Khóa luận tốt nghiệp vật lý: Phương pháp giải bài tập phương trình vật lý toán phần dao động tự do của sợi dây

MỤC LỤC PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU ............................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài..................................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu .............................................................................................. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................................. 2 4. Giả thuyết khoa học ............................................................................................... 2 5. Phương pháp nghiên cứu ....................................................................................... 2 6. Cấu trúc của khóa luận .......................................................................................... 2 7. Kế hoạch nghiên cứu .............................................................................................. 3 PHẦN HAI: NỘI DUNG ........................................................................................... 4 Chương I: CƠ SỞ TOÁN HỌC ................................................................................ 4 1.1. Phương trình vi phân tuyến tính ....................................................................... 4 1.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất .................................... 4 1.1.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai ....................................................... 4 1.1.2.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có hệ số không đổi ...................................................................................................................................... 4 1.1.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất có hệ số không đổi ..................................................................................................................... 5 1.2. Chuỗi Fourier ....................................................................................................... 6 1.2.1. Khái niệm chuỗi Fourier.................................................................................. 6 1.2.2. Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier .................................................. 7 1.2.3. Hàm chẵn và hàm lẻ ......................................................................................... 9 1.2.4. Các dạng biểu diễn của chuỗi Fourier ......................................................... 10 1.2.4.1. Biểu diễn Fourier dưới dạng lượng giác ................................................... 10 1.2.4.2. Biểu diễn Fourier dưới dạng mũ ............................................................... 13 1.3. Phương trình sóng một chiều ........................................................................... 13 1.3.1. Đại cương về phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình toán lý ................................................................................................................................ 13 1.3.2. Phân loại phương trình toán lý ..................................................................... 15 1.3.2.1. Phương trình Hyperbolic ........................................................................... 15 1.3.2.2. Phương trình Parabolic .............................................................................. 16 1.3.2.3. Phương trình Eliptic ................................................................................... 17 BẢNG PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY ..................................................................................................... 19 Chương II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA SỢI DÂY ..................................................................... 20 2.1. Thiết lập phương trình dao động của sợi dây ................................................ 20 2.1.1. Lập phương trình ........................................................................................... 20 2.1.2. Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên ..................................................... 23 2.2. Một số phương pháp giải bài tập phương trình Vật lý- Toán ...................... 24 2.2.1. Phương pháp D’Alambert ............................................................................. 24 2.2.1.1. Khái quát chung về phương pháp D’Alambert ....................................... 24 2.2.1.2. Dao động của sợi dây vô hạn (bài toán Cauchy) ...................................... 26 2.2.2. Phương pháp tách biến Fourier ................................................................... 29 2.2.2.1. Khái quát chung về phương pháp tách biến Fourier .............................. 29 2.2.2.2. Dao động của sợi dây hữu hạn có hai nút gắn chặt ................................. 31 2.2.3. Phương pháp đặt hàm phụ ............................................................................ 37 2.2.3.1. Khái quát chung về phương pháp đặt hàm phụ ...................................... 37 2.2.3.2. Dao động tự do của sợi dây có hai đầu dao động theo quy luật ............. 38 Chương III: MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU .................................................................. 42 3.1. Phương pháp D’Alembert ................................................................................ 42 3.2. Phương pháp tách biến Fourier ....................................................................... 45 3.3. Phương pháp đặt hàm phụ ............................................................................... 60 PHẦN BA: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ.................................................................. 69 1. Các kết quả đạt được ........................................................................................... 69 1.1. Trình bày chi tiết cơ sở khoa học ..................................................................... 69 1.2. Lập bảng phân loại các dạng bài tập về phương trình dao động của sợi dây………………………………………………………………………………….69 1.3. Phân tích 3 phương pháp kèm ví dụ minh họa .............................................. 69 1.4. Áp dụng kết quả thu được vào việc giải bài tập............................................. 69 2. Các vấn đề còn tồn tại và cần tìm hiểu tiếp theo............................................... 69 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................ 71 1 PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Giữa vật lý và toán học luôn luôn có mối quan hệ hết sức mật thiết. Vật lý học sử dụng công cụ toán học và luôn luôn đặt ra những yêu cầu mới, làm nảy sinh nhiều ngành toán học mới. Ngược lại sự phát triển của vật lý học phụ thuộc đáng kể vào sự phát triển của toán học vì toán đã trở thành một công cụ hết sức mạnh mẽ của việc nghiên cứu vật lý lý thuyết. Trong bộ môn phương trình Vật lý- Toán có sự giao thoa giữa toán và vật lý, do đó nó đã và đang được giảng dạy trong các trường Đại học Khoa học Tự nhiên, khoa Vật lý của các trường Sư phạm, nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức toán cần thiết và các kỹ năng sử dụng toán như một công cụ để học cũng như để nghiên cứu vật lý. Thực tế, khi nghiên cứu và tiếp thu các kiến thức của các học phần thuộc lĩnh vực vật lý lý thuyết của sinh viên nói chung gặp rất nhiều khó khăn. Với kiến thức về toán cao cấp và kiến thức phổ thông đã không đủ đáp ứng nhu cầu học tập và nghiên cứu các môn học như: Cơ học lượng tử, Điện động lực học, Nhiệt động lực học, Vật lý thống kê… Vì vậy yêu cầu đặt ra cho mỗi sinh viên là phải nắm vững kiến thức đại số và giải tích toán học cùng kiến thức cần thiết của phương trình Vật lý- Toán mới có thể nghiên cứu sâu hơn các môn học này. Việc giải một bài tập đòi hỏi sinh viên phải biết kết hợp kiến thức vật lý và toán học, điều này thể hiện rất rõ ở phần bài toán dao động tự do của sợi dây. Là sinh viên Sư phạm Vật lý tôi nhận thấy bộ môn phương trình Vật lý - Toán là môn học tương đối khó, trong đó có các bài toán về dao động tự do của sợi dây. Trong khi đó, ở thời điểm hiện tại, các tài liệu tham khảo về các dạng bài tập này còn hạn chế, các phương pháp còn mang nặng tính khái quát, thiếu cụ thể. 2 Với lí do như trên, tôi đã chọn đề tài có tên “ Phương pháp giải bài tập phương trình vật lý toán phần dao động tự do của sợi dây” để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu - Xây dựng phương pháp giải các bài tập phần dao động tự do của sợi dây. - Cung cấp thêm tài liệu về phần dao động tự do của sợi dây cho sinh viên trong quá trình học tập học phần phương trình Vật lý- Toán. - Giúp mở rộng kiến thức của bản thân. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu và đưa ra cơ sở lý thuyết của các phương pháp để giải bài toán dao động tự do của sợi dây. - Đưa ra hệ thống bài tập giải mẫu, bài tập tự giải có hướng dẫn và đáp số về phần dao động tự do của sợi dây. 4. Giả thuyết khoa học Nếu áp dụng phương pháp giải phù hợp để giải, các bài tập trở nên đơn giản, dễ nhớ. Từ đó giúp việc học tập trở nên nhẹ nhàng và đạt hiệu quả cao hơn. 5. Phương pháp nghiên cứu - Sưu tầm tài liệu. - Nghiên cứu kỹ lý thuyết và từ đó đưa ra phương pháp giải ứng với từng bài tập cụ thể về phần dao động tự do của sợi dây. 6. Cấu trúc của khóa luận - Phần một: Mở đầu. - Phần hai: Nộidung.  Chương I: Cơ sở toán học.  Chương II: Một số phương pháp giải phương trình dao động tự do của sợi dây

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

KIỀU THỊ NGỌC ÁNH

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ TOÁN PHẦN DAO ĐỘNG TỰ DO

CỦA SỢI DÂY

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA - 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS Khổng Cát Cương - Giảng viên

bộ môn Vật lý trường Đại học Tây Bắc - người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ

em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận

Em xin chân thành gửi lời cảm ơn tới Ban Chủ nhiệm khoa Toán - Lý – Tin Các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán – Lý – Tin, phòng KHCN  HTQT, phòng Đào tạo Đại học, Thư viện trường Đại học Tây Bắc đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em hoàn thành khóa luận

Tôi xin chân thành cảm ơn tập thể lớp K50 ĐHSP Vật lý đã có những ý kiến đóng góp và động viên khích lệ tôi để có thể hoàn thành khóa luận này

Sự chỉ bảo, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ về nhiều mặt của các thầy, các cô

và các bạn là những bài học quý báu và là niềm động viên to lớn giúp em hoàn thành khóa luận này

Sơn La, tháng 5 năm 2013

Sinh viên thực hiện

Kiều Thị Ngọc Ánh

MỤC LỤC

PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Giả thuyết khoa học 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc của khóa luận 2

7 Kế hoạch nghiên cứu 3

PHẦN HAI: NỘI DUNG 4

Chương I: CƠ SỞ TOÁN HỌC 4

1.1 Phương trình vi phân tuyến tính 4

1.1.1 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 4

1.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 4

1.1.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có hệ số không đổi 4

1.1.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất có hệ số không đổi 5

1.2 Chuỗi Fourier 6

1.2.1 Khái niệm chuỗi Fourier 6

1.2.2 Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier 7

1.2.3 Hàm chẵn và hàm lẻ 9

1.2.4 Các dạng biểu diễn của chuỗi Fourier 10

1.2.4.1 Biểu diễn Fourier dưới dạng lượng giác 10

1.2.4.2 Biểu diễn Fourier dưới dạng mũ 13

1.3 Phương trình sóng một chiều 13

1.3.1 Đại cương về phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình toán

lý 13

1.3.2 Phân loại phương trình toán lý 15

1.3.2.1 Phương trình Hyperbolic 15

1.3.2.2 Phương trình Parabolic 16

1.3.2.3 Phương trình Eliptic 17

BẢNG PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY 19

Chương II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA SỢI DÂY 20

2.1 Thiết lập phương trình dao động của sợi dây 20

2.1.1 Lập phương trình 20

2.1.2 Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên 23

2.2 Một số phương pháp giải bài tập phương trình Vật lý- Toán 24

2.2.1 Phương pháp D’Alambert 24

2.2.1.1 Khái quát chung về phương pháp D’Alambert 24

2.2.1.2 Dao động của sợi dây vô hạn (bài toán Cauchy) 26

2.2.2 Phương pháp tách biến Fourier 29

2.2.2.1 Khái quát chung về phương pháp tách biến Fourier 29

2.2.2.2 Dao động của sợi dây hữu hạn có hai nút gắn chặt 31

2.2.3 Phương pháp đặt hàm phụ 37

2.2.3.1 Khái quát chung về phương pháp đặt hàm phụ 37

2.2.3.2 Dao động tự do của sợi dây có hai đầu dao động theo quy luật 38

Chương III: MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU 42

3.1 Phương pháp D’Alembert 42

3.2 Phương pháp tách biến Fourier 45

3.3 Phương pháp đặt hàm phụ 60

PHẦN BA: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ 69

1 Các kết quả đạt được 69

1.1 Trình bày chi tiết cơ sở khoa học 69

1.2 Lập bảng phân loại các dạng bài tập về phương trình dao động của sợi dây……….69

1.3 Phân tích 3 phương pháp kèm ví dụ minh họa 69

1.4 Áp dụng kết quả thu được vào việc giải bài tập 69

2 Các vấn đề còn tồn tại và cần tìm hiểu tiếp theo 69

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 71

PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giữa vật lý và toán học luôn luôn có mối quan hệ hết sức mật thiết Vật lý học

sử dụng công cụ toán học và luôn luôn đặt ra những yêu cầu mới, làm nảy sinh nhiều ngành toán học mới Ngược lại sự phát triển của vật lý học phụ thuộc đáng kể vào sự phát triển của toán học vì toán đã trở thành một công cụ hết sức mạnh mẽ của việc nghiên cứu vật lý lý thuyết

Trong bộ môn phương trình Vật lý- Toán có sự giao thoa giữa toán và vật lý,

do đó nó đã và đang được giảng dạy trong các trường Đại học Khoa học Tự nhiên, khoa Vật lý của các trường Sư phạm, nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức toán cần thiết và các kỹ năng sử dụng toán như một công cụ để học cũng như để nghiên cứu vật lý

Thực tế, khi nghiên cứu và tiếp thu các kiến thức của các học phần thuộc lĩnh vực vật lý lý thuyết của sinh viên nói chung gặp rất nhiều khó khăn Với kiến thức

về toán cao cấp và kiến thức phổ thông đã không đủ đáp ứng nhu cầu học tập và nghiên cứu các môn học như: Cơ học lượng tử, Điện động lực học, Nhiệt động lực học, Vật lý thống kê… Vì vậy yêu cầu đặt ra cho mỗi sinh viên là phải nắm vững kiến thức đại số và giải tích toán học cùng kiến thức cần thiết của phương trình Vật lý- Toán mới có thể nghiên cứu sâu hơn các môn học này Việc giải một bài tập đòi hỏi sinh viên phải biết kết hợp kiến thức vật lý và toán học, điều này thể hiện rất rõ

ở phần bài toán dao động tự do của sợi dây

Là sinh viên Sư phạm Vật lý tôi nhận thấy bộ môn phương trình Vật lý - Toán

là môn học tương đối khó, trong đó có các bài toán về dao động tự do của sợi dây Trong khi đó, ở thời điểm hiện tại, các tài liệu tham khảo về các dạng bài tập này còn hạn chế, các phương pháp còn mang nặng tính khái quát, thiếu cụ thể

Với lí do như trên, tôi đã chọn đề tài có tên “ Phương pháp giải bài tập

phương trình vật lý toán phần dao động tự do của sợi dây” để nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

- Xây dựng phương pháp giải các bài tập phần dao động tự do của sợi dây

- Cung cấp thêm tài liệu về phần dao động tự do của sợi dây cho sinh viên trong quá trình học tập học phần phương trình Vật lý- Toán

- Giúp mở rộng kiến thức của bản thân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu và đưa ra cơ sở lý thuyết của các phương pháp để giải bài toán dao động tự do của sợi dây

- Đưa ra hệ thống bài tập giải mẫu, bài tập tự giải có hướng dẫn và đáp số về phần dao động tự do của sợi dây

4 Giả thuyết khoa học

Nếu áp dụng phương pháp giải phù hợp để giải, các bài tập trở nên đơn giản,

dễ nhớ Từ đó giúp việc học tập trở nên nhẹ nhàng và đạt hiệu quả cao hơn

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sưu tầm tài liệu

- Nghiên cứu kỹ lý thuyết và từ đó đưa ra phương pháp giải ứng với từng bài tập cụ thể về phần dao động tự do của sợi dây

6 Cấu trúc của khóa luận

- Phần một: Mở đầu

- Phần hai: Nộidung

 Chương I: Cơ sở toán học

 Chương II: Một số phương pháp giải phương trình dao động tự do của sợi

 Chương III: Một số bài tập mẫu

- Phần ba: Kết luận và đề nghị

7 Kế hoạch nghiên cứu

- Từ tháng 9/2012 đến tháng 10/2012: Sưu tầm tài liệu, hoàn thành đề cương chi tiết

- Từ tháng 11/2012 đến tháng 1/2013: Nghiên cứu lý thuyết, phân loại các bài tập, xây dựng phương án giải bài tập phần dao động tự do của sợi dây

- Từ tháng 2/2013 đến giữa tháng 3/2013: Viết khóa luận, xin ý kiến tham khảo

- Từ giữa tháng 3/2013 đến hết tháng 4/2013: Chỉnh sửa và hoàn thiện khóa luận

- Tháng 5/2013: Bảo vệ khóa luận

PHẦN HAI: NỘI DUNG Chương I: CƠ SỞ TOÁN HỌC

1.1 Phương trình vi phân tuyến tính

1.1.1 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

Phương trình dạng: y + p(x)y = C(x) (1.1)

Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số

 Bước 1: Giải phương trình thuần nhất: y + p(x)y = 0 (1.2)

Nếuy0khi đó phương trình (1.2) trở thành dy  

1.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

1.1.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có hệ số không đổi

Phương trình dạng: y + py + qy = 0  (1.3)

 Bước 1: Giải phương trình đặc trưng 2

k + pk + q=0 (1.4) Trong tập số phức C phương trình này có nghiệm là

 Bước 2: Xác định nghiệm tổng quát

+ Nếu k1và k2 là các nghiệm thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình là: k x 1

y=C e +C e với C1, C2 là các hằng số tùy ý

 Nếu k1 và k2 là các nghiệm thực trùng nhau Khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình độc lập tuyến tính với nhau có dạng: k x 1

 Nếu k1và k2là các nghiệm liên hợp phức: k = α + iβ1 , k = α - iβ2

khi đó hai nghiệm riêng của (1.3) là: y = e1 α + iβ x , y = e2 α - iβ x

cũng là 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính Thay vào (1.3) ta có nghiệm tổng quát của (1.3) có dạng: αx 

 y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng

y + py + q = 0  (cách giải phương trình này đã trình bày ở trên)

 *

y là một nghiệm riêng của phương trình (1.5)

Khi f(x) có dạng đặc biệt thì nghiệm y*

này được xác định như sau:

 Trường hợp 1: αx

n

f(x) = e P (x) (1.6) Trong đó α là hằng số thực, P (x)n là đa thức bậc n của x

+ Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) thì một nghiệm

riêng của phương trình có dạng: * αx

n

y = e Q (x) (1.7) + Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (1.4) thì một nghiệm riêng

của phương trình có dạng: * αx

n

y = xe Q (x) (1.8) + Nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (1.4) thì một nghiệm riêng

của phương trình có dạng: * 2 αx

n

y = x e Q (x) (1.9) Thay y* vào phương trình (1.5) và đồng nhất ta hai vế ta được (n+1) phương

trình bậc nhất của (n+1) ẩn là hệ số của Q (x)n từ đó xác định được Q (x)n

 Trường hợp 2: αx 

f(x) = e P (x)cosβx + P (x)sinβx

Trong đó P (x)m và P (x)n là các đa thức bậc m, n; α, β là hằng số thực

+ Nếu α ± iβ không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) thì một

nghiệm riêng của phương trình có dạng: * αx 

y = e Q (x)cosβx + R (x)sinβx (1.10) + Nếu α ± iβ là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) thì một nghiệm riêng

của phương trình có dạng: * αx 

y = xe Q (x)cosβx + R (x)sinβx (1.11) Trong đó: Q (x), R (x)1 1 là các đa thức bậc l = max m,n 

Để xác định Q1(x), R1(x) thay y* vào phương trình rồi cân bằng hệ số của

sinβx, cosβx

1.2 Chuỗi Fourier

Tập các hàm 1,sinnπx,cosnπx

 là các hàm riêng trực giao nhau trong khoảng

(-L,L) Hàm f(x) được gọi là trơn từng khúc trong một khoảng nào đó có nghĩa là khoảng này có thể chia ra nhiều khoảng nhỏ, mà trong mỗi khoảng nhỏ đó, hàm f(x)

1.2.2 Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier

 Điều kiện Dirichlet để tồn tại một chuỗi Fourier là:

- Hàm f(x) phải đơn trị và tuần hoàn với chu kỳ 2L

- Hàm f(x) có một số hữu hạn các cực đại và cực tiểu, một số hữu hạn các điểm gián đoạn trong khoảng (-L,L)

 Giả sử khoảng (-L,L) là khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x) Chuỗi Fourier xác định ở điểm x ngoài khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x), khi đó cho phép khai triển tuần hoàn hàm f(x) xác định ngoài khoảng Fourier đầy đủ

 Dấu bằng (=) trong biểu thức (1.12) có thể được trình bày bằng dấu gần bằng (), có nghĩa là "tương đương với ", bởi vì chuỗi bên phải không phải hội tụ thành hàm f(x) đối với mọi giá trị của x Chuỗi Fourier chỉ biểu diễn hàm f(x) trong khoảng Fourier đầy đủ

Một cách chọn khác, người ta có thể xác định hàm f(x)là sự mở rộng của hàm f(x) bên ngoài khoảng Fourier đầy đủ Như vậy, hàm f(x)là mở rộng tuần hoàn của hàm f(x), -L  x  L có tính chất f(x+2L) = f(x), ngược lại hàm f(x) đối với mọi x không phải là hàm tuần hoàn

 Hàm f(x) gọi là có một biểu diễn chuỗi Fourier khi các hệ số ao, an và bn được tính cụ thể Do đó, có một số hàm không có biểu diễn chuỗi Fourier, ví dụ như các hàm: 1 1, 2

x x không có biểu diễn chuỗi lượng giác Fourier trong khoảng (-L,L) Chú

ý rằng, các hàm này không xác định ở một hoặc vài điểm trong khoảng (-L,L)

 Hàm f(x) được gọi là có bước nhảy gián đoạn tại điểm xo nếu:

Nếu hàm f(x) và hàm f x là hàm liên tục từng khúc trong khoảng (-L,L) thì

biểu diễn chuỗi Fourier của hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện:

 Hội tụ về hàm f(x) tại điểm mà hàm f(x) là liên tục

 Hội tụ về đoạn mở rộng tuần hoàn của hàm f(x) nếu x ở ngoài khoảng Fourier đầy đủ

+ Tại điểm x0 có bước nhảy gián đoạn hữu hạn thì biểu diễn chuỗi Fourier của hàm f(x) hội tụ về    + -

1

f x +f x

2  là giá trị trung bình của giới hạn trái và phải

của bước nhảy gián đoạn

  được gọi là dao động điều hòa thứ n Dao động điều

hòa thứ nhất (n = 1) được gọi là dao động điều hòa cơ bản

 

L

0 0

1.2.4 Các dạng biểu diễn của chuỗi Fourier

1.2.4.1 Biểu diễn Fourier dưới dạng lượng giác

Biểu diễn Fourier dưới dạng lượng giác có dạng:

-L

nπxf,cos

Ngoài ra, trong một số trường hợp dạng của hàm f(x) được xác định như sau:

 Trường hợp 1: Hàm f(x) xác định trong khoảng  x 2L

Với f x + 2L = f x    có biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác Fourier như sau:

α+2L 0

α

b = f(x)sin dx

 Trường hợp 2: Hàm f(x) xác định trong khoảng  , 

Hàm f(x) có biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác Fourier như sau:

π 0

1

a = f(x)cosnxdx

π n -π

1

b = f(x)sinnxdx

 Trường hợp 3: Hàm f(x) liên tục, khả vi, đơn trị trên khoảng -π,π

Hàm f(x) có thể phân tích thành tích phân Fourier như sau:

L 2i (1.13)

1.2.4.2 Biểu diễn Fourier dưới dạng mũ

Từ (1.13) ta có khai triển chuỗi Fourier dạng mũ

1.3.1 Đại cương về phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình toán lý

Phương trình đạo hàm riêng cấp m là phương trình có dạng:

Phương trình vật lý toán là các phương trình mô tả sự biến thiên của trường theo thời gian có dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng Các phương trình vật lý toán cơ bản thường gặp đó là các phương trình dao động sóng, phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace

Trong các bài toán vật lý, phương trình thường gặp là các phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai (m = 2) Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai với hai biến số độc lập x, y là hệ thức liên hệ giữa đạo hàm chưa biết u(x,y) và đạo hàm riêng của nó đến cấp hai:

trong đó A, B, C, D, E, F, G là các hàm chỉ phụ thuộc vào x, y

Nếu các hệ số của phương trình không phụ thuộc vào x, y thì nó là phương trình tuyến tính với hệ số hằng Phương trình gọi là tuyến tính thuần nhất khi G x,y =0 

1.3.2 Phân loại phương trình toán lý

Nhờ phép biến đổi thích hợp ta có thể đưa phương trình (1.14) về một trong ba dạng sau

Phương trình (1.15) là dạng chính tắc thứ hai của phương trình loại Hyperbolic Dạng đơn giản nhất của phương trình Hyperbolic là phương trình dao động của dây: 2 2 2

- Nếu g x,t = 0  dao động là dao động tự do

- Nếug x,t 0 dao động là dao động cưỡng bức

Để tìm nghiệm dưới dạng tường minh, cần phải có các điều kiện biên cho phương trình dao động Các dạng điều kiện biên cho phương trình dao động của dây thường có dạng sau:

a Điều kiện Dirichlet: Sự di chuyển của các đầu dây có dạng

B(u) = u(0,t) = g (t)B(u) = u(l,t) = g (t)

b Điều kiện biên Neumann: Đạo hàm của các đầu dây có dạng

u(0,t)B(u) = = g (t)

xu(l,t)B(u) = = g (t)



 ; nlà vectơ pháp tuyến đơn vị

Điều kiện ban đầu cho bài toán dao động của dây là hình dạng ban đầu và vận tốc ban đầu: u(x,0) = f(x) ; u x,0   

= F xt

2 2 2

Phương trình (1.19) được gọi là phương trình Eliptic Dạng đơn giản nhất của phương trình Eliptic là phương trình Laplace:

 Chú ý: Các phương trình vi phân đạo hàm riêng thường có vô số nghiệm, vì vậy

ta phải đặt thêm các điều kiện phụ sau để xác định nghiệm của chúng

+ Điều kiện ban đầu cho biết trạng thái lúc t = 0

+ Điều kiện biên cho biết quá trình xảy ra ở biên của không gian

Từ đây hình thành ba bài toán đối với các phương trình vật lý toán

+ Bài toán hỗn hợp là bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu và điều kiện biên

+ Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu

+ Bài toán dừng là bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện biên Trong các bài toán trên, ta phải đặt ra các điều kiện phụ sao cho nghiệm của bài toán đó tồn tại duy nhất và phụ thuộc liên tục vào các điều kiện này, nghĩa là sai

số nhỏ của các điều kiện phụ (do sai số của các phép đo trong thực tế) chỉ kéo theo sai số nhỏ của nghiệm

Dưới đây là bảng phân loại các dạng bài tập về phương trình dao động của sợi dây

BẢNG PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY

(Phương trình sóng một chiều trong tọa độ Đề các)

Chiều dài dây

2

u - a u = G(x,t)  

Điều kiện ban đầu

Độ lệch ban đầu u(x,t) t = 0= 0

Điều kiện biên

(cho biết quy luật

Chương II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA SỢI DÂY

2.1 Thiết lập phương trình dao động của sợi dây

2.1.1 Lập phương trình

Xét một dây căng, bị gắn chặt ở hai đầu Chúng ta hiểu dây là sợi chỉ mảnh, tự

do bị uốn cong, có thể thay đổi hình dạng

Nếu tại một điểm M nào đó, sợi

dây được cắt ra thành hai đoạn, dây này

sẽ tác động một lực theo phía của đoạn

dây kia, hướng theo tiếp tuyến tại điểm

M Lực này gọi là lực căng T Nói

chung, lực căng T phụ thuộc vào vị trí

của điểm M và thời gian t Hình 2.1

Ta xét một sợi dây được căng thẳng theo trục Ox (hình 2.1)

Bằng cách làm cho sợi dây dao động, nó sẽ bị lệch ra khỏi vị trí cân bằng Trước hết, ta giả sử sợi dây rất mảnh, dễ uốn và lực căng T của sợi dây tương đối lớn so với trọng lượng của nó, do đó khi tính toán, ta có thể bỏ qua trọng lượng của sợi dây

Giả sử ở vị trí cân bằng dây trùng với trục Ox và giả sử dây dao động ngang, tức là trong quá trình dao động, sợi dây luôn nằm trong cùng một mặt phẳng và mỗi điểm của sợi dây đều chuyển động thẳng góc với trục Ox

Ký hiệu u là độ lệch của dây so với vị trí cân bằng của điểm có hoành độ x trên sợi dây ở thời điểm t Như vậy độ lệch u là hàm phụ thuộc vào x và t: u = u x,t 

Giả sử thêm là dao động của dây khá nhỏ, do đó độ lệch u(x,t) của dây và đạo

Xét một đoạn dây bất kỳ (x1, x2) ở vị trí

cân bằng (hình 2.2) và khi dao động nó biến

thành M M1 2, chiều dài của M M1 2 bằng:

Tức là độ dài (x1, x2) khi dây còn ở vị Hình 2.2

trí cân bằng Như vậy chiều dài của mỗi đoạn dây không thay đổi trong quá trình dao động của dây Do đó, theo định luật Hooke, độ lớn lực căng T tại mỗi điểm của sợi dây không thay đổi theo thời gian

Chúng ta chứng minh rằng lực căng T có thể coi không phụ thuộc x, nghĩa là

T  hằng số

Thật vậy, trên đoạn M M1 2 của sợi dây có ba lực tác động:

- Lực căng hướng theo tiếp tuyến với sợi dây tại M1 và M2

- Ngoại lực vuông góc trục Ox vì dây dao động ngang

- Lực quán tính vuông góc trục Ox vì dây dao động ngang

Ta sử dụng nguyên lý D’ Alembert: trong chuyển động của đoạn dây, tổng các lực tác động vào đoạn dây đó bằng 0

Ta chiếu xuống Ox sẽ nhận được: T x 2 cosα x 2 - T x cosα x = 0 1  1

Trong đó (x) là góc giữa tiếp tuyến với sợi dây tại điểm có hoành độ x và thời điểm t với chiều dương của trục Ox Vì ta xét dao động nhỏ nên:

Suy ra: T(x2)  T(x1)  T là hằng số với mọi x, t

Ta chiếu các lực xuống trục Ou Khi đó:

- Hình chiếu trên trục Ou của tổng các lực căng của sợi dây tại M1 và M2 bằng:

τ = Tsinα x - Tsinα x = T sinα x - sinα x 2  1   2  1 

Vậy (2.1) là phương trình mô tả dao động cưỡng bức của sợi dây nếu p x,t 0

- Nếu sợi dây đồng chất, tức là (x) =  = const thì phương trình có dạng:

2.1.2 Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên

Các phương trình (2.1), (2.2), (2.3) có vô số nghiệm Do đó muốn xác định được nghiệm u(x,t) thì ngoài các phương trình dao động của dây, ta còn phải đặt thêm các điều kiện phụ thuộc để xác định nghiệm vật lý của chúng Do vậy, ta cần phải biết thêm các điều kiện sau:

- Độ lệch ban đầu của sợi dây: u x,0 = f x    (2.4)

- Vận tốc ban đầu của các điểm của dây: u x,0   

= F xt

Các điều kiện (2.4), (2.5) được gọi là các điều kiện ban đầu, còn các điều kiện (2.6), (2.7) được gọi là các điều kiện biên Ở đây các hàm f(x), F(x), μ t1 , μ t2 

được cho trước

Nếu sợi dây khá dài mà ta chỉ quan tâm khảo sát khoảng giữa của dây khá xa

hai đầu của dây sao cho ảnh hưởng của hai đầu dây có thể bỏ qua được, thì ta có thể coi như sợi dây dài vô hạn về hai phía Khi đó dao động của khoảng giữa của dây chỉ chịu ảnh hưởng của điều kiện ban đầu, và ta coi như bài toán không có điều kiện biên Bài toán tìm nghiệm u = u(x,t) của phương trình (2.1) (hoặc (2.2); (2.3)) chỉ thỏa mãn các điều kiện ban đầu (2.4), (2.5) được gọi là bài toán Cauchy

2.2 Một số phương pháp giải bài tập phương trình Vật lý- Toán

Không có phương pháp tổng quát để giải phương trình (1.14) nói chung và phương trình toán lý nói riêng Người ta phân loại chúng theo 3 nhóm lớn, mỗi nhóm lớn lại được phân chia thành các nhóm nhỏ tùy theo một số dấu hiệu sau:

 Đặc điểm toán học của phương trình (là thuần nhất hay không thuần nhất)

 Đặc điểm hình học của miền không gian nghiệm (là một, hai hay ba chiều, hữu hạn hay vô hạn)

 Hệ tọa độ sử dụng (trụ, cầu, Đề-các)

 Cách cho điều kiện ban đầu và điều kiện biên

Như vậy có thể thấy phương trình toán lý rất đa dạng, phong phú Việc nghiên cứu, tìm ra các phương pháp để giải chúng hiện vẫn đang là vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm, giải quyết

Trong phần dao động tự do của sợi dây người ta thường sử dụng các phương pháp sau:

Đưa phương trình về dạng dễ giải hơn bằng cách đổi biến số thích hợp

b Tóm lược bước giải

Để tìm nghiệm u(x,y) của phương trình

 Bước 3:

Giải phương trình với ẩn hàm u(ξ,η) rồi trở về biến cũ ta tìm được nghiệm u(x,y) của phương trình

2.2.1.2 Dao động của sợi dây vô hạn (bài toán Cauchy)

Bài toán : Xét một sợi dây dài vô hạn

Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình

điều kiện ban đầu: t = 0

thoả mãn điều kiện (2.14) và (2.15)

Giải bài toán bằng phương pháp D’Alambert

lấy tại điểm x ở thời điểm t có giá trị bằng giá trị mà nó lấy tại điểm x - at ở thời điểm t = 0 Vẽ đồ thị hàm ψ x - at  suy ra từ đồ thị của hàm ψ x  bằng phép tịnh tiến một đoạn at song song với trục hoành Ta nói hàm ψ x - at  biểu diễn một sóng truyền sang phải với vận tốc a

Ý nghĩa vật lý của nghiệm tổng quát

Mọi nghiệm của phương trình (2.16) đều là kết quả của việc chồng chập của

hai sóng: một sóng truyền sang trái, một sóng truyền sang phải với vận tốc a, a gọi

Ý nghĩa vật lý của nghiệm D’Alembert

Các đường cong đặc trưng cho bởi họ các đường x - at = const, x + at = const

Chọn điểm (x ,t )0 0 trong mặt phẳng (x,t) thu được hai đường cong đặc trưng

x + at = x + at và x - at = x - at0 0 các đường này đi qua điểm (x ,t )0 0

Nghiệm tại thời điểm t = t0 và vị trí x = x0 phụ thuộc vào các số liệu ban đầu giữa các điểm x - at0 0 và x + at0 0

Số hạng đầu tiên của nghiệm D’Alembert là giá trị trung bình của hình dạng sóng lúc ban đầu di chuyển về bên phải và hình dạng sóng lúc ban đầu di chuyển về bên trái tại(x ,t )0 0

Số hạng thứ hai là tích phân của F giữa hai miền x - at0 0 và x + at0 0, miền

x - at  x x + at được gọi là miền phụ thuộc

2.2.2 Phương pháp tách biến Fourier

2.2.2.1 Khái quát chung về phương pháp tách biến Fourier

a Định hướng:

Chuyển bài toán giải phương trình đạo hàm riêng thành bài toán giải phương trình

vi phân thường (dạng phương trình dễ giải hơn và đã được nghiên cứu đầy đủ hơn)

b Tóm lược các bước giải:

Để tìm nghiệm u( x,y) thỏa mãn phương trình:

 Bước 2:

Thế vào phương trình rồi thực hiện việc tách biến, nghĩa là đưa phương trình, nếu có thể, về dạng mà những hàm số ở cùng một vế thì chứa cùng một biến, ta được: Φ x,X x ,X x ,X x = H y,Y y ,Y y ,Y y                 

Rõ ràng việc tách biến chỉ có thể tiến hành được nếu B  0, G(x,y)0

Khi đó phương trình có dạng: AX'' + DX' + F = CY'' + EY'

Đây là phương trình tách biến nếu:

- A, D là hằng số hoặc chỉ phụ thuộc x

- C, E là hằng số hoặc chỉ phụ thuộc y

- F là hằng số hoặc chỉ phụ thuộc một biến x hoặc y

Ngoài ra ta còn có thể tách biến trong một số trường hợp đơn giản khác, chẳng hạn:

D = E = 0, A = A x A1   2 y , C = C x C y , F = βA1   2 2   y C x1 ( là hằng số) Khi đó phương trình trở thành:

Qua những phân tích trên ta thấy

- Chỉ nên áp dụng trực tiếp phương pháp này đối với các phương trình đơn giản có những đặc điểm sau:

+Phương trình thuần nhất

+ Hệ số hằng hoặc chỉ phụ thuộc vào một biến hoặc có dạng tích của hai hàm trong đó mỗi hàm chỉ phụ thuộc vào một biến (các phương trình vật lý toán cơ bản thuần nhất đều có những đặc điểm trên)

- Khi giải các phương trình không thuần nhất nên kết hợp phương pháp tách biến với phương pháp đặt hàm phụ hoặc phương pháp tìm nghiệm dưới dạng chuỗi

để đạt hiệu quả cao hơn

Sau đây ta sẽ vận dụng phương pháp này vào việc giải phương trình dao động của sợi dây

2.2.2.2 Dao động của sợi dây hữu hạn có hai nút gắn chặt

Bài toán : Xét dao động tự do của sơi dây có chiều dài L (L > 0) hai đầu của

sợi dây được gắn chặt Thiết lập dao động của sợi dây, với

điều kiện ban đầu:

= F xt

Bài toán được phát biểu dưới dạng toán học như sau

Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình vi phân

2

u - a u = 0   , 0 < x < L (2.24)

thỏa mãn các điều kiện( 2.22) và (2.23)

Theo phân tích trên có thể giải bài toán bằng phương pháp tách biến

 Bước 1:

Giả sử nghiệm riêng của bài toán chỉ thỏa mãn phương trình và các điều kiện

biên có thể viết dưới dạng tích của một hàm chỉ phụ thuộc vào x, một hàm chỉ phụ

Nhận xét: Vế trái của đẳng thức này không phụ thuộc vào t, vế phải không phụ

thuộc vào x Do đó cả X X  và T T  không phụ thuộc vào x và t Vậy hai vế bằng

nhau khi chúng cùng bằng một hằng số C Nghĩa là: