Bài báo này trình bày phân tích phi tuyến hình học của kết cấu cáp dưới tác dụng của tải trọng tĩnh học như của trọng lượng bản thân và lực căng trước. Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng công thức Lagrange kết hợp với đa thức nội suy đẳng tham số. Sơ đồ lặp Newton-Raphson với tải trọng gia tăng để xác định chuyển vị tĩnh học của kết cấu cáp. Ngoài ra, dao động tự do của kết cấu cáp này cũng được xem xét, tần số dao động tự nhiên của kết cấu cáp cũng được xác định theo phương pháp phần tử hữu hạn đẳng tham số này. Ví dụ số được trình bày để đánh giá độ chính xác và tin cậy của phương pháp này so sánh với các kết quả đã được công bố trước đây.
BÀI BÁO KHOA H C PHƯƠNG PHÁP SỐ PHÂN TÍCH PHI TUYẾN VÀ DAO ĐỘNG TỰ DO KẾT CẤU CÁP Nguyễn Vĩnh Sáng1, Nguyễn Vũ Luật1 Tóm tắt: Bài báo trình bày phân tích phi tuyến hình học kết cấu cáp tác dụng tải trọng tĩnh học trọng lượng thân lực căng trước Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng công thức Lagrange kết hợp với đa thức nội suy đẳng tham số Sơ đồ lặp Newton-Raphson với tải trọng gia tăng để xác định chuyển vị tĩnh học kết cấu cáp Ngoài ra, dao động tự kết cấu cáp xem xét, tần số dao động tự nhiên kết cấu cáp xác định theo phương pháp phần tử hữu hạn đẳng tham số Ví dụ số trình bày để đánh giá độ xác tin cậy phương pháp so sánh với kết công bố trước Từ khóa: Kết cấu cáp, phân tích phi tuyến, phân tích đàn dẻo, phương pháp phần tử hữu hạn, phần tử cáp, phi tuyến hình học, phi tuyến vật liệu, dao động tự TỔNG QUAN1 Phần tử cáp thành phần kết cấu quan trọng nhiều kết cấu căng khác cầu dây cáp, cơng trình biển ngồi khơi, dây gia cường cho tháp, đường dây tải điện, kết cấu mái sân vận động… Vì ứng xử phi tuyến cao phân tử này, ảnh hưởng độ mềm chuyển vị lớn cáp nên xem xét việc thiết lập phương trình cân Có hai loại phần tử cáp, phần tử dây văng với độ võng nhỏ phần tử dây võng với độ võng lớn Cáp nơng định nghĩa cáp có tỷ số độ võng chiều dài nhịp nhỏ 1:8 theo (Irvine HM, 1981) Mặc dù sơ đồ thực cáp có dạng dây võng, hình dạng phần tử cáp nơng xem dạng parabol Nhìn chung, hai phương pháp sử dụng để thiết lập phần tử cáp: (1) phương pháp phân tích dựa biểu thức giải tích xác phần tử dây võng (2) phương pháp phần tử hữu hạn dựa hàm đa thức nội suy Trong báo này, phần tử hữu hạn có hai, ba bốn điểm nút (theo Nam-Il Kim, Son Thai & Jaehong Lee 2016) dựa hàm đa thức nội suy trình bày Trạng thái cân kết cấu cáp tác dụng lực căng trước, trọng lượng thân chuyển vị xác định dựa phương pháp hàm phạt Sơ đồ lặp tải gia tăng Newton – Raphson sử dụng để giải vấn đề phi tuyến hình học chịu tải trọng tĩnh học kết cấu cáp Ngoài ra, vấn đề dao động tự dựa phương pháp phần tử hữu hạn đề xuất trình bày để xác định mười tần số dao động tự nhiên kết cấu cáp dạng dao động mười tần số THIẾT LẬP PHẦN TỬ CÁP Đầu tiên, xem xét ba cấu hình phần tử cáp biểu diễn số hạng hệ tọa độ Đề-Các (Hình 1) x3, 1x3, 2x3 xi0+02u xi0+01u C1 xi xi0+02u+d0x+d02u d0s d1s xi0+01u+d0x+d 01u xi+d0x C0 x2, 1x2, 2x2 x1, 1x1, 2x1 Cơ sở - Đại học Thủy Lợi KHOA H C K THU T TH Y L I VÀ MÔI TR d2s C2 NG - S 58 (9/2017) Hình Cấu hình ban đầu hai cấu hình nối tiếp phần tử cáp Chuyển vị gia tăng từ cấu hình (C1) đến cấu hình (C2): u i = 02 ui − 01ui ; i = ÷ (1) Trong thiết lập gia tăng, ten xơ Green – Lagrange ε cáp xác định phương trình sau: ( 2 dS ) − ( 1dS ) = ε ( dS ) ε= d xi dui ( dS ) + d 01ui dui ( dS ) + (2) dui dui ( dS ) n ui = ∑ψ k uik ; (i = 1, 2, 3) (3) η= ( dS ) (5) o o So chiều dài cung phần tử cáp cấu hình ban đầu; A ET tương ứng diện tích mặt cắt ngang mơ đun đàn hồi tiếp tuyến phần tử ℜ công ngoại lực Phân tích phần tử đẳng tham số: Cơng thức xác định hàm nội suy chuyển vị phần tử đẳng tham số công thức tổng quát sau: n ψ k (r ) = f k (r ) = ∏ i =1 i#k ( r − rk ) ( ri − rk ) (7) ri tọa độ tự nhiên nút i Tọa độ nút xi bên phần tử hệ tọa độ Đề-các cho hàm tọa độ nút rời rạc sau: n xi = ∑ψ k xik ; (i = 1, 2, 3) k =1 (8) Biểu thức ma trận trình bày sau: x = Ψx (9) Hoặc dạng ma trận u = Ψu (11) ψ 0 ψn 0 n Ψ=0 ψ ψ 0 0 ψ1 0 ψ n (12) Chiều dài cung điểm xi phần tử cáp cho bởi: n Độ cứng tiếp tuyến tính phi tuyến véc tơ lực đánh giá cách sử dụng hàm đa thức nội suy Lagrange Trong hệ tọa độ Lagrange, phương trình xác định cho phần tử đường theo phương trình đây: ∫ AET ∆ εδ ∆ε dS + S∫ Aσδ ∆η dS = ℜ − S∫ Aσδ ∆edS (6) S o (10) k =1 e 0η biến dạng đàn hồi phi tuyến tương ứng, xác định sau: d xi dui d 01ui dui e = + 2 (4) ( 0dS ) ( 0dS ) dui dui đó, n số nút phần tử ψ k hàm nội suy chuyển vị mà hệ số hàm cho số hạng tọa độ gốc r Trong báo này, phần tử đẳng tham số hai, ba bốn điểm nút sử dụng biểu thức chi tiết cho ψ k trình bày (K.J Bathe, 1996) So (r ) = ∑ψ k ( r )Sok (13) k =1 k S o chiều dài cung điểm nút k tham chiếu đến cấu hình ban đầu Đối với tính tốn tĩnh, mối quan hệ lực-chuyển vị gia tăng hợp lực xác định theo: ([ Ku ]3n×3n +[ Kσ ]3n×3n ){∆u}3n×1 ={Fc}3n×1 +{Fb}3n×1 −{Fint}3n×1 (14) [Ku] [Kσ] tương ứng ma trận độ cứng phụ thuộc chuyển vị phụ thuộc ứng suất, {Fc} {Fint} tương ứng véc tơ ngoại lực nội lực, {Fb} véc tơ tải thân phần tử Phần phụ thuộc chuyển vị ma trận độ cứng xác định sau: +1 T [ K u ]3n×3n = A ∫ ET [ Bo + BL ]3 n×1 [ Bo + BL ]1×3n J dr (15) −1 đó: ma trận quan hệ chuyển vị - biến dạng nhỏ [Bo] viết sau: [ Bo ]1×3n = [ Bo1 , , Bon ] (16) đó: ∂ x1 ∂ ψ k ∂ x ∂ ψ k ∂ x3 ∂ ψ k , , (17) ∂ S ∂S ∂ S ∂ S ∂S ∂ S [ Bok ]1×3 = ∂ψ k ∂r ∂ψ k ∂ψ k = = ∂S ∂S ∂r J ∂r ∂x1 ∂r ∂x1 = = ∂S ∂S ∂r J ∂ψ k k xi k =1 ∂r (18a) n ∑ KHOA H C K THU T TH Y L I VÀ MÔI TR (18b) NG - S 58 (9/2017) đó: J định thức Jacobi n ∂ψ k k J =∑ So (19) k =1 ∂r Bằng cách sử dụng thủ tục chuẩn cho tốn phi tuyến hình học, [BL] xác định sau: [ BL ]1×3n = [ BL1 , , BLn ] (20) đó: ∂u1 ∂ψ k ∂u2 ∂ψ k ∂u3 ∂ψ k , , ∂S ∂S ∂S ∂S ∂S ∂S ∂u1 ∂r ∂u1 n ∂ψ k k = = ∑ ui ∂S ∂S ∂r J k =1 ∂r [ BLk ]1×3 = (21) (22) Ma trận độ cứng phụ thuộc ứng suất xác định như: +1 T [ Kσ ]3n×3n = A ∫ [ BNL ]3n×1 σ [ BNL ] J dr −1 ∂ψ ∂ψ n 0 ∂S ∂S ∂ψ 0 [ BNL ]3×3n = ∂S ∂ψ 0 ∂S σ 3×3 ∂ψ n ∂S ∂ψ n ∂S σ 0 = σ 0 σ (23) 2 (24) [ K ] = [ Ku ] + [ Kσ ] cứng tiếp tuyến, { R} = { Fc } + { Fb } dr −1 (26) {ƒb} trọng lượng thể tích đơn vị theo hướng xi , ψ 0 ψ n 0 n [ H ]3×3n = ψ 0 ψ (27) 0 ψ1 0 ψ n Véc tơ nội lực phần tử {Fint} xác định như: +1 T −1 n×1 {Fint }3n×1 = A ∫ σ [ Bo + BL ] J dr (28) XÁC ĐỊNH TRẠNG THÁI CÂN BẰNG BAN ĐẦU CỦA CÁP Đối với phân tích đàn dẻo phi tuyến kết cấu cáp, trạng thái cân ban đầu cáp KHOA H C K THU T TH Y L I VÀ MÔI TR ma trận độ Để xác định trạng thái cân ban đầu hệ cáp cách giải phương trình cân gia tăng kết hợp với phương pháp hàm phạt sau: ( [ K ] + α e e ) {∆ u } = { R } + α j T j j $ − {F } ue j int (31) PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO 4.1 Phương trình dao động tự hệ có cản [ M ] u (t ) + [ C ] u (t ) + [ K ] u (t ) = đó: [ K ] = [ K L ] + [ K LN ] (32) ma trận độ cứng gồm thành phần tuyến tính phi tuyến [M] ma trận khối lượng xác định từ phép cầu phương Gauss: T [ M ] = ρ A ∫ {Ψ} {Ψ} J dr (25) T ) véc tơ tải ngoại lực; α số lò xo ảo với giá trị tương đối lớn j $ (30) ([ K ] + α e j eTj ) {u} = {R} + α ue j +1 {Fb }3n×1 = A ∫ [ H ] { fb } J ( Tải thân phần tử { Fb } cho bởi: +1 xác định sử dụng phương pháp hàm phạt theo sau: j T α j T Π = {u} [ K ]{u} − {u} { R} + u − u$ (29) (33) −1 [C] ma trận cản nhớt xác định theo phương pháp Ryleigh với hệ số đặc trưng: [C ] = α M [ M ] + α K [ K ] (34) với αM, αK tương ứng hệ số khối lượng hệ số cản tỷ lệ độ cứng xác định qua hai tần số riêng dao động tự ω1, ω2 tỷ số cản kết cấu ξ1, ξ2: 2ω ω α M = 2 (ω2ξ1 − ω1ξ ) (35) ω2 − ω1 αK = (36) (ω2ξ2 − ω1ξ1 ) ω2 − ω12 4.2 Xác định tần số dao động tự nhiên hệ Đối với phương trình (32) phân tích dao động tự khơng cản hệ có dạng sau: NG - S 58 (9/2017) [ M ] u (t ) + [ K ] u ( t ) = (37) Nghiệm chuyển vị phương trình (37): u (t ) = Gk e − iωk (38) ( [ K ] − ω [ M ]) G e k k − iωk =0 (39) đó: ωk, Gk tần số tự nhiên véc tơ chuyển vị dao động thứ kth Tần số dao động tự nhiên dạng dao động xác định với định thức (40) có giá trị 0: [ K ] − ωk2 [ M ] = (40) VÍ DỤ SỐ 5.1 Phân tích tĩnh học cáp đơn ứng suất trước chịu tải phân bố Ở ví dụ này, xét cáp ứng suất trước với cấu hình thể Hình thơng số kỹ thuật thể Bảng Phần tử cáp nghiên cứu (Jayaraman Knudson, 1981), (Ozdermir, 1979) and (Desai et al, 1988), kết chuyển vị nghiên cứu so sánh, đánh giá với nghiên cứu Ban đầu, mô hình cáp khơng ứng suất biến dạng với chiều dài ban đầu L0 Để xác định cấu hình cân cáp, sử dụng thuật toán hàm phạt để đánh giá với bước gia tăng tải trọng vòng lặp mơ hình Hình Cáp ứng suất trước chịu tải phân bố Bảng Đặc trưng cáp đơn ứng suất trước chiều dài cáp chịu tải trọng phân bố wu = 3,5024 N/m Chuyển vị ngang đứng nút Các thông số Số liệu nhịp trình bày Bảng 41, 94 m m Diện tích mặt cắt ngang nghiên cứu nhà nghiên cứu khác, Mô đun đàn hồi 131.0 kN / m m đồng thời so sánh kết nghiên cứu thu Trọng lượng thân cáp wg −46.12 N / m Kết thu phương pháp kiến nghị để 3, m Chiều dài ban đầu cáp L0 nghiên cứu trùng hợp với kết Ứng suất ban đầu cáp 131.0 kN / mm tác giả khác công bố Đồng thời, phần tử Trong ví dụ này, phần tử đẳng tham số hai tuyến tính sử dụng đa thức nội suy bậc thấp điểm nút, phần tử ba điểm nút, phần tử bốn cho thấy kết hội tụ chậm hơn, phần tử có điểm nút khảo sát từ đến 256 phần tử nút chuyển vị hội tụ nhanh Bảng So sánh chuyển vị đứng nút tác dụng tải phân bố (m) wu = wu = −3,5024 N / m Kết nghiên cứu Số phần Loại phần tử tử Phần tử hai điểm nút Chuyển vị đứng -3,5192 -3,3770 -3,3456 16 -3,3379 32 -3,3361 64 -3,3356 128 -3,3355 256 -3,3354 Jayaraman Knudson (1981) Ozdermir, 1979 Desai et al (1988) -3,3434 -3,3426 -3,3411 KHOA H C K THU T TH Y L I VÀ MÔI TR NG - S 58 (9/2017) Phần tử ba điểm nút Phần tử bốn điểm nút -3,3526 -3,3366 -3,3355 16 -3,3354 32 -3,3354 64 -3,3354 128 -3,3354 256 -3,3354 -3,3354 -3,3354 -3,3354 16 -3,3354 32 -3,3354 64 -3,3354 128 -3,3354 256 -3,3354 5.2 Phân tích dao dộng tự kết cấu cáp ứng suất trước tải phân bố Trong phần này, sử dụng phần tử đẳng tham số có hai, ba bốn điểm nút để phân tích tần số dao động tự nhiên hệ cáp đơn ứng lực trước Kết phân tích tần số dao động tự nhiên hệ khảo sát chia phần tử với số phần tử từ đến 128 phần tử Tần số dao động tự nhiên đưa (Ozdermir, 1979) 0.3582Hz Kết mười tần số dao đông tự nhiên hệ thể Bảng khảo sát phần tử đẳng tham số có hai, ba bốn điểm nút tương ứng Kết hội tụ tần số dao động tự nhiên thu từ nghiên cứu 0.3852Hz, trùng với kết tác giả (Ozdermir, 1979) đưa Để đạt kết này, dạng phần tử đẳng tham số hai điểm nút cần chia 128 phần tử, phần tử dạng ba bốn điểm nút tương ứng số phần tử 16 phần tử Mơ hình phần tử bốn điểm nút cho kết hội tụ nhanh Trên Hình thể mười dạng dao động tự nhiên phần tử cáp Bảng Mười tần số dao động phần tử cáp Loại Số phần tử phần tử Phần tử hai 16 điểm 32 nút 64 128 Phần tử ba điểm 16 nút 32 64 128 0.4058 0.3920 0.3870 0.3857 0.3853 0.3853 0.3852 0.3891 0.3856 0.3853 0.3852 0.3852 0.3852 0.3852 8.7575 0.6637 0.6205 0.6094 0.6067 0.6060 0.6058 0.6583 0.6104 0.6061 0.6058 0.6058 0.6057 0.6058 1.0808 0.9641 0.9256 0.9160 0.9136 0.9130 1.1664 0.9358 0.9145 0.9129 0.9128 0.9128 0.9128 KHOA H C K THU T TH Y L I VÀ MÔI TR 8.1553 1.3345 1.2430 1.2198 1.2140 1.2126 7.9795 1.2475 1.2180 1.2125 1.2122 1.2121 1.2121 Mode dao động 17.5252 28.4724 1.7457 2.1688 1.5768 1.9237 1.5312 1.8446 1.5198 1.8249 1.5170 1.8200 15.9993 28.6942 1.7174 2.2290 1.5316 1.8526 1.5172 1.8209 1.5161 1.8185 1.5161 1.8184 1.5161 1.8184 NG - S 58 (9/2017) 2.5235 2.2888 2.1635 2.1322 2.1244 2.7774 2.1858 2.1270 2.1221 2.1218 2.1218 8.0013 2.6724 2.4870 2.4401 2.4284 7.9521 2.4547 2.4343 2.4252 2.4246 2.4246 16.3054 3.0755 2.8169 2.7500 2.7333 15.9541 2.9737 2.7447 2.7290 2.7279 2.7278 10 25.2302 3.4945 3.1531 3.0612 3.0383 24.2338 3.3995 3.0581 3.0327 3.0309 3.0307 0.3856 0.6098 0.9547 1.3239 2.0941 7.9506 15.9997 24.4676 32.7813 52.8414 0.3852 0.6059 0.9140 1.2201 1.5371 1.8758 2.2475 2.5384 3.3912 4.0707 Phần tử 0.3852 0.6058 0.9129 1.2122 1.5166 1.8199 2.1257 2.4405 2.7467 3.0660 ba điểm nút 16 0.3852 0.6058 0.9128 1.2121 1.5161 1.8184 2.1218 2.4247 2.7282 3.0315 32 0.3852 0.6058 0.9128 1.2121 1.5161 1.8184 2.1218 2.4246 2.7278 3.0307 64 0.3852 0.6057 0.9128 1.2121 1.5161 1.8184 2.1218 2.4246 2.7278 3.0307 128 - - - - - - - - - - Hình Mười dạng dao động tự cáp hai phần tử KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 6.1 Kết luận Phương pháp phần tử hữu hạn đẳng tham số kết hợp phép cầu phương Gauss sử dụng để xác định ứng xử kết cấu cáp tác dụng tĩnh học dao động tự đem lại hiệu cao Phương pháp số phát triển dựa hàm đa thức nội suy Lagrange để xác định phân tích kết cấu cáp Phần tử đẳng tham số có hai, ba bốn điểm nút sử dụng, kết phần tử bốn điểm nút cho hội tụ nhanh tính tốn Kết thu từ báo so với nghiên cứu khác cho sai số nhỏ 6.2 Kiến nghị Phương pháp phần tử hữu hạn đẳng tham số sử dụng để phân tích tĩnh học động học kết cấu cáp có độ xác hiệu giải vấn đề liên quan đến học kết cấu vật rắn Kết nghiên cứu xem xét sử dụng làm tảng cho nghiên cứu khác có ảnh hưởng nhiều kết cấu cáp phi tuyến vật liệu, ứng xử kết cấu cáp chịu tác động động đất hay gió theo thời gian Ngồi ra, sử dụng phương pháp để tính tốn kết cấu cáp khác cầu dây văng, dây võng, kết cấu mái sân khấu, cơng trình ngồi khơi… TÀI LIỆU THAM KHẢO Irvine HM (1981) Cable structures, The MIT Press, Cambridge, MA, USA K.J Bathe (1996), Finite Element Procedures, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J Nam-Il Kim, Son Thai & Jaehong Lee (2016), Nonlinear elasto-plastic analysis of slack and taut cable structures, Engineering with Computers, DOI 10.1007/s00366-016-0440-7 KHOA H C K THU T TH Y L I VÀ MÔI TR NG - S 58 (9/2017) Thai HT, Kim SE (2011), Practical advanced analysis software for nonlinear inelastic dynamic analysis of steel structures, Journal of Constructional Steel Research 67 (2011) 453–461 Thai HT, Kim SE (2011), Nonlinear static and dynamic analysis of cable structures, Finite Elem Anal Des 47:237-246 O’Brien W, Francis A (1964) Cable movements under two-dimensional loads, J Struct Div, ASCE 90:89-123 Jayaraman H, Knudson W (1981) A curved element for the analysis of cable structures, Comput Struct 14:325-333 Desai et al (1988), Geometric nonlinear static analysis, Computer & Structures Vol 29, No 6, pp 1001-1009 Ozdemir (1979), A finite element approach for cable problems, Solides Structures Vol 15, pp 427-437 Abstract: NUMERICAL METHOD OF STRUCTURAL CABLE FREE VABRITION AND NONLINEAR ANYLYSIS This paper presents the geometrically nonlinear analysis and free vibration analysis subjected to self-weight, pretension, and external loads The finite element procedure is used the Lagrangian formulation associated with isoparametric interpolation polynomials The Newton-Raphson iterative scheme with incremental load determined the static displacement of the cable structure In addition, the free vibration of this cable structure is also considered, the natural frequency of the cable structure is also determined by the parametric finite element method Numerical example is presented to evaluate the accuracy and reliability of this method in comparison with previously investigated results Keywords: Cable structures; Nonlinear analysis; Elasto-plastic analysis; Finite element method; Catenary cable element; Geometrical nonlinearity; Material inelasticity, Free vibration Ngày nhận bài: 20/02/2017/ Ngày chấp nhận đăng: 30/6/2017 KHOA H C K THU T TH Y L I VÀ MÔI TR NG - S 58 (9/2017) ... -3,3354 5.2 Phân tích dao dộng tự kết cấu cáp ứng suất trước tải phân bố Trong phần này, sử dụng phần tử đẳng tham số có hai, ba bốn điểm nút để phân tích tần số dao động tự nhiên hệ cáp đơn ứng... trước Kết phân tích tần số dao động tự nhiên hệ khảo sát chia phần tử với số phần tử từ đến 128 phần tử Tần số dao động tự nhiên đưa (Ozdermir, 1979) 0.3582Hz Kết mười tần số dao đông tự nhiên... Hình Mười dạng dao động tự cáp hai phần tử KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 6.1 Kết luận Phương pháp phần tử hữu hạn đẳng tham số kết hợp phép cầu phương Gauss sử dụng để xác định ứng xử kết cấu cáp tác dụng