Bài viết nghiên cứu dao động của dầm cơ tính biến thiên hai chiều (2D-FGM) có lỗ rỗng vi mô chịu lực di động bằng lý thuyết dầm bậc cao; tính chất vật liệu được giả thiết thay đổi theo chiều cao và chiều dài dầm bằng quy luật hàm số lũy thừa.
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG DAO ĐỘNG CỦA DẦM CƠ TÍNH BIẾN THIÊN HAI CHIỀU CĨ LỖ RỖNG VI MÔ CHỊU LỰC DI ĐỘNG TS LÊ THỊ HÀ Trường Đại học Giao thơng vận tải Tóm tắt: Bài báo nghiên cứu dao động dầm đơn hướng, tức tính chất vật liệu thay đổi tính biến thiên hai chiều (2D-FGM) có lỗ rỗng vi mô chịu lực di động lý thuyết dầm bậc cao Tính chất vật liệu giả thiết thay đổi theo chiều cao chiều dài dầm quy luật hàm số lũy theo hướng không gian, chiều cao chiều dài dầm Trong thực tế, kết cấu FGM đơn hướng không tối ưu chịu tác động đồng thời tải trọng cơ, nhiệt theo hướng khác thừa Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, phương trình chuyển động cho dầm thiết lập dạng rời rạc, từ tính tốn tham số dao động dầm Công thức phần tử hữu hạn thiết lập Việc phát triển vật liệu có tính biến đổi theo nhiều hướng khác nhu cầu thực tế có ý nghĩa khoa học Nghiên cứu ứng xử học dầm có tính biến thiên hai chiều (2D-FGM) báo so sánh kiểm chứng với kết cơng bố Ngồi ra, ảnh hưởng tham số lỗ rỗng, tham số phân bổ vật liệu đến đặc tính dao động dầm nghiên cứu thảo luận số tác giả quan tâm thời gian gần chi tiết báo Từ khóa: dầm có tính biến thiên hai chiều, lý thuyết biến dạng trượt bậc cao, dao động tự do, phương pháp phần tử hữu hạn Abstract: This paper studies the vibration of a bidirectional functionally graded (FG) porous beams under of a moving load, based on a high-order shear deformation theory The material properties of a bidirectional FG porous beam are assumed vary in both axial and thickness directions according to a power law The finite element method is used to discretize the model and to compute the vibration characteristics of the beams The accuracy of the derived formulation is confirmed by comparing the obtained results with the published data A parametric study in carry out to show the effects of the porous parameter, material distribution on the vibration of the beams are examined and discussed Keywords: A bidirectional functionally graded material, a high-order shear deformation theory, porous, free vibration, finite element method Đặt vấn đề Sử dụng đa thức để xấp xỉ trường chuyển vị, Simsek [1] nghiên cứu dao động cưỡng dầm 2D-FGM chịu tải trọng di động với tính chất vật liệu biến thiên theo quy luật hàm số mũ Tác giả phân bố ứng suất dầm 2D-FGM khác xa so với dầm 1D-FGM hay dầm Sử dụng phương pháp Ritz, Simsek [2] thu nhận lực tới hạn cho dầm Timoshenko 2D-FGM có tính biến đổi theo quy luật hàm số lũy thừa Phương pháp giải tích Pydah Sabale [3] sử dụng phân tích uốn dầm FGM trịn với tính chất vật liệu thay đổi theo quy luật hàm số mũ theo hướng tiếp tuyến quy luật hàm số lũy thừa theo hướng bán kính dầm Karamanli [4] kết hợp lý thuyết biến dạng trượt tựa 3D với phương pháp thủy động lực học hạt trơn đối xứng, để nghiên cứu ứng xử uốn dầm sandwich 2D-FGM với giá trị khác tỷ số chiều dài chiều cao dầm Phương pháp cầu phương vi phân Tang cộng [5] dùng nghiên cứu dao động tự phi tuyến dầm 2D-FGM, tính biến đổi theo chiều cao quy luật hàm số lũy thừa, chiều dài quy luật hàm số mũ Vật liệu có tính biến thiên (FGM) vật liệu Trong nước, nghiên cứu cho dầm có tính biến thiên hai chiều (2D-FGM) cịn tác giả composite tạo thành từ hai vật liệu thành phần với tỷ lệ thể tích thay đổi theo hay nhiều hướng khơng gian Kết cấu dầm làm từ FGM quan tâm Bằng phương pháp phần tử hữu hạn, Nguyễn Đình Kiên cộng [6; 7] nghiên cứu tham số tần số, tham số độ võng cho dầm 2D- FGM 10 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG chịu lực di động Ảnh hưởng tham số vật liệu, kích thước dầm tới tham số tần số nghiên cứu chi tiết Lê Thị Hà [8] phân tích động lực học cho dầm sandwich lớp, lớp cấu tạo từ vật liệu 2D-FGM chịu lực điều hòa di động Theo hiểu biết tác giả, công bố nước nghiên cứu cho dầm có tính biến thiên hai chiều hồn hảo Tuy nhiên, dầm có tính biến thiên chiều có lỗ rỗng vi mơ Wattanasakulpong [9] nghiên cứu Trong báo này, tác giả nghiên cứu dao động dầm giản đơn chịu lực di động, dầm làm từ vật liệu có tính biến thiên hai chiều khơng hồn hảo có lỗ rỗng vi mô Ảnh hưởng tham số lỗ rỗng, z x tham số vật liệu đến tham số tần số dầm nghiên cứu chi tiết báo Phương trình vi phân chuyển động cho dầm Hình minh họa dầm giản đơn làm từ vật liệu 2D-FGM có lỗ rỗng vi mơ, có chiều dài L, chiều rộng b, chiều cao h, F lực di động dầm Dầm 2D-FGM tạo từ hai vật liệu thành phần: gốm kim loại, với tỷ lệ thể tích thay đổi theo chiều cao chiều dài dầm quy luật hàm số lũy thừa Theo Karamanli [4], mặt đáy dầm hoàn toàn kim loại ( x L , z=-h/2), góc trái dầm (x=0, z=h/2) gốm góc bên phải dầm (x=L, z=h/2) bao gồm gốm kim loại Như vậy, vật liệu dầm thay đổi theo chiều cao chiều dài dầm viết dạng: F h/2 E(x,z) Ec Em x Em L, h, b -h/2 Hình Mơ hình dầm xốp có tính biến thiên hai chiều (2D-FGM) m n x 1 z Vc ( x, z ) 1 ; Vc ( x, z ) Vm ( x, z ) 1; 2L h h h z ; 0 x L 2 Từ cơng thức (1), Vc, Vm tương ứng thể tích vật liệu gốm kim loại; m, n tham số vật liệu biến đổi theo chiều dài chiều cao dầm Do đó, tính chất hiệu dụng dầm 2D-FGM có lỗ rỗng vi mơ viết theo Wattanasakulpong [9] sau: m n Vp x 1 z P( x, z ) ( Pc Pm ) 1 Pm ( Pc Pm ) 2L h Trong công thức (2), Pc , Pm tương ứng tính chất hiệu dụng vật liệu gốm kim loại, V p tham số lỗ rỗng vật liệu Từ m n m n V x 1 z ( x, z ) ( c m ) m p ( c m ) 2L h Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 (2) công thức (2), mô đun đàn hồi Young E(x,z), mật độ khối ρ (x,z) dầm viết dạng sau: Vp x 1 z E ( x , z ) ( Ec Em ) Em ( Ec Em ) 2L h Từ công thức (3), Ec, Em, ρc, ρm tương ứng mô đun đàn hồi, mật độ khối gốm kim loại Theo lý thuyết dầm bậc cao Shi (1999), (1) (3) chuyển vị dọc trục u chuyển vị ngang w điểm dầm biểu diễn dạng sau: 11 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG u ( x, z , t ) u0 ( x, t ) z ( w0, x ) z 0, (4) w( x, z , t ) w0 ( x, t ), Với u0, w0 tương ứng thành phần chuyển vị dọc trục chuyển vị ngang điểm mặt dầm; = 4/3 h 2; γ0 góc trượt ngang Theo lý thuyết biến dạng nhỏ, thành phần biến dạng dọc trục biến dạng trượt (xx, xz) có dạng: xx u0, x z 0, x w0, xx z 3 0, x (5) xz 3 z 2 Theo định luật Hooke, ứng suất dọc trục ứng suất trượt dầm có dạng: xx E ( x, z ). xx E ( x, z )[u0, x z ( 0, x w0, xx ) z 3 0, x ] xz G( x, z ) xz (6) E ( x, z ) 3 z 2 2(1 ) Trong công thức (6), E(x.z) G(x.z) tương ứng mô đun đàn hồi mô đun trượt; x x x z ứng suất dọc trục ứng suất trượt Năng lượng biến dạng cho dầm nhận từ công thức (5), (6) có dạng: 2 L A11u0, x A12u0, x ( 0, x w0, xx ) A22 ( 0, x w0, xx ) A34 u0, x 0, x U dx 2 A44 0, x ( 0, x w0, xx ) A66 0,2 x B44 02 (7) Trong công thức (7), A11, A12, A22, A34, A44, A66 B44 tương ứng độ cứng dầm chúng biểu diễn sau: ( A11 , A12 , A22 , A34 , A44 , A66 )( x, z ) E ( x, z )(1, z, z , z , z , z )dA A (8) B44 ( x, z ) G ( x, z )(1 6 z 9 z )dA A Từ trường chuyển vị (4), ta viết biểu thức động dầm dạng: 2 2 L I11 (u0 w0 ) I 22 ( w0, x ) I 66 I12u0 ( w0, x ) T dx 2 I 34u0 2 I 44 ( wo, x ) (9) Từ công thức (9) thành phần I11, I12, I22, I34, I44, I66 tương ứng momen khối lượng tính cơng thức sau: ( I11 , I12 , I 22 , I 34 , I 44 , I 66 )( x, z ) ( x, z )(1, z, z , z , z , z )dA (10) A Thế lực di động dầm viết sau: V Fw( x) ( x vti ) (11) Từ công thức (11), δ(.) hàm Dirac delta, thể vị trí mà lực tác dụng lên dầm, v vận tốc lực di động, ti thời gian lực di động Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn, chia dầm thành nhiều phần tử, phần tử có hai nút 12 nút có chuyển vị, chiều dài phần tử l, véc tơ chuyển vị nút d phần tử dầm có dạng: d ui , wi , wi , x , i , u j , wj , wj , x , j T Trong (12) công thức (12), ui , wi , wi , x , i , u j , w j , w j , x , j giá trị u0 , w0 , w0, x , nút i nút j Chỉ số “T” ký hiệu chuyển vị véc tơ ma trận Các chuyển vị dọc trục, chuyển vị theo phương ngang Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 KẾT CẤU - CƠNG NGHỆ XÂY DỰNG góc xoay nút phần tử dầm nội suy theo công thức: u Nu d ; w Nw d ; N d U ne T d kd (14) (13) Từ công thức (14), ký hiệu ne tổng số phần Từ công thức (13), Nu, Nw, N tương ứng ma trận hàm dạng cho chuyển vị dọc trục, theo phương ngang góc xoay nút Trong báo này, sử dụng hàm Hermite cho Nw, sử dụng hàm dạng tuyến tính cho Nu, N Biểu thức lượng biến dạng đàn hồi từ công thức (7), viết dạng công thức phần tử hữu hạn như: tử dầm; k ma trận độ cứng phần tử dầm viết dạng: k = k11 + k12 + k22 + k34 + k44 + k66 + ks (15) Trong công thức (15), ma trận k11, k12, k22, k34, k44, k66, ks tính theo cơng thức sau: l l k11 N A11 N u , x dx; k12 2 N uT, x A12 ( N , x N w, xx )dx; T u,x 0 l l k 22 ( N , x N w, xx ) A22 ( N , x N w, xx )dx; k 34 2 N uT, x A34 N , x dx; T (16) l l l 0 k 44 2 NT, x A44 ( N , x N w, xx )dx; k 66 NT, x A66 N , x dx; k s NT B44 N dx Tương tự, biểu thức động dầm theo công thức (9), viết dạng công thức phần tử hữu hạn sau: T ne T d md (17) Trong công thức (17), m ma trận khối lượng, viết: m = m11 + m12 + m22 + m34 + m44 + m66 (18) l l 0 m11 N uT N wT I11 N u N w dx; m12 N uT I12 N N w, x dx; l l m22 N N w, x I 22 N y N w, x dx; m34 2 N uT I 34 N dx; T (19) l m44 2 N T ,x I 44 N y N w, x dx; m66 (20) Trong công thức (20), M, K tương ứng ma trận khối lượng ma trận độ cứng tổng thể dầm 2D-FGM; D vectơ chuyển vị nút tổng thể cho dầm 2D-FGM, Fex véc tơ lực tổng thể Áp dụng phương pháp tích phân trực tiếp Newmark để giải phương trình (20), ta Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 N I T 66 N dx; Bỏ qua ảnh hưởng cản vật liệu dầm, phương trình chuyển động cho dầm 2D-FGM có lỗ rỗng vi mơ viết dạng ngơn ngữ phần tử hữu hạn sau: MD KD Fex l tham số độ võng tham số động lực học cho dầm Kết số Cho dầm 2D-FGM với tỉ số chiều dài chiều cao dầm L/h = 20, dầm làm từ hai vật liệu thành phần: Sắt oxit (Fe2O3) sắt (Fe) Các tính chất vật liệu dầm 2D-FGM sử dụng tính tốn báo: Sắt oxit (Fe2O3): Ec=390 (GPa), ρc=3960 (kg/m3), = 0,3 Sắt (Fe): Em= 210 (GPa), ρm = 7800 (kg/m3) Để thuận tiện cho việc thảo luận kết tính tốn số, tham số độ võng, fD, cho dầm 2D-FGM chuẩn hóa theo cơng thức: 13 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG w ( L / 2, t ) f D max ; w st w st FL3 48Em I (21) Trong đó, wst độ võng tĩnh dầm kim loại chịu tác dụng lực F dầm Bảng Kết so sánh tham số tần số với Wattanasakulpong [9] (Vp =0.2; m=0) L/h=5 n Bài báo L/h=10 [9] L/h=20 Bài báo [9] Bài báo [9] 0.2 0.5 1.9628 1.7799 1.5555 1.3047 1.9205 1.7402 1.5210 1.2815 1.1173 1.0049 0.8712 0.7299 1.1092 0.9956 0.8606 0.7193 0.5812 0.5212 0.4507 0.3775 0.5797 0.5186 0.4465 0.3722 1.0777 1.0933 0.6257 0.6229 0.3281 0.3241 Để kiểm tra độ tin cậy chương trình tính tốn công thức phần tử hữu hạn thiết lập được, báo so sánh tham số tần số dầm với kết Wattanasakulpong [9] Khi so sánh với kết Wattanasakulpong [9], báo lấy số liệu công thức tính xác định tham số tần số theo tài liệu [9] Bảng minh họa tham số tần số dầm FGM cho giá trị tham số vật liệu biến đổi theo chiều cao dầm n, tham số lỗ rỗng vật liệu Vp = 0.2; tham số vật liệu biến đổi theo chiều dọc m = 0, với ba trường hợp tỉ số L/h Nhìn vào bảng, ta thấy kết báo tính tham số tần số cho năm giá trị tham số vật liệu phân bổ theo chiều cao dầm n, sát với kết công bố Wattanasakulpong [9] Như vậy, công thức phần tử hữu hạn, chương trình tính ma trận độ cứng ma trận khối lượng báo xây dựng có độ tin cậy Bảng So sánh tham số động lực học, fD, với Şimşek Kocatürk [11] (Vp = 0, m = 0) n 0.2 fD- [11] 1.0344 fD-bài báo 1.0401 v(m/s)-[11] 222 v(m/s)- báo 220 0.5 Dầm gốm Dầm kim loại 1.1444 1.2503 1.3376 0.9328 1.7324 1.1504 1.2569 1.3451 0.9379 1.7418 198 179 164 252 132 196 177 163 250 130 Bảng so sánh tham số độ võng dầm với tham số độ võng tác giả Şimşek Kocatürk, cho vài giá trị tham số vật liệu theo chiều cao dầm Các số liệu cơng thức tính lấy tài liệu Şimşek Kocatürk [11] Nhìn vào bảng 2, kết báo tính tốn gần với kết cơng bố [11] Do đó, chương trình tính cho tham số độ võng động mà báo thiết lập đáng tin cậy Hình độ võng động dầm cho ba giá trị vận tốc lực di động (v = 20 m/s; v = 60 m/s; v =100 m/s, với tham số lỗ rỗng Vp = 0.2 Trong bốn trường hợp hình vẽ, vận tốc có xu hướng tăng lên từ 20 đến 100 m/s độ võng động lớn dầm tăng dần Đặc biệt, vận tốc lực di động v = 60 m/s dầm thực nhiều dao động so với hai vận tốc v = 20 m/s v = 100 m/s Hình vẽ minh họa độ võng động 14 dầm cho hai trường hợp, vật liệu dầm phân bố theo chiều cao (n=3, m=0), chiều dọc (n = 0, m = 3) Từ hình vẽ, độ võng dầm phân bố theo chiều dài thấp độ võng dầm theo chiều cao, điều thể dầm có vật liệu phân bổ theo chiều dài cứng dầm có vật liệu phân bổ theo chiều cao Hình minh họa mối quan hệ tham số độ võng, fD, tốc độ lực di động cho bốn giá trị tham số vật liệu, với tham số lỗ rỗng Vp = 0.1 Hai hình vẽ mơ tả tham số độ võng cho hai trường hợp: cố định tham số vật liệu theo chiều cao tham số vật liệu theo chiều dọc dầm thay đổi ngược lại Khi tham số vật liệu tăng dần tham số độ võng tăng lên cho hai trường hợp Vận tốc lực di động thay đổi từ đến 100 m/s, tham số độ võng dầm lúc tăng lúc giảm Mặt khác, tham số vận tốc lực di động từ 100 đến 300 m/s, tham số độ võng có xu hướng tăng dần lên đến giá trị cực đại, sau lại có xu hướng giảm dần Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 KẾT CẤU - CƠNG NGHỆ XÂY DỰNG Hình Mối quan hệ độ võng dầm thời gian lực di động dầm cho ba giá trị vận tốc lực di động (L/h = 20, Vp=0.2) Hình Mối quan hệ tham số độ võng động vận tốc lực di động dầm cho vài giá trị tham số vật liệu (L/h = 20, Vp = 0.1) Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 15 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Hình Mối quan hệ tham số độ võng động vận tốc lực di động dầm cho vài giá trị tham số lỗ rỗng (L/h = 20) Hình tranh mô tham số độ võng tốc độ lực di động cho bốn giá trị tham số lỗ rỗng, với hai giá trị tham số vật liệu (n=m=0.5; n=m=1) Nhìn vào hình vẽ, với tăng nhẹ tham số lỗ rỗng tham số độ võng tăng dần lên Như vậy, với tăng tham số lỗ rỗng đồng nghĩa với việc dầm có xu hướng yếu dần cho dù tham số vật liệu có tăng lên A Pydah and A Sabale Static analysis of bidirectional functionally graded curved beams Composite Structures, 2017, 160, 867–876 A Karamanli Bending behaviour of two directional functionally graded sand-wich beams by using a quasi-3d shear deformation theory Composite Structures, 2017, 174, 70–86 Y Tang, X Lv and T Yang Bi-directional functionally graded beams: asym-metric modes and nonlinear free vibration Composites Part B: Engineering, 2019, 156, 319–331 Nguyen Dinh Kien, Nguyen Quang Huan, Tran Thi Thom and Bui Van Tuyen Vibration of bi-dimensional functionally graded Timoshenko beamsexcited by a moving load Acta Mechanica, 2017, 228, 141–155 (ISI Journal) Tran Thi Thom and Nguyen Dinh Kien Free vibration analysis of 2-D FGM beams in thermal environment based on a new third-order shear deforma-tion theory Vietnam Journal of Mechanics, 2018,40(2), 121-140 Le Thi Ha Dynamic behavior of a bidirectional functionally graded sandwich beam underof a moving load based on a high-order shear deformation theory The 5th International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA 5)(2019) 119-126 Wattanasakulpong N and A Chaikittiratana Flexural vibration of imperfect functionally graded beams based on Timoshenko beam theory: Chebyshev collocation method Meccanica (2015) 50:1331–1342 Kết luận Bài báo phân tích dao động dầm 2D- FGM có lỗ rỗng vi mơ lý thuyết dầm bậc cao Shi [10] Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, công thức phần tử hữu hạn phương trình chuyển động cho dầm 2D-FGM có lỗ rỗng vi mơ thiết lập Dưới hỗ trợ phần mềm Maple Matlap, ảnh hưởng tham số vật liệu biến đổi theo chiều cao theo chiều dài dầm (n, m), tham số lỗ rỗng (Vp) đến tham số độ võng độ võng động dầm tính tốn minh họa chi tiết qua hình vẽ Tham số vật liệu (n, m) đóng vai trị quan trọng phân tích dao động dầm 2D-FGM có lỗ rỗng vi mơ, tham số vật liệu (n, m) có xu hướng tăng dần tham số độ võng dầm 2D-FGM tăng lên Ngoài ra, tham số lỗ rỗng Vp có ảnh hưởng nhiều đến tham số tần số dầm, tham số lỗ rỗng tăng lên tham số độ võng có xu hướng tăng dần Điều thể rõ nét hình vẽ (hình 4) TÀI LIỆU THAM KHẢO 16 M Simsek Bi-directional functionally graded materials (BDFGMs) for free and forced vibration of Timoshenko beams with various boundary conditions Composite Structures, 2015, 133, 968–978 M Simsek Buckling of Timoshenko beams composed of two-dimensional functionally graded material (2D-FGM) having different boundary conditions Composite Structures, 2016, 149, 304–314 10 G.shi and K Y Lam Finite element formulation vibration analysis of composite beams based on higher-order beam theory, Journal of Sound and Vibration (1999), 219, pp 696-610 11 Şimşek, M, and T Kocatürk Free and forced vibration of a functionally graded beam subjected to a concentrated moving harmonic load Composite Structures 90 (2009), pp 465–473 Ngày nhận bài: 26/3/2020 Ngày nhận sửa lần cuối: 09/5/2020 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 ... cứu dao động dầm giản đơn chịu lực di động, dầm làm từ vật liệu có tính biến thiên hai chiều khơng hồn hảo có lỗ rỗng vi mô Ảnh hưởng tham số lỗ rỗng, z x tham số vật liệu đến tham số tần số dầm. .. 2D-FGM chịu lực điều hòa di động Theo hiểu biết tác giả, công bố ngồi nước nghiên cứu cho dầm có tính biến thiên hai chiều hồn hảo Tuy nhiên, dầm có tính biến thiên chiều có lỗ rỗng vi mơ Wattanasakulpong... Phương trình vi phân chuyển động cho dầm Hình minh họa dầm giản đơn làm từ vật liệu 2D-FGM có lỗ rỗng vi mơ, có chiều dài L, chiều rộng b, chiều cao h, F lực di động dầm Dầm 2D-FGM tạo từ hai vật