Phân tích động lực phi tuyến của vỏ trụ bằng vật liệu có cơ tính biến thiên dưới tác dụng của lực khí động sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất

Bài viết Phân tích động lực phi tuyến của vỏ trụ bằng vật liệu có cơ tính biến thiên dưới tác dụng của lực khí động sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất phân tích các đặc trưng động học của vỏ trụ mỏng FGM dưới tác dụng của lực khí động. Trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và mô hình khí động lực theo lý thuyết Piston đã thiết lập các phương trình cơ bản của vỏ trụ FGM trong dòng khí chuyển động vượt âm.

Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 510-524 Transport and Communications Science Journal NONLINEAR DYNAMICAL ANALYSIS OF FUNCTIONALLY GRADED CYLINDRICAL SHELL UNDER AERODYNAMIC LOAD USING THE FIRST-ORDER SHEAR DEFORMATION THEORY Pham Thi Toan University of Transport and Communications, No Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam ARTICLE INFO TYPE: Research Article Received: 08/01/2021 Revised: 20/03/2021 Accepted: 24/03/2021 Published online: 15/06/2021 https://doi.org/10.47869/tcsj.72.5.1 * Corresponding author Email: phamthitoan@utc.edu.vn; Tel: 0912580957 Abstract The research on functionally graded material (FGM) has received a lot of attention recently because this material is used in many areas of life This paper presents an analytical approach to investigate the dynamic characteristics of the functionally graded cylindrical thin shell subjected to aerodynamic loads Based on the first-order shear deformation theory (FSDT) and the Piston theory supersonic aerodynamic, the governing equations of FGM cylindrical shell in the moving hypersonic airflow are established The Galerkin technique together with Volmirs assumption and the fourth-order Runge-Kutta method are used to analyze dynamic problems of cylindrical shell The research target is to find out critical Mach numbers of airflow, which made the shell unstable when geometrical parameters of shell and volume fraction index of the constituent material are varied Numerical results show the influences of geometrical parameters, the material properties to the nonlinear flutter characteristics of FGM cylindrical shell The results are obtained to find out critical Mach of airflow, which made the shell unstable Keywords: Cylindrical shell; FGM material; flutter; nonlinear dynamic © 2021 University of Transport and Communications 510 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 72, Số (06/2021), 510-524 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ BẰNG VẬT LIỆU CĨ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA LỰC KHÍ ĐỘNG SỬ DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG TRƯỢT BẬC NHẤT Phạm Thị Toan Trường Đại học Giao thông vận tải, Số Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam THƠNG TIN BÀI BÁO CHUN MỤC: Cơng trình khoa học Ngày nhận bài: 08/01/2021 Ngày nhận sửa: 20/03/2021 Ngày chấp nhận đăng: 24/03/2021 Ngày xuất Online: 15/06/2021 https://doi.org/10.47869/tcsj.72.5.1 *Tác giả liên hệ Email: phamthitoan@utc.edu.vn; Tel: 0912580957 Tóm tắt Các nghiên cứu vật liệu có tính biến thiên (FGM) nhận nhiều quan tâm thời gian gần vật liệu sử dụng nhiều lĩnh vực sống Trong báo phân tích đặc trưng động học vỏ trụ mỏng FGM tác dụng lực khí động Trên sở lý thuyết biến dạng trượt bậc mơ hình khí động lực theo lý thuyết Piston thiết lập phương trình vỏ trụ FGM dịng khí chuyển động vượt âm Phương pháp Galerkin, giả thiết Volmir phương pháp Runge-Kutta bậc sử dụng cho phân tích động lực vỏ Mục tiêu nghiên cứu tìm số Mach tới hạn dịng khí làm cho vỏ ổn định thay đổi tham số hình học vỏ số phân bố vật liệu thành phần Kết số ảnh hưởng tham số hình học, tính chất vật liệu đến đặc trưng động lực phi tuyến vỏ trụ FGM Kết đạt tìm số Mach tới hạn dịng khí làm cho vỏ ổn định Từ khóa: Vỏ trụ, vật liệu FGM, tượng tự dao động, động lực phi tuyến © 2021 Trường Đại học Giao thơng vận tải LỜI GIỚI THIỆU Vật liệu có tính biến thiên (FGM) nghiên cứu nhóm nhà khoa học vật liệu Nhật vào năm 1984 dự án khơng gian địi hỏi vật liệu có chiều dày nhỏ độ chênh lệch nhiêt độ cao [1] Vật liệu FGM dùng phổ biến loại hai thành phần tạo nên từ gốm kim loại biến đổi cách trơn liên tục từ mặt sang mặt theo chiều dày thành kết cấu Vật liệu FGM thường sử dụng 511 Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 510-524 nhiều lĩnh vực khác Ví dụ, cấu kiện máy bay lò phản ứng hạt nhân, y học quốc phịng [2] Đối với phân tích động lực vỏ FGM, có nhiều nghiên cứu tập trung vào đặc trưng dao động vỏ Loy cộng [3] nghiên cứu dao động vỏ trụ FGM Đối tượng nghiên cứu tần số dao động, ảnh hưởng tỷ số thể tích hiệu hình dáng cấu trúc vật liệu lên tần số dao động Huang Han [4] trình bày tốn ổn định động lực phi tuyến vỏ trụ vật liệu có tính biến thiên chịu tác dụng tải trọng dọc trục phụ thuộc thời gian cách sử dụng tiêu chuẩn ổn định động lực Budiansky-Roth Các nghiên cứu báo trước thường sử dụng lý thuyết vỏ cổ điển dựa giả thiết Love-Kirchhoff bỏ qua biến dạng trượt mặt phẳng Ngược lại, lý thuyết biến dạng trượt bậc (FSDT) lý thuyết biến dạng trượt bậc cao (TSDT) có tính đến biến dạng ngồi mặt phẳng Lý thuyết biến dạng trượt xây dựng sở lý thuyết Reddy[5] Bằng cách sử dụng lý thuyết vỏ TSDT phương pháp phần tử hữu hạn, Shariyat [6] nghiên cứu toán ổn định động lực phi tuyến vỏ trụ FGM tác dụng tải trọng dọc trục áp suất ngồi có tính đến yếu tố nhiệt Dao Huy Bich Nguyen Xuan Nguyen [7] nghiên cứu dao động phi tuyến vỏ trụ tròn FGM sở phương trình Donnell cải tiến Dung DV Nga NT [8] nghiên cứu phân tích phi tuyến dáng điệu uốn sau uốn FGM khơng hồn hảo gia cố vật liệu FGM với tính chất vật liệu phụ thuộc nhiệt độ sở lý thuyết TSDT Sofiyev [9] nghiên cứu dao động độ uốn vỏ trụ sandwich bao bọc lớp phủ khác chịu tác dụng tác dụng áp lực thủy tĩnh cách sử dụng FSDT Ghosh cộng [10] phân tích dao động tự nhiều lớp có gia cường cách sử dụng TSDT Javaheri cộng [11] nghiên cứu tính ổn định nhiệt FGM sở lý thuyết TSDT Lanhe [12] nghiên cứu tính ổn định nhiệt chữ nhật FGM có độ dày tựa đơn Matsugana [13] phân tích dao động tự ổn định vỏ thoải FGM có sử dụng lý thuyết TSDT Trong nghiên cứu tác giả từ trước đến phân tích động lực phi tuyến vỏ dựa sở lý thuyết vỏ cổ điển [14] Mục tiêu nghiên cứu tìm số Mach tới hạn dịng khí làm cho vỏ ổn định thay đổi tham số hình học vỏ số phân bố vật liệu thành phần Với mục đích tìm số Mach tới hạn xét đến biến dạng ngang, báo tác giả tiến hành phân tích động lực vỏ trụ FGM tác dụng lực khí động sở lý thuyết FSDT VỎ TRỤ MỎNG FGM DƯỚI TÁC DỤNG CỦA LỰC KHÍ ĐỘNG 2.1 Vật liệu FGM Vật liệu có tính biến thiên báo này, giả thiết làm từ hỗn hợp ceramic (gốm) kim loại với tỷ lệ thể tích vật liệu thành phần cho theo qui luật hỗn hợp:  2z + h  Vm ( z ) + Vc ( z ) = 1,Vm ( z ) =    2h  k (1) Ở h chiều dày vỏ trụ; k ≥ số tỷ lệ thể tích vật liệu thành phần; z h  h tọa độ chiều dày  −  z   ; Các số c m để thành phần gốm kim loại 2  tương ứng Theo quy luật hỗn hợp, mơ đun Young mật độ khối biểu diễn dạng: 512 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 72, Số (06/2021), 510-524  2z + h  E ( z ) = EmVm + EcVc = Ec + ( Em − Ec )    2h  k  2z + h    2h  k  ( z ) = mVm + cVc = c + ( m − c )  (2) 2.2 Các hệ thức liên hệ ứng suất - biến dạng vỏ trụ FGM Xét vỏ trụ có bán kính R, độ dày h độ dài a nằm dọc theo luồng khí chuyển động với vận tốc U (Hình 1) Chọn hệ trục tọa độ ( x1 , x2 , z ) cho trục x1 , x2 hướng dọc trục hướng vịng cịn trục z vng góc với mặt vỏ trụ, có chiều dương hướng vào Theo lý thuyết vỏ biến dạng trượt bậc tính phi tuyến hình học von Kármán, thành phần biến dạng mặt độ cong, độ xoắn vỏ trụ liên hệ qua thành phần chuyển vị u , v, w 1 , 2 góc quay pháp tuyến ngang thuộc trục x2 , x1 tương ứng sau [5]:     w  = + 2  x2      1 u  w  w  = +  ,  13 =  130 = + 1  , 1 = x1  x1  x1 x1 2 v 1  w   = − w+  ,  23 =  23  , 2 = x2 R  x2  x2  120 =   u v w w + + , 12 = + x2 x1 x1 x2 x2 x1 (3) Các thành phần biến dạng điểm cách mặt khoảng z xác định bởi: 1 = 10 − z 1 ,  =  20 − z  ,  12 =  120 − z 12 (4) Từ (3) nhận phương trình tương thích biến dạng vỏ sau:  2w  2w 2w 2w  210  2 20  2 120 + − = −   −  x22 x12 x1x2  x1x2  x12 x22 R x12 (5) Quan hệ ứng suất biến dạng theo định luật Hooke [5] 1 = E ( z) − (1 + ) , = E ( z) − (13 , 23 ) = ( + ) ,12 = E ( z) (1 + ) E ( z) (1 + )  12 , (6) ( 13 ,  23 ) Tích phân biểu thức định nghĩa nội lực màng mômen, lực cắt vỏ sau: 513 Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 510-524 E1 E  +  20 ) − 2 ( 1 +  ) ; ( 1 − − E1 E E1 E2 N2 =  + 10 ) − 2 (  + 1 ) ; N12 =  120 −  ( − − (1 +  ) (1 +  ) 12 N1 = ( ) ( (8) ) E E E2 E 10 + 20 − ( 1 + ) ; M = 2  20 +10 − (  +1 ) − − − −   E3 E2 E1  w 5E1  w M 12 =  120 − 12 ; Q1 = + 1  , Q2 = + 2    (1 + ) 12 (1 + )  x1 12 (1 + )  x2 (1 + )   M1 = (9) Trong Em − Ec ) kh ( Em − Ec   E1 =  Ec + h; E2 = ; k +  ( k + 1)( k + )  (10) E 1   E3 =  c + ( Em − Ec )  − +  h  k + k + 4k +    12 Từ (8) biểu diễn ngược lại, ta có: 10 = (1 + ) E E E 1 N12 + 2 12 ( N1 − N ) + 1;  20 = ( N − N1 ) +  ,  120 = E1 E1 E1 E1 E1 E1 (11) Thay (11) vào (9) ta nhận M1 = E E − E2 E E − E2 E2 E N1 − 22 ( 1 + ) ; M = N − 22 (  +1 ) E1 E1 E1 − E1 − ( ) M12 = ( ) (12) E E − E2 E2 N12 − 22 12 E1 E1 − ( ) 2.3 Các phương trình vỏ trụ FGM chịu tải trọng khí động Giả thiết vỏ trụ FGM nằm dọc theo luồng khí chuyển động với vận tốc vượt âm U Dịng khí tác dụng lên mặt vỏ áp lực q0 hướng theo pháp tuyến mặt vỏ Hình Vỏ trụ vật liệu có tính biến thiên tác dụng dịng khí Trục x1 , x2 hướng dọc trục hướng vòng trục z hướng vng góc với mặt vỏ trụ 514 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 72, Số (06/2021), 510-524 Phương trình chuyển động vỏ FGM sở biến dạng trượt bậc có dạng [5]: N1 N12  2u + = 1 x1 x2 t (13) N12 N  2v + = 1 x1 x2 t (14)  M1  M 12  M   w w  + + + + N12  N1  2 x1 x1x2 x2 x1  x1 x2  +   w w  N 2w N + N + + q =   12  x2  x1 x2  R t M M 12 + − Q1 = x1 x2 M 12 M + − Q2 = x1 x2 Trong 1 = h    ( z ) dz =   c h − +  m − c  h k +  (15) (16) (17) (18) Theo lý thuyết Piston tuyến tính bậc nhất, lực khí động xác định theo cơng thức [15] (19)  w w  q0 = − P  M +   x1 a t  Trong  tỷ số nhiệt dung chất khí; a vận tốc âm; P áp suất khí chưa bị U nhiễu; M số Mach; M = , U vận tốc dịng khí a  2u  2v Sử dụng giả thiết Volmir, → 0, → , u = w, v = w , hai phương trình (13), t t (14) thỏa mãn đồng ta đưa vào hàm ứng suất  cho:  2  2  2 , N = , N = − 12 x22 x12 x1 x2 Phương trình (15) đưa dạng:  M1  M 12  M 2w 2w 2w N2 2w + + + N + N + N + + q =  12 x12 x1x2 x22 x12 x1x2 x22 R t N1 = Thay (11) vào phương trình (5) sử dụng (20) đưa phương trình tương thích về: 515 (20) (21) Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 510-524 1 2w  2w  2w 2w  = − +  − E1 R x12  x1x2  x12 x22 (22) Thay (11) vào phương trình (16), (17), (21) sử dụng (20) ta có phương trình chủ đạo: 1  32  31  32   2  2  w  w E1 E3 − E22   31 − + + + − +  − t E1 −  x13 x12x2 x1x22 x23  R x12 x22 x12 ( )  w w   2  w  2  w − +  P + M =0  x1x2 x1x2 x1 x22  x1 a t   E1 E3 − E22  21 E1E3 − E22  22 E1E3 − E22  21 5E1  w + + − + 1  =  2 E1 (1 − ) x1 E1 (1 − ) x1x2 E1 (1 + ) x2 12 (1 + )  x1   E1 E3 − E22  22 E1E3 − E22  21 E1E3 − E22  22 5E1  w + + − + 2  =  2 E1 − x2 E1 − x1x2 E1 + x1 12 (1 + )  x2  ( ) ( ) ( ) (23) (24) (25) Các phương trình (22) –(25) chứa ẩn w,  , 1 , 2 sử dụng nghiên cứu dao động phi tuyến ổn định động lực vỏ trụ FGM sở lý thuyết biến dạng trượt bậc PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ Giả thiết vỏ trụ tựa đơn hai đầu, điều kiện biên có dạng: w = 0, M1 = 0, N1 = N12 = x1 = x1 = a (26) Tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện biên phải đạt mục tiêu tìm số Mach tới hạn Đặt nghiệm w = f1 ( t ) sin ( m + 1)  x2 sin nx2 m x1 nx sin + f ( t ) sin a R a R (27) Thay (27) vào phương trình (22) giải phương trình ta xác định hàm ứng suất sau:  = 1 sin +5 cos +9 cos ( m + 1)  x1 sin nx2 +  cos 2nx2 +  cos 2m x1 m x1 nx sin + 2 sin a R a R R a ( m + 1)  x1 a  x1 a cos + 6 cos ( 2m + 1)  x1 +  a cos 2nx2 R Ở ký hiệu 516  x1 a + 8 cos ( 2m + 1)  x1 cos 2nx2 + a R (28) Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 72, Số (06/2021), 510-524 1 = f1 ( m + 1) a E1 f1m a E1 , 2 = , 3 = E1  2 f m + f 22 ( m + 1)  2   32n  R ( m + 1) + n     2 2 2 2 f En  f En  f1 f E1n  − f1 f E1n   = 1 , 5 = 1 ,  = ,  = 2 32m 32 ( m + 1) ( 2m + 1) 8 = R  m + n   2 2 − f1 f E1n  ( 2m + 1) + 4m     2 f1 f E1n  ( 2m + 1) , 9 = 1 + 4n   (29) 2 Thay (27) vào phương trình (24) (25) ta xác định hàm 1 , 2 sau: ( m + 1)  x1 sin nx2 m x1 nx sin + 11 cos a R a R ( m + 1)  x1 cos nx2 m x1 nx 2 = 20 sin cos + 21 sin a R a R 1 = 10 cos (30) Ở 10 = 11 = f1aE1  n A12 − mA22  f1aE1  mA12 − n A11  , 20 =     12 (1 + )   A11 A22 − A12  12 (1 + )   A11 A22 − A122  f aE1  n B12 − ( m + 1) B22  f aE1  ( m + 1) B12 − n B11    , 21 =   12 (1 + )   B11 B22 − B12 12 (1 + )   B11B22 − B122   5a E1  5a E1  E  2m E  2n  2 2 A11 = + n  + , A = + m +   22   (1 + )  (1 − ) E  (1 + )  (1 − ) E  (31)  ( m + 1)2 E1 E3 − E22 5a E1  Emn E , A12 = , B11 = + n2 + , E =   (1 − ) (1 + )  (1 − ) E  E1    2n  E ( m + 1) n 5a E1  E B22 = + ( m + 1) + , B =   12 (1 + )  (1 − ) E  (1 − ) Thay biểu thức (27), (28), (30) vào phương trình (23) áp dụng phương pháp Galerkin , ta được: ( )( ( ) 5a E1E3 − E22 m2 + n2 m2 A22 + n2 A11 − 2mn A12  1 f1 + f1 +  12 − (1 + )  A11 A22 − A122 a4 + m4 a E1 R 2  m2 + n2  ) f1 +  P ( ) 4Mm ( m + 1)  a4  − f2 + f1  +    a ( 2m + 1) a  517 (32) Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 510-524   2m + 1) ( f1 f 22 n  E1  m ( m + 1)  + + + + 4 + 2 4  2 16 n 1 + 4n   ( 2m + 1) + 4n       E + f13  m + n   = 16 ( ) 2 5a E1E3 − E22 ( m + 1) + n 2  ( m + 1) B22 + n 2 B11 − ( m + 1) n B12      f 1 f + 2 2  12 − (1 + )  B11 B22 − B12 a4 ( ( m + 1) a E1 2 R 2 ( m + 1) + n2    ) ( ++ f +  P ) 4Mm ( m + 1)  a4  − f1 + f2  +    a ( 2m + 1) a    2m + 1) ( f f12 n  E1  m ( m + 1)  + + + + 4 + 2 4  16 n 1 + 4n   ( 2m + 1)2 + 4n       E f 23 ( m + 1) + n   =  16  (33) Từ phương trình (32),(33), ta nhận hệ thức xác định tần số dao động riêng vỏ: K − 2H = (34)  a4  1    K  , Trong đó: K =  11 , H = K  a4  22   1     2 2 2 2 5a ( E1 E3 − E2 )( m + n  )  m A22 + n  A11 − 2mn A12  m a E1 K11 = + 12 (1 − ) (1 +  )  ( A11 A22 − A122 ) R 2  m + n   ( ) 2 5a E1 E3 − E22 ( m + 1) + n   ( m + 1) B22 + n  B11 − ( m + 1) n B12     + K 22 = 2 12 − (1 + )  B11 B22 − B12 ( ) ( ) ( m + 1) a E1 2 R 2 ( m + 1) + n     + Hệ hai phương trình vi phân phi tuyến (32) (33) mô tả dao động vỏ, kết hợp với điều kiện đầu sử dụng phương pháp Runge-Kutta bậc chương trình phần mềm Matlab ta nhận đồ thị đáp ứng động lực vỏ Vấn đề đặt với giá trị khác số Mach M = U a , ta cần tìm số Mach tới hạn để từ vỏ ổn định Số Mach tới hạn ký hiệu M th Khi M  M th , vỏ trụ ổn định 518 Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 72, Số (06/2021), 510-524 KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN 4.1 Đánh giá độ tin cậy Để đánh giá độ tin cậy chương trình tính tốn, tần số dao động riêng vỏ trụ FGM đạt từ biểu thức so sánh với Loy cộng [3], Bich Nguyen [7] Theo [3], xét vỏ trụ FGM gồm thành phần Stainless Steel Nickel với tính chất vật liệu Em = 201, 04 109 N kg N kg , m = 8166 , Ec = 223,95 109 , c = 8900 , m =  c = 0,31 m m m m Khi đưa số liệu vào chương trình Matlab, kết nhận tần số dao động riêng để so sánh độ tin cậy So sánh tần số dao động riêng thể Bảng 1, loại trừ số hạng đầu với m=n=1, số hạng khác sai khác không đáng kể Bảng So sánh tần số dao động riêng khác (Hz) tương ứng với số sóng trịn n với m=1, h/R=0,002, a/R=20, k=2 n Bài báo Bích Nguyen [7] Loy cộng [3] 19,1056 19,0079 13,321 5,237 5,0554 4,5114 4,8699 4,4188 4,1827 7,8389 7,3179 7,0905 12,1164 11,5577 11,329 17,4144 16,8187 16,587 23,69 23,0521 22,454 30,9337 30,2487 30,014 40,5814 38,4063 38,171 10 48,4015 47,5242 47,288 4.2 Đáp ứng tượng tự dao động phi tuyến số Mach tới hạn Bằng cách sử dụng phương pháp Runge – Kutta bậc ngôn ngữ lập trình Matlab để giải hệ phương trình (32)-(33) Xét vỏ trụ FGM nhơm-oxit nhơm với tham số hình học vậtliệu[14]: h = 0,003m, R = 1m,a = 3m, k = 1, E c = 380 109 N / m2 , c = 3800kg / m3 , Em = 70 109 N / m2 , m = 2720kg / m3 , = 0,3 đặc trưng khí động lực [15]:  = 1, 4, a = 340m / s P = 99473, N / m2 Điều kiện đầu f1 (0) = 1e −10 , f1 (0) = , f (0) = 1e −10 , f (0) = Hình đáp ứng động lực phi tuyến vỏ trụ FGM với M=2.3676, vỏ chưa ổn định Hàm f dao động điều hòa với biên độ nhỏ Hàm f1 dao động với biên độ tăng khoảng thời gian đầu t < 0,05s sau với t > 0,05s thực dao động điều hòa Khi số Mach tăng 0,0001 (tương ứng vận tốc tăng  0,034 m/s), tức M th = 2,3677, biên độ tăng liên tục, vỏ ổn định (Hình 3) Khi so sánh với lý thuyết vỏ cổ điển [14], M th giảm có biến 519 Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 510-524 dạng trượt ngang Theo [14], M th =2,3684 vỏ trụ kích thước vật liệu, sai số 0,0007 k=1, a/R=3, h=0.003, M=2.3676 x10-8 k=1, a/R=3, h=0.003, M=2.3677 x10-8 1 0.5 0.5 f1&f2 f1&f2 -0.5 -0.5 -1 -1 -1.5 10 12 14 16 18 20 x10-2 -1.50 10 x10-3 t Hình Đáp ứng động lực vỏ trụ ổn định với M th =2,3677 t Hình Đáp ứng động lực vỏ trụ với số Mach M = 2,3676 a) Ảnh hưởng điều kiện đầu Khi thay đổi điều kiện đầu, chẳng hạn t = 0, f1 (0) = 1e − , f (0) = 1e − f1 (0) = f (0) = , đáp ứng động lực thể Hình Hình Hình với số Mach M = 2,3676 đồ thị thể hiên dao động giảm dần Khi M = 2,3677, đáp ứng động lực thay đổi so với Hình khoảng thời gian Do ảnh hưởng điều kiện đầu, biên độ dao động lúc đầu giảm sau có xu hướng điều hịa Do yếu tố lực cản khí động yếu tố phi tuyến phương trình (32) (33) biên độ dao động không tăng đến vô mà đến thời điểm tượng tự dao động điều hịa k=1, a/R=3, h=0.003, M=2.3676 x10-5 0.8 0.6 0.4 0.2 -0.2 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1 f1&f2 f1&f2 x10-5 0.8 0.6 0.4 0.2 10 x10-2 t k=1, a/R=3, h=0.003, M=2.3677 10 x10-3 t Hình Đáp ứng động lực vỏ trụ với -1.5M=2,3677 thay đổi điều kiện đầu -1 Hình Đáp ứng động lực vỏ trụ với -1.5M=2,3676 thay đổi điều kiện đầu b) Ảnh hưởng tỷ số h/R Khi tăng chiều dầy vỏ, M th tăng Xét vỏ với kích thước k = 1, a = 3m, R = 1m 520 Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 72, Số (06/2021), 510-524 Khi với h=0,004m, M th = 4,6375, tượng ổn định xảy Hình 6, với M th =7,798, h=0,005m, tượng ổn định xảy Hình Khảo sát cho thấy giai đoạn chưa ổn định, thay đổi số Mach ảnh hưởng không đáng kể đến tần số dao động Khi chiều dầy h vỏ trụ tăng, M th tăng nhanh Bảng thể M th tỷ số h/R tăng Khi xét lý thuyết vỏ cổ điển [14] giá trị M th = 4,6397 vỏ kích thước vật liệu Sai khác M th hai lý thuyết 0,0022 Như xét biến dạng trượt độ ổn định vỏ đến nhanh Ranh giới ổn định không ổn định với thay đổi số Mach 0,0001 sai khác 0,0022 khơng phải nhỏ Giá trị M th kết xác so với nghiên cứu theo lý thuyết vỏ cổ điển k=1, a/R=3, h=0.004, M=4.6375 x10-9 2 1 0 f1&f2 f1&f2 x10-9 -1 -1 -2 -2 -3 k=1, a/R=3, h=0.005, M=7.798 10 x10-2 -3 10 x10-3 t t Hình Đáp ứng động lực vỏ trụ ổn định với M th =7,798, h=0,005m Hình Đáp ứng động lực vỏ trụ ổn định với M th =4,6375, h=0,004m Bảng M th tỷ số h/R thay đổi, k =1, a = 3m H(m) R(m) 0,002m 0,0025m 0,003m 0,0035m 0,004m 0,0045m 0,005m 1m 0,9233 1,5534 2,3677 3,4001 4,6375 6,1392 7,798 1,1m 0,811 1,3637 2,0872 3,0045 4,0879 5,3842 6,9571 1,2m 0,7211 1,2157 1,8715 2,6641 3,66 4,8114 6,1282 1.3m 0,6527 1,097 1,6717 2,4166 3,2783 4,3173 5,5781 1,4m 0,588 0,9909 1,5271 2,1746 2,9784 3,9592 5,01 1,5m 0,5409 0,9065 1,3859 1,9905 2,7377 3,5707 4,5768 521 Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 510-524 c) Ảnh hưởng tỷ số a R x10-9 k=1, a/R=2, h=0.005, M=11.8008 f1&f2 -1 -2 -3 10 x10-3 t Hinh Đáp ứng động lực vỏ trụ ổn định với M th =11, 8008 Ảnh hưởng tỷ số a/R đến đáp ứng động lực vỏ FGM Hình với a/R =2, h=0,005m Khi M th =11,8008, vỏ ổn định Bảng thể tỷ số a/R thay đổi, M th thay đổi Khi a/R tăng, M th giảm Cố định R=1m, chiều dài vỏ trụ tăng, độ cứng vỏ trụ giảm nên độ ổn định vỏ giảm Kết hoàn toàn phù hợp với thực tế a/R Bảng Số Mach tới hạn ứng với tỷ số a/R h thay đổi (k =1 , R = 1m) H(m) 0,002m 0,003m 0,004m 0,005m 2,8399 7,6033 14,5026 25,138 1,5 1,8556 4,8205 9,5422 16,1756 1,3859 3,5707 7,088 11,8008 2,5 1,1082 2,8451 5,5732 9,5247 0,9233 2,3677 4,6375 7,798 d) Ảnh hưởng số k Khi cho số thể tích k thay đổi, M th thay đổi Vật liệu FGM giả thiết làm từ hỗn hợp ceramic kim loại với tỷ lệ thể tích thành phần cho theo qui luật (1) Khi k=0, Vm = 1,Vc = 0, vật liệu hoàn toàn kim loại, M th nhỏ Khi k =  , Vc = 1,Vm = 0, vật liệu hoàn toàn ceramic, M th tăng rõ rệt Điều hợp lý mơ đun đàn hồi của thép nhỏ ceramic nhiều Trên Bảng thể số M th thay đổi k, h thay đổi Hình Hình 10 thể đáp ứng động lực vỏ ổn định với k=0,5 k=5 Bảng M th cho tỷ số thể tích k chiều dày h thay đổi với a/R=3 k h(m) 0,002m 0,003m 0,004m 0,005m 0,2 0,5  0,3207 0,8314 1,6303 2,7265 0,5518 1,4291 2,8021 4,6885 0,7408 1,9067 3,7361 6,2694 0,9233 2,3677 4,6375 7,798 1,115 2,8614 5,6034 9,43 1,3563 3,4772 6,8111 11,4495 1,7405 4,5129 8,8497 14,8007 522 Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 72, Số (06/2021), 510-524 k=0.5, a/R=3, h=0.005, M=6.2694 x10-9 2 1 0 f1&f2 f1&f2 x10-9 -1 k=5, a/R=3, h=0.005, M=11.4495 -1 -2 -2 -3 -3 10 x10-3 t Hình Đáp ứng động lực vỏ trụ ổn định với M th =6,2694 10 x10-3 t Hình 10 Đáp ứng động lực vỏ trụ ổn định với M th =11,4495 KẾT LUẬN Trong báo nghiên cứu động lực phi tuyến vỏ trụ FGM tác dụng lực khí động theo lý thuyết Piston cách sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc Các kết số đáp ứng động lực vỏ trụ FGM đạt phương pháp Runge-Kutta chương trình Matlab Số Mach tới hạn có giá trị nhỏ so với vật liệu kích thước so sánh với lý thuyết vỏ cổ điển Điều chứng tỏ tượng ổn định vỏ đến sớm Tuy nhiên sai khác số Mach tới hạn theo lý thuyết vỏ cổ điển lý thuyết biến dạng trượt bậc nhỏ Các tham số hình học đóng vai trò quan trọng tượng tự dao động vỏ FGM Khi tỷ số h/R tăng, M th tăng nhanh Khi tỷ số a/R tăng , M th giảm nhanh LỜI CẢM ƠN Nghiên cứu tài trợ Trường Đại học Giao thông vận tải đề tài mã số T2020-CB-005 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Koizumi, The concept of FGM, Ceram Trans, Funct Grad Materials, 34 (1993) 3-10 [2] Y Miyamoto, W A Kaysser, B H Rabin, A Kawasaki, R G Ford, Functionally graded materials: design, processing and application, London: Kluwer Academic Publishers, 1999 https://doi.org/10.1007/978-1-4615-5301-4 [3] C T Loy, K Y Lam, J N Reddy, Vibration of functionnally graded cylindrical shells, International Journal of Mechanical Sciences, 41 (1999) 309-324 https://doi.org/10.1016/S00207403(98)00054-X [4] H Huang, Q Han, Nonlinear dynamic buckling of functionally graded cylindrical shells subjected to a time-dependent axial load, Compos Struct, 92 (2010) 593-598 https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2009.09.011 523 Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 510-524 [5] J N Reddy, Mechanics of lamilated composite plates and shells:theory and analysis, New York:CRC Press, (2004) [6] M Shariyat, Dynamic thermal buckling of suddenly heated temperature-dependent FGM cylindrical shells under combined axial compression and external pressure, Int J Solids Struct, 45 (2008) 2598-2612 https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2007.12.015 [7] D H Bich, N X Nguyen, Nonlinear vibration of functionally graded circular cylindrical shells based on improved Donnell equations, Journal of Sound and Vibration, 331 (2012) 5488-5501 https://doi.org/10.1016/j.jsv.2012.07.024 [8] D V Dung, N T Nga, Buckling and postbuckling nonlinear analysis of imperfect FGM plates reinforced by FGM stiffeners with temperature-dependent properties based on TSDT, Acta Mech, 227 (2016) 2377-2401 https://doi.org/10.1007/s00707-016-1637-y [9] A H Sofiyev, The vibration and buckling of sandwich cylindrical shells covered by different coatings subjected to the hydrostatic pressure, Compos Struct., 117 (2014) 124-134 https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2014.06.025 [10] A K Ghosh, K C Biswal, Free- vibration analysis of stiffined lamilated plates using higherorder deformation theory, Finite Elements in Analysis and Design, 22 (1996) 143-161 https://doi.org/10.1016/0168-874X(95)00051-T [11] R Javaheri, M R Eslami, Thermal buckling of functionally graded plates based on higher order theory, J Thermal Stressees, 25 (2002) 603-625 https://doi.org/10.1080/01495730290074333 [12] W Lanhe, Thermal buckling of a simply supportrd moderately thick retangular FGM plate, Composite Structures, 64 (2004) 211-218 https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2003.08.004 [13] H Matsunaga, Free vibration and stability of functionally graded shallow shells according to a 2-D higherorder deformation theory, Compos Struct, 84 (2008) 132-146 https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2007.07.006 [14] Pham Thi Toan, Phân tích động lực phi tuyến vỏ trụ vật liệu có tính biến thiên tác dụng lực khí động sử dụng lý thuyết Piston, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, 11 (2017) 56-63 https://stce.nuce.edu.vn/index.php/vn/article/view/771 [15] Trần Thế Văn, Nghiên cứu ổn định composite lớp chịu tải trọng khí động, Luận án Tiến sỹ Kỹ thuật, Học viện Kỹ thuật Quân sự, 2012 [16] D.D Brush, B.O Almroth, Buckling of bars, plates and shells, Mc.Graw-Hill, Inc., 1975 524 ... học Giao thơng vận tải PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ BẰNG VẬT LIỆU CĨ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA LỰC KHÍ ĐỘNG SỬ DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG TRƯỢT BẬC NHẤT Phạm Thị Toan Trường... biến dạng ngang, báo tác giả tiến hành phân tích động lực vỏ trụ FGM tác dụng lực khí động sở lý thuyết FSDT VỎ TRỤ MỎNG FGM DƯỚI TÁC DỤNG CỦA LỰC KHÍ ĐỘNG 2.1 Vật liệu FGM Vật liệu có tính biến. .. 2 sử dụng nghiên cứu dao động phi tuyến ổn định động lực vỏ trụ FGM sở lý thuyết biến dạng trượt bậc PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ Giả thiết vỏ trụ tựa đơn hai đầu, điều kiện biên có