Dao động tự do của tấm FG SANDWICH trên nền đàn hồi hai tham số dựa theo lý thuyết biến dạng cắt hàm sin nghịch đảo

Bài báo này giới thiệu một mô hình số phân tích dao động tự do của tấm vật liệu chức năng dạng sandwich với các thuộc tính vật liệu thay đổi hàm số mũ theo chiều dày tấm. Tấm này có đặc điểm vượt trội so với tấm sandwich thông thường là thỏa mãn điều kiện ứng suất tại mặt tiếp giáp của các lớp vật liệu khác nhau. Mời các bạn tham khảo!

DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TÇM FG SANDWICH TR N NỀN ĐÀN HỒI HAI THAM SỐ DỰA THEO LÝ THUYẾT BIẾN DÄNG CẮT HÀM SIN NGHÐCH ĐÂO Nguyễn Ngọc Hưng1 1.Trường Đại học Thủ Dầu Một Tóm tắt Bài báo giới thiệu mơ hình số phân tích dao động tự vật liệu chức dạng sandwich với thuộc tính vật liệu thay đổi hàm số mũ theo chiều dày Tấm có đặc điểm vượt trội so với sandwich thông thường thỏa mãn điều kiện ứng suất mặt tiếp giáp lớp vật liệu khác Lý thuyết biến dạng cắt hàm sin nghịch đảo (R-QSDT) hiệu chỉnh để phù hợp với phương pháp nội suy Moving Kriging (MK) Các ví dụ số trình bày báo so sánh kết nghiên cứu cơng bố trước nhằm kiểm chứng xác mơ hình phân tích đề xuất Giới thiệu Vật liệu composite loại vật liệu bao gồm hai nhiều vật liệu khác đƣợc ghép chồng lại Nhằm mục đích tạo vật liệu có tính ƣu việt vật liệu cũ khả chịu lực, nhiệt, chịu uốn,…hoặc thẩm mỹ Vật liệu có nhiều ƣu điểm nhƣng có nhƣợc điểm phân tích tính học Tấm sandwich có lớp vật liệu khác đƣợc xếp chồng lên Đây nguyên nhân làm cho ứng suất vị trí tiếp giáp lớp vật liệu phức tạp, gây khó khăn qua trình tính tốn Gần đây, nhà nghiên cứu thƣờng sử dụng vật liệu chức có tính chất thay đổi theo độ dày để giải vấn đề Bằng cách vị trí tiếp xúc, thay sử dụng vật liệu thơng thƣờng có tính chất vật lý khác hồn tồn đƣợc sử dụng với vật liệu chức cho đảm bảo vị trí tiếp xúc có tính chất vật liệu Khi đó, vị trí tiếp xúc khơng cịn có nhảy vọt tính chất vật liệu mà biến đổi đến mặt lại vật liệu khác Loại dạng nhƣ đƣợc gọi sandwich với vật liệu theo lớp khơng cịn vật liệu đồng mà vật liệu chức Bài báo nghiên cứu sandwich đƣợc cấu tạo vật liệu chức đƣợc gọi FG sandwich Một số tác giả phân tích ứng xử sandwich đàn hồi dựa phƣơng pháp số Sobhy 2013) trình bày lời giải xác lực tới hạn dao động tự nhiên dựa lý thuyết biến dạng cắt hình sin với điều kiện biên khác kavci 2016) sử dụng lý thuyết biến dạng cắt hyperbol lý thuyết biến dạng cắt thơng thƣờng để phân tích tần số dao động sandwich Li et al 2017) sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT) kết hợp với phƣơng pháp Fourier-Ritz để nghiên cứu dao động 46 sandwich dày với điều kiện biên thơng thƣờng Dao động tự phân tích chuyển sandwich FG sử dụng điều kiện biên khác đƣợc Singh Harsha (2018) phát triển từ lý thuyết biến dạng cắt nghịch đảo hyperbol Tấm FG s nwich Xét FG sandwich có dạng hình chữ nhật có kích thƣớc cạnh a, b có độ dày h nhƣ hình Mặt dƣới hoàn toàn kim loại gốm Mặt phẳng xy nằm Chiều dƣơng trục z hƣớng lên Trong báo này, hệ số Possion‟s  đƣợc xem không đổi loại vật liệu Ngƣợc lại, môđun đàn hồi E , khối lƣợng riêng  đƣợc xem thay đổi liên tục theo chiều dày z FG sandwich Theo đó, P  z  mơđun đàn hồi E  z  khối lƣợng riêng   z  đƣợc xác định nhƣ sau: P  z   Pb   Pt  Pb V  z  Với V  z   0.5  z h  (1) Trong số t b đại diện cho thành phần dƣới tƣơng ứng; n V  z    0.5  z / h thể tích thành phần; n số hàm mũ, thể gia tăng tỷ lệ n phần thể tích; z biến tọa độ theo chiều dày 0.5h  z  0.5h (a) (b) (c) Hình Tấm FG sandwich: (a)Hình dạng hệ trục Đề cát; (b) Tấm loại A; (c) Tấm loại B 2.1 Tấm FG sandwich (loại A) có vật liệu đồng lớp vỏ vật liệu chức Tấm FG sandwich loại A bao gồm phần lõi có vật liệu đồng đƣợc bao phủ lớp vật liệu chức có bề mặt kim loại nhiều vị trí z  z1 , z  z4 bề mặt phi kim nhiều z  z2 z  z3 , nhƣ đƣợc mơ tả hình 1b Thể tích thành phần lớp vỏ vật liệu chức FGM đƣợc tính nhƣ sau:  z z   z  z1  Vc(2)  z   , z  z2 , z3 ; Vc(3)  z    Vc(1)  z    (2a,b,c)  , z   z3 , z4   , z   z1 , z2 ;  z4  z3   z2  z1  Trong z2  z1 z3  z4 bề dày lớp vỏ dƣới lớp vỏ Chỉ số độ dày n cho lớp đƣợc định nghĩa nhƣ sau  z4  z3  /  z3  z2  /  z2  z1  ví dụ nhƣ: 2/1/2; 2/2/1; … 2.2 Tấm FG sandwich (loại B) có vật liệu chức hai lớp vỏ vật liệu đồng Theo nhƣ hình 1.c FG sandwich loại B bao gồm lõi vật liệu chức có hai lớp vỏ vật liệu đồng Do thể tích thành phần FG 47 sandwich đƣợc tính nhƣ sau: (1) c V n  z   0, z  z1, z2 , (2) c V  zz   z     , z   z2 , z3  , Vc(3)  z   1, z  z3 , z4  z3  z2    3(a,b,c ) Trong Vc(i ) , i  1,2,3 thể tích thành phần lớp thứ i ; z3  z2 bề dày lõi 2.3 Kết hợp R-QSDT với phương pháp nội suy không phần tử Galerkin Giả thuyết miền  miền R miền chứa chuyển vị Chuyển theo phƣơng z  z  0 khác Trong có gồm có chuyển vị ngang u, chuyển vị thẳng đứng w chứa x, y, z Có thể điều chỉnh dạng thành ẩn (Zenkour, 2013) nhƣ sau: u( x, y,z) = u0 (x, y)  z wb (x, y) x  f  z  ws (x, y) x (4) v( x, y, z)  v0 ( x, y)  z wb ( x, y) y  f  z  ws (x, y) y (5) w( x, y,z) = wb ( x, y)  ws ( x, y) g ( z) (6) Chúng ta chuyển cơng thức sang dạng ma trận nhƣ sau: u = u0  zu1  f  z  u2  g  z  u3 ; u0 = u0 wb  , u1 = wb x wb y 0 , u3 = 0 ws  T v0 T T u2 = ws x ws y 0T Mối quan hệ ứng suất chuyển vị đƣợc trình bày nhƣ sau:  ε   x  y  xy  z  T  ε0  z ε1  f ε2  g ε3 ;  γ   xz  yz    f   g ε T (7a,b) s Khi   wb x2    ws x     2    wb y    ws y  ε1     , ε2   , 2 wb xy  2 ws xy      0 u0 x     v0 y   ε0   ,  u  y   v  x       Trong f  sin1 ze2 z h g  f, 0 0 w x    ε3    , εs   s  (8a,e) ws y  0 ws  f  g  đạo hàm bậc theo biến z Nguyên lý làm việc đơn giản vật liệu chức đàn hồi có tham số đƣợc biểu diễn nhƣ sau:   ε D εd     ε D ε d       w  T T s  s T s b      u mud   ; D  T s  h/   gws  ks   wb  gws d      wb  gws  kw  wb  gws  d    h2 Ds ( z)dz , D  s ij h/   f   g  Gij dz , G  h (9a,b,c,d) E  z  1  1   0 1 Trong kw ks tƣơng ứng độ cứng mơ đun biến dạng đàn hồi Winkler độ cứng mô đun biến dạng cắt đàn hồi T   x  y , ε  ε0 ε1 ε2 ε3 , u  u0 u1 u2 u3 T T T h2 ; Aij , Bij , Dij , Cij , Eij , Fij , Lij , Hij , Oij , Pij   1, z, z , f , g, zf , zg, f h 48  , fg, g2 Qij dz  A  B D   C   E B D F L C E  F L , H O  O P   1     E  z  Q= 1  2 1         I1 I m I4   I5     , 1  2      h2 I1 , I , I3 , I , I5 , I , I , I8 , I9 , I10      z 1, z, z , f , g, zf , zg, f 2 I2 I3 I6 I7 I4 I6 I8 I9 I5  I  I9   I10  (10)  , fg , g dz h Theo nhƣ hàm nội suy (MK), hàm chƣa biết uh  x đƣợc trình bày vector theo dạng dựa điểm xi i 1, nx  miền hỗ trợ x   mà nx tổng số điểm có miền hỗ trợ x đƣợc trình bày nhƣ sau: uh (x)  pT (x)A  rT (x)B u(x) nx m n I 1 j 1 k 1 uh (x)  I ( x)uI ; I (x)   p j (x) AjI  rk (x) BkI (11) T 1 T 1 Trong I ( x) hàm dạng nội suy động , A   P R P  P R , B  R1 (I  PA) ; I 1 ma trận đơn vị; vectors pT  x   p1 (x) p2 (x) pm (x) rT ( x)  R(x1, x), R  x2 , x , R  xn , x đa thức với m dựa hàm hàm tƣơng quan Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng hàm đa thức để làm ổn định hàm dạng MK Trong mặt phẳng làm việc dựa phƣơng pháp không lƣới nội suy động MK, miền chuyển vị trình bày T uh  u h vh wbh wsh  uI  uI vI (8), ta nhận đƣợc: n n ε0   BmIu I , T Thay phƣơng trình (11) vào phƣơng trình n ε1   BbI1u I , I 1 wsI  wbI n ε2   BbI 2uI I 1 n ε3   BbI3uI I 1 εs   BsI u I I 1 I 1 (12a,b,c,d,e) Trong I , x 0  I,y BmI   I , y I , x  0 0 0 0 0 0 b1 0 ;B  0 I 0   0 0 I , xx I , yy 2I , xy 0 0 0 0 b 0 ;B   I 0   0 0 0 0 I , xx  0  I , yy  b3 0 ;B  2I , xy  I 0   0  0 0 0 0 0 0  s ;B 0 I  I  0 0 I , x    0 0 I , y  (13a,b,c,d,e) với n u0   N0I u I , I 1 n n u2   N2I u I , u1   N1I uI , I 1 I 1 n u3   N0I u I I 1 (14a,b,c,d) I 0 N0I   I  0 I 0 0 , 0 0 I , x N1I  0 I , y 0 0 0 0 , 0 0 0 I , x  N2I  0 0 I , y  0 0  0 0  N3I  0 0  0 0 I  (15a,b,c,d) Kết số Ví dụ 1: phân tích dao động tự hình chữ nhật FG sandwich loại ) với cạnh tựa đơn đƣợc tạo nhôm Al gốm ZnO2 đƣợc đặt lên đàn hồi đƣợc xem nhƣ toán 49 chuẩn để so sánh độ xác với phƣơng pháp khác Mơ đun đàn hồi khối lƣợng riêng nhôm tƣơng ứng Em  70GPa m  2707 kg m3 Tƣơng tự nhƣ nhơm tính chất gốm Ec  151GPa c  3000 kg m3 Cả hai nhơm gốm đƣợc xem vật liệu có hệ số Poisson Hai tham số hệ số đàn hồi đƣợc cho tƣơng ứng nhƣ sau Kw  kwa4 Dc Ks  ks a2 Dc với Dc  Ec h3 12 1    0.3 Bảng So sánh tần số dao động tự  không thứ nguyên hình chữ nhật FG sandwich  Al ZrO2  (loại A) a h 1 n 10 102 10 Kw Ks 0 Akavci (2016) 1.1912 10 10 1.5135 102 102 3.0908 0 0.9318 10 10 1.3341 102 102 2.6823 0 0.8791 10 10 1.3045 102 102 2.5044 0 1.3404 10 10 1.6590 102 102 3.3694 0 1.0182 10 10 1.4300 102 102 3.3344 0 0.9602 10 10 1.3967 102 102 3.3480 111 Bài báo 1.2028 (-0.98)a 1.5202 (-0.45) 3.0941 (-0.11) 0.9211 (1.15) 1.3279 (0.46) 2.6852 (-0.11) 0.8685 (1.21) 1.2987 (0.45) 2.5070 (-0.11) 1.3003 (2.99) 1.6275 (1.90) 3.3570 (0.37) 0.9880 (2.97) 1.4095 (1.43) 3.3287 (0.17) 0.9319 (2.96) 1.3783 (1.32) 3.3434 (0.14) Akavci (2016) 1.1912 1.5135 3.0908 0.9541 1.3469 2.7579 0.8969 1.3119 2.6178 1.3404 1.6590 3.3694 1.0428 1.4444 3.3283 0.9758 1.4029 3.3332 50  1 Bài báo 1.2028 (-0.98) 1.5202 (-0.45) 3.0941 (-0.11) 0.9333 (2.19) 1.3334 (1.01) 2.7608 (-0.11) 0.8721 (2.77) 1.2970 (1.14) 2.6206 (-0.11) 1.3003 (2.99) 1.6275 (1.90) 3.3570 (0.37) 1.0036 (3.76) 1.4173 (1.88) 3.3196 (0.26) 0.9373 (3.95) 1.3772 (1.83) 3.3255 (0.23) Akavci (2016) 1.1912 1.5135 3.0908 0.9755 1.3611 2.7937 0.9215 1.3274 2.6707 1.3404 1.6590 3.3694 1.0695 1.4623 3.3300 1.0062 1.4219 3.3327  1 Bài báo 1.2028 (-0.98) 1.5202 (-0.45) 3.0941 (-0.11) 0.9665 (0.92) 1.3554 (0.42) 2.7973 (-0.13) 0.9111 (1.13) 1.3216 (0.44) 2.6746 (-0.14) 1.3003 (2.99) 1.6275 (1.90) 3.3570 (0.37) 1.0374 (3.00) 1.4399 (1.53) 3.3232 (0.20) 0.9768 (2.92) 1.4022 (1.39) 3.3273 (0.16) Akavci (2016) 1.1912 1.5135 3.0908 0.9927 1.3713 2.8476 0.9356 1.3339 2.7495 1.3404 1.6590 3.3694 1.0885 1.4740 3.3261 1.0191 1.4278 3.3225 Bài báo 1.2028 (-0.98) 1.5202 (-0.45) 3.0941 (-0.11) 0.9836 (0.92) 1.3655 (0.43) 2.8506 (-0.11) 0.9233 (1.31) 1.3271 (0.51) 2.7523 (-0.11) 1.3003 (2.99) 1.6275 (1.90) 3.3570 (0.37) 1.0557 (3.01) 1.4508 (1.58) 3.3189 (0.22) 0.9891 (2.95) 1.4074 (1.43) 3.3168 (0.17) a Các số ngoặc đơn biểu thị phần trăm sai số kết báo với kết Akavci 5.10 2-1-2 2-1-1 1-1-1 2-2-1 1-2-1 1-8-1 1.40 1.35 1.30 1.25 1.20 1.15 10 đầu tiên động tựnatural Tần sốFirst daonormalized nhiênfrequencies, First normalized natural frequencies,  Tần số dao động tự nhiên  1.45 2-1-2 2-1-1 1-1-1 2-2-1 1-2-1 1-8-1 5.05 5.00 4.95 4.90 4.85 4.80 4.75 4.70 4.65 4.60 4.55 Gradient Chỉ số hàm sốindex, mũn n (a) 4.85 4.80 4.75 4.70 4.65 4.60 4.55 4.50 4.45 10 động tự Tần số dao nhiên First   normalized natural frequencies, First normalized natural frequencies,  Tần số dao động tự nhiên  2-1-2 2-1-1 1-1-1 2-2-1 1-2-1 1-8-1 10 Chỉ số hàm số mũ n (b) 4.90 Gradient index, n 4.95 1.80 2-1-2 2-1-1 1-1-1 2-2-1 1-2-1 1-8-1 1.75 1.70 1.65 1.60 1.55 10 Gradient index, n Chỉ số hàm số mũ n d) Chỉ số hàm số mũ n c) Hình Ảnh hưởng tham số đến tần số dao động  với nhiều kích thước khác a h  : (a) Ks  Kw  ; (b) Ks  Kw  102 ; (c) Ks  102 , Kw  ; Gradient index, n (d) Ks  0, Kw  102 Tần số dao động tự không thứ nguyên đƣợc chuẩn hóa   a2 h 0 E0 với E0  1GPa 0  1kg m3 Bảng cho thấy kết so sánh tần số dao động tự phƣơng pháp R-QSDT với 17 17 nút cách với kết đƣợc tạo lý thuyết cắt quasi-3D hyperbolic kavci, 2016) dạng bảng Từ bảng so sánh cho thấy kết phƣơng pháp đƣợc trình bày có phù hợp tốt kết kavci, tỷ lệ chiều dài, độ dày tấm, thông số hệ số số n FG Điều đáng ý số hàm mũ n lớp vật liệu chức tăng dẫn đến tần số dao động tự giảm Ví dụ 2: Các hệ số đàn hồi ảnh hƣởng lên dao động tự hình chữ nhật FG sandwich loại B) Al Al2O3 với tỷ lệ a h  đƣợc nghiên cứu Modun đàn hồi khối lƣợng riêng nhôm cho tƣơng ứng nhƣ sau Ec  380GPa c  3800 kg m Sự thay đổi tần số dao động tự FG sandwich đƣợc biểu thị Hình 2a-d Quan sát biểu đồ thấy tần số dao động tự tăng lên với điều kiện tăng lên Khi số hàm số mũ n lớp vật liệu chức tăng lên đồng thời hệ số cắt K s tăng giá trị dẫn đến tần 51 số dao động tự nhiên tăng lên Từ Hình 2c-d kết luận ảnh hƣởng độ cứng hệ số Kw Winkler đến dao động tự nhiên không đáng kể Kết luận Bài báo trình bày phƣơng pháp không lƣới dựa R_QSDT áp dụng tính tốn dao động tự FG sandwich đƣợc đặt đàn hồi hai tham số Độ xác phƣơng pháp đƣợc so sánh với kết có trƣớc với khác tỷ lệ cạnh/độ dày a h , số hàm mũ n vật liệu FG, thông số hệ số K s Kw Có thể nhận thấy tần số tự nhiên tăng lên với tăng lên số hàm mũ n vật liệu FG đồng thời tăng lên mô đun độ cứng chống cắt K s Mô đun độ cứng đàn hồi Kw Winkler có ảnh hƣởng không đáng kể đến tần số dao động tự nhiên FG sandwich TÀI LIỆU THAM HÂO Akavci S.S (2016), Mechanical behavior of functionally graded sandwich plates on elastic foundation, Comp Part B: Eng., 96, 136-152 Li H., Pang F., Wang X., and Li S (2017), Benchmark solution for free vibration of moderately thick functionally graded sandwich sector plates on two-parameter elastic foundation with general boundary conditions, Shock and Vib., 35 pages Pasternak P (1954), On a new method of analysis of an elastic foundation by means of two foundation constants, Gosudarstvennoe izdatelstvo literaturi po stroi- telstvu i arkhitekture, Moscow Singh S J and Harsha S P (2018), Exact solution for free vibration and buckling of sandwich SFGM plates on pasternak elastic foundation with various boundary conditions, Int J Struct Stab and Dyn 19 (3) Singh S.J., Harsha S.P (2019), Nonlinear dynamic analysis of sandwich S-FGM plate resting on pasternak foundation under thermal environment, Euro J Mech - A/Solids,76, 155-179 Sobhy M (2013), Buckling and free vibration of exponentially graded sandwich plates resting on elastic foundation under various boundary conditions Comp Struct., (99), 76–87 Tossapanon P., Wattanasakulpong N (2017), Flexural vibration analysis of functionally graded sandwich plates resting on elastic foundation with arbitrary boundary conditions: Chebyshev collocation technique, J Sand Struct & Mat Vu T.V., Curiel-Sosa J.L., Bui T.Q (2018), A refined sin hyperbolic shear deformation theory for sandwich FG plates by enhanced meshfree with new correlation function, Int J Mech and Mat., 15, 647-669 Zenkour A.M (2013), A simple four-unknown refined theory for bending analysis of functionally graded plates, Appl Math Model 37 9041-9051 52 .. .của sandwich dày với điều kiện biên thông thƣờng Dao động tự phân tích chuyển sandwich FG sử dụng điều kiện biên khác đƣợc Singh Harsha (2018) phát triển từ lý thuyết biến dạng cắt nghịch đảo. .. số hệ số số n FG Điều đáng ý số hàm mũ n lớp vật liệu chức tăng dẫn đến tần số dao động tự giảm Ví dụ 2: Các hệ số đàn hồi ảnh hƣởng lên dao động tự hình chữ nhật FG sandwich loại B) Al Al2O3 với... 0.5h (a) (b) (c) Hình Tấm FG sandwich: (a)Hình dạng hệ trục Đề cát; (b) Tấm loại A; (c) Tấm loại B 2.1 Tấm FG sandwich (loại A) có vật liệu đồng lớp vỏ vật liệu chức Tấm FG sandwich loại A bao