Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue 5 (06/2021), 510 524 510 Transport and Communications Science Journal NONLINEAR DYNAMICAL ANALYSIS OF FUNCTIONALLY GRADED CYLINDRICAL SHELL[.]
Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 510-524 Transport and Communications Science Journal NONLINEAR DYNAMICAL ANALYSIS OF FUNCTIONALLY GRADED CYLINDRICAL SHELL UNDER AERODYNAMIC LOAD USING THE FIRST-ORDER SHEAR DEFORMATION THEORY Pham Thi Toan University of Transport and Communications, No Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam ARTICLE INFO TYPE: Research Article Received: 08/01/2021 Revised: 20/03/2021 Accepted: 24/03/2021 Published online: 15/06/2021 https://doi.org/10.47869/tcsj.72.5.1 * Corresponding author Email: phamthitoan@utc.edu.vn; Tel: 0912580957 Abstract The research on functionally graded material (FGM) has received a lot of attention recently because this material is used in many areas of life This paper presents an analytical approach to investigate the dynamic characteristics of the functionally graded cylindrical thin shell subjected to aerodynamic loads Based on the first-order shear deformation theory (FSDT) and the Piston theory supersonic aerodynamic, the governing equations of FGM cylindrical shell in the moving hypersonic airflow are established The Galerkin technique together with Volmirs assumption and the fourth-order Runge-Kutta method are used to analyze dynamic problems of cylindrical shell The research target is to find out critical Mach numbers of airflow, which made the shell unstable when geometrical parameters of shell and volume fraction index of the constituent material are varied Numerical results show the influences of geometrical parameters, the material properties to the nonlinear flutter characteristics of FGM cylindrical shell The results are obtained to find out critical Mach of airflow, which made the shell unstable Keywords: Cylindrical shell; FGM material; flutter; nonlinear dynamic © 2021 University of Transport and Communications 510 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 72, Số (06/2021), 510-524 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ BẰNG VẬT LIỆU CĨ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA LỰC KHÍ ĐỘNG SỬ DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG TRƯỢT BẬC NHẤT Phạm Thị Toan Trường Đại học Giao thông vận tải, Số Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam THƠNG TIN BÀI BÁO CHUN MỤC: Cơng trình khoa học Ngày nhận bài: 08/01/2021 Ngày nhận sửa: 20/03/2021 Ngày chấp nhận đăng: 24/03/2021 Ngày xuất Online: 15/06/2021 https://doi.org/10.47869/tcsj.72.5.1 *Tác giả liên hệ Email: phamthitoan@utc.edu.vn; Tel: 0912580957 Tóm tắt Các nghiên cứu vật liệu có tính biến thiên (FGM) nhận nhiều quan tâm thời gian gần vật liệu sử dụng nhiều lĩnh vực sống Trong báo phân tích đặc trưng động học vỏ trụ mỏng FGM tác dụng lực khí động Trên sở lý thuyết biến dạng trượt bậc mơ hình khí động lực theo lý thuyết Piston thiết lập phương trình vỏ trụ FGM dịng khí chuyển động vượt âm Phương pháp Galerkin, giả thiết Volmir phương pháp Runge-Kutta bậc sử dụng cho phân tích động lực vỏ Mục tiêu nghiên cứu tìm số Mach tới hạn dịng khí làm cho vỏ ổn định thay đổi tham số hình học vỏ số phân bố vật liệu thành phần Kết số ảnh hưởng tham số hình học, tính chất vật liệu đến đặc trưng động lực phi tuyến vỏ trụ FGM Kết đạt tìm số Mach tới hạn dịng khí làm cho vỏ ổn định Từ khóa: Vỏ trụ, vật liệu FGM, tượng tự dao động, động lực phi tuyến © 2021 Trường Đại học Giao thơng vận tải LỜI GIỚI THIỆU Vật liệu có tính biến thiên (FGM) nghiên cứu nhóm nhà khoa học vật liệu Nhật vào năm 1984 dự án khơng gian địi hỏi vật liệu có chiều dày nhỏ độ chênh lệch nhiêt độ cao [1] Vật liệu FGM dùng phổ biến loại hai thành phần tạo nên từ gốm kim loại biến đổi cách trơn liên tục từ mặt sang mặt theo chiều dày thành kết cấu Vật liệu FGM thường sử dụng 511 Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 510-524 nhiều lĩnh vực khác Ví dụ, cấu kiện máy bay lò phản ứng hạt nhân, y học quốc phịng [2] Đối với phân tích động lực vỏ FGM, có nhiều nghiên cứu tập trung vào đặc trưng dao động vỏ Loy cộng [3] nghiên cứu dao động vỏ trụ FGM Đối tượng nghiên cứu tần số dao động, ảnh hưởng tỷ số thể tích hiệu hình dáng cấu trúc vật liệu lên tần số dao động Huang Han [4] trình bày tốn ổn định động lực phi tuyến vỏ trụ vật liệu có tính biến thiên chịu tác dụng tải trọng dọc trục phụ thuộc thời gian cách sử dụng tiêu chuẩn ổn định động lực Budiansky-Roth Các nghiên cứu báo trước thường sử dụng lý thuyết vỏ cổ điển dựa giả thiết Love-Kirchhoff bỏ qua biến dạng trượt mặt phẳng Ngược lại, lý thuyết biến dạng trượt bậc (FSDT) lý thuyết biến dạng trượt bậc cao (TSDT) có tính đến biến dạng ngồi mặt phẳng Lý thuyết biến dạng trượt xây dựng sở lý thuyết Reddy[5] Bằng cách sử dụng lý thuyết vỏ TSDT phương pháp phần tử hữu hạn, Shariyat [6] nghiên cứu toán ổn định động lực phi tuyến vỏ trụ FGM tác dụng tải trọng dọc trục áp suất ngồi có tính đến yếu tố nhiệt Dao Huy Bich Nguyen Xuan Nguyen [7] nghiên cứu dao động phi tuyến vỏ trụ tròn FGM sở phương trình Donnell cải tiến Dung DV Nga NT [8] nghiên cứu phân tích phi tuyến dáng điệu uốn sau uốn FGM khơng hồn hảo gia cố vật liệu FGM với tính chất vật liệu phụ thuộc nhiệt độ sở lý thuyết TSDT Sofiyev [9] nghiên cứu dao động độ uốn vỏ trụ sandwich bao bọc lớp phủ khác chịu tác dụng tác dụng áp lực thủy tĩnh cách sử dụng FSDT Ghosh cộng [10] phân tích dao động tự nhiều lớp có gia cường cách sử dụng TSDT Javaheri cộng [11] nghiên cứu tính ổn định nhiệt FGM sở lý thuyết TSDT Lanhe [12] nghiên cứu tính ổn định nhiệt chữ nhật FGM có độ dày tựa đơn Matsugana [13] phân tích dao động tự ổn định vỏ thoải FGM có sử dụng lý thuyết TSDT Trong nghiên cứu tác giả từ trước đến phân tích động lực phi tuyến vỏ dựa sở lý thuyết vỏ cổ điển [14] Mục tiêu nghiên cứu tìm số Mach tới hạn dịng khí làm cho vỏ ổn định thay đổi tham số hình học vỏ số phân bố vật liệu thành phần Với mục đích tìm số Mach tới hạn xét đến biến dạng ngang, báo tác giả tiến hành phân tích động lực vỏ trụ FGM tác dụng lực khí động sở lý thuyết FSDT VỎ TRỤ MỎNG FGM DƯỚI TÁC DỤNG CỦA LỰC KHÍ ĐỘNG 2.1 Vật liệu FGM Vật liệu có tính biến thiên báo này, giả thiết làm từ hỗn hợp ceramic (gốm) kim loại với tỷ lệ thể tích vật liệu thành phần cho theo qui luật hỗn hợp: 2z + h Vm ( z ) + Vc ( z ) = 1,Vm ( z ) = 2h k (1) Ở h chiều dày vỏ trụ; k ≥ số tỷ lệ thể tích vật liệu thành phần; z h h tọa độ chiều dày − z ; Các số c m để thành phần gốm kim loại 2 tương ứng Theo quy luật hỗn hợp, mơ đun Young mật độ khối biểu diễn dạng: 512 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 72, Số (06/2021), 510-524 2z + h E ( z ) = EmVm + EcVc = Ec + ( Em − Ec ) 2h k 2z + h 2h k ( z ) = mVm + cVc = c + ( m − c ) (2) 2.2 Các hệ thức liên hệ ứng suất - biến dạng vỏ trụ FGM Xét vỏ trụ có bán kính R, độ dày h độ dài a nằm dọc theo luồng khí chuyển động với vận tốc U (Hình 1) Chọn hệ trục tọa độ ( x1 , x2 , z ) cho trục x1 , x2 hướng dọc trục hướng vịng cịn trục z vng góc với mặt vỏ trụ, có chiều dương hướng vào Theo lý thuyết vỏ biến dạng trượt bậc tính phi tuyến hình học von Kármán, thành phần biến dạng mặt độ cong, độ xoắn vỏ trụ liên hệ qua thành phần chuyển vị u , v, w 1 , 2 góc quay pháp tuyến ngang thuộc trục x2 , x1 tương ứng sau [5]: w = + 2 x2 1 u w w = + , 13 = 130 = + 1 , 1 = x1 x1 x1 x1 2 v 1 w = − w+ , 23 = 23 , 2 = x2 R x2 x2 120 = u v w w + + , 12 = + x2 x1 x1 x2 x2 x1 (3) Các thành phần biến dạng điểm cách mặt khoảng z xác định bởi: 1 = 10 − z 1 , = 20 − z , 12 = 120 − z 12 (4) Từ (3) nhận phương trình tương thích biến dạng vỏ sau: 2w 2w 2w 2w 210 2 20 2 120 + − = − − x22 x12 x1x2 x1x2 x12 x22 R x12 (5) Quan hệ ứng suất biến dạng theo định luật Hooke [5] 1 = E ( z) − (1 + ) , = E ( z) − (13 , 23 ) = ( + ) ,12 = E ( z) (1 + ) E ( z) (1 + ) 12 , (6) ( 13 , 23 ) Tích phân biểu thức định nghĩa nội lực màng mômen, lực cắt vỏ sau: 513 Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 510-524 E1 E + 20 ) − 2 ( 1 + ) ; ( 1 − − E1 E E1 E2 N2 = + 10 ) − 2 ( + 1 ) ; N12 = 120 − ( − − (1 + ) (1 + ) 12 N1 = ( ) ( (8) ) E E E2 E 10 + 20 − ( 1 + ) ; M = 2 20 +10 − ( +1 ) − − − − E3 E2 E1 w 5E1 w M 12 = 120 − 12 ; Q1 = + 1 , Q2 = + 2 (1 + ) 12 (1 + ) x1 12 (1 + ) x2 (1 + ) M1 = (9) Trong Em − Ec ) kh ( Em − Ec E1 = Ec + h; E2 = ; k + ( k + 1)( k + ) (10) E 1 E3 = c + ( Em − Ec ) − + h k + k + 4k + 12 Từ (8) biểu diễn ngược lại, ta có: 10 = (1 + ) E E E 1 N12 + 2 12 ( N1 − N ) + 1; 20 = ( N − N1 ) + , 120 = E1 E1 E1 E1 E1 E1 (11) Thay (11) vào (9) ta nhận M1 = E E − E2 E E − E2 E2 E N1 − 22 ( 1 + ) ; M = N − 22 ( +1 ) E1 E1 E1 − E1 − ( ) M12 = ( ) (12) E E − E2 E2 N12 − 22 12 E1 E1 − ( ) 2.3 Các phương trình vỏ trụ FGM chịu tải trọng khí động Giả thiết vỏ trụ FGM nằm dọc theo luồng khí chuyển động với vận tốc vượt âm U Dịng khí tác dụng lên mặt vỏ áp lực q0 hướng theo pháp tuyến mặt vỏ Hình Vỏ trụ vật liệu có tính biến thiên tác dụng dịng khí Trục x1 , x2 hướng dọc trục hướng vòng trục z hướng vng góc với mặt vỏ trụ 514 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 72, Số (06/2021), 510-524 Phương trình chuyển động vỏ FGM sở biến dạng trượt bậc có dạng [5]: N1 N12 2u + = 1 x1 x2 t (13) N12 N 2v + = 1 x1 x2 t (14) M1 M 12 M w w + + + + N12 N1 2 x1 x1x2 x2 x1 x1 x2 + w w N 2w N + N + + q = 12 x2 x1 x2 R t M M 12 + − Q1 = x1 x2 M 12 M + − Q2 = x1 x2 Trong 1 = h ( z ) dz = c h − + m − c h k + (15) (16) (17) (18) Theo lý thuyết Piston tuyến tính bậc nhất, lực khí động xác định theo cơng thức [15] (19) w w q0 = − P M + x1 a t Trong tỷ số nhiệt dung chất khí; a vận tốc âm; P áp suất khí chưa bị U nhiễu; M số Mach; M = , U vận tốc dịng khí a 2u 2v Sử dụng giả thiết Volmir, → 0, → , u = w, v = w , hai phương trình (13), t t (14) thỏa mãn đồng ta đưa vào hàm ứng suất cho: 2 2 2 , N = , N = − 12 x22 x12 x1 x2 Phương trình (15) đưa dạng: M1 M 12 M 2w 2w 2w N2 2w + + + N + N + N + + q = 12 x12 x1x2 x22 x12 x1x2 x22 R t N1 = Thay (11) vào phương trình (5) sử dụng (20) đưa phương trình tương thích về: 515 (20) (21) Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 510-524 1 2w 2w 2w 2w = − + − E1 R x12 x1x2 x12 x22 (22) Thay (11) vào phương trình (16), (17), (21) sử dụng (20) ta có phương trình chủ đạo: 1 32 31 32 2 2 w w E1 E3 − E22 31 − + + + − + − t E1 − x13 x12x2 x1x22 x23 R x12 x22 x12 ( ) w w 2 w 2 w − + P + M =0 x1x2 x1x2 x1 x22 x1 a t E1 E3 − E22 21 E1E3 − E22 22 E1E3 − E22 21 5E1 w + + − + 1 = 2 E1 (1 − ) x1 E1 (1 − ) x1x2 E1 (1 + ) x2 12 (1 + ) x1 E1 E3 − E22 22 E1E3 − E22 21 E1E3 − E22 22 5E1 w + + − + 2 = 2 E1 − x2 E1 − x1x2 E1 + x1 12 (1 + ) x2 ( ) ( ) ( ) (23) (24) (25) Các phương trình (22) –(25) chứa ẩn w, , 1 , 2 sử dụng nghiên cứu dao động phi tuyến ổn định động lực vỏ trụ FGM sở lý thuyết biến dạng trượt bậc PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ Giả thiết vỏ trụ tựa đơn hai đầu, điều kiện biên có dạng: w = 0, M1 = 0, N1 = N12 = x1 = x1 = a (26) Tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện biên phải đạt mục tiêu tìm số Mach tới hạn Đặt nghiệm w = f1 ( t ) sin ( m + 1) x2 sin nx2 m x1 nx sin + f ( t ) sin a R a R (27) Thay (27) vào phương trình (22) giải phương trình ta xác định hàm ứng suất sau: = 1 sin +5 cos +9 cos ( m + 1) x1 sin nx2 + cos 2nx2 + cos 2m x1 m x1 nx sin + 2 sin a R a R R a ( m + 1) x1 a x1 a cos + 6 cos ( 2m + 1) x1 + a cos 2nx2 R Ở ký hiệu 516 x1 a + 8 cos ( 2m + 1) x1 cos 2nx2 + a R (28) ... học Giao thơng vận tải PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ BẰNG VẬT LIỆU CĨ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA LỰC KHÍ ĐỘNG SỬ DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG TRƯỢT BẬC NHẤT Phạm Thị Toan Trường... biến dạng ngang, báo tác giả tiến hành phân tích động lực vỏ trụ FGM tác dụng lực khí động sở lý thuyết FSDT VỎ TRỤ MỎNG FGM DƯỚI TÁC DỤNG CỦA LỰC KHÍ ĐỘNG 2.1 Vật liệu FGM Vật liệu có tính biến. .. 2 sử dụng nghiên cứu dao động phi tuyến ổn định động lực vỏ trụ FGM sở lý thuyết biến dạng trượt bậc PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ Giả thiết vỏ trụ tựa đơn hai đầu, điều kiện biên có