Ảnh hưởng biến dạng cắt ngang trong phân tích tĩnh và dao động riêng tấm composite lớp

Bài viết xây dựng lời giải giải tích để phân tích tĩnh và dao động riêng của tấm composite lớp theo các lý thuyết biến dạng cắt khác nhau: Lý thuyết tấm cổ điển (CLPT), lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT), lý thuyết tấm bậc ba với 5 ẩn số chuyển vị (HSDT-5), lý thuyết tấm bậc cao với 9 ẩn số chuyển vị (HSDT-9).

KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG ẢNH HƯỞNG BIẾN DẠNG CẮT NGANG TRONG PHÂN TÍCH TĨNH VÀ DAO ĐỘNG RIÊNG TẤM COMPOSITE LỚP Đặng Xuân Hùng1*, Trần Minh Tú2, Trần Đại Hào3 Tóm tắt: Bài báo xây dựng lời giải giải tích để phân tích tĩnh dao động riêng composite lớp theo lý thuyết biến dạng cắt khác nhau: lý thuyết cổ điển (CLPT), lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT), lý thuyết bậc ba với ẩn số chuyển vị (HSDT-5), lý thuyết bậc cao với ẩn số chuyển vị (HSDT-9) Các phương trình cân thiết lập với trường chuyển vị tổng quát dựa nguyên lý Hamilton Ảnh hưởng biến dạng cắt ngang theo lý thuyết khác đến trường chuyển vị, ứng suất tần số dao động riêng composite lớp khảo sát Từ khóa: Tấm composite lớp; phân tích tĩnh; dao động riêng; lý thuyết The effect of transverse shear deformation on the static and free vibration analysis of laminated composite plates Abstract: In this paper, the analytical solution for static and free vibration analysis of laminated composite plates is developed by various shear deformation theories including: classical laminated plate theory (CLPT), first-order shear deformation theory (FSDT), third-order shear deformation theory (HSDT-5), high order shear deformation theory (HSDT-9) The equations of motion are derived by Hamilton’s principle based on the generalized displacement field The effect of transverse shear deformation of diffirent plate theories on the displacement, stress and natural frequency of laminated composite plates is investigated Keywords: Laminated composite plate; static analysis; free vibration, plate theories Nhận ngày 10/05/2017; sửa xong 15/06/2017; chấp nhận đăng 26/9/2017 Received: May 10th, 2017; revised: June 15th, 2017; accepted: September 26th, 2017 Giới thiệu Vật liệu composite sử dụng ngày rộng rãi nhiều lĩnh vực: giao thơng vận tải, xây dựng dân dụng, cơng nghiệp đóng tàu, sản xuất máy bay… có nhiều ưu điểm trội so với vật liệu truyền thống Loại vật liệu lựa chọn lý tưởng cho kết cấu đòi hỏi có độ cứng, độ bền cao, khả chống ơxi hóa, trọng lượng nhẹ, Các nghiên cứu ứng xử học vật liệu kết cấu composite thu hút quan tâm nhà khoa học ngồi nước phục vụ cơng tác tính tốn, thiết kế, bảo trì sửa chữa Nhiều lý thuyết đề xuất ứng dụng phân tích tĩnh động kết cấu vật liệu đẳng hướng sau mở rộng cho composite lớp Một số nghiên cứu tổng quan lý thuyết composite lớp trình bày [1-3] Lý thuyết cổ điển [4] đề xuất vào đầu kỷ XIX bỏ qua biến dạng cắt ngang áp dụng cho mỏng Wang cộng [5] sử dụng lý thuyết cổ điển để phân tích tính chất học composite TC4-6061 Raju Wang [6] mô hình hóa composite sợi vải tổng hợp lý thuyết cổ điển… Do bỏ qua biến dạng cắt ngang nên lý thuyết cổ điển không phù hợp tính tốn có độ dày trung bình dày Để khắc phục giới hạn lý thuyết cổ điển, Reissner [7] Mindlin [8] đề xuất lý thuyết biến dạng cắt bậc Lý thuyết Sky [9] sử dụng phân tích ứng xử uốn composite lớp Bruno cộng [10] kiểm tra bền composite lớp chịu uốn theo thuyết bền phá hủy lớp Do không phản ánh qui luật phân bố dạng parabol thực tế ứng suất cắt ngang theo phương chiều dày nên lý thuyết cần sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt tính TS, Khoa Xây dựng DD & CN, Trường Đại học Xây dựng PGS.TS, Khoa Xây dựng DD & CN, Trường Đại học Xây dựng NCS, Khoa Xây dựng DD & CN, Trường Đại học Xây dựng * Tác giả E-mail: dangxuanhung@gmail.com 76 TẬP 11 SỐ 09 - 2017 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG toán Whitney [11] xác định hệ số hiệu chỉnh cắt xác trực hướng tác động tĩnh tải… Việc xác định hệ số hiệu chỉnh cắt phức tạp hệ số phụ thuộc vào cấu hình vật liệu, điều kiện biên, tính chất tải trọng,… Để khắc phục nhược điểm này, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao phát triển sở đưa toán ba chiều toán hai chiều cách gần cách khai triển chuỗi Taylor trường chuyển vị điểm theo tọa độ chiều dày Lời giải đàn hồi cho thấy biến thiên ứng suất phương chiều dày có dạng parabol thành phần chuyển vị màng phải biểu diễn hàm bậc ba theo tọa độ chiều dày Thành phần độ võng giả thiết số theo tọa độ chiều dày, biến dạng dài theo phương chiều dày không đổi Pandya Kant [12] sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao ẩn số chuyển vị (HSDT-9) xây dựng mơ hình phần tử hữu hạn phân tích ứng suất composite lớp chịu uốn Xuất phát từ lý thuyết biến dạng cắt bậc cao ẩn số chuyển vị, Reddy [13] đưa thêm điều kiện ứng suất phương chiều dày không mặt để nhận lý thuyết bậc cao đơn giản với ẩn số chuyển vị (HSDT-5) Kant Swaminathan [14] thiết lập lời giải giải tích để phân tích tĩnh composite sandwich lại sử dụng lý thuyết thuyết biến dạng cắt bậc cao đầy đủ với 12 ẩn chuyển vị Bài báo sử dụng mơ hình trường chuyển vị tổng qt Reddy [1] để phân tích trường chuyển vị, ứng suất tần số dao động riêng chữ nhật composite lớp tựa khớp chu tuyến Ảnh hưởng biến dạng cắt ngang theo lý thuyết khác phân tích thơng qua khảo sát số, giới hạn áp dụng lý thuyết đề cập Cơ sở lý thuyết 2.1 Hệ phương trình Hình Mơ hình composite lớp Hình thể composite lớp gồm n lớp, đánh số thứ tự từ xuống Mặt trung bình chọn mặt phẳng Oxy trục Oz hướng theo chiều tăng số thứ tự lớp Mỗi lớp thứ k xác định tọa độ mặt zk+1 mặt zk theo phương z 2.1.1 Trường chuyển vị Trường chuyển vị composite giả thiết dạng tổng quát sau [1]: (1) đó: u0, v0, w0 thành phần chuyển vị điểm mặt trung bình theo phương; θx, θy góc xoay đoạn thẳng pháp tuyến mặt trung bình điểm xét quanh hai trục y, x φx, φy, ψx, ψy thành phần chuyển vị góc xoay bậc cao Với lý thuyết bậc cao rút gọn Reddy (HSDT-5): Giá trị cụ thể số α1, α2, α3, α4 theo lý thuyết khác cho Bảng 2.1.2 Trường biến dạng Trường biến dạng xác định từ quan hệ chuyển vị - biến dạng viết dạng sau: TẬP 11 SỐ 09 - 2017 77 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG Bảng Bảng số α1, α2, α3, α4 theo lý thuyết α1 α2 α3 α4 Lý thuyết cổ điển (CLPT) -1 0 Lý thuyết bậc (FSDT) 0 Lý thuyết bậc cao ẩn chuyển vị (HSDT-5) 1 Lý thuyết bậc cao ẩn chuyển vị (HSDT-9) 1 Lý thuyết (2) đó: 2.1.3 Trường ứng suất Trường ứng suất lớp thứ k xác định theo quan hệ ứng suất - biến dạng sau [15]: Với (3) trình bày chi tiết [15] Các thành phần ứng lực định nghĩa theo biểu thức (4): (4) 2.1.4 Phương trình quan hệ nội lực - biến dạng Từ phương trình (2), (3) (4) ta thu mối quan hệ thành phần ứng lực - biến dạng: 78 TẬP 11 SỐ 09 - 2017 (5) KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG đó: 2.1.5 Hệ phương trình chuyển động Hệ phương trình chuyển động nhận dựa nguyên lý Hamilton [15] có dạng: (6) đó: Biểu diễn thành phần ứng lực qua thành phần biến dạng theo (5), thành phần biến dạng qua chuyển vị theo (2) ta nhận hệ phương trình chuyển động theo chuyển vị 2.2 Lời giải Navier Xét composite lớp hình chữ nhật bốn biên tựa khớp có chiều dài a chiều rộng b Điều kiện biên cho cấu hình vật liệu khác có dạng: + Tấm composite lớp cấu hình vng góc (cross-ply) [14]: (7) (8) + Tấm composite lớp cấu hình xiên góc (angle-ply) [16]: Hệ phương trình chuyển động theo chuyển vị xuất phát từ (6) phương trình tuyến tính nên ta giả thiết thành phần chuyển vị theo dạng chuỗi lượng giác kép thỏa mãn điều kiện biên (7) (8): + Tấm composite lớp cấu hình vng góc: (9) TẬP 11 SỐ 09 - 2017 79 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG + Tấm composite lớp cấu hình xiên góc: (10) với: Tải trọng phân bố vng góc với bề mặt khai triển dạng chuỗi lượng giác kép: (11) Thay phương trình (7), (9) (8), (10) vào hệ phương trình chuyển động theo chuyển vị ta nhận hệ phương trình: (12) đó: - Với tốn tĩnh, đặt tần số góc dao động ω = 0, phương trình (12) trở thành: (13) - Với toán dao động riêng, đặt thành phần tải trọng qmn = 0, phương trình (12) trở thành: (14) Kết số 3.1 Phân tích tĩnh Xét chữ nhật composite lớp (b = 3a) cấu hình đối xứng vng góc [0o/90o/0o] phản xứng xiên góc [-30o/30o], chiều dày lớp nhau, chịu tải trọng phân bố dạng hình sin Các thơng số vật liệu composite sau: Cấu hình đối xứng vng góc: E1 = 175 GPa; E2 = GPa; G12 = G13 = 3.5 GPa; G23 = 1.4 GPa; υ12 = υ13 = 0.25 [17] Cấu hình phản xứng xiên góc: E1 = 276 GPa; E2 = 6.895 GPa; G12 = G13 = 3.45 GPa; G23 = 4.12 GPa; υ12 = υ13 = 0.25 [16] Độ võng ứng suất khơng thứ ngun tính theo cơng thức sau: Độ võng thành phần ứng suất không thứ ngun tính theo lý thuyết khác trình bày Bảng cấu hình đối xứng vng góc Bảng cấu hình phản xứng xiên góc Kết so sánh với lời giải xác theo lý thuyết đàn hồi ba chiều Pagano [17] đối xứng vuông góc với Swaminathan [16] phản xứng xiên góc theo lý thuyết ẩn số chuyển vị Hình biểu diễn biến thiên độ võng thành phần ứng suất không thứ nguyên theo tỉ số kích thước/chiều dày (a/h) 80 TẬP 11 SỐ 09 - 2017 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG Bảng Độ võng ứng suất không thứ nguyên composite lớp [0o/90o/0o] a/h Lý thuyết w σxx σyy τxy τxz τyz CLPT FSDT HSDT-5 HSDT-9 3D[17] 0.5034 2.3626 2.6411 2.6484 2.8200 0.6233 0.6130 1.0359 1.0811 1.1400 0.0251 0.0934 0.1028 0.1039 0.1190 0.0083 0.0205 0.0263 0.0263 0.0281 0.1879 0.2724 0.2791 0.3510 0.0308 0.0348 0.0324 0.0334 10 CLPT FSDT HSDT-5 HSDT-9 3D[17] 0.5034 0.8030 0.8622 0.8690 0.9190 0.6233 0.6214 0.6924 0.7122 0.7260 0.0251 0.0375 0.0398 0.0401 0.0418 0.0083 0.0105 0.0115 0.0117 0.0120 0.1894 0.2859 0.3066 0.4200 0.0159 0.0170 0.0159 0.0152 100 CLPT FSDT HSDT-5 HSDT-9 3D[17] 0.5034 0.5064 0.5070 0.5071 0.5080 0.6233 0.6233 0.6240 0.6242 0.6240 0.0251 0.0253 0.0253 0.0253 0.0253 0.0083 0.0083 0.0083 0.0083 0.0083 0.1897 0.2886 0.3132 0.4390 0.0127 0.0129 0.0121 0.0108 Bảng Độ võng ứng suất không thứ nguyên composite lớp [-30o/30o] a/h Lý thuyết w σxx σyy τxy τxz τyz CLPT FSDT HSDT-5 HSDT-9 3D[17] 1.3136 2.6093 2.3752 2.6980 2.6980 0.8637 0.8552 1.0475 0.9155 1.1889 0.2780 0.2767 0.3204 0.2946 0.3872 -0.1804 -0.1942 -0.2304 -0.1271 -0.1271 0.3473 0.3883 0.3705 - 0.1041 0.1155 0.0972 - 10 CLPT FSDT HSDT-5 HSDT-9 3D[17] 1.3136 1.5211 1.4872 1.5388 1.5388 0.8637 0.8620 0.8935 0.8727 0.9193 0.2780 0.2778 0.2882 0.2808 0.2966 -0.1804 -0.1831 -0.1889 -0.1676 -0.1676 0.3486 0.3881 0.3680 - 0.1000 0.1131 0.1018 - 100 CLPT FSDT HSDT-5 HSDT-9 3D[17] 1.3136 1.3157 1.3154 1.3159 1.3163 0.8637 0.8636 0.8640 0.8637 0.8641 0.2780 0.2780 0.2781 0.2780 0.2782 -0.1804 -0.1805 -0.1805 -0.1803 -0.1803 0.3490 0.4000 0.3669 - 0.0990 0.1124 0.1037 - Kết Bảng Hình phản ánh ứng xử học composite lớp: có chiều dày trung bình dày với cấu hình đối xứng vng góc, lời giải theo lý thuyết bậc cao sát với lời giải theo lý thuyết đàn hồi ba chiều Ứng suất cắt ngang có chênh lệch đáng kể lý thuyết bậc cao bậc Kết Bảng Hình cho thấy qui luật tương tự composite lớp cấu hình phản xứng xiên góc: lời giải theo lý thuyết bậc cao (HSDT-9) sát với lời giải theo lý thuyết bậc cao ẩn Swaminathan Với có chiều dày trung bình dày, lời giải theo lý thuyết cổ điển có sai số lớn với lý thuyết khác Sự sai khác giá trị độ võng thành phần ứng suất, đặc biệt ứng suất phương chiều dày chiều dày tăng lên lý giải ảnh hưởng rõ rệt biến dạng cắt ngang lý thuyết đề xuất 3.2 Phân tích dao động riêng Xét chữ nhật composite lớp (b = 3a) cấu hình đối xứng vng góc [0o/90o/0o] phản xứng xiên góc [-45o/45o]5, chiều dày lớp Các thông số vật liệu composite sau: Cấu hình đối xứng vng góc: TẬP 11 SỐ 09 - 2017 81 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG E1 = 175 GPa; G12 = G13 = 0.6 E2; G23 = 0.5 E2; υ12 = υ13 = 0.25; a/h = [18] Cấu hình đối xứng xiên góc: E1 = 175 GPa; E2 = E1/15; G12 = G13 = 0.5 E2; G23 = 0.35 E2; υ12 = 0.23 [19] Tần số dao động riêng không thứ nguyên tính theo cơng thức: Tần số dao động riêng khơng thứ ngun tính theo lý thuyết khác trình bày Bảng với cấu hình đối xứng vng góc Bảng với cấu hình đối xứng xiên góc Kết so sánh với lời giải xác theo lý thuyết đàn hồi ba chiều Noor [18] đối xứng vng góc với Burton [19] phản xứng xiên góc Hình Biến thiên độ võng, ứng suất không thứ nguyên theo tỷ số a/h composite lớp cấu hình đối xứng vng góc [0o/90o/0o] Hình Biến thiên độ võng, ứng suất không thứ nguyên theo tỷ số (a/h) composite lớp cấu hình phản xứng xiên góc [-30o/30o] 82 TẬP 11 SỐ 09 - 2017 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG Kết Bảng Bảng cho thấy tần số dao động riêng khơng thứ ngun tính theo lý thuyết biến dạng cắt so với lời giải lý thuyết đàn hồi có sai lệch bé (< 5%) dày dày trung bình Tần số dao động riêng khơng thứ ngun tính theo lý thuyết cổ điển có sai số lớn với lời giải lý thuyết đàn hồi Biến thiên tần số dao động riêng không thứ nguyên theo tỉ số a/h biểu diễn đồ thị Hình 4a cấu hình đối xứng vng góc Hình 4b cấu hình phản xứng xiên góc Quan sát đồ thị Hình 4a 4b ta thấy a/h tăng tần số góc ω giảm; ω giảm nhanh khoảng a/h ≤ 20 giảm chậm dần a/h ≥ 20 Khi tỷ số a/h ≥ 10, sai lệch kết lý thuyết khơng đáng kể Kết tính tần số dao động riêng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao ẩn chuyển vị gần với kết tính theo lý thuyết đàn hồi 3D Khi dày ảnh hưởng biến dạng cắt ngang, sai lệch lý thuyết đáng kể Bảng Tần số không thứ nguyên composite lớp [0o/90o/0o] Lý thuyết CLPT FSDT HSDT-5 HSDT-9 3D [18] E1 / E2 10 20 30 10 2.929 2.618 2.564 2.621 2.647 4.126 3.244 3.186 3.261 3.284 5.404 3.661 3.611 3.694 3.834 6.4333 3.892 3.853 3.939 4.108 7.320 4.046 4.017 4.105 4.301 Bảng Tần số không thứ nguyên composite lớp [-45o/45o]5 a/h Lý Thuyết 10 100 CLPT FSDT HSDT-5 HSDT-9 3D [19] 0.7854 0.5485 0.5485 0.5607 0.5400 0.6186 0.4052 0.4052 0.4297 0.3993 0.1585 0.1361 0.1361 0.1402 0.1351 0.0016 0.0016 0.0016 0.0016 0.00159 a) Cấu hình đối xứng vng góc b) Cấu hình phản xứng xiên góc Hình Biến thiên tần số không thứ nguyên theo tỷ số a/h Kết luận Bài báo thiết lập lời giải giải tích để phân tích độ võng, trường ứng suất dao động riêng composite lớp cấu hình đối xứng vng góc phản xứng xiên góc theo lý thuyết biến dạng cắt khác Các hệ thức phương trình chủ đạo xây dựng sở trường chuyển vị tổng quát cho tất lý thuyết Ảnh hưởng biến dạng cắt ngang thể qua lý thuyết biến dạng cắt khác khảo sát so sánh với lý thuyết đàn hồi 3D TẬP 11 SỐ 09 - 2017 83 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG Thông qua việc khảo sát số trường chuyển vị, ứng suất tần số dao động riêng composite lớp theo lý thuyết khác lần khẳng định phạm vi áp dụng lý thuyết trình bày tài liệu chuyên khảo Với composite lớp, ảnh hưởng cấu biến dạng cắt ngang đến trường chuyển vị, ứng suất tần số dao động riêng đáng kể cần ý tính tốn, thiết kế Tài liệu tham khảo Reddy J (1989), "On the generalization of displacement-based laminate theories", Appl Mech Rev, 42(11):213-222 Barbero E., Reddy J., Teply J (1990), "An accurate determination of stresses in thick laminates using a generalized plate theory", International Journal for Numerical Methods in Engineering, 29(1):1-14 Fares M., Zenkour A (1999), "Buckling and free vibration of non-homogeneous composite cross-ply laminated plates with various plate theories", Composite structures, 44(4):279-287 Timoshenko S., Woinowsky-Krieger S (1959), Theory of plates and shells Wang Q., Liang L., Peng C (2014), "Analysis of the mechanical properties of TC4-6061 composite plate based on classical laminate theory", Applied Mechanics & Materials, 724 Raju I.S., Wang J.T (1994), "Classical laminate theory models for woven fabric composites", Journal of Composites, Technology and Research, 16(4):289-303 Reissner E (1945), The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates Mindlin R (1951), "Influence of rotary inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates" Sky Y.S (1961), "Bending and stretching of laminated aeolotropic plates", Journal of the Engineering Mechanics Division, 87(6):31-56 10 Bruno D., Spadea G., Zinno R (1993), "First-ply failure of laminated composite plates", Theoretical and applied fracture mechanics, 19(1):29-48 11 Whitney J (1973), "Shear correction factors for orthotropic laminates under static load", Journal of Applied Mechanics, 40(1):302-304 12 Pandya B., Kant T (1988), "Finite element analysis of laminated composite plates using a higher-order displacement model", Composites Science and Technology, 32(2):137-155 13 Reddy J (1984), "A refined nonlinear theory of plates with transverse shear deformation", International Journal of solids and structures, 20(9-10):881-896 14 Kant T., Swaminathan K (2002), "Analytical solutions for the static analysis of laminated composite and sandwich plates based on a higher order refined theory", Composite structures, 56(4):329-344 15 Reddy J.N (2004), Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis, CRC press 16 Swaminathan K., Ragounadin D (2004), "Analytical solutions using a higher-order refined theory for the static analysis of antisymmetric angle-ply composite and sandwich plates", Composite Structures, 64(3):405-417 17 Pagano N (1970), "Exact solutions for rectangular bidirectional composites and sandwich plates: Journal of Composite Materials", Composites 4:20-34 18 Noor A.K (1973), "Free vibrations of multilayered composite plates", AIAA journal, 11(7):1038-1039 19 Burton W.S (1990), "Three-dimensional solutions for antisymmetrically laminated anisotropic plates", Journal of applied mechanics, 57:182-188 84 TẬP 11 SỐ 09 - 2017 ... tích trường chuyển vị, ứng suất tần số dao động riêng chữ nhật composite lớp tựa khớp chu tuyến Ảnh hưởng biến dạng cắt ngang theo lý thuyết khác phân tích thơng qua khảo sát số, giới hạn áp... phương chiều dày chiều dày tăng lên lý giải ảnh hưởng rõ rệt biến dạng cắt ngang lý thuyết đề xuất 3.2 Phân tích dao động riêng Xét chữ nhật composite lớp (b = 3a) cấu hình đối xứng vng góc [0o/90o/0o]... khơng đáng kể Kết tính tần số dao động riêng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao ẩn chuyển vị gần với kết tính theo lý thuyết đàn hồi 3D Khi dày ảnh hưởng biến dạng cắt ngang, sai lệch lý thuyết