Luận án Tiến sĩ Nghiên cứu dao động tự do của kết cấu vỏ liên hợp bằng vật liệu có cơ tính biến thiên được bao quanh bởi nền đàn hồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - - LÊ QUANG VINH NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA KẾT CẤU VỎ LIÊN HỢP BẰNG VẬT LIỆU CĨ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN ĐƯỢC BAO QUANH BỞI NỀN ĐÀN HỒI LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC Hà Nội BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - - LÊ QUANG VINH NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA KẾT CẤU VỎ LIÊN HỢP BẰNG VẬT LIỆU CĨ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN ĐƯỢC BAO QUANH BỞI NỀN ĐÀN HỒI Ngành: Cơ học Mã số: 9440109 LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN MẠNH CƯỜNG GS.TSKH NGUYỄN ĐÔNG ANH Hà Nội LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan tồn nội dung, kết trình bày luận án kết nghiên cứu thân hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Mạnh Cường GS.TSKH Nguyễn Đông Anh Trừ phần tham khảo ghi rõ luận án, số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Người cam đoan PGS TS Nguyễn Mạnh Cường Lê Quang Vinh GS TSKH Nguyễn Đông Anh LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Mạnh Cường GS.TSKH Nguyễn Đơng Anh, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, tạo điều kiện động viên suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Tác giả chân thành cảm ơn tập thể thầy, cô môn Cơ học ứng dụng, môn Cơ học vật liệu kết cấu trường Đại học Bách khoa Hà nội tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ hướng dẫn suốt thời gian tác giả nghiên cứu môn Tác giả trân trọng cảm ơn tập thể giảng viên nhóm seminar “Cơ học vật rắn biến dạng” – Đại học Bách khoa Hà nội, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Công nghệ, Đại học Xây dựng, Đại học Kiến trúc, Học viện Hậu cần, Học viện Kỹ thuật Quân sự, Đại học thủy lợi, Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái nguyên, Đại học Công nghiệp Việt trì…đã đóng góp nhiều ý kiến q báu có giá trị cho nội dung đề tài luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Trường Đại học Cơng nghiệp Việt Trì tập thể cán bộ, giảng viện Khoa Cơ khí giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi thời gian, vật chất, tinh thần để hoàn thành nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thành viên gia đình, bạn bè, đồng nghiệp thông cảm, tạo điều kiện chia sẻ khó khăn suốt q trình học tập nghiên cứu luận án NCS Lê Quang Vinh MỤC LỤC Trang DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT iv DANH MỤC CÁC BẢNG vi DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH - ĐỒ THỊ iix MỞ ĐẦU CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Vật liệu có tính biến thiên ứng dụng .6 1.2 Tình hình nghiên cứu giới 1.2.1 Nghiên cứu dao động tự kết cấu vỏ trụ, nón cụt, vành tròn làm FGM 1.2.2 Nghiên cứu dao động tự kết cấu vỏ trụ, nón cụt, vành trịn làm FGM bao quanh đàn hồi .10 1.2.3 Các nghiên cứu dao động kết cấu vỏ liên hợp dạng bậc, vỏ ghép nối 11 1.3 Tình hình nghiên cứu Việt Nam 12 1.4 Phương pháp PTLT (hoặc ma trận độ cứng động lực) tính dao động tự kết cấu vỏ FGM tròn xoay 14 1.4.1 Lịch sử phương pháp 14 1.4.2 Các bước giải phương pháp 17 1.4.3 Các phương pháp tính ma trận truyền T() 18 1.4.4 Thuật toán William-Wittrick 18 1.4.5 Phương pháp giải sử dụng đường cong đáp ứng 19 1.5 Kết luận Chương 21 CHƯƠNG NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA KẾT CẤU VỎ NĨN CỤT, TRỤ VÀ VÀNH TRỊN LÀM BẰNG FGM CĨ VÀ KHƠNG TƯƠNG TÁC VỚI NỀN ĐÀN HỒI 22 2.1 Các phương trình tính tốn vỏ đối xứng trục bao quanh đàn hồi Winkler-Pasternak 22 2.1.1 Mơ hình đàn hồi Winkler-Pasternak 22 2.1.2 Phương trình chuyển động vỏ FGM đối xứng trục xét đến ảnh hưởng đàn hồi Pasternak 24 2.2 Mơ hình Phần tử liên tục cho kết cấu FGM đối xứng trục có khơng tương tác với đàn hồi 28 2.3 Kết tính tốn tần số dao động cho kết cấu vỏ trụ, nón cụt, vành trịn làm vật liệu FGM có khơng tương tác với đàn hồi 36 2.3.1 Kết cấu vỏ trụ FGM có khơng tương tác với đàn hồi 36 2.3.2 Kết cấu vỏ nón cụt FGM có khơng tương tác với đàn hồi 42 2.3.3 Kết cấu vành tròn FGM có khơng tương tác với đàn hồi 51 2.4 Kết luận chương 54 CHƯƠNG NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA CÁC KẾT CẤU VỎ FGM ĐỐI XỨNG TRỤC DẠNG BẬC CĨ VÀ KHƠNG TƯƠNG TÁC VỚI NỀN ĐÀN HỒI .56 3.1 Mơ hình tính dao động tự vỏ nón cụt dạng bậc FGM có khơng tương tác với đàn hồi 56 3.1.1 Điều kiện cân liên tục bậc vỏ nón cụt dạng bậc FGM 58 3.1.2 Ma trận độ cứng động lực vỏ nón cụt dạng bậc FGM 58 3.1.3 Kết thảo luận 64 3.2 Mơ hình PTLT cho dao động tự cho vành bậc FGM có khơng tương tác với đàn hồi 72 3.2.1 Điều kiện cân liên tục bậc phần tử vành 73 3.2.2 Ma trận độ cứng động lực vành bậc FGM .74 3.2.3 Kết thảo luận 75 3.3 Mơ hình PTLT cho dao động tự cho vỏ trụ bậc FGM có khơng tương tác với đàn hồi 79 3.3.1 Điều kiện cân liên tục bậc phần tử vỏ trụ 80 3.3.2 Ma trận độ cứng động lực vỏ trụ bậc FGM .81 3.3.3 Kết thảo luận 84 3.3.4 Nhận xét 92 3.4 Kết luận chương 92 CHƯƠNG NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA CÁC KẾT CẤU VỎ LIÊN HỢP FGM ĐỐI XỨNG TRỤC CĨ VÀ KHƠNG TƯƠNG TÁC VỚI NỀN ĐÀN HỒI 95 4.1 Mơ hình khảo sát dao động tự vỏ nón-trụ FGM có khơng tương tác với đàn hồi 95 4.2 Tính tốn tần số dao động vỏ nón-trụ FGM có khơng tương tác với đàn hồi 96 4.2.1 Mơ hình vỏ nón-trụ FGM có khơng tương tác với đàn hồi 96 4.2.2 Điều kiện cân liên tục vỏ nón-trụ FGM tương tác với đàn hồi 96 4.2.3 Ma trận độ cứng động lực vỏ nón-trụ FGM tương tác với đàn hồi 97 4.2.4 Kết thảo luận 100 4.2.5 Nhận xét 106 4.3 Tính tốn tần số dao động vỏ liên hợp nón-vành-trụ FGM tương tác với đàn hồi 107 4.3.1 Mơ hình vỏ liên hợp nón-vành-trụ FGM tương tác với đàn hồi 107 4.3.2 Điều kiện cân liên tục vỏ liên hợp nón-vành-trụ FGM tương tác với đàn hồi .108 4.3.3 Ma trận độ cứng động lực vỏ liên hợp nón-vành-trụ FGM tương tác với đàn hồi 109 4.3.4 Kết thảo luận 111 4.3.5 Nhận xét 116 4.4 Tính tốn tần số dao động vỏ trụ FGM có gân gia cường 118 4.4.1 Mơ hình vỏ trụ FGM có gân gia cường 118 4.4.2 Điều kiện cân liên tục cho vỏ trụ FGM có gân gia cường .118 4.4.3 Ma trận độ cứng động lực vỏ trụ FGM có gân gia cường .119 4.4.4 Kết thảo luận 121 4.4.5 Nhận xét 125 4.5 Kết luận chương 125 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 127 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN .129 TÀI LIỆU THAM KHẢO 131 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT [A]: Ma trận độ cứng màng [B]: Ma trận độ cứng tương tác màng–uốn-xoắn [C]: Ma trận độ cứng quan hệ ứng suất–biến dạng vật liệu dị hướng C: Biên ngàm [D]: Ma trận độ cứng uốn Ei: Mô đun đàn hồi kéo, nén theo phương i E(z): Mô đun đàn hồi vật liệu FGM, hàm tọa độ z Em: Mô đun đàn hồi kim loại Ec: Mô đun đàn hồi gốm (z): Hệ số Poisson vật liệu FGM, hàm tọa độ z p: Số mũ tỉ lệ thể tích f: Hệ số hiệu chỉnh cắt FGM: Functionally Graded Material - Vật liệu có tính biến thiên F: Biên tự [F]: Ma trận độ cứng cắt : Véc tơ lực Gij: Mô đun đàn hồi trượt h: Chiều dày vỏ hk: Chiều dày lớp vật liệu thứ k kx, k, kx: Các thành phần biến dạng uốn xoắn vỏ hệ tọa độ trụ [K()]: Ma trận độ cứng động lực L: Chiều dài đường sinh vỏ Mx, M, Mx: Các thành phần mô men uốn xoắn vỏ Nx, N, Nx: Các thành phần lực màng vỏ PTLT: Phần tử liên tục PTHH: Phần tử hữu hạn Qx, Q: Các thành phần lực cắt vỏ [Qij]: Ma trận độ cứng thu gọn : Véc tơ lực kích thích R: Bán kính vỏ S: Biên tựa [T()]: Ma trận truyền u, v, w: Các thành phần chuyển vị theo phương x,y,z u0, v0, w0; Các thành phần chuyển vị mặt trung bình vỏ : Véc tơ chuyển vị : Véc tơ trạng thái (x,z,θ): Hệ tọa độ trụ (x,y,z): Hệ tọa độ đề zk, zk-1: Tọa độ biên lớp thứ k α: Góc nón xz, z: Các thành phần biến dạng cắt vỏ hệ tọa độ trụ x, , x: Các thành phần biến dạng màng vỏ hệ tọa độ trụ (k): Khối lượng riêng lớp thứ k ρ Khối lượng riêng ij: Hệ số poisson vật liệu theo phương ij x, : Các thành phần góc xoay quanh trục θ trục x : Hàm vận tốc : Tần số dao động tự : Tần số dao động tự không thứ nguyên kw: Hệ số đàn hồi Winkler đàn hồi (N/m3 ) kp: Hệ số trượt đàn hồi Pasternak (N/m) DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1 Tính chất số vật liệu thành phần vật liệu FGM [6] Bảng So sánh tần số vỏ trụ FGM với điều kiện biên C - C, .37 Bảng 2 Ba tần số vỏ trụ FGM với điều kiện biên ngàm-ngàm 37 Bảng Mười tần số vỏ trụ FGM có thuộc tính vật liệu là: FGM2I(a=1/b=0.5/c=2/p) điều kiện biên F-C 40 Bảng Mười tần số vỏ trụ FGM có thuộc tính vật liệu là: FGM2II(a=1/b=0.5/c=2/p) điều kiện biên F-C .41 Bảng Thuộc tính vật liệu FGM làm vỏ nón 43 Bảng So sánh tần số dao động riêng không thứ nguyên Ω nhỏ vỏ nón cụt làm vật liệu FGM1I bao quanh đàn hồi WinklerPasternak với hệ số đàn hồi kw, kp thay đổi 43 Bảng So sánh tần số dao động riêng không thứ nguyên nhỏ Ω vỏ nón cụt làm vật liệu FGM1I FGM1II bao quanh đàn hồi WinklerPasternak với hệ số đàn hồi kw, kp thay đổi 44 Bảng Sự thay đổi tần số dao động riêng nhỏ ứng với tỉ số L/R1, hệ số đàn hồi kw kp khác (h = 0.01m, R1= 1,  = 30◦, điều kiện biên C-C) 45 Bảng Ảnh hưởng tỉ số R2/R1, hệ số đàn hồi kw, kp số mũ p đến tần số dao động riêng (h = 0.01m, R1= 2,  = 30◦, điều kiện biên F-C ) 45 Bảng 10 Ảnh hưởng số mũ p, tỉ số h/R 1, điều kiện biên liên kết vỏ(C-C, SSSS) kiểu hàm tỉ lệ thể tích đến tần số dao động riêng (Hz) vỏ nón cụt FGM 49 Bảng 11 Tám tần số vỏ nón cụt FGM (FGM2I(a=0/b=-0.5/c=2/p); R1=0.5m, h=0.1m, L.cosα=2m, α=40o), điều kiện biên F - C 50 Bảng 12 Tám tần số vỏ nón cụt FGM, điều kiện biên F - C 50 Bảng 13 Mười tần số vành trịn có thuộc tính vật liệu FGM2I–II(a=0/b=-0.5/c=2/p) với số mũ p khác điều kiện biên F-C .52 Bảng 14 Mười tần số vành tròn có thuộc tính vật liệu FGM2 I–II(a=1/b=0.5/c=4/p) với số mũ p khác điều kiện biên F-C 53 Bảng 15 Ảnh hưởng đàn hồi Pasternak (k w, kp) đến tần số dao động riêng vành tròn FGM với điều kiện biên F-C .53 giảm dần vỏ trụ-vành-nón tăng dần vỏ trụ-nón - Đối với kết cấu có chiều dày vỏ nhỏ tăng chiều dày vỏ phạm vi định làm cho tần số tự nhiên kết cấu tăng - Khi hệ số cứng Pasternak 0< kw < 1108N/m3 thay đổi hệ số cứng ảnh hưởng tần số dao động vỏ liên hợp trụ-vành-nón FGM Khi k w > 1108N/m3 tăng hệ số cứng có ảnh hưởng lớn đến tần số dao động kết cấu Cụ thể kw tăng làm cho tần số dao động két cấu tăng nhanh - Mức độ ảnh hưởng hệ số trượt kp đến tần số dao động kết cấu sau: Khi < kp < 2,5107N/m hệ số trượt có ảnh hưởng khơng đáng kể đến tần số dao động kết cấu Tuy nhiên, kp  2,5107N/m tăng làm cho tần số dao động kết cấu tăng rõ rệt thể rõ tách biệt ba đường cong biểu diễn thay đổi tần số tự nhiên kết cấu ứng với kp = 5106; 2,5107 1108N/m - Ảnh hưởng đồng thời hai hệ số kw, kp đến tần số tự nhiên kết cấu: Với < kp  1107N/m3 thay đổi hệ số trượt có ảnh hưởng nhỏ đến tần số tự nhiên vỏ ảnh hưởng đàn hồi Pasternak đến tần số tự nhiên chủ yếu kw thay đổi Khi < kw < 2,5107N/m3 thay đổi kw gần chưa có ảnh hưởng đến tần số dao động vỏ, kw  2,5107N/m3 ảnh hưởng hệ số cứng đến tần số tự nhiên rõ rang (khi kw tăng tần số tự nhiên vỏ tăng kw đạt giá trị giới hạn khơng cịn ảnh hưởng đến tần số dao động kết cấu nữa) Khi kp > 1107N/m ảnh hưởng hệ số trượt đến tần số tự nhiên kết cấu rõ rệt, thể đồ thị đường cong biểu diễn tần số dao động ứng với kp = 1108, 5108N/m hồn tồn cách xa kp tăng làm cho tần số tự nhiên kết cấu tăng nhanh Nghiên cứu ảnh hưởng nêu luận án đến tần số dao động riêng vỏ trụ-nón, trụ-vành-nón vỏ trụ có gân gia cường làm FGM có khơng tương tác với đàn hồi cần thiết có ý nghĩa tính toán, thiết kế kết cấu làm FGM Các kết nghiên cứu Chương báo cáo cơng bố trong: Tạp chí khoa học công nghệ trường đại học kỹ thuật; Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ XV - Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên - Thái Nguyên - 2021 Tài liệu rõ “Danh mục cơng trình cơng bố luận án” cơng trình 4, 13, 14 trang 129, 130 luận án KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Từ kết trình bày tất chương luận án, số kết luận rút sau: * Các kết kết luận - Nghiên cứu thành công việc phát triển phương pháp Phần tử liên tục để ứng dụng vào khảo sát dao động cho kết cấu vỏ tròn xoay vật liệu FGM Đây lần CEM áp dụng cho kết cấu FGM, đặc biệt cho kết cấu vỏ liên hợp phức tạp, vỏ có gân gia cường - Luận án xây dựng thuật tốn chương trình máy tính mơi trường Matlab để tính tốn dao động tự kết cấu vỏ trụ, vỏ nón, vành trịn, vỏ liên hợp trụ-nón, trụ-nón-vành, trụ có gân gia cường làm vật liệu FGM có tính đến ảnh hưởng đàn hồi Winkler-Pasternak Phần tử liên tục (hay phương pháp ma trận Độ cứng động lực) - Luận án ứng dụng thành công thuật toán ghép nối nối tiếp đưa thuật toán ghép nối song song dạng chữ T cho phần tử liên tục trụ, vành để giải tốn kết cấu FGM phức tạp: vỏ trụ FGM có gân gia cường Ở đây, gân gia cường mơ tả kết cấu vành trịn đàn hồi gần với thực tế - Các kết nghiên cứu vỏ FGM liên hợp trụ-nón, trụ-vành-nón có khơng tương tác với đàn hồi mới, dùng làm tham chiếu cho nghiên cứu sử dụng phương pháp khác - Luận án đánh giá định lượng ảnh hưởng yếu tố khác (điều kiện biên, thơng số hình học kết cấu, thuộc tính FGM, kiểu hàm tỉ lệ thể tích, hệ số số mũ hàm tỉ lệ thể tích, hệ số kw, kp đàn hồi,…) đến tần số dao động tự kết cấu vỏ đơn (nón, trụ, vành), vỏ liên hợp dạng bậc, vỏ liên hợp ghép nối phần tử(nón, trụ, vành) vỏ trụ có gân gia cường FGM khác nhau, đặc biệt cho kết cấu vỏ lần đầu nghiên cứu nêu Các kết có ý nghĩa khoa học thực tiễn - Các ưu điểm mơ hình phần tử liên tục đưa để phân tích dao động tự kết cấu vỏ tròn xoay xác nhận: số lượng phần tử sử dụng tối thiểu, ghép nối linh hoạt cho kết cấu phức tạp (dạng bậc, có gân bao quanh đàn hồi Winkler - Pasternak ); Các kết nghiên cứu tương đồng miền tần số thấp so với phương pháp nghiên cứu giải tích áp dụng tốt miền tần số trung bình cao phương pháp khác gặp khó khăn * Một số kiến nghị Trên sở nội dung kết nghiên cứu trình bày, tác giả đề xuất số nội dung cần phát triển tiếp luận án sau: - Xây dựng thuật toán giải phương pháp Phần tử liên tục cho tốn phân tích ứng xử động học kết cấu vỏ nón, trụ, vỏ liên hợp dạng bậc vỏ liên hợp dạng ghép nối phần tử nón, trụ làm vật liệu phi tuyến bao quanh đàn hồi Winkler - Pasternak có xét đến ảnh hưởng độ cứng khối lượng - Phát triển thuật toán phương pháp Phần tử liên tục cho tốn phân tích ứng xử động học kết cấu vỏ nón, trụ, vỏ liên hợp dạng bậc vỏ liên hợp dạng ghép nối phần tử nón, trụ làm vật liệu phi tuyến chịu tác dụng tải cơ, nhiệt, thủy động khí động - Xây dựng mơ hình phần tử liên tục nhằm giải toán dao động tự kết cấu vỏ nón, trụ, vỏ liên hợp dạng bậc vỏ liên hợp dạng ghép nối phần tử nón, trụ làm vật liệu phi tuyến có gân gia cường chứa đặt môi trường chất lỏng - Xây dựng mơ hình phần tử liên tục cho tốn dao động kết cấu vỏ nón, trụ, vỏ liên hợp dạng bậc vỏ liên hợp dạng ghép nối phần tử nón, trụ làm vật liệu phi tuyến bao quanh đàn hồi môi trường nhiệt DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [1] Nguyen Manh Cuong, Le Thi Bich Nam, Tran Ich Thinh, Nguyen Thai Tat Hoan and Le Quang Vinh (2016), “A new continuous element for vibration analysis of stepped composite annular plates and rings”, Tuyển tập Hội nghị Khoa học toàn quốc Vật liệu Kết cấu Composite, Nha Trang, pp 103-110 [2] Nguyen Manh Cuong, Tran Ich Thinh, Le Thi Bich Nam, Nguyen Thai Tat Hoan, Le Quang Vinh and Vu Quoc Hien (2016), “Free vibration analysis of thick stepped composite annular plates resting on non-homogenous elastic foundation via Continuous element method”, Proceedings of the IPTLTA-4, pp 282-289 [3] Le Quang Vinh, Nguyen Manh Cuong, Le Thi Bich Nam (2016), “Dynamic analysis of stepped composite conical shells via Continuous Element Method”, Tuyển tập Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ kỹ thuật tự động hóa lần thứ 2, pp 338-344 [4] Nguyen Manh Cuong, Tran Ich Thinh, Le Thi Bich Nam, Duong Pham Tuong Minh, Le Quang Vinh (2017), “Dynamic analysis of complex composite tubes by continuous element method”, Journal of Science and Technology, N o119, pp 48-53 [5] Le Thi Bich Nam, Nguyen Manh Cuong, Tran Ich Thinh, Le Quang Vinh (2018) “Dynamic analysis of stepped composite cylindrical shells surrounded by Pasternak elastic foundations based on the continuous element method” Vietnam Journal of Mechanics, Vol.40, No2, pp 105-119 [6] Nguyen Manh Cuong, Le Quang Vinh and Nguyen Dong Anh (2018), “Dynamic analysis of functionally graded annular plates via Continuous Element Method”, Tuyển tập cơng trình Hội nghị khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn lần thứ XIV, pp 105-112 [7] Le Quang Vinh, Nguyen Manh Cuong, Tran Ich Thinh and Nguyen Dong Anh (2018), “Dynamic analysis of functionally graded cylindrical shells via Continuous Element Method”, Tuyển tập cơng trình Hội nghị khoa học tồn quốc Cơ học Vật rắn lần thứ XIV, pp 832-839 [8] Le Quang Vinh, Nguyen Manh Cuong and Nguyen Dong Anh (2019), “Continuous Element formulations for functionally graded cylindrical shells resting on elastic foundation”, Tuyển tập cơng trình khoa học Hội nghị Cơ học Kỹ thuật toàn quốc Kỷ niệm 40 năm thành lập Viện Cơ học, pp 477-484 [9] Le Quang Vinh, Nguyen Manh Cuong and Nguyen Dong Anh (2019), “Dynamic analysis of functionally graded conical shells via Continuous Element Method”, Tuyển tập cơng trình khoa học Hội nghị Cơ học Kỹ thuật toàn quốc Kỷ niệm 40 năm thành lập Viện Cơ học, pp 485-492 [10] Nguyen Dong Anh, Le Quang Vinh, Nguyen Manh Cuong and Vu Quoc Hien (2019), “Dynamic analysis of FGM conical shells surrounded by pasternak elastic foundations ”, Proceedings of the 3rd international conference on transportation infrastructure and sustainable development - Tisdic 2019, pp 411-420 [11] Le Quang Vinh, Nguyen Dong Anh, and Nguyen Manh Cuong (2019), “Dynamic stiffness formulation for vibration of FGM stepped annular plates of varying thickness with non-homogenous material”, Proceedings of the International Conference on Engineering Research and Applications, ICERA 2019, pp 268-280 [12] Le Quang Vinh and Nguyen Manh Cuong (2020) “Dynamic analysis of FG stepped truncated conical shells surrounded by Pasternak elastic foundations” Vietnam Journal of Mechanics, Vol.42, No2, pp 133-152 [13] Le Quang Vinh, Nguyen Dong Anh and Nguyen Manh Cuong (2021), “Dynamic analysis of FGM joined conical-cylindrical shells surrounded by Pasternak elastic foundations based on the Continuous Element Method”, Tuyển tập cơng trình Hội nghị khoa học tồn quốc Cơ học Vật rắn lần thứ XV, pp 1025-1034 [14] Pham Cong Vinh, Manh Cuong Nguyen, Nguyen Tuan Hai and Le Quang Vinh (2021), “Dynamic analysis of FGM ring-stiffness cylindrical shells via Continuous Element Method”, Tuyển tập cơng trình Hội nghị khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn lần thứ XV, pp 1045-1053 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] Trần Ích Thịnh (1994) Vật liệu Composite NXB Giáo dục Zenkour A.M (2005) A comprehensive analysis of functionally graded sandwich plate International Journal of Solids and Structures, 42: pp 5224–5242 Chinosi C and Croce L.D (2007) Approximation of functionally graded plates with non- conforming finite elements Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol.210: pp 106-115 Cooley W.G (2005) Application of FGMs in Aircraft structures AFIT/GAE/ENY/05-M04 Ohio Koizumi M (1997) FGM activities in Japan Composites Part B: Engineering, Vol 28(1-2): pp 1-4 Shariyat M (2008) Dynamic thermal buckling of suddenly heated temperature-dependent FGM cylindrical shells, under combined axial compression and external pressure International Journal of Solids and Structures, Vol 45(9): pp 2598-2612 Tornabene F., Viola E., and Inman D.J (2009) 2-D differential quadrature solution for vibration analysis of functionally graded conical, cylindrical shell and annular plate structures Journal of Sound and Vibration, Vol 328(3): pp 259–290 Pradhan S.C., Loy C.T., Lam K.Y., and Reddy J.N (2000) Vibration characteristics of functionally graded cylindrical shells under various boundary conditions Applied Acoustics, Vol 61(1): pp 111-129 Tornabene F and Viola E (2009) Free vibrations of four-parameter functionally graded parabolic panels and shells of revolution European Journal of Mechanics - A/Solids, Vol 28(5): pp 991-1013 G.G.Sheng and X.Wang (2013) "An analytical study of the non-linear vibrations of functionally graded cylindrical shells subjected to thermal and axial loads" Composite Structures, Vol.97: pp 261-268 Xie X., Jin G., Ye T., and Liu Z (2014) Free vibration analysis of functionally graded conical shells and annular plates using the Haar wavelet method Applied Acoustics, Vol 85: pp 130–142 M.Darabi, M.Darvizeh, and A.Darvizeh (2008) Non-linear analysis of dynamic stability for functionally graded cylindrical shells under periodic axial loading Composite Structures, Vol.83(2): pp 201-211 G.G.Sheng and X.Wang (2008) Thermo mechanical vibration analysis of a functionally graded shell with flowing fluid European Journal of Mechanics - A/Solids, Vol.27(6): pp 1075-1087 Sofiyev A.H (2003) Dynamic buckling of functionally graded cylindrical shells under non-periodic impulsive loading Acta Mechanica, Vol.165(3): pp 151-163 [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] Sofiyev A.H (2004) The stability of functionally graded truncated conical shells subjected to aperiodic impulsive loading International Journal of Solids and Structures Vol.41(13): pp 3411-3424 Sofiyev A.H (2009) The vibration and stability behavior of freely supported FGM conical shells subjected to external pressure Composite Structures, Vol.89(3): pp 356-366 Sofiyev A.H (2012) The non-linear vibration of FGM truncated conical shells Composite Structures, Vol.97(7): pp 2237–2245 Deniz A and Sofiyev A.H (2013) The nonlinear dynamic buckling response of functionally graded truncated conical shells Journal of Sound and Vibration Vol 332(2): pp 978–992 Hong C.C (2013) Thermal vibration of magnetostrictive functionally graded material shells European Journal of Mechanics - A/Solids Vol.40: pp 114–122 Shen H.-S (2009) Postbuckling of shear deformable FGM cylindrical shells surrounded by an elastic medium International Journal of Mechanical Sciences, Vol 51(5): pp 372-383 Shen H.-S., Yang J., and Kitipornchai S (2010) Postbuckling of internal pressure loaded FGM cylindrical shells surrounded by an elastic medium European Journal of Mechanics - A/Solids, Vol 29(3): pp 448–460 Sheng G.G and Wang X (2007) Thermal Vibration, Buckling and Dynamic Stability of Functionally Graded Cylindrical Shells Embedded in an Elastic Medium Journal of Reinforced Plastics and Composites, Vol 27(2): pp 117–134 Bagherizadeh E., Kiani Y., and Eslami M.R (2011) Mechanical buckling of functionally graded material cylindrical shells surrounded by Pasternak elastic foundation Composite Structures, Vol 93(11): pp 3063–3071 Najafov A.M., Sofiyev A.H., and Kuruoglu N (2014) Torsional vibration and stability of functionally graded orthotropic cylindrical shells on elastic foundations Meccanica, Vol 48(4): pp 829-840 Sofiyev A.H (2011) Thermal buckling of FGM shells resting on a twoparameter elastic foundation Thin-Walled Structures, Vol 49(10): pp 1304-1311 Najafov A.M and Sofiyev A.H (2013) The non-linear dynamics of FGM truncated conical shells surrounded by an elastic medium International Journal of Mechanical Sciences, Vol 66: pp 33-44 A.H.Sofiyev and N.Kuruoglu (2013) Non-linear buckling of an FGM truncated conical shell surrounded by an elastic medium International Journal of Pressure Vessels and Piping, Vol 107: pp 38-49 Sofiyev A.H and Kuruoglu N (2012) Vibration analysis of FGM truncated and complete conical shells resting on elastic foundations under various boundary conditions Journal of Engineering Mathematics Vol 77: pp 131–145 [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] Sofiyev A.H and Schnack E (2012) The Vibration Analysis of FGM Truncated Conical Shells Resting on Two-Parameter Elastic Foundations Vol 19(4): pp 241-249 Galletly G.D and Mistry J (1974) The free vibrations of cylindrical shells with various end closures Nuclear Engineering and Design, Vol 30(2): pp 249-268 T.Irie, G.Yamada, and Y.Muramoto (1984) Free vibration of joined conicalcylindrical shells Journal of Sound and Vibration, Vol 95(1): pp 31-39 Tavakoli M.S and Singh R (1989) Eigensolutions of joined/hermetic shell structures using the state space method Journal of Sound and Vibration, Vol 130(1): pp 97–123 D.Redekop (2004) Vibration analysis of a torus–cylinder shell assembly Journal of Sound and Vibration, Vol 277(4-5): pp 919-930 Efraim E and Eisenberger M (2006) Exact vibration frequencies of segmented axisymmetric shells Thin-Walled Structures, Vol 44(3): pp 281-289 Sen.Liang and H.L.Chen (2006) The natural vibration of a conical shell with an annular end plate Journal of Sound and Vibration, Vol 294(4-5): pp 927-943 Caresta M and Kessissoglou N.J (2010) Free vibrational characteristics of isotropic coupled cylindrical–conical shells Journal of Sound and Vibration, Vol 329(6): pp 733-751 Jae-HoonKang (2012) Three-dimensional vibration analysis of joined thick conical — Cylindrical shells of revolution with variable thickness Journal of Sound and Vibration, Vol 331(18): pp 4187-4198 Qu Y., Chen Y., Long X., Hua H., and Meng G (2013) A modified variational approach for vibration analysis of ring-stiffened conical–cylindrical shell combinations European Journal of Mechanics - A/Solids, Vol 37: pp 200215 Qu Y., Long X., Yuan G., and Meng G (2013) A unified formulation for vibration analysis of functionally graded shells of revolution with arbitrary boundary conditions Composites Part B: Engineering, Vol 50: pp 381-402 Ma X., Jin G., Xiong Y., and Liu Z (2014) Free and forced vibration analysis of coupled conical–cylindrical shells with arbitrary boundary conditions International Journal of Mechanical Sciences, Vol 88: pp 122-137 Patel B.P., Ganapathi M., and Kamat S (2000) Free vibration characteristics of laminated composite joined conical-cylindrical shells Journal of Sound and Vibration, Vol 237(5): pp 920-930 Kamat S., Ganapathi M., and Patel B.P (2001) Analysis of parametrically excited laminated composite joined conical–cylindrical shells Computers & Structures, Vol 79(1): pp 65-76 [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] Kouchakzadeh M.A and Shakouri M (2014) Free vibration analysis of joined cross-ply laminated conical shells International Journal of Mechanical Sciences, Vol 78: pp 118–125 Bich D.H., Nam V.H., and Phuong N.T (2011) Nonlinear postbuckling of eccentrically stiffened functionally graded plates and shallow shells Vietnam Journal of Mechanics Vol 33(3): pp 131–147 Bich D.H., Dung D.V., and Nam V.H (2012) Nonlinear dynamical analysis of eccentrically stiffened functionally graded cylindrical panels Composite Structures, Vol 94(8): pp 2465–2473 Huy Bich D., Van Dung D., Nam V.H., and Thi Phuong N (2013) Nonlinear static and dynamic buckling analysis of imperfect eccentrically stiffened functionally graded circular cylindrical thin shells under axial compression International Journal of Mechanical Sciences, Vol 74: pp 190–200 Bich D.H., Dung D.V., and Nam V.H (2013) Nonlinear dynamic analysis of eccentrically stiffened imperfect functionally graded doubly curved thin shallow shells Composite Structures, Vol 96: pp 384–395 D.H B., D.V D., and N.T N (2013) Nonlinear buckling and postbuckling of imperfect eccentrically stiffened functionally graded plates based on the first order shear deformation plate theory Proceedings of the 11th National Conference on Deformable Solid Mechanics, Ho Chi Minh city pp 111-121 Huy Bich D., Dinh Duc N., and Quoc Quan T (2014) Nonlinear vibration of imperfect eccentrically stiffened functionally graded double curved shallow shells resting on elastic foundation using the first order shear deformation theory International Journal of Mechanical Sciences, Vol 80: pp 16-28 Bich D.H., Phuong N.T., and Tung H.V (2012) Buckling of functionally graded conical panels under mechanical loads Composite Structures, Vol 94(4): pp 1379–1384 Bich D.H and Nguyen N.X (2012) Nonlinear vibration of functionally graded circular cylindrical shells based on improved Donnell equations Journal of Sound and Vibration, Vol 331(25): pp 5488-5501 D.H B., D.V D., and V.H N (2013) Nonlinear Axisymmetric Dynamic Buckling and Vibration of Functionally Graded Shallow Spherical Shells under External Pressure Including Temperature Effects Resting on Elastic Foundation Proceedings of the 11th National Conference on Deformable Solid Mechanics, Ho Chi Minh city: pp 101-110 D.V D and V.H N (2012) Nonliner dynamic buckling of eccentrically stiffened functionally graded cylindrical shells subjected to axial compression Proceedings of the second International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA2), Hanoi: pp 226-235 [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] Dung D.V and Nam V.H (2014) Nonlinear dynamic analysis of eccentrically stiffened functionally graded circular cylindrical thin shells under external pressure and surrounded by an elastic medium European Journal of Mechanics - A/Solids, Vol 46: pp 42-53 D.V D and N.T N (2013) Nonliner buckling and postbuckling of eccentrically stiffened functionally graded cylindrical shells surrounded by an elastic medium based on the first order shear deformation theory Vietnam J Mech, Vol 35(4): pp 285-298 D.V D and N.T N (2010) Nonliner stability analysis of imperfect functionally graded plates, with the Poisson’s ratio ν=ν(z), subjected to mechanical and thermal loads Proceedings of the tenth National Conference on Deformable Solid Mechanics, Thai Nguyen: pp 142-154 Thinh T.I and Cuong N.M (2013) Dynamic stiffness matrix of continuous element for vibration of thick cross-ply laminated composite cylindrical shells Composite Structures, Vol 98: pp 93-102 Thinh T.I., Nguyen M.C., and Ninh D.G (2014) Dynamic stiffness formulation for vibration analysis of thick composite plates resting on non-homogenous foundations Composite Structures, Vol 108: pp 684– 695 Thinh T.I., Cuong N.M., and Hien V.Q (2015) Dynamic Stiffness Method for free vibration analysis of partial fluid-filled orthotropic circular cylindrical shells Vietnam Journal of Mechanics, Vol 37(1): pp 29-42 Nam L.T.B., Cuong N.M., and Thinh T.I (2014) Continuous Element formulation for vibration of thick composite annular plates and rings Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học kỹ thuật tồn quốc, Kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học: pp 319-324 Cuong N.M., Thinh T.I., and Hien V.Q (2014) Vibration analysis of cross-ply composite joined conical-cylindrical shells by Continuous Element Method Proceedings of the International Conference on Engineering Mechanics and Automation-ICEMA3: pp 401-408 Cuong N.M., Thinh T.I., and Hien T.T (2012) Vibration analysis of thick laminated composite conical shells by CEM Tuyển tập HNKHTQ lần Thứ IX, Hanoi Trần Ngọc Cảnh, Phạm Tiến Đạt, and Nguyễn Văn Hưng (2014) Tính tốn Panel trụ composite lớp chịu tác dụng sóng xung kích nhiệt độ Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc (Kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học), Vol 2: pp 37-44 Nguyễn Thái Chung, Hoàng Xuân Lượng, and Trương Thị Hương Huyền (2014) Nghiên cứu dao động ổn định vỏ trụ thoải composite có lớp áp điện Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc (Kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học), Vol 2: pp 55-62 [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] Nguyễn Thái Chung and Lê Hải Châu (2016) Phân tích động lực học vỏ thoải composite áp điện có gân gia cường Hội nghị Khoa học toàn quốc "Vật liệu Kết cấu Composite: Cơ học, Công nghệ Ứng dụng, Vol 1: pp 41-48 Hoàng Xuân Lượng, Nguyễn Thái Chung, and Trương Thị Hương Huyền (2012) Phân tích động lực vỏ trụ thoải composite áp điện có xét đến yếu tố phi tuyến hình học Hội nghị Cơ học tồn quốc lần thứ 9, Vol 2: pp 692699 Duc N.D and Tung H.V (2010) Nonlinear analysis of stability for functionally graded cylindrical panels under axial compression Computational Materials Science, Vol 49(4): pp S313–S316 Duc N.D and Thang P.T (2014) Nonlinear response of imperfect eccentrically stiffened ceramic–metal–ceramic FGM thin circular cylindrical shells surrounded on elastic foundations and subjected to axial compression Composite Structures, Vol 110: pp 200-206 Duc N.D and Quan T.Q (2014) Nonlinear response of imperfect eccentrically stiffened FGM cylindrical panels on elastic foundation subjected to mechanical loads European Journal of Mechanics - A/Solids, Vol 46: pp 60-71 Duc N.D and Thang P.T (2014) Nonlinear buckling of imperfect eccentrically stiffened metal–ceramic–metal S-FGM thin circular cylindrical shells with temperature-dependent properties in thermal environments International Journal of Mechanical Sciences, Vol 81: pp 17-25 Lê Khả Hịa (2015) Phân tích ổn định phi tuyến tĩnh vỏ vật liệu có tính biến thiên Luận án Tiến sĩ Cơ học, Đại học Quốc Gia Hà Nội Trần Minh Tú, Trần Hữu Quốc, and Dương Thành Huân (2015) Phân tích tĩnh động Panel trụ làm vật liệu có tính biến thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT) Tuyển tập cơng trình Hội nghị Khoa học tồn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ XII, Đà Nẵng, Vol 2: pp 1506-1513 Trần Hữu Quốc, Dương Thành Huân, Trần Minh Tú, and Nghiêm Hà Tân (2017) Phân tích Panel trụ FGM chịu uốn có xét đến ảnh hưởng nhiệt độ - Lời giải giải tích Lời giải số Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, Vol 11(2): pp 38-46 Huan D.T., Tu T.M., and Quoc T.H (2017) Analytical solutions for bending, buckling and vibration analysis of functionally graded cylindrical panel Vietnam Journal of Science and Technology, Vol 55(5): pp 587-597 Huan D.T., Quoc T.H., Tu T.M., and Lu L.M (2017) Free vibration analysis of functionally graded doubly-curved shallow shells including thermal effect Vietnam Journal of Agricultural Sciences, Vol 15(10): pp 14101422 [76] Quoc T.H., Huan D.T., and Tu T.M (2018) Dynamic behavior analysis of FGM doubly curved panels considering temperature dependency of material properties Tuyển tập Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn lần thứ XIV, Trường Đại học Trần Đại Nghĩa, Thành phố Hồ Chí Minh [77] Quoc T.H., Huan D.T., and Tu T.M (2018) Free vibration analysis of functionally graded doubly curved shell panels resting on elastic foundation in thermal environment International Journal of Advanced Structural Engineering, Vol 10(3): pp 275-283 Đỗ Văn Hiến and Nguyễn Xuân Hùng (2015) Application of isogeometric analysis to free vibration analysis of truss structure Tuyển tập cơng trình khoa học Hội nghị học vật rắn biến dạng toàn quốc lần thứ XII, Đà Nẵng: pp 518-526 Nguyễn Tiến Khiêm, Trần Văn Liên, and Lê Khánh Tồn (2004) Xác định tải trọng sóng tác động lên kết cấu khung theo phương pháp ma trận độ cứng động lực Tuyển tập cơng trình khoa học hội nghị học vật rắn biến dạng toàn quốc lần thứ 7: pp 417-424 Cloug R.W and Penzien J (1975) Dynamics of structures Mc Graw & Hill, Inc Hallauer W.L and Liu R.Y.L (1985) Beam bending-torsion dynamics stiffness method for calculatoin of exact vibration modes Journal of Sound and Vibration, Vol 85: pp 105-113 Peter H.K (1985) Analytical finite elements Sec.Int.Sym, on aeroelasticity and struct Dyn, Aachen, FRG Peter H.K (2003) Continuous elements - Some practical examples ESTEC Workshop Proceeding “Modal representation of flexible structures by continuum method” Williams F.W and Kenedy D (1987) Exact dynamic member stiffness for a beam on an elastic foundation Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 15 Banerjee J.R (1989) Coupled bending-torsional dynamic stiffness matrix for beam elements International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol 28(6): pp 1283–1298 Banerjee J.R and Williams F.W (1992) Coupled bending-torsional dynamic stiffness matrix for timoshenko beam elements Computers & Structures, Vol 42(3): pp 301–310 Casimir J.B., Duforet C., and Vinh T (1996) Elements continues numeriques applications au calcul de reponses dynamiques des pouters Journae “Chocs et vibrations” du GAMI, Lyon, Juin Milsted M.G (1982) Free vibration analysis of rectangular plates Journal of Sound and Vibration, Vol 85(4): pp 603–604 [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] Gorman D.J and Ding W (1996) Accurate free vibration analysis of the completely free rectangular Mindlin plate Journal of Sound and Vibration, Vol 189(3): pp 341–353 [90] Cuong N.M (2003) Eléments Continus de plaques et coques avec prise en compte du cisaillement transverse Application l’interaction fluidestructure, Thèse de Doctorat, Université Paris V [91] Boscolo M and Banerjee J.R (2012) Dynamic stiffness formulation for composite Mindlin plates for exact modal analysis of structures Part I: Theory Computers & Structures, Vol 96-97: pp 61-73 [92] Kalnins A (1964) Analysis of Shells of Revolution Subjected to Symmetrical and Nonsymmetrical Loads Journal of Applied Mechanics, Vol 31(3): pp 467-476 [93] Casimir J.B., Nguyen M.C., and Tawfiq I (2007) Thick shells of revolution: Derivation of the dynamic stiffness matrix of continuous elements and application to a tested cylinder Computers & Structures, Vol 85(23-24): pp 1845–1857 [94] Thinh T.I and Nguyen M.C (2016) Dynamic Stiffness Method for free vibration of composite cylindrical shells containing fluid Applied Mathematical Modelling, Vol 40(21-22): pp 9286–9301 [95] Vũ Quốc Hiến (2017) Nghiên cứu dao động vỏ composite tròn xoay chứa chất lỏng Luận án Tiến sĩ kỹ thuật, ĐHBK Hà Nội [96] Lê Thị Bích Nam (2018) Nghiên cứu dao động kết cấu vỏ composite đối xứng trục phương pháp phần tử liên tục Luận án Tiến sĩ kỹ thuật, ĐHBK Hà Nội [97] Kalnins A (1964) Free Vibration of Rotationally Symmetric Shells The Journal of the Acoustical Society of America, Vol 36(7): pp 1355–1365 [98] Cohen G.A (1965) Computer analysis of asymmetric free vibrations of ring-stiffened orthotropic shells of revolution American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal, Vol 3(12): pp 2305–2312 [99] Tottenham H and Shimizu K (1972) Analysis of the free vibration of cantilever cylindrical thin elastic shells by the matrix progression method International Journal of Mechanical Sciences, Vol 14(5): pp 293–310 [100] Mehrany K and Khorasani S (2002) Analytical solution of nonhomogeneous anisotropic wave equations based on differential transfer matrices Journal of Optics A: Pure and Applied Optics, Vol 4(6): pp 524635 [101] Khorasani S and Adibi A (2003) Analytical solution of linear ordinary differential equations by differential transfer matrix method Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2003, No 79, pp 1-18 Vol 2003(79): pp 1-18 [102] Khorasani S and Mehrany K (2003) Differential transfer-matrix method for solution of one-dimensional linear nonhomogeneous optical structures Journal of the Optical Society of America B, 20(1), 91 doi:10.1364/josab.20.000091 Vol 20(1): pp 91-96 [103] Pasternak P.L (1954) On a New Method of Analysis of an Elastic Foundation by Means of Two Foundation Constants Gosudarstvennoe Izdatelstro Liberaturi po Stroitelstvui Arkhitekture, Moscow [104] Xiang X., Guoyong J., Wanyou L., and Zhigang L (2014) A numerical solution for vibration analysis of composite laminated conical, cylindrical shell and annular plate structures Composite Structures, Vol 111: pp 2030 [105] Reddy J.N (2003) Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells Theory and Analysis, Second Edition CRC Press, Boca Raton, FL [106] Tornabene F (2009) Free vibration analysis of functionally graded conical, cylindrical shell and annular plate structures with a fourparameter power-law distribution Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol 198(37-40): pp 2911–2935 [107] Hua L., Lam K.Y., and Ng T.Y (2005) Rotating Shell Dynamics Elsevier [108] Jin G., Xie X., and Liu Z (2014) The Haar wavelet method for free vibration analysis of functionally graded cylindrical shells based on the shear deformation theory Composite Structures, Vol 108: pp 435–448 [109] Su Z., Jin G., Shi S., Ye T., and Jia X (2014) A unified solution for vibration analysis of functionally graded cylindrical, conical shells and annular plates with general boundary conditions International Journal of Mechanical Sciences, Vol 80: pp 62-80 [110] Zhang L and Xiang Y (2007) Exact solutions for vibration of stepped circular cylindrical shells Journal of Sound and Vibration, Vol 299(4-5): pp 948–964 [111] Xie K., Chen M., and Li Z (2017) An analytic method for free and forced vibration analysis of stepped conical shells with arbitrary boundary conditions Thin-Walled Structures, Vol 11: pp 126–137 [112] Qu Y., Chen Y., Chen Y., Long X., Hua H., and Meng G (2013) A Domain Decomposition Method for Vibration Analysis of Conical Shells With Uniform and Stepped Thickness Journal of Vibration and Acoustics, 135(1), 011014 doi:10.1115/1.4006753 Vol 135(1): pp 011014-1 011014-13 [113] Hosseini-Hashemi S., Derakhshani M., and Fadaee M (2013) An accurate mathematical study on the free vibration of stepped thickness circular/annular Mindlin functionally graded plates Applied Mathematical Modelling, Vol 37(6): pp 4147–4164 [114] Shakouri M and Kouchakzadeh M.A (2014) Free vibration analysis of joined conical shells: Analytical and experimental study Thin-Walled Structures, Vol 85: pp 350–358 [115] Chung H (1981) Free vibration analysis of circular cylindrical shells Journal of Sound and Vibration, Vol 74(3): pp 331–350 [116] Rahimi G.H., Ansari R., and Hemmatnezhad M (2011) Vibration of functionally graded cylindrical shells with ring support Scientia Iranica, Vol 18(6): pp 1313–1320