ln lt cỏc W(k+2) , (k+2) vi k = 0,1,2,3 theo c1, c2 Sau ú thay cỏc Nguyờn Sy Nam Trang 95 C hoc ky thuõt 2007-2009 Luõn thac s khoa hoc Chng W(k+2) v (k+2) tỡm c vo hai phng trỡnh (4.41), rỳt gn ta s thu c mt h hai phng trỡnh cú dng: f11( N ) (N) f 21 f12( N ) c1 = f 22( N ) c (4.42) Trỡnh t tớnh toỏn ging nh trng hp dm hai u bn l mc 2.2.1 chng ny 4.2.6 Dm cú mt u bn l mt u t w = 0, +=0 (4.43) (1) = v W (1) + (0) = (4.44) w = 0, + = (4.45) *) iu kin biờn trỏi: = , Bin i vi phõn ta cú: *) Biu kin biờn phi: = , p dng cụng thc bin i vi phõn ta cú: N k ( k ) = k = N (kW (k ) + (k )) = n (4.46) = t W (0) = c1, (0) = c2 => W (1) = c Thay W(0) = c1, (0) = c2, W (1) = -c2 v (1) = vo (4.11) v (4.12) tớnh c ln lt cỏc W(k+2) , (k+2) vi k = 0,1,2,3 theo c1, c2 Sau ú thay cỏc W(k+2) v (k+2) tỡm c vo hai phng trỡnh (4.46), rỳt gn ta s thu c mt h hai phng trỡnh cú dng: f11( N ) (N) f 21 Nguyờn Sy Nam f12( N ) c1 = f 22( N ) c Trang 96 (4.47) C hoc ky thuõt 2007-2009 Luõn thac s khoa hoc Chng Trỡnh t tớnh toỏn ging nh trng hp dm hai u bn l mc 2.2.1 chng ny 4.3 Kt qu tớnh toỏn s Xột vớ d dm thộp hỡnh ch nht: bxh = 0.1x0.1 (m2) E = 2.108 kN/m2; = 7850 kg/m3 ; G = 8.107 kN/m2; k* = 5/6; Tớnh toỏn dm hai trng hp L = v L = Bng 4.1 Trng hp dm hai u ngm Dm Timoshenko N L = 1m L=3 22 3058 257 24 3049 358 26 3042 358 3239 362 22 7869 982 26 7862 983 28 7860 983 8985 998 24 13354 1890 28 13925 1898 32 14239 1902 Euler-Bernoulli Timoshenko Euler-Bernoulli Nguyờn Sy Nam Timoshenko Trang 97 C hoc ky thuõt 2007-2009 Luõn thac s khoa hoc Chng Euler-Bernoulli 17617 1957 Bng 4.2 Trng hp dm hai u bn l Dm Timoshenko N L = 1m L=3 22 1398 155 24 1409 159 26 1416 159 1438 160 22 5401 621 24 5410 629 28 5413 633 5752 639 24 11331 1398 28 11401 1415 32 11420 1416 12942 1438 Euler-Bernoulli Timoshenko Euler-Bernoulli Timoshenko Euler-Bernoulli Bng 4.3 Trng hp dm mt u ngm mt u bn l Dm Timoshenko N L = 1m L=3 20 2120 234 24 2131 247 28 2132 248 2244 250 6602 778 Euler-Bernoulli 20 Nguyờn Sy Nam Trang 98 C hoc ky thuõt 2007-2009 Luõn thac s khoa hoc Timoshenko Chng 24 6611 793 28 6714 798 7258 799 24 11682 1571 28 12707 1620 32 12848 1652 15176 1687 Euler-Bernoulli Timoshenko Euler-Bernoulli Bng 4.4 Trng hp dm mt u ngm mt u t Dm Timoshenko N L = 1m L=3 20 437 49 24 499 55 26 502 55 505 56 22 3025 342 24 3045 352 26 3046 353 3210 356 24 7257 1352 28 7932 1399 32 8034 1409 8990 1438 Euler-Bernoulli Timoshenko Euler-Bernoulli Timoshenko Euler-Bernoulli Nguyờn Sy Nam Trang 99 C hoc ky thuõt 2007-2009 Luõn thac s khoa hoc Chng Bng 4.5 Trng hp dm mt u bn l mt u t Dm Timoshenko N L = 1m L=3 24 2145 239 26 2223 245 28 2226 247 2244 250 24 6731 784 26 7091 791 28 7150 797 7258 809 24 12036 1521 26 13650 1571 28 14610 1598 15176 1687 Euler-Bernoulli Timoshenko Euler-Bernoulli Timoshenko Euler-Bernoulli Bng 4.6 Trng hp dm hai u t Dm Timoshenko N L = 1m L=3 22 2977 339 24 3124 355 28 3132 357 3239 362 22 7987 968 26 8173 981 30 8192 987 Euler-Bernoulli Nguyờn Sy Nam Timoshenko Trang 100 C hoc ky thuõt 2007-2009 Luõn thac s khoa hoc Chng Euler-Bernoulli Timoshenko 8985 998 24 12258 1899 30 14780 1911 34 15112 1914 17617 1957 Euler-Bernoulli Nguyờn Sy Nam Trang 101 C hoc ky thuõt 2007-2009 Lun thc s khoa hc Kt lun KT LUN V HNG NGHIấN CU Kt lun Gi thit thit din phng ca dm Euler-Bernoulli ó c chp nhn gn th k Cui th k 19, Timoshenko ó xột ti bin dng trt ca dm Cui th k 20, Reddy v Bickford ó thay th gi thit bin dng phng theo cỏc ng cong bc ba ca ng thng vuụng gúc vi trc ca dm lỳc cha bin dng Bi toỏn giỏ tr riờng ca dm Euler-Bernulli c gii quyt khỏ thun tin bng cụng c gii tớch s Bi toỏn giỏ tr riờng ca dm Timoshenko gii quyt bng cụng c gii tớch s ó rt khú khn Bi toỏn giỏ tr riờng ca dm Reddy Bickford cú l rt khú gii nu s dng cụng c gii tớch s Mt cỏc hng gii quyt l phng phỏp bin i vi phõn Trong lun ny ó trỡnh by cỏch thit lp phng trỡnh vi phõn dao ng ca cỏc dm Euler-Bernulli, Timoshenko v Reddy Bickford Sau ú ó s dng phng phỏp bin i vi phõn tỡm tn s riờng v dng dao ng riờng ca cỏc dm Euler-Bernulli v Timoshenko Rt tic vic tỡm tn s dao ng riờng ca dm Reddy Bickford cha c thc hin xong Hng nghiờn cu tip ti mi dng li vic gii thiu v tớnh toỏn dao ng t ca dm thit din khụng i, ú cú th phỏt trin tip ti theo hng tớnh toỏn dao ng cng bc ca dm, dao ng dm chu ti trng di ng hoc dao ng ca dm cú thit din khụng i bng phng phỏp bin i vi phõn c bit l tớnh toỏn i vi dm Reddy Bickford thỡ cũn rt nhiu phi nghiờn cu tip Nguyn S Nam Trang 102 C hc k thut 2007-2009 Lun thc s khoa hc Kt lun TI LIU THAM KHO [1] Nguyn Vn Khang, Dao ng k thut, NXB Khoa hc k thut, H Ni, 2005 [2] Nguyn Vn Khang, Thỏi Mnh Cu, V Vn Khiờm, Nguyn Nht L, Bi dao ng k thut, NXB Khoa hoc k thut, H Ni, 2002 [3] ng Vit Cng, C hc kt cu, NXB Khoa hoc k thut, H Ni, 2005 [4] inh Vn Phong, Phng phỏp s c hc, NXB Khoa hc k thut, 2005 [5] Trn Ngc An, Nghiờn cu dao ng t ca dm Timoshenko v ỏp dng tớnh toỏn dao ng thõn tu thy, Lun thc s khoa hc, H Ni, 2007 [6] C.M Wang, J.N Reddy and K.H Lee, Shear deformable beams and plates, ELSEVIER, Oxford, 2000 [7] J.N Reddy, Energy Principles and Variational Method in Applied Mechanis, John Wiley, New York, 2002 [8]Shaher Monami, Vedat Sual Ertiirk: Solution of non-linear oscillator by the modified differential transform method, Appl.Math.Comput 55 (2008) 833-842 [9] P.R Heyliger and J.N Reddy, A higher order beam Finite Element for bending and vibration problems, Journal of Sound and Vibration (1988) 126(2),309-326 [10] Shing Huei Ho, Chao Kuang Chen, Free transverse Vibration of an axially loaded non-uniform spinning twisted Timoshenko Beam using differential transform, International Journal of Mechanical Sciences 48 (2006) 1323-1331 Nguyn S Nam Trang 103 C hc k thut 2007-2009 ... thuyết dầm phương pháp biến đổi vi phân Error! Bookmark not defined I Các mô hình dầm II Phương pháp biến đổi vi phân 2.1 Định nghĩa Error! Bookmark not defined 2.2 Một số tính chất phép biến đổi vi. .. nhiều phương pháp tính toán dao động dầm nói phương pháp giải tích, phương pháp số (phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp số hiệu quả),…Trong luận văn đề cập tới phương pháp mẻ, phương pháp. .. phương pháp mẻ, phương pháp nghiên cứu dao động phương pháp biến đổi vi phân (Differential Transform Method - DTM) II PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI VI PHÂN (Differential Transform Method DTM) 2.1 Định