Tính toán dao động tự do của cầu liên tục bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Dao động tự do đóng vai trò rất quan trọng trong việc tính toán ổn định động lực học công trình cầu. Trong bài báo này, các tác giả trình bày phương pháp ma trận chuyển tiếp (ma trận truyền) [2] để tính toán dao động tự do của cầu liên tục.

TÍNH TỐN DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA CẦU LIÊN TỤC BẰNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN CHUYỂN TIẾP CALCULATION THE FREE VIBRATION OF CONTINUOUS BRIDGES BY TRANSFER MATRIX METHOD SV NGÔ VIỆT ANH, ĐỖ ĐÌNH PHÚ ThS LÊ TÙNG ANH Khoa Cơng trình, Trường ĐHHH Việt Nam Tóm tắt Dao động tự đóng vai trò quan trọng việc tính tốn ổn định động lực học cơng trình cầu Trong báo này, tác giả trình bày phương pháp ma trận chuyển tiếp (ma trận truyền) [2] để tính tốn dao động tự cầu liên tục Abstract The free vibration plays an important role in the calculation of bridges dynamic stability In this paper, the authors present the Transfer Matrix Method (TMM) [2] in order to calculate the free vibration of continuous bridges Đặt vấn đề Trong tính tốn ổn định động lực học cơng trình cầu, vấn đề quan trọng tính tốn dao động tự dầm cầu Trên sở tính tốn dao động tự do, tránh tượng cộng hưởng tác dụng đồn tải trọng di động tính toán tiếp dao động cưỡng dầm cầu Hiện nay, để tính tốn tần số dao động tự thường thực theo phương pháp gần (Ritz, Rayleigh, ), dự án lớn có điều kiện thí nghiệm mơ hình vật lý Trong phạm vi báo này, tác giả nghiên cứu sử dụng phương pháp ma trận chuyển tiếp (ma trận truyền) để tính tốn tần số dao động tự cho cầu liên tục có tiết diện biến đổi Phần cuối báo ví dụ tính tốn mơ số, áp dụng cho cơng trình cầu thực tế Sau so sánh với kết tính tốn phần mềm Sap 2000, từ rút độ tin cậy chương trình tính Cơ sở lý thuyết 2.1 Ma trận chuyển tiếp đoạn dầm có tiết diện khơng đổi chịu dao động uốn [2] Xét đoạn dầm chiều dài l, ký hiệu đoạn dầm chữ j, đầu bên phải đoạn dầm ký hiệu (j+1) bên trái ký hiệu (j) Lực cắt mômen uốn đầu mút biểu diễn theo hình 1: (Q, j M)j (Q,M )j+1 l Hình Sơ đồ biểu diễn đoạn dầm thứ j Phương trình vi phân dao động uốn dầm dao động tự do: EJ 4 z 2 z  m 0 x t (1) Trong đó: z - chuyển vị uốn dầm dao động; (viết hoa chữ Chuyển) EJ - độ cứng chống uốn dầm; m - khối lượng đơn vị dài dầm; Chuyển vị uốn dầm dao động tự tính: z = y(x).sin t (2) Thay (2) vào (1) nhận được: Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 39 – 08/2014 97 y IV (x) - 4y(x) = với 4 =  2m EJ (3)  - tần số góc dao động tự dầm Nghiệm phương trình (3) dạng: y(x) = a1(chx + cosx) + a2(shx + sinx) + a3(chx - cosx) + a4(shx - sinx) (4) Lần lượt lấy đạo hàm (4) theo x; thay x = l vào y(x), y'(x), y''(x), y'''(x) tập hợp lại:   y(l )  a1  ( S  s )  a2  (C  c)  a3  ( S  s )  a4  (C  c)   2 2 y(l )  a1  (C  c)  a2  ( S  s )  a3  (C  c)  a4  ( S  s )  y(l )  a1  ( S  s )  a2  (C  c)  a3  ( S  s )  a4  (C  c)  y (l )  a1 (C  c)  a2 ( S  s )  a3 (C  c)  a4 ( S  s ) C = chl; Trong ký hiệu: c = cosl; S = shl; (5) s = sinl Ðưa hệ phương trình (5) dạng ma trận sau: Ss C c  y (l )  C  c   y(l )   ( S  s )  (C  c)  ( S  s )      2  y ( l )     (C  c)  ( S  s )  (C  c)  y(l )    ( S  s )  (C  c)  ( S  s )  S s  a1     (C  c)  a2     ( S  s )  a3    (C  c)  a4  hoặc: yj+1 = A.a (6) Phương trình (6) hệ thức biểu diễn dạng ma trận véc tơ yj+1 đoạn thẳng mút bên phải x = l Ðể tìm hệ thức đoạn thẳng đầu mút bên trái, thay x = vào hệ phương trình (4) (5) tập hợp dạng ma trận:  y (0)    y(0)  0       y(0)  0  y(0)  0  2 0 2 0  a1      a2     a3     a4  0 viết thu gọn: yj = B.a (7) Từ (7) rút ra: a = B-1.yj với B-1 ma trận nghịch đảo B Thay a vào (6) đưa đến hệ thức liên hệ yj+1 yj : yj+1 = A.B-1 yj (8) Trong thực tế tính tốn thường gặp ma trận cột: r =  y (9)  M Q T Ðể tìm liên hệ r y cần ý quan hệ lực cắt mômen uốn dầm với y'' y''': M = EJ.y''(x) ; Q = - EJ.y'''(x) (10) Lập hệ thức y r:  y  1   0       M  0 Q  0 0 0 EJ 0  y    y      y    EJ   y viết gọn : r = R = T.y (11) Từ (11) rút ra: y = T-1 r với T-1 ma trận nghịch đảo T Thay y vào (8): T-1.rj+1 = A.B-1.T-1.rj rj+1 = T.A.B-1.T-1.rj; Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 39 – 08/2014 rj+1 = C.rj (12) 98 Viết ký hiệu dạng: C = T.A.B-1.T-1 ma trận chuyển tiếp đoạn thẳng từ mút (j+1)  (j) Thay ma trận T, A, B-1 từ (11), (7), (6) để tính C, kết nhận sau: (C  c)  ( S  s)  C  (C  c) EJ    ( S  s ) EJ  (S  s) /  (C  c) ( S  s ) EJ   (C  c) EJ  (C  c) /  FJ  ( S  s ) /  EJ   ( S  s ) /  EJ  (C  c) /  EJ   (C  c)  ( S  s) /     ( S  s)  (C  c) (13) Ma trận chuyển tiếp C dùng để tính tốn tần số riêng hệ dầm, khung dao động uốn, áp dụng để tính tốn phần 2.2 Dầm tựa nhiều gối cứng [2] Các ma trận chuyển tiếp lập phần khơng thể dùng tính trực tiếp cho trường hợp trục dầm tựa nhiều gối cứng Trong phần tìm dạng ma trận để giải tốn Cho dầm có tiết diện thay đổi, tựa n gối cứng đánh số từ đến n hình 2: M Mj+1 n n-1 j Hình Sơ đồ dầm tựa gối cứng Cắt dầm thành nhiều đoạn điểm có gối tựa Ta lập ma trận chuyển tiếp đoạn thẳng đầu có gối tựa cứng, với điều kiện biên: y j 1  y j  (14) Theo công thức (8) ta lập liên hệ chuyển tiếp đoạn thẳng j, viết dạng ký hiệu: C11 C12 C13 C14   y  y        C C C C     21 22 23 24      M  M  C C C C  32 33 34    21       Q Q   j 1 C41 C42 C43 C44    j (15) Với điều kiện biên trên, từ hàng thứ (15) từ hàng rút ra: = C  12 C13     C14   M  ; Q   j  C22   M      j 1  C32 C23 C33   C24     M  C34    Q  j (16) Từ (16) viết biến đổi sau: 0 C12   C13    M   C14 Q j  j →  C C    Q j    12  13    C C M  j  14 14  (17) Với Qj tìm (17), lập hệ thức:   M    Q  j 1        C12  C  14    C22   →   .      Q  j  M  j 1  C32 C13   C14  Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải C23 C33 Số 39 – 08/2014   C24     C34     C12  C 14          M  j C  13  C14  99 Sau nhân ma trận, hệ thức chuyển tiếp đoạn dầm j với đầu có gối tựa cứng:  C13  C12 C22  C24 C C23  C24 C        14 14      hoặc:    C j     M    C  M  j C  M  j 1 M  j   j 1 C32  C34 12 C33  C34 13  C14 C14   C11* C12*  (cC  1) /  EJ  cS  sC  C j    * Trong đó:    * C22  S  s  2sS  EJ cS  sC C21    (18) (19) Tính tốn thực tế Cầu liên tục nhịp có tiết diện biến đổi, chiều dài 233m với sơ đồ nhịp 65+103+65m hình Các thơng số EJ, m, l trình bày chi tiết [4] 65m 103m 65m Hình Mơ hình cầu liên tục nhịp có tiết diện biến đổi Trong ví dụ này, ta lập hàm đa thức f(ω) bậc n Sử dụng phương pháp tìm nghiệm phần mềm Maple thơng qua việc tìm điểm giao cắt đồ thị hàm f(ω) trục hồnh, tìm nghiệm tần số dao động riêng ω hình 4: ω  rad / s  f  ω Hình Kết tính tốn tần số dao động riêng cầu Bảng So sánh kết tính tốn Tần số riêng (rad/s) Phương pháp phần tử hữu hạn (sử dụng phần mềm Sap 2000) Phương pháp ma trận chuyển tiếp Sai số (%) ω1 4,91 5,02 2,19 ω2 10,12 10,63 4,80 ω3 12,85 13,85 7,22 Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 39 – 08/2014 100 ... (13) Ma trận chuyển tiếp C dùng để tính tốn tần số riêng hệ dầm, khung dao động uốn, áp dụng để tính tốn phần 2.2 Dầm tựa nhiều gối cứng [2] Các ma trận chuyển tiếp lập phần khơng thể dùng tính. .. Kết tính tốn tần số dao động riêng cầu Bảng So sánh kết tính tốn Tần số riêng (rad/s) Phương pháp phần tử hữu hạn (sử dụng phần mềm Sap 2000) Phương pháp ma trận chuyển tiếp Sai số (%) ω1 4,91... nhiều đoạn điểm có gối tựa Ta lập ma trận chuyển tiếp đoạn thẳng đầu có gối tựa cứng, với điều kiện biên: y j 1  y j  (14) Theo công thức (8) ta lập liên hệ chuyển tiếp đoạn thẳng j, viết