PHÂN TÍCH TĨNH VÀ DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM COMPOSITE LAMINATE SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ CHUYỂN ĐỘNG_Lương Văn Hải, Phạm Hùng

Trong bài báo này, phương pháp phần tử chuyển động MEM (Moving Element Method) được phát triển nhằm phân tích ứng xử tĩnh và dao động tự nhiên của tấm composite laminate dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Tấm sẽ được chia nhỏ thành những “phần tử chuyển động”. Những phần tử này không phải chuyển động thật so với tấm đứng yên mà là chuyển động giả tưởng cùng với lực tác động di chuyển trên kết cấu tấm. Do đó, phương pháp này sẽ tránh được việc cập nhật vectơ tải trọng so với mô hình tấm truyền thống. Các phương trình chuyển động cũng như các ma trận của phần tử tấm được xây dựng trên một hệ trục tọa độ chuyển động với vận tốc không đổi. Các kết quả số trong phân tích tấm composite laminate cho thấy phương pháp MEM đạt độ tin cậy cao so với các kết quả khác đã được công bố trước đây.

PHÂN TÍCH TĨNH VÀ DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM COMPOSITE LAMINATE SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ CHUYỂN ĐỘNG STATIC AND FREE VIBRATION ANALYSIS OF LAMINATED COMPOSITE PLATES USING MOVING ELEMENT METHOD Lương Văn Hải, Phạm Hùng laminate tác động loại tải trọng loại thường ứng dụng rộng rãi ngành xây dựng dân dụng cầu đường như: tính toán kết cấu móng, dầm, sàn tòa nhà; thiết kế, tính toán kết cấu áo đường giao thông hay sân bay, Trên giới có nhiều nghiên cứu phân tích ứng xử kết cấu composite laminate thập kỷ gần Vào năm 1963, Thompson [1] nghiên cứu ứng xử kết cấu đường chịu tải trọng di chuyển cách giả định đường mỏng dài vô hạn tựa đàn hồi (resting elastic foundation) Kim Roesset (1998) [2] nghiên cứu vô hạn tựa đàn hồi Winkler chịu tải trọng di chuyển sử dụng phép biến đổi Fourier Wu cộng (1987) [3] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích ứng xử phẳng chịu tải trọng di chuyển Pan Atluri (1995) [4] phân tích ứng xử đường băng có kích thước hữu hạn đàn hồi chịu tải trọng di chuyển sử dụng phương pháp FEM/BEM kết hợp Musharraf Zaman cộng (1991) [5] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn bốn nút để phân tích ứng xử động dày đàn nhớt (viscoelastic foundation) chịu tải trọng di chuyển Như vậy, phương pháp phần tử hữu hạn FEM truyền thống sử dụng phổ biến để giải nhiều toán phức tạp Trong phương pháp này, tất ma trận kết cấu thực hệ trục tọa độ cố định Khi tải trọng di chuyển từ phần tử sang phần tử khác vectơ tải trọng phải cập nhật sau bước thời gian Do đó, phần tử có chiều dài khác việc tính toán lập trình khó khăn thời gian Đồng thời, tải trọng tiến tới biên vượt khỏi biên nên cần phải thiết lập điều kiện biên cập nhập Tất nhược điểm minh họa Hình Để giải khó khăn phương pháp truyền thống gặp phải, việc phân tích ứng xử composite laminate dựa phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method-MEM) hướng nghiên cứu quan tâm (thể Hình 2) Người tiên phong phương pháp Koh (2003) [6] đề xuất sử dụng phương pháp phần tử chuyển động việc khảo sát ứng xử động tàu cao tốc Vào năm 2006, Koh cộng [7] phát triển phương pháp phần tử chuyển động để phân tích ứng xử động bán không gian đàn hồi tác dụng tải trọng di động Chen Huang (2000) [8] xét tải không đổi di chuyển với vận tốc không đổi dọc theo dầm Timoshenko dài vô hạn đàn nhớt Các ma trận độ cứng động lực cho dầm bán vô hạn thu lúc số bước sóng phức tạp hình dạng chuyển vị phức tạp Ngoài ra, Ang cộng (2013) [9] phân tích động lực học hệ thống tàu cao tốc đàn nhớt hai thông số Nghiên cứu sử dụng phương pháp phần tử chuyển động việc khảo sát ứng xử động tàu cao tốc Năm 2009, Xu cộng [10] sử dụng phương pháp phần tử chuyển động để phân tích dao động ngẫu nhiên Kirchhoff Kelvin chịu tải trọng di động sử dụng phần tử tứ giác TÓM TẮT Trong báo này, phương pháp phần tử chuyển động MEM (Moving Element Method) phát triển nhằm phân tích ứng xử tĩnh dao động tự nhiên composite laminate dựa lý thuyết biến dạng cắt bậc Tấm chia nhỏ thành “phần tử chuyển động” Những phần tử chuyển động thật so với đứng yên mà chuyển động giả tưởng với lực tác động di chuyển kết cấu Do đó, phương pháp tránh việc cập nhật vectơ tải trọng so với mô hình truyền thống Các phương trình chuyển động ma trận phần tử xây dựng hệ trục tọa độ chuyển động với vận tốc không đổi Các kết số phân tích composite laminate cho thấy phương pháp MEM đạt độ tin cậy cao so với kết khác công bố trước Từ khóa: Phương pháp phần tử chuyển động, composite laminate, phân tích tĩnh, dao động tự ABSTRACT This paper develops a recently new method, namely moving element method (MEM), for predicting the static and free vibration response of laminated composite plates based on the first shear deformation theory In this method, the plate is discretized into a number of elements called “the moving elements” These moving elements are not physical elements fixed to the plate, but are conceptual elements that “flow” with the moving load through the plate Thus, the proposed method eleminates the need of keeping track the location of moving load relative to the element mesh The governing equations of motion as well as structural matrices of moving element are formulated in a relative coordinate system travelling at a constant speed Numerical results for analysis of laminated composite plates show that the MEM performs quite well compared to several other published results in the literature Keywords: Moving element method, composite laminate plate, static analysis, free vibration PGS TS Lương Văn Hải Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học Bách khoa – Đại học Quốc Gia TP.HCM Email: lvhai@hcmut.edu.vn Điện thoại: 0944 282 090 KS Phạm Hùng Học viên Cao học, Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học Bách khoa – Đại học Quốc Gia TP.HCM Giới thiệu Kể từ ngành khoa học vật liệu composite đời, có nhiều nghiên cứu thực để ứng dụng loại vật liệu xây dựng dựa mô hình phần tử dầm, hay vỏ Đặc biệt nghiên cứu ứng xử composite Hình Mô hình phương pháp FEM Hình Phần tử Q9 tọa độ vuông góc (tổng thể) Hình Mô hình phương pháp MEM Tất phần tử Q9 tọa độ thông thường quy Trong báo này, phương pháp MEM sử dụng để phân tích tĩnh dao động tự composite laminate tựa đàn hồi chịu loại tải trọng Các phương trình chuyển động tấm, ma trận kết cấu thiết lập hệ tọa độ tương đối chuyển động vận tốc lực Mô hình đặt đàn hồi không đặt khảo sát để xét ảnh hưởng Đồng thời, thông số tỉ số module đàn hồi, tỉ số cạnh/bề dày dạng dao động ảnh hưởng đến tần số dao động tự nhiên kết cấu phân tích Các kết thu tài liệu hữu ích cho việc nghiên cứu thiết kế kết cấu composite laminate thực tiễn Cơ sở lý thuyết Xét composite laminate chịu biến dạng uốn lực vuông góc với mặt phẳng tấm, hệ trục tọa độ Oxyz chọn cho mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt trung bình hệ tọa độ tự nhiên (ξ ,η ) Hình Hình Phần tử Q9 tọa độ tự nhiên Các hàm dạng phần tử Q9 hệ tọa độ tự nhiên cho (Ghafoori, 2010 [12]): Ω ⊂ R trục z vuông góc với mặt phẳng Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc (Reddy, 1997 [11]), trường chuyển vị điểm biểu diễn thông qua trường chuyển vị điểm tương ứng mặt trung hòa sau: u (= x , y , z ) uo ( x , y ) + z β x ( x , y )   h h = v x  ( , y, z ) vo ( x, y ) + z β y ( x, y ) ( x, y ) ∈ Ω, z ∈  − ,   2   w ( x, y, z ) = w ( x, y ) (ξ − 1)(η − 1) ξη , N = (ξ + 1)(η + 1) ξη , N = (1 − ξ ) (η − 1)η , N = (1 − ξ ) (η + 1)η , N = (1 − ξ )(1 − η ) (ξ + 1)(η − 1) ξη N = (ξ − 1)(η + 1) ξη N = (1 − η ) (ξ + 1) ξ N8 = (1 − η ) (ξ − 1) ξ N1 = (1) u , v , w thành phần chuyển vị theo phương x, y, z; β x , β y góc xoay pháp tuyến mặt trung hòa quanh trục Oy Ox hệ tọa độ địa phương với quy ước chiều dương cho Hình 3, Ω mặt trung hòa h bề dày N2 = (2) Bằng cách sử dụng hàm dạng, vectơ chuyển vị điểm u = u v w β x dạng chuyển vị nút T β y  nội suy từ hàm (1) u = Nd N ma trận hàm dạng chuyển vị xác định bởi: N 0  N=0 0   Hình Quy ước chiều dương chuyển vị u , v , w chuyển vị xoay β x , β y composite laminate Phần tử tứ giác nút ( Q9 ) sử dụng nghiên cứu Tất phần tử gắn vào hệ trục cố định ( x, y ) 0 0 N9 0 N1 0 N9 0 N1 0 0 N9 0 N1 0 N9 0 N1 0 0 d vectơ chuyển vị nút: đánh số từ 1-9 thể Hình       N   (2) [ d = u 01 v01 β x1 w01 β y1 u 09 v09 β y9 ] βx9 w09 T (3) Biến dạng bao gồm biến dạng màng, uốn biến dạng cắt Các thành phần biến dạng cho công thức sau: ε  ε ε  x y xy   u   β     =  v + z β  u + v   β + β     0,x x, x 0,y y, y 0,y 0,x x, y γ   w =   γ   w = γs xz ,x yz ,y   ε + zκ (4) =   σ σ  τ τ   τ        xx yy xy xz yz Q Q  = Q 0   y, x 0 21 Q22 Q26 0 61 Q62 Q66 0 0 Q55 Q54 0 Q45 Q44 n zk +1 yy xy xz yz (k ) Q Q  = Q 0          11 Q12 Q16 0 21 Q22 Q26 0 61 Q62 Q66 0 0 Q55 Q54 0 Q45 Q44 T Ω′ s (k ) ε ε  γ γ  γ xx yy xy xz yz        N w = [ 0 N1 0 0 N        ∫ ∫ Ω′ (k ) ε ε  γ γ  γ xx yy xy xz yz ε p = [ε m (k ) (8) 12 12 ) ∂ u ( x, t ) ∂ 2u ( r , t ) ∂ 2u ( r , t ) ∂ 2u ( r , t )  = u = V2 − V + ∂t ∂r ∂r ∂t ∂t (18) ∂w ( x, t ) ∂w ( r , t ) ∂w ( r , t ) w == −V + ∂t ∂r ∂t (19) [Vt a + Vt ] × [ b ] Tuy nhiên, hệ tọa độ chuyển động ( r , s ) miền = Ω [ a ] × [ b ] , = Ω′ (9) a , b kích thước tấm, d Ω= dr × ds lại:  Sau biến đổi hệ trục tọa độ, phương trình (11) viết d  ∫ B D1Bd Ω + ∫ mV N T N , rr d Ω + ∫ N Tw k f N w d Ω − V ∫ N Tw c f N w , r d Ω q ( x , y ) tải phân bố, m ma trận số khối lượng bao gồm khối lượng riêng ρ bề dày h ,h (16) ∂ w ( x, t ) ∂2 w ( r, t ) ∂2 w ( r, t ) ∂2 w ( r, t ) (20)  = w = V2 − 2V + ∂t ∂r ∂r ∂t ∂t T  = u0 v0 w 0 βx βy  u = u0 v0 w βx β y  T , u Tại thời điểm t , miền toán hệ tọa độ cố định T (15) hệ tọa độ chuyển động; V t vận tốc thời gian di chuyển tải Khi trường chuyển vị đạo hàm riêng hệ tọa độ chuyển động biểu diễn sau: ∂u ( x, t ) ∂u ( r , t ) ∂u ( r , t ) (17) −V + u == ∂t ∂r ∂t κ ] ; q = [ 0 q ( x , y ) 0 ] , với ( (14) ( x, y ) hệ tọa độ cố định; ( r , s ) Ω′ m = ρ hdiag 1,1,1, h 0] r= x − Vt y=s (7)        (13) hai trục tọa độ xác định sau: T Ω′ (12) Giả sử tải trọng di động theo phương x với vận tốc không đổi V Bằng cách sử dụng phương pháp MEM, hệ tọa độ ( r , s ) gắn liền với tải trọng di động thiết lập Mối quan hệ (6) ∫ δ u q d Ω′ = + δ w k f wd Ω′ + δ w c f wd Ω′ (i, j = 1, 2,6) N w ma trận chứa hàm dạng (k ) Ω′ T (k ) w = N wd s Ω′ T n Chuyển vị đứng w nội suy từ chuyển vị nút phần tử: T s (k ) z ∫ δ ε Dε d Ω′ + ∫ δ γ D γ dΩ′ + ∫ δ u mud Ω′ p (11) n zk +1 1997 [11]) Phương trình dạng yếu Galerkin cho phân tích ứng xử động lực học composite laminate đàn nhớt có dạng: p ) Dmb = ∑ Qij số vật liệu biến đổi lớp thứ k (Reddy, T k 1= k = zk Quan hệ ứng suất biến dạng lớp thứ k (lớp so với mặt phẳng tham chiếu) có dạng:        s − h/2 Dm = ∑ ∫ Qij dz = ∑ ( zk +1 − zk )Qij = Q= G12 , Q= G13 , Q= G23 , Q Q= Q= 66 55 44 16 26 45 xx = = ; i , j 4, κ n k +1 (k ) (i ) n ( zk +1 − zk3 )Q ij (i, j = 1, 2,6) Db = Q z dz = ∑ ∑ ij ∫ 3k k 1= = zk E1 v12 E2 E2 = = , Q12 , Q22 − v12 v21 − v12 v21 − v12 v21 σ σ  τ τ   τ ij đó: số vật liệu tính sau: Q11 ∫ Q dz (5) y Q16 ( s (k ) (i ) n ( zk +1 − zk2 )Q ij (i, j = 1, 2,6) Q zdz = ∑ ij ∫ 2k1 k 1= = zk  +β  Q12 Db  h = ; Ds κ m + βx  11 D mb  m mb Trong lý thuyết trực hướng, ứng suất lớp thứ k đưa từ định luật Hook: (k ) D  D = D T Ω Ω Ω Ω    T T T dΩ + d  ∫ −2mVN N , r d Ω + ∫ N w c f N w d Ω  + d = ∫ N mN Ω  Ω Ω (10)   (21) ∫ N q dΩ T Ω Từ phương trình (23), ma trận khối lượng, ma trận cản, ma trận độ cứng phần tử vectơ tải trọng cho bởi: D , D s ma trận số vật liệu cho bởi: ∫ N mNd Ω (22) T T ∫ −2mVN N,r d Ω + ∫ c f N wN wd Ω (23) = Me T Ω Ce = Ω = Ke Ω ∫B Ω T b Db Bb d Ω + ∫ BTs Ds B s d Ω Ω (24) T ∫ mV N N,rr d Ω − ∫ c f VN N w,r d Ω + ∫ k f N w N wd Ω Bảng Thông số vật liệu Loại vật liệu Module M1 M2 M3 E 11 (GPa) 25.0 40.0 20.0 E 22 (GPa) 1.0 1.0 1.0 G 12 (GPa) 0.5 0.6 0.6 G 13 (GPa) 0.5 0.6 0.6 G 23 (GPa) 0.2 0.5 0.5 ν= ν = ν 0.25 0.25 0.25 12 23 13 T T w Ω Ω P= Ω ∫ N q dΩ T (25) Ω ( ),r đạo hàm bậc theo r ( ),rr đạo hàm Bảng thể kết chuyển vị tâm thu phương pháp phần tử chuyển động MEM9, so sánh với kết phương pháp CS-DSG3 kết công bố báo Hình Hình cho thấy kết phương pháp MEM gần trùng khớp với kết Reddy (1997) [11] Chứng tỏ phương pháp phần tử chuyển động MEM đáng tin cậy Ngoài ra, việc sử dụng phần tử tứ giác nút giúp cho phân tích đạt độ xác cao Bảng Độ võng không thứ nguyên tâm bậc hai theo r Sau tổng hợp ma trận kết cấu vectơ tải trọng cho toàn tấm, phương trình động lực học hệ có dạng: (26)  + Cu + Ku = P Mu M , C K ma trận khối lượng, cản độ cứng tổng thể hệ P vectơ tải trọng tổng thể hệ Phương trình phân tích tĩnh composite laminate cho bởi: (27) Ku = P vectơ tải trọng xác định : P = ∫qN T dΩ ( w = 100 E2 wh / qa * Góc hướng sợi (28) a/h Ω (29) 0 /90 /0 Giải hai phương trình (29) (31) ta thu toán tĩnh dao động tự hệ Các ví dụ số 00/900/900/00 Để chứng minh tin cậy phương pháp đề xuất, ví dụ số phân tích tĩnh dao động tự thực thông qua việc so sánh với phương pháp khác sử dụng phần tử CS-DSG3 (phương pháp phần tử tam giác hữu hạn trơn), FEM-9 (FEM sử dụng phần tử tứ giác nút) kết khác công bố trước Kết thực CSMEM9 DSG3 Kết công bố Reddy FEMT3 FEMQ4 10 0.6564 0.6616 0.6693 0.6281 0.6458 20 0.4824 0.4852 0.4913 0.4516 0.4666 100 0.4248 0.4269 0.4337 0.3714 0.4073 10 0.6497 0.6550 0.6530 0.6211 0.6387 20 0.4814 0.4843 0.4912 0.4503 0.4655 100 0.4248 0.4269 0.4337 0.3675 0.4073 Tải phân bố (UDL) 00/900/00 3.1 Phân tích tĩnh Trong phân tích này, mô hình vuông composite laminate tựa không tựa đàn hồi với điều kiện biên tựa đơn cạnh (S-S-S-S) ngàm cạnh (C-C-C-C) khảo sát 3.1.1 ) Tải hình sin (SSL) Tấm dao động với tần số ϖ phương trình cân trở thành (K − ω M )u = 0 0 /90 /90 /0 10 1.0223 1.0116 1.0219 0.9639 0.9874 20 0.7570 0.7480 0.7572 0.6989 0.7195 100 0.6700 0.6608 0.6697 0.5744 0.6307 10 1.0253 1.0138 1.0250 0.9641 0.9883 20 0.7691 0.7593 0.7676 0.7085 0.7302 100 0.6827 0.6735 0.6833 0.5795 0.6430 Tấm vuông chịu tải hình sin phân bố Kết cấu vuông với biên tựa có kích thước sau: cạnh a bề dày h Vật liệu cấu tạo M1 thể Bảng Tấm chịu tác dụng tải hình sin (SSL) tải phân bố (UDL) với q0 = 1N/m Có loại khảo sát lớp (00/900/00), lớp (00/900/900/00) Kết cấu chia thành phần tử có kích thước NxN với N = 16 Hình So sánh độ võng không thứ nguyên w phương pháp (tải phân bố hình sin SSL) * Tải phân bố hình sin (SSL) Tải phân bố (UDL) Hình Mô hình tựa đơn cạnh Hình 10 Chuyển vị loại với mức lưới phần tử 20x20 Hình So sánh độ võng không thứ nguyên w phương pháp (tải phân bố UDL) * 3.1.2 3.1.3 Tấm vuông chịu tải tập trung đàn hồi Trong toán này, thông số sử dụng tương tự Ví dụ 3.1.2 có thêm hệ số đàn hồi k f = 107 N/m3 Tấm vuông chịu tải tập trung Kết cấu vuông với biên ngàm có kích thước sau: cạnh a = 20m bề dày h = 0.5m Vật liệu cấu tạo M3 thể Bảng 1, khối lượng riêng ρ = 2550 kg/m3 Tấm chịu tác dụng tải tập trung P = 1000N Có loại khảo sát lớp (00/900/00), lớp (00/900/900/00) lớp (00/900/00/900/00) Kết cấu chia thành phần tử có kích thước N × N với N = 8,10,12,14,16, 20 Hình thể hội tụ chuyển vị điểm đặt lực với lưới chia phần tử kết cấu Có thể nhận thấy lưới chia mịn các phương pháp khác cho nghiệm chuyển vị gần nghiệm dần tiến tới hội tụ Cũng từ kết cho thấy nghiệm MEM FEM-9 hoàn toàn giống sử dụng phần tử tứ giác nút Đồng thời từ Hình ta thấy hội tụ phương pháp MEM nhanh phương pháp CS-DSG3 MEM sử dụng phần tử có số nút lớn Hình 11 thể chuyển vị điểm đặt lực Tương tự kết đạt từ Ví dụ 3.1.2, đặt đàn hồi phương pháp MEM trùng khớp với phương pháp FEM-9 sử dụng phần tử tứ giác nút Hình 12 thể so sánh chuyển vị điểm đặt lực đặt đàn hồi không đặt đàn hồi Ta thấy chuyển vị đàn hồi nhỏ không đàn hồi 4.39 lần, chuyển vị giảm từ -3.29x10-5m xuống -0.75x10-5m Khảo sát cho thấy ảnh hưởng quan trọng hệ ứng xử chịu tải trọng bên tác dụng Kết áp dụng thực tế thiết kế thi công: muốn giảm ứng xử ta cần phải gia cố với độ cứng thích hợp Hình 11 Chuyển vị điểm đặt lực Hình Chuyển vị lớp theo mức lưới phần tử Ngoài ra, dựa vào kết chuyển vị dạng Hình 10 cho thấy: có bề dày h cấu tạo loại vật liệu có nhiều lớp độ võng chuyển vị tâm nhỏ Nguyên nhân lớp có hướng sợi khác ghép đan xen với liên kết phần tử lớp trở nên chặt chẽ khăng khít hơn, tạo nên kết cấu tổng thể vững khó bị phá vỡ Hình 12 So sánh chuyển vị điểm đặt lực đàn hồi không đặt đàn hồi 3.2 Phân tích dao động tự Trong mục này, việc khảo sát tính xác hữu dụng phương pháp MEM việc phân tích tần số dao động tự nhiên kết cấu thực Hai điều kiện biên áp dụng cho bốn biên tựa đơn (S-S-S-S) bốn biên ngàm (C-C-C-C) Tấm chia với nhiều hệ lưới khác Kết phương pháp MEM so sánh với phương pháp khác sử dụng phần tử FEM-9 kết công bố báo tác giả Reddy (1997) [11] phương pháp p-Ritz [13] Đồng thời việc phân tích ảnh hưởng tỉ số module E /E , tỉ số chiều dài/bề dày đến tần số dao động tự nhiên thực chia nhỏ khả liên kết phần tử trở nên chặt chẽ giúp cho mô hình gần với kết cấu thực tế 3.2.2 Sự ảnh hưởng tỉ số cạnh bề dày đến tần số dao động tự nhiên Trong toán này, thông số tương tự Ví dụ 3.2.1 với tỉ số module E /E =40 Tiến hành khảo sát tần số dao động tự nhiên theo thay đổi tỉ số cạnh bề dày a/h (thay đổi từ 5, 10, 20, 25, 50, 100) với mức lưới phần tử khảo sát 15x15 Bảng Hình 14 thể tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên ứng với tỉ số cạnh bề dày a/h khác Kết thu cho thấy kết sử dụng phương pháp MEM gần với kết p-Ritz với sai số nhỏ 0.03% thể qua Hình 15 Bảng Tấm composite laminate (00/900/900/00): tần số dao 3.2.1 Sự ảnh hưởng tỉ số module E /E đến tần số dao động tự nhiên Tấm composite laminate lớp (00/900/900/00) tựa đơn bốn cạnh (SS-SS-SS-SS) khảo sát Thông số a / h = , vật liệu cấu tạo M2 thể Bảng Tỉ số module E /E thay đổi từ 10, 20 đến 40 Kết cấu chia thành phần tử có kích thước N × N với N = 7,9,11,13,15 để khảo sát toán Bảng thể kết tần số dao động thứ phương pháp Phương pháp MEM cho lời giải hoàn toàn giống với FEM-9 lời giải xác Reddy (1997) [11] Điều chứng tỏ phương pháp MEM tỏ hiệu việc phân tích tần số dao động tự nhiên kết cấu * Phương pháp MEM9 ES-DSG3 MISQ20 HSDT p-Ritz RBF HOIL theory Local theory Global theory Bảng Bảng so sánh tần số dao động không thứ nguyên ( ω = ωa / h * ) ρ / E phương pháp E /E Phương pháp Chia lưới 10 20 40 MEM9 7x7 8.2990 9.5679 10.8546 9x9 8.2985 9.5674 10.8542 11x11 8.2983 9.5672 10.8541 13x13 8.2982 9.5672 10.8540 15x15 8.2982 9.5671 10.8540 15x15 8.2982 9.5671 10.8540 ES-DSG3 FEM9 8.3295 9.5849 10.8465 MISQ20 8.3094 9.5698 10.8471 MLSDQ 8.2924 9.5613 10.8490 RBF 8.3101 9.5801 10.8640 Giải tích (Reddy) 8.2982 9.5671 10.8540 ( động không thứ nguyên ω = ω a / h ) ρ / E2 a/h 10.85 10.85 10.85 10.99 10.86 10.81 10 15.14 15.14 15.17 15.27 15.14 15.10 20 17.66 17.65 17.72 17.67 17.66 17.63 25 18.07 18.06 18.14 18.05 18.07 18.05 50 18.68 18.66 18.75 18.46 18.67 18.66 100 18.84 18.82 18.92 18.76 18.84 18.82 10.67 15.07 17.54 18.05 18.67 18.84 10.68 15.07 17.64 18.06 18.67 18.84 10.69 15.07 17.64 18.06 18.67 18.84 Hình 14 So sánh tần số dao động không thứ nguyên ω phương pháp * Hình 13 Sự ảnh hưởng tỉ số E /E phương pháp MEM so với kết giải tích Reddy Hình 15 Sai số tần số dao động không thứ nguyên ω phương pháp phương pháp p-Ritz Đồng thời, kết Hình 14 cho thấy mỏng dao động tự nhiên lớn điều hoàn toàn phù hợp với thực tế khảo sát * Đồng thời từ Hình 13 cho thấy tỉ số E /E lớn hội tụ tần số dao động tự nhiên xác lưới chia mịn phương pháp MEM cho lời giải tiến đến gần lời giải xác đưa báo Reddy (1997) [11] Vì lưới mịn phần tử 3.2.3 Khảo sát dạng dao động Trong toán này, composite laminate lớp (00/900/00) biên ngàm bốn cạnh (C-C-C-C) khảo sát Thông số vật liệu tương tự Ví dụ 3.2.1, tỉ số module E /E =40, tỉ số a/h =10 Tấm khảo sát toán có hệ lưới phần tử 15x15 Tần số dạng dao dộng so sánh với phương pháp p-Ritz [13] để chứng tỏ tính đắn MEM Bảng thể tần số dao động tự nhiên ứng với mode dao động phương pháp MEM phương pháp công bố Kết thu cho thấy kết sử dụng phương pháp MEM gần với kết p-Ritz (sai số mode 0.47%) Điều chứng tỏ tính xác MEM phân tích dao động tự Các dạng dao động với tần số dao động tự nhiên khác thể Hình 16 LỜI CẢM ƠN Nghiên cứu tài trợ Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh (ĐHQG-HCM) khuôn khổ Đề tài mã số C201520-17: “Phân tích động lực học đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phần tử 2-D chuyển động ” TÀI LIỆU THAM KHẢO Thompson WE, “Analysis of dynamic behavior of roads subject to longitudinally moving loads”, HRB, vol.39, pp 124, 1963 Kim SM, Roesset JM, “Moving loads on a plate on elastic foundation”, Journal of Engineering Mechanics, vol 124, pp 1010–1017, 1998 Wu JS, Lee ML, Lai TS, “The dynamic analysis of a flat plate under a moving load by the finite element method”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol.24, pp.743–762, 1987 Pan G, Atluri SN, “Dynamic response of finite sized elastic runways subjected to moving loads: a coupled BEM/FEM approach”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 38, pp 3143–3167, 1995 Zaman M, Taheri MR, Alvappillai A, “Dynamic response of a thick plate on viscoelastic foundation to moving loads”, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, vol 15, pp 627-647, 1991 C G Koh, J S Y Ong, D K H Chua and J Feng, “Moving element method for train-track dynamics”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 56, pp 1549–1567, 2003 C.G Koh, G.H Chiew, C.C Lim “A numerical method for moving load on contiuum”, International Journal of Mechanical Sciences, vol 300, pp 126-138, July.2006 Chen YH, Huang YH, “Dynamic stiffness of infinite Timoshenko beam on viscoelastic foundation in moving coordinate”, International Journal for Numerical Methods in Engineering 2000; 48:1-18 Tran Minh Thi, Ang Kok Keng, and Luong Van Hai (2013) Dynamic analysis of high-speed rail system on twoparameter elastic damped foundation International Conference on Advanced Computing and Applications ACOMP, 23-25/10/2013, Ho Chi Minh City , Vietnam 10 W.T Xu, J.H Lin, Y.H Zhang, D Kennedy and F.W Williams, “2D moving element method for random vibration analysis of vehicles on Kirchho plate with Kelvin foundation”, Latin American Journal of Solids and Structures 6, pp 169-183, 2009 11 Reddy JN, “Mechanics of laminated composite plates – Theory and Analysis”, New York: CRC Press, 1997 12 E Ghafoori, M Asghari “Dynamic analysis of laminated composite plates traversed by a moving mass based on a first order theory”, Composite structure, vol 92, pp 18651867, 2010 13 H H Phan Dao, H Nguyen Xuan, C Thai Hoang and T Nguyen Thoi, “An Edge-Based Smoothed Finite Element Method for Analysis of Laminated Composite Plates”, International Journal of Computational Methods, vol 10, No.1, 2013 Bảng Các tần số dao động tự nhiên biên ngàm C-CC-C (a/h =10) Modes Phương pháp MEM9 7.44 10.43 13.99 15.49 15.88 ES-DSG3 7.48 10.65 14.08 16.00 16.35 p-Ritz 7.41 10.39 13.91 15.43 15.81 Global-local theory 7.48 10.21 14.34 14.86 16.07 Galerkin method 7.45 10.45 13.99 15.53 15.90 MLSDQ 7.43 10.40 13.96 15.47 15.84 Mode Mode Mode Mode Mode Mode Hình 16 Hình dáng dạng dao động biên ngàm với a/h =10 Kết luận Trong báo việc phân tích ứng xử tĩnh dao động tự nhiên composite laminate sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM thực Thông qua kết nghiên cứu, số kết luận quan trọng rút sau:  Phương pháp MEM có tính khả thi cao việc phân tích tĩnh dao động tự kết cấu composite laminate Các kết thu từ MEM kiểm chứng với FEM kết công bố  Phương pháp MEM cho nghiệm xác hội tụ nhanh so với phương pháp FEM truyền thống hay phương pháp CS-DSG3