Bài viết này trình bày lời giải giải tích cho bài toán dao động riêng của vỏ trụ tròn làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) có gân gia cường trực giao, có biên tựa khớp ở hai đầu vỏ. Trong đó, tính chất vật liệu được giả thiết là biến thiên theo phương chiều dầy của vỏ theo quy luật hàm lũy thừa. Mục đích chính của nghiên cứu này là trình bày một phương pháp đơn giản để giải bài toán dao động riêng vỏ trụ tròn FGM có gân gia cường.
Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng NUCE 2018 12 (6): 20–28 PHÂN TÍCH TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA VỎ TRỤ TRỊN LÀM BẰNG VẬT LIỆU CĨ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CĨ GÂN GIA CƯỜNG Nguyễn Văn Lợia,∗, Trần Bình Địnha , Chu Thanh Bìnha a Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng, 55 đường Giải Phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam Nhận ngày 29/06/2018, Sửa xong 18/07/2018, Chấp nhận đăng 28/09/2018 Tóm tắt Bài báo trình bày lời giải giải tích cho tốn dao động riêng vỏ trụ tròn làm vật liệu có tính biến thiên (FGM) có gân gia cường trực giao, có biên tựa khớp hai đầu vỏ Trong đó, tính chất vật liệu giả thiết biến thiên theo phương chiều dầy vỏ theo quy luật hàm lũy thừa Mục đích nghiên cứu trình bày phương pháp đơn giản để giải tốn dao động riêng vỏ trụ tròn FGM có gân gia cường Hơn nữa, kết cấu có tính ứng dụng cao, nhiên có nghiên cứu liên quan đến dao động riêng vỏ trụ tròn có gân gia cường trực giao, nghiên cứu loại kết cấu cần thiết Dựa lý thuyết vỏ Love, kỹ thuật san tác dụng gân, với việc áp dụng nguyên lý Hamilton, phương trình chuyển động vỏ trụ tròn FGM có gân gia cường thiết lập Kế tiếp, lời giải Navier sử dụng để giải toán dao động tự vỏ trụ tròn FGM có gia cường biên tựa khớp Ngoài ra, báo, số ảnh hưởng tham số số tỷ lệ thể tích vật liệu, kích thước gân, tỷ số chiều dài bán kính vỏ tỷ số chiều dầy bán kính vỏ khảo sát Cuối cùng, số nhận xét hữu ích cho chủ đề liên quan đến kết cấu vỏ trụ tròn FGM gia cường đưa Từ khoá: phân tích dao động riêng; vỏ trụ tròn FGM có gân; lý thuyết vỏ Love FREE VIBRATION ANALYSIS OF FUNCTIONALLY GRADED CYLINDRICAL SHELL WITH STIFFENERS Abstract In this study, an analytical solution for the free vibration of orthogonally stiffened functionally graded circular cylindrical shell with the simply supported boundary conditions at both of ends is presented Here, the material properties are assumed to be graded in the thickness direction of shell according to the simple power-law distribution The purpose of this study is to show a simple approach in solving the problem on free vibration of the stiffened FG cylindrical shell Moreover, despite the high applicability of this structure, there are also very few researches related to the stiffened FG cylindrical shell with orthogonal stiffeners, so the study on this type of structure is essential Based on Love’s shell theory, the smearing stiffener technique, by applying the Hamilton’s principle, the motion equation of stiffened FG cylindrical shell is developed Next, Navier’s solution is also used to solve the problem on the free vibration of simply supported stiffened FG cylindrical shell Besides, in this paper, the influences of parameters such as power-law index, the dimension of stiffeners, the shell’s length – to – radius ratio and the shell’s height – to – radius ratio on the natural fundamental frequency of stiffened FG circular cylindrical shell are investigated Finally, some useful comments for the relevant subjects on the stiffened FG circular cylindrical shells are also given Keywords: free vibration analysis; stiffened FG cylindrical shell, Love’s shell theory https://doi.org/10.31814/stce.nuce2018-12(6)-03 c 2018 Trường Đại học Xây dựng (NUCE) ∗ Tác giả Địa e-mail: loinv@nuce.edu.vn (Lợi, N V.) 20 Lợi, N V cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Giới thiệu Kết cấu dạng tấm, vỏ dạng kết cấu quan trọng kỹ thuật, đặc biệt lĩnh vực như: cơng trình dân dụng, cơng nghiệp, hàng khơng, vũ trụ, đóng tàu, Tính tốn kết cấu dạng ln chiếm nhiều quan tâm nhà khoa học ngồi nước Cho đến có nhiều nghiên cứu dao động vỏ công bố Các nghiên cứu chuyên sâu dao động vỏ vật liệu đẳng hướng, tìm thấy tài liệu [1, 2] Có thể thấy, loạt nghiên cứu dao động vỏ trụ không gân gia cường nhiều tác giả công bố, chẳng hạn cơng trình nghiên cứu [3–6] Các nghiên cứu vỏ trụ tròn đẳng hướng có gân gia cường tìm thấy cơng bố [7–11] Ở giai đoạn sau, vật liệu có tính biến thiên (FGM) ứng dụng, dao động vỏ trụ tròn làm loại vật liệu FGM tiếp tục dành quan tâm lớn nhà nghiên cứu Đáng ý tác giả [12, 13], họ cơng bố cơng trình nghiên cứu vỏ trụ tròn làm vật liệu FGM sớm Những năm gần đây, có số tác giả cơng bố báo vỏ trụ tròn làm vật liệu FGM có gân gia cường vòng tác giả [14, 15] Một hướng phân tích dao động vỏ trụ tròn FGM có gân gia cường quay nghiên cứu [16–18] Trong báo này, tác giả tập trung vào phân tích dao động vỏ trụ tròn FGM có gân gia cường trực giao (cả gân vòng dọc) việc sử dụng kỹ thuật san tác dụng gân Lekhnitskii, áp dụng lời giải Navier cho toán vỏ trụ tròn có biên tựa khớp hai đầu Trên sở đó, tác giả so sánh kết báo với số cơng bố khác ngồi tác giả tiến hành khảo sát ảnh hưởng số thể tích vật liệu số tham số kích thước vỏ, gân đến tần số dao động vỏ Cơ sở lý thuyết Xét vỏ trụ tròn có bán kính R, chiều dày h, chiều dài L với hệ tọa độ trụ (x, θ, z) làm vật liệu có tính biên thiên gia cường gân vòng gân dọc Hình Kích thước khoảng cách gân dọc ký hiệu số s, gân vòng ký hiệu số r Chiều cao bề rộng gân dọc (hoặc vòng) ký hiệu h s (hoặc hr ) b s (hoặc br ) Khoảng cách gân dọc gân vòng s s sr Mô đun đàn hồi, khối lượng riêng, hệ số Poisson vỏ FGM giả thiết biến thiên theo qui luật hàm lũy thừa sau [13]: p z + E2 + h p z ρ(z) = (ρ1 − ρ2 ) + + ρ2 h p z ν(z) = (ν1 − ν2 ) + + ν2 h E(z) = (E1 − E2 ) (1) p số tỉ lệ thể tích; E1 , ρ1 , ν1 : mô đun đàn hồi, khối lượng riêng hệ số Poisson vật liệu mặt vỏ E2 , ρ2 , ν2 : mô đun đàn hồi, khối lượng riêng hệ số Poisson vật liệu mặt vỏ Theo lý thuyết vỏ Love, tài liệu [6], trường biến dạng sau: ε0x εx κx εθ κθ = + z (2) εθ γ γ0 κ xθ xθ 21 xθ Journal of Science and Technology in Civil Engineering NUCE 2018 13(5):1-16 x x x 0 = + z x x Lợi, N.V.xvà cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (2) Hình Hệ tọa độ dạng hình học vỏ trụ tròn FGM có gân gia cường Hình Hệ tọa độ dạng hình học vỏ trụ tròn FGM có gân gia cường ∂u0 ∂2 w02 ∂v ∂2 w ∂v ∂v0 ;wε0θ =0 v00 + w0 ; κθ = −1 w0 0−v0 ; γ0xθ = + ; κxu0= − 2 x = ; x =∂x − ; =R ∂θ + w0 ; = − 2R ∂θ − ∂x ∂x ∂θ x x R R ∂u0 ∂2 w0 ∂v0 ; κ xθ = − ; với u0 , 2v0 , w0 chuyển vị điểm mặt trung bình vỏ R ∂θ R v0∂x∂θ u ∂x w0 v0 x0 vật = liệu + FGM,0 ;ta xcó − ; −quan Đối với x R R hệ x ứng suất x - biến dạng: Q11 Q εx σ x điểm trên 12 bình với u0 ,v0 ,w0 chuyển vị mặt trung vỏ σ Q Q ε = (3) θ 12 22 θ σ tacó quan0hệ ứng Đối với vật liệu FGM, suấtQ-66biến dạng: γ xθ xθ x x Q1 Q1 E(z) ν(z)E(z) E(z) E(z) ; Q66 = = G(z) (3) Q11 = =2 Q1; 2Q22Q2=2 2 ; Q12 = [1 + ν(z)] − ν (z) − ν (z) 1 −ν (z) Q6 x x 0tác dụng Dựa kỹ thuật san gân Lekhnitskii, bỏ qua thành phần xoắn gân, ta đạt biểu thức thành phần ứng lực vỏz trụ gia sau, E( z ) E( ) tròn có (gân z )E( z )cường nhưE( z ) theo [16, 19, 20]: Q1 = ;Q2 = ;Q1 = ;Q6 = = G( z ) 2 − ( z ) 1 − ( z ) 1 + ( z ) 1 − ( z ) εx κx Nx B B A11 A12 gân phần xoắn 11 bỏ12qua thành trên kỹ thuật Lekhnitskii, Dựa san tác dụng κ A A B B N (4) + = ε θ θ 12 22 12 22 θ Nta đạt được0biểu thức gân, chúng thành phần ứng lực vỏ trụ tròn có gân gia A 0 B κ γ ε0x = xθ cường sau, theo [16, 19, 20]: A' x x NM 1' NMθ = A= M N xθ x 66 66 xθ ' BA11 B B1'ε1 x 12 12 x ' ' B022 00 + BA12 B1ε2 θ 22 γ0 00 A0' B066 6 x xθ xθ κx κθ κ xθ ' 0D D B 12 x 1' 11 D D + B 22 2 12 ' 0 0 B6 x 0 D66 E s Aszs ; ss D11 = D11 + A11 = A11 + E s As ; ss A12 = A12 ; A22 = A22 + A66 = A66 ; B11 = B11 + B12 = B12 ; E r Ar ; sr B22 = B22 + B66 = B66 ; 22 E s Is ss D12 = D12 Er Ar zr ; sr D22 = D22 + D66 = D66 E r Ir sr (4) (5) Lợi, N V cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng h/2 h/2 E(z) dz; B11 = B22 = − ν2 (z) A11 = A22 = −h/2 h/2 A12 = ν(z)E(z) dz; − ν2 (z) −h/2 h/2 B12 = h/2 −h/2 ν(z)E(z) zdz; − ν2 (z) D12 = B66 = −h/2 ν(z)E(z) z dz − ν2 (z) −h/2 h/2 E(z) dz; [1 + ν(z)] E(z) z dz − ν2 (z) −h/2 h/2 −h/2 −h/2 A66 = h/2 E(z) zdz; D11 = D22 = − ν2 (z) h/2 E(z) zdz; [1 + ν(z)] D66 = −h/2 E(z) z2 dz [1 + ν(z)] b s h3s br h3r hr + h hs + h + A s z2s ; Ir = + Ar z2r ; z s = ± ; zr = ± 12 12 2 đây, khoảng cách từ mặt trung bình vỏ đến trọng tâm gân dọc gân vòng tương ứng z s zr Diện tích mặt cắt ngang gân dọc gân vòng tương ứng A s Ar Mô đun đàn hồi, mô đun đàn hồi trượt gần dọc gân vòng E s , G s Er , Gr Phương trình chuyển động vỏ trụ tròn biểu diễn theo thành phần ứng lực, theo [6], có dạng: Is = ∂2 u0 ∂N x ∂N xθ + = J0 ∂x R ∂θ ∂t ∂N xθ ∂Nθ ∂M xθ ∂Mθ ∂ v0 + + + = J0 ∂x R ∂θ R ∂x R ∂θ ∂t 2 2 ∂ M x ∂ M xθ ∂ Mθ Nθ ∂ w0 + + − = J0 2 R ∂x∂θ R ∂x R ∂θ ∂t ρ1 − ρ2 ρ s A s ρr A r đó, mơ men qn tính J0 = ρ2 + h+ + p+1 ss sr (6) Lời giải giải tích Thế phương trình (4)–(5) với biểu thức phương trình (2)–(3) vào phương trình (6) ta phương trình chuyển động vỏ viết theo thành phần chuyển vị: u L11 L12 L13 L21 L22 L23 v (7) = L L L w 31 32 33 đây, toán tử Li j toán tử vi phân biến x, θ, t Trong báo này, tác giả tiến hành phân tích dao động vỏ trụ tròn có biên tựa khớp hai đầu, điều kiện biên có dạng: v = w = N x = M x = 0| x=0,L (8) Để phân tích dao động vỏ trụ tròn thỏa mãn điều kiện biên (8) nêu trên, theo [12], ta chọn trường chuyển vị có dạng: mπx u (x, θ, t) = Amn cos cos (nθ) cos (ωt) L mπx v (x, θ, t) = Bmn sin sin (nθ) cos (ωt) (9) L mπx w (x, θ, t) = Cmn sin cos (nθ) cos (ωt) L 23 Lợi, N V cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Amn , Bmn , Cmn biên độ chuyển vị theo phương; m n số nguyên tương ứng số sóng theo phương dọc trục phương vòng Để giải tần số dao động vỏ trụ tròn, ta trường chuyển vị (9) vào phương trình (7), kết đạt viết dạng ma trận sau: ([K]3×3 − ω2 [M]3×3 ){∆}3×1 = {0} (10) {∆}3×1 = {umn , vmn , wmn }T , hệ số Ki j Mi j xác định phần mềm MATLAB Giải toán trị riêng hệ (10) ta tìm tần số dao động riêng ωmn dạng dao động tương ứng {∆} Kết số thảo luận Trong ví dụ kiểm chứng khảo sát sau đây, kích thước hình học thuộc tính vật liệu vỏ gân cho theo Bảng Bảng Thơng số vật liệu kích thước hình học vỏ trụ tròn có gân gia cường Thuộc tính Loại gân Kích thước Gân dọc Gân vòng Gân dọc Gân vòng/dọc Khơng gân gia cường Gân vòng/dọc Mơ hình M1 M2 M3 M4 M5 M6 Số gân 60 19 04 13/20 05/05 (15/15) Bán kính vỏ (m) 0,242 0,49759 0,1945 0,203 0,2 Chiều dầy vỏ (m) 6,50E-04 1,65E-03 4,64E-04 2,04E-03 0,05 0,002 Chiều dài vỏ (m) 0,6096 0,3945 0,9868 0,813 20 Chiều cao gân (m) 0,00702 0,005334 0,0101 0,006/0,006 0,006/0,006 Bề rộng gân (m) 0,002554 0,003175 0,00104 0,004/0,008 0,002/0,002 E (N/m2 ) 6,9E+10 6,9E+10 2,00E+11 2,07E+11 2,00E+11 ν 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 ρ kg/m3 2714 2762 7770 7430 5700 E1 N/m2 2,07788E+11 2,00E+11 ν1 0,317756 0,3 ρ1 (kg/m3 ) 8166 5700 E2 (N/m2 ) 2,05098E+11 7,0E+10 ν2 0,31 0,3 ρ2 (kg/m ) 8900 2702 Kiểu gia cường Gân Gân Gân Gân Gân 4.1 Kiểm chứng kết Thứ nhất, để kiểm chứng vỏ trụ tròn đẳng hướng có gân, tác giả tiến hành so sánh kết báo với kết nhóm tác giả [10] với thơng số vật liệu mơ hình M1, M2, M3 M4 theo Bảng Kết so sánh trình bày Bảng 2, ta thấy sai lệch lớn tần số dao động riêng kết báo với nhóm tác giả [10] 1,97% mơ hình M3 với (m, n) = (1, 4) 24 Lợi, N V cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Bảng Tần số dao động vỏ trụ tròn đẳng hướng có gân gia cường Số mode Tần số dao động riêng (Hz) M1 (gân dọc) Tác giả Sai số % M2 (gân vòng) Tác giả m n [10] [10] 1 1141 1143,1 0,19 1204 1225,4 674 672,3 0,25 1587 1596,7 427 425,3 0,39 4462 4476,2 296 294,5 0,50 8559 8593,7 225 223,3 0,77 13780 13874,3 M3 (gân dọc) Sai số % [10] 1,78 778 0,61 317 0,32 159 0,41 99,6 0,68 91,5 M4 (gân trực giao) Tác giả Sai số % [10] Tác giả Sai số % 778,1 317,2 159,3 101,6 91,4 0,01 0,07 0,20 1,97 0,14 942 439 337 482 740 936,3 436,8 331,0 477,5 739,7 0,61 0,50 1,79 0,94 0,03 Tiếp theo, tác giả so sánh tần số vỏ trụ tròn khơng gân gia cường làm vật liệu có tính biến thiên FGM, mơ hình M5, với kết nhóm tác giả [12] Kết đạt tốt (sai số lớn 0,27%, trường hợp p = 30), thể Bảng Bảng Tần số dao động vỏ trụ tròn FGM khơng gân Tần số dao động riêng (Hz) Số mode p=0 p=1 p = 30 m n [12] Tác giả Sai số % [12] Tác giả Sai số % [12] Tác giả Sai số % 1 13,572 33,296 93,001 178,06 287,79 13,548 33,268 92,985 178,04 287,77 0,17 0,08 0,02 0,01 0,01 13,235 32,430 90,553 173,36 280,20 13,212 32,402 90,538 173,35 280,18 0,17 0,08 0,02 0,01 0,01 12,937 31,730 88,614 169,66 274,21 12,915 31,645 88,438 169,33 273,69 0,17 0,27 0,20 0,19 0,19 Từ kết kiểm chứng trên, ta thấy sai lệch tương đối bé so sánh với tác giả khác [10, 12] Như vậy, chương trình tính tốn đáng tin cậy 4.2 Khảo sát ảnh hưởng tham số Các khảo sát tần số thực cho vỏ trụ tròn có thơng số vật liệu kích thước vỏ mơ hình M6, Bảng Hình thể thay đổi tần số dao động vỏ trụ tròn theo tỷ số chiều cao gân/bể rộng gân h s(r) /b s(r) , vỏ làm vật liệu có tính biên thiên với số thể tích p = 0, p = p = 20; kích thước vỏ h = 0, 002 m, R/h = 100, L/R = 5, số liệu khác Bảng 1, mơ hình M6 Trên hình thể kết cho hai trường hợp vỏ khơng gân vỏ trụ tròn có gân vòng/5 gân dọc trực giao Từ kết Hình 2, ta thấy trường hợp vỏ khơng có gân gia cường, số thể tích p = vỏ có tần số lớn Trong đó, trường hợp vỏ có gân gia cường, tăng tỷ số chiều cao gân ta thấy có biến động tần số bản, tần số khơng lớn p = 25 50 p=20,ns=nrp=20,n =5 =n =5 s r 0 Journal and Technology in Civil Engineering NUCE 2018 2of Science 3 4 5 6 23 34 413(5):1-16 56 67 Journal and Technology in Civil Engineering NUCE 13(5):1-16 hs(r)of /bs(r)Science n 2018 h /b n 0 s(r) 78 s(r) Biến thiênthiên tần số độngđộng riêngriêng HìnhHình Ảnh hưởng tỷ sốtỷhsố /s(brs() r/) bs( r ) HìnhHình Biến tầndao số dao Ảnh hưởng s( r ) h Lợi, N V cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xâytheo dựngsóng n n vỏ theo số phương vòngvòng vỏ số sóng phương đến tần đếnsố tầndao số động dao động vỏ củatrụ vỏtròn trụ tròn 400 2500 400 2500 p=0,n =n =0 p=0,n =n =0 Các khảo sát thựcthực hiệnhiện cho cho vỏ trụ tròn có số vật Các khảo sáttần vềsố tầnđều số được vỏ tròn có thơng thơng số liệu vật liệu p=3,ntrụ =n =0 p=3,n =n =0 p=20,n =n =0 p=20,nthay =n kích thướcthước vỏ mơ hình M6, M6, BảngBảng Hình thể2 đổi tần số kích vỏ mơ hình Hình thể sự=0 thay đổi tầndao số dao p=0,n =n =10 p=0,n =n =10 độngđộng theo theo tỷ sốtỷchiều cao cao gân/gân/ bể p=3,n rộng gân hs( r )h/s(br s() /r )b,s(vỏ vỏ củatrụ vỏtròn trụ tròn số chiều bể=n =10 rộng , làm vỏ làm p=3,n =n =10 gân r) p=20,n =np=20,n =10 =n =10 p = 0p, = p= bằngbằng vật liệu biên biên thiênthiên với thước 0,3p = pvà= 2p 0=;2kích ; kích vật có liệucơcótính tính vớisố chỉthể sốtích thể tích thước p=0,n =n =0 p=0,n =n =0 = 0h,002 / hR=/100 ,p=3,nL=n/,=0p=3,n RL= vỏ làvỏh kháckhác như trongtrong Bảng 1, mơ hìnhhình = 0,m, 002Rm, h = 100 / 5R, =các , số cácliệu số liệu Bảng 1, mô =n =0 =n =0 p=20,n =n p=20,n =0 M6 M6 TrênTrên hình hình cũngcũng thể kết hai trường hợp hợp vỏlàkhông gân gân vỏ thể kếtp=0,ncho cho hai trường vỏ khơng vàtrụ vỏ tròn trụ tròn =n =5 p=0,n =n =5 có có gân5 vòng/ gân5 dọc giao Từ=n =5kết HìnhHình 2, ta2,thấy trường hợp hợp vỏ khơng gân vòng/ gân trực dọc trực Từ kết ta thấy trường vỏ không p=3,n p=3,n =ngiao =5 =n =5 p=20,n =n p=20,n =5 p = 0p = có gân thì0 vỏ Trong khi đó, đó, ở có gia gâncường, gia cường, số chỉthể số tích thể tích thìcó vỏtần có số tầnlớn số lớn Trong trường hợp vỏ gia tăng tỷ sốtỷchiều cao gân ta thấy cón độngđộng về trường hợpcóvỏgân có gâncường, gia cường, tăng số chiều cao gân tan thấy cóbiến biến h /b h /b p = 0pHình tần sốtần cơsốbản, tần số = 0Biến bản, tầnkhơng số khơng cònhnhất lớn Biến thiên tầndao số dao động riêng Ảnh hưởng tỷhlớn số bs( r tầnđộng số riêng HìnhHình Ảnh hưởng củatỷ số tỷ brs()sốr/)dao ) Hình Hình 3.3 Biến thiênthiên tần số dao riêng động vỏ theo Hình Ảnh hưởng hsố tần s( rđến ) /s( s(r) /b s(r) n gia vỏ theo sốcủa vòng số sóng phương vòng ntrụ tròn động vỏbản trụ tròn vỏ theo sốcủa sóng phương vòng Hình thể thay đổi tầndao sốcủa dao động riêng vỏ phương cón gân Hình 3số thể sựbản thay đổi tần động riêng vỏsóng trụ tròn có gân gia đến dao động củacủa vỏtròn trụ số tròn đến tần sốtần dao động vỏ trụ n ,làm n , vỏ cường số sóng phương vỏ làm vật liệu cótính tính cường theo theo số sóng phương vòngvòng bằngbằng vật liệu có biênbiên thiênthiên với với chỉ Các3 khảo sátsự tần sốcủađược cho vỏ trụ cógia cáccường thơng sốsốliệu vật liệu Hình thể thay đổi tần sốthực dao thực động riêng vỏ trụtròn tròntròn có gân theo Các khảo sát tần số cho vỏ trụ có thơng số vật = pvà= 2p0= 2Từ kết số tích thể tích Từ kết Hình ta thấy trường hợp này, p = 0pvòng , p==0n,,3pvỏvà số thể Hình 3,với ta3,thấy trường hợp này, đa đa phương làm vậtM6, liệu có Hình tính thiên sốthay thể p = 0, ptần = 3số vàdao vàsóng kích thước vỏ mơbằng hình Bảng biên Hình thể tích thay đổi tần số dao kích thước vỏ mơ hình M6, Bảng thể đổi số tần số động vỏgân có gân cao tần sốgân vỏgân không gia phầnphần làp =tần dao động vỏ ởtheo có sẽđa cao tần số vỏvỏhkhơng gânsẽ, gân gia làm 20 Từ kết quảdao Hình 3, tatròn thấy trường hợp này, phần làgân/ tầnhơn sốbể dao động có động vỏtròn trụ tỷchiều số chiều cao rộng vỏ s( b r ) / b,s(vỏ r ) làm động vỏ trụ theo tỷ số cao gân/ bể rộng gân h / s( r ) s( r ) cao tần số vỏ khơng gân gialàcường, khơng tồn miền khảo sát cường, nhiên không miền khảo cường, tuyhơnnhiên khơng phải phải tồntồn nhiên miền khảophải sát.là sát p = pvà= 2p 0=;2kích ; kích vật liệu có tính biên thiên với số thể tích thước p 0=,3p vật liệu có tính biên thiên với số thể tích p = 0, = thước = 0,m, 002Rm, h =p=0,n 100 , RL=n=/=05R, =các , số cácliệu số liệu Bảng 1, mơ hình p=0,n =5 p=0,n =5 =nhình = 0h,002 / hR=/100 , L=n /=0p=0,n vỏ làvỏh kháckhác như trongtrong Bảng 1, =nmô p=3,n =n =0 p=3,n =n =5 p=3,n =n =0 p=3,n =n =5 thể kết cho hai trường hợp vỏ khơng gân và=np=20,n vỏ trụ tròn =n =0 hai trường hợp vỏ không gân vàp=20,n =5 =n p=20,n =0 cho =5 =ntròn M6 M6 TrênTrên hình hình cũngcũng thể kếtp=20,nquả vỏ trụ p=0,n =n =10 p=0,n =n =15 gân vòng/ gân trực dọc trực giao Từ kết ta thấy trường hợp p=0,n =n =10 p=0,n =n =15 vỏ khơng có có gân5 vòng/ gân5 dọc giao Từ kết HìnhHình 2, ta2,thấy trường hợp vỏ không p=3,n =n =10 p=3,n =n =10 p=3,n =n p=3,n =15 =n =15 p = có gân gia cường, p=20,n số thể tích vỏ có tần số lớn Trong đó, p=20,n =n =10 p=20,n =n =10 p=20,n =n =15 =n =15 p = vỏ có tần số lớn Trong có gân gia cường, số thể tích đó, trường hợp vỏ có gân gia cường, tăng tỷ số chiều cao gân ta thấy có biến động trường hợp vỏ có gân gia cường, tăng tỷ số chiều cao gân ta thấy có biến động tần số bản, tần số khơng lớn p = tần số bản, tần số không lớn p = Hình thể thay đổi tần số dao động riêng vỏ trụ tròn có gân gia Hình thể thay đổi tần số dao động riêng vỏ trụ tròn có gân gia cường theo số sóng phương vòng n , vỏ làm vật liệu có tính biên thiên với cường theo số sóng phương vòng n , vỏ làm vật liệu có tính biên thiên với số thể tích p = 0, p =L/R3 p = Từ kết Hình 3, ta thấy ởL/Rtrường hợp này, đa số thể tích p = 0, p =L/R3 p = Từ kết Hình 3, ta thấy ởL/R trường hợp này, đa phần tần số dao vỏ có gân cao vỏ không gân gia nn == 0;00 10của (b)nb) ntần =n nnrsố == 5;n s= nsnr s == động ;1 0có nsa)=(a)động 0rcủa 515r;1=khơng 55;1 gân gia a) dao b) r;1 sr = phầncường, tần số vỏ gân cao tần vỏ ssố nhiên khơng phải tồn miền khảo sát Hình Ảnh tỷtồn số L/R đến tần sốkhảo dao động vỏ trụ tròn cường, nhiên không phảihưởng sát / Rmiền Ảnh hưởng đếnsố tầndao số dao vỏtròn trụ tròn HìnhHình Ảnh hưởng tỷ sốtỷLsố/ RL đến tần độngđộng của vỏ trụ 350 350 2000 300 100 50 50 0 r s r 01 12 23 s(r) 34 s(r) s(r) s r r s r s r s r s 5 r s r s r s r s s fcb (Hz) 400 s r s r s 500 500 200 200 100 100 23 34 s r r s r 12 23 34 45 56 67 78 6 900 900 800 800 700 700 s r s s r s s s r 400 r 400 300 300 200 200 100 100 r s r r r s r s 500 r s r s 500 r s r 600 600 r s r r 400 300 r r r r s r s 300 500 s 600 600 500 s s(r) 700 700 1000 r s r 800 800 r r r s r 1000 r s f (Hz) s r s f (Hz) r s s fcb (Hz) s 1500 fcb (Hz) 100 s fcb (Hz) fcb (Hz) fcb (Hz) 150 s s 1500 200 150 s r s 250 200 r s 2000 300 250 s 2 3 4 5 6 7 8 Hình thể thay đổi tần số dao động bản900của vỏ trụ tròn có gân gia cườngp=0,n theo p=0,ns=nr=0 =n =5 s r 900 800 p=3,n =n =0 p=3,n =nr=5 tỷ số L/R, vỏ làm vật liệu có tính biên thiên với số thể tích 700 chiều dài/bán kính vỏp=0,n =n =0 p=0,n =n =5 s r s s r s r p=20,ns=nr=0 =n =5 =n =0 p=3,ns=nrp=20,n =5 s r 800R/h 700 p =6000, p = p = 20; có kíchp=3,n thước vỏ h = 0,8002 m, = 100, số liệu khác Bảng s r =n =15 p=20,ns=nrp=0,n =0 s=nr=10 p=20,ns=np=0,n =5 s r r 700 1, mơ hình M6 Trên Hình thể kết cho trường hợp không gân gia cường trường 600 p=3,ns=nr=10 p=0,ns=nr=10 p=0,ns=nrp=3,n =15 s=nr=15 500 p=20,ns=nr=10 p=20,n =n =15 hợp vỏ có gân gia cường trực giao 600 p=3,ns=nr=10 p=3,ns=nr=15 s r 500 p=20,ntần =n =10 p=20,n =n =15 400 Hình thể thay đổi số dao động vỏ trụ tròn có gân gia cường trực s r s r giao 500 400 theo300tỷ số bán kính/chiều dầy vỏ R/h, vỏ làm vật liệu có tính biên thiên với số thể tích 400 p = 0, p = p = 20; có kích thước vỏ h = 0, 002 m, L/R =3005 200 Từ kết Hình 4(a) 5(a) cho thấy, mơ hình M6, 300 vỏ trụ200tròn khơng gân, tần số dao động 700 fcb (Hz) 500 400 300 200 100 100 fcb (Hz) fcb (Hz) 600 26 7 a) nL/R s = nr = 0;1 200 100 100 L/R fcb (Hz) 800 800 8 L/R b) nsL/R= nr = 5;1 biên thiên với số thể tích p = 0, p = p = ; có kích thước vỏ cácliệu số liệu mơ hình = 0,002 h = 100 , các, số kháckhác như trongtrong BảngBảng 1, mơ1,hình M6 M6 Trên Trên HìnhHình h = 0h,002 m, Rm,/ hR=/100 thể kết cho trường cho trường không gâncường gia cường trường trường hợp vỏ 4a-b4a-b cũngcũng thể kết hợp hợp không gân gia hợp vỏ có gia gâncường gia cường có gân trực trực giao.giao Lợi, N V cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng 300 250 250 200 200 p=0,ns=nr=0 p=0,ns=nr=0 p=3,ns=nr=0 p=3,n =n =0 s r 300 300 p=0,ns=nr=5p=0,ns=nr=5 p=3,n =n =5p=3,ns=nr=5 s r p=20,ns=nr=5 p=20,ns=nr=5 p=0,ns=nr=15 p=0,ns=nr=15 250 250 p=3,ns=nr=15 p=3,ns=nr=15 p=3,ns=nr=10 p=3,ns=nr=10 p=20,ns=nrp=20,n =10 s=nr=10 fcb (Hz) fcb (Hz) fcb (Hz) 350 =n =0 p=20,ns=nrp=20,n =0 s r p=0,ns=nr=10 p=0,ns=nr=10 150 350 150 200 150 fcb (Hz) 300 p=20,ns=nr=15 p=20,ns=nr=15 200 150 100 100 50 50 100 100 120 120 140 140 160 R/h 160 180 180 200 200 220 100 100 50 50 100 220 R/h 100 120 120 140 140 160 R/h (a) n s = nr = 0; 10 160 180 180 200 200 220 220 R/h (b) n s = nr = 5; 15 b) nsb)= nrs = 5n;r1=55;1 a) nsa)= nsr = n0r;1=00;1 Hình Ảnh hưởng tỷ số R/h đến tần số dao động vỏ trụ tròn /thểh tích / hR Ảnh tỷRsố đếnlớn tần sốthìđộng dao động cơhơn, bảnđiều trụ Hình trường Ảnh hưởng số tần số dao cơsốbản vỏ trụvỏổn tròn Hình hợp phưởng =của tỷ lớn nhất, sốđến có tần bé địnhtròn miền khảo sát Tuy nhiên Hình 4(a) 5(a), Hình 4(b) 5(b), cho thấy khảo sát Hình 5a-b thể thay đổicócủa tần số động cơcơbản có Hình 5a-b thể sựhợp thay đổigia tầndao sốquả daotầnđộng bảnvỏvỏ vỏtròn trụ tròngân có gân theo tỷ số L/R (R/h) ởsự trường gân cường kết số trụtrụ tròn có nhiều / hR, vỏ gia cường trực khơng giaogiao theo tỷ sốtỷbán dầy vật liệu / h làm giabiến cường trực theo số kính/chiều bán kính/chiều dầy vỏ củaRvỏ , vỏ làm vật có liệu có động, ổn định p = 0p, p==0,3p = tính biênbiên thiênthiên với với số và3 pvà= 2p0=; 2có thướcthước vỏ vỏ ; kích tính thể số tích thể tích có kích h = 0h,002 m,luận Lm, / RL=/ 5R = = 0Kết ,002 Bài báo xây dựng lời giải giải tích để tính tốn tần số dao động riêng vỏ trụ tròn làm Từ kết Hình 4a-5a cho thấy, mơ hình M6, vỏ trụ khơng gân, tần số Từcóquả kết Hình mơQua hình vỏởtròn trụ vật liệu tính biến thiên4a-5a FGM cócho gân thấy, gia cường M6, khảo sát trên,tròn ta có khơng thể thấy: gân, tần số p =tròn 0p dao động hợp nhất, số thể tích lớn cóthìtần = gân 0lớnlàgia dao động của lớn nhất, sốảnh thể tíchchỉ lớn hơntích tần số - Ảnhbản hưởng củatrường kíchtrường thước vỏ hợp trụ cường mạnh hưởng số thể vậtcósố đến điều tần số dao vỏmiền trụ tròn; bé hơn, điều ổn động định miền khảo sát Tuy nhiênnhiên Hình 4a-5a4a-5a Hình 4b-5b, béliệu hơn, ổn định khảo sát Tuy Hình Hình 4b-5b, Tần số dao động vỏ FGM có gân gia cường thường khơng ổn định so với vỏ trụ tròn cũngcũng cho cho thấythấy rằngrằng khảo sát theo tỷ sốtỷLsố/ RL (/ RR/ (hR) /thì trường hợp có h )ởthì khảo sát theo trường hợpgân có gia gân gia FGM khơng gân Do đó, việc tăng số lượng gân, chiều cao gân lúc đạt cường kết quả tần số trụ tròn cótròn nhiều biến biến động,động, không ổn định cường kếttrong quảviệc tầncơ sốbản số, vỏ trụ tròn có nhiều khơng ổn định hiệu tăng tần độvỏ cứng vỏ trụ Kết luậnluận Kết Tài liệu tham khảo Bài báo lời giải tần số riêngriêng vỏ Bài báoxây dựng xây dựng lời giải tích giải để tíchtính để tốn tính tốn tầndao số động dao động củatrụvỏ trụ [1] Leissa, A W (1973) Vibration of shells Scientific and Technical Information Office, National Aeronautròn tròn làm làm vật liệu có biến biến thiênthiên FGMFGM có gân Qua Qua khảo sát ởsát vật liệucơcótính cơWashington tính có gia gâncường gia cường khảo tics and Space Administration trên,trên, ta [2] cótaSoedel, thể W (2004) cóthấy: thể thấy: Vibrations of shells and plates CRC Press [3] Arnold, R N., Warburton, G B (1949) Flexural vibrations of the walls of thin cylindrical shells having + Ảnh hưởng kích thước vỏ trụ tròn gân mạnhmạnh ảnh + Ảnh hưởng kích thước vỏ trụ tròn gia gâncường gia cường hưởng ảnh hưởng freely supported ends Proc R Soc Lond A, 197(1049):238–256 [4] Chung, H (1981) Free vibration analysis of circular cylindrical shells Journal of Sound and Vibration, số thể tích vật liệu đến tần số dao động vỏ trụ tròn; số thể tích vật liệu đến tần số dao động vỏ trụ tròn; 74(3):331–350 Soldatos, K P., Hadjigeorgiou, V P (1990) Three-dimensional ofthường the free vibration problem of định +[5]Tần số dao động vỏ có gân cường khơng ổn định so so + Tần số dao động củaFGM vỏ FGM có gia gânsolution gia cường thường không ổn homogeneous isotropic cylindrical shells and panels Journal of Sound and Vibration, 137(3):369–384 với vỏ trụ tròn FGMFGM khơng gân Do đó, việc tăng tăng số lượng gân, gân, chiềuchiều cao gân với[6] vỏLoy, trụC.tròn khơng DoAnalysis đó, việc sốshells lượng cao khơng gân không T., Lam, K Y., Shu, C.gân (1997) of cylindrical using generalized differential phảiphải lúc đạt hiệu việc việc tăng tăng tần số, vỏ lúc đạt sự4(3):193–198 hiệu tầnđộ số,cứng độ cứng củatrụvỏtròn trụ tròn quadrature Shock and Vibration, [7] Hoppmann, W H (1958) Some characteristics of the flexural vibrations of orthogonally stiffened cylindrical shells The Journal of the Acoustical Society of America, 30(1):77–82 [8] Egle, D M., Sewall, J L (1968) An analysis of free vibration of orthogonally stiffened cylindrical shells with stiffeners treated as discrete elements AIAA Journal, 6(3):518–526 27 9 Lợi, N V cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng [9] Rinehart, S A., Wang, J T S (1972) Vibration of simply supported cylindrical shells with longitudinal stiffeners Journal of Sound and Vibration, 24(2):151–163 [10] Mustafa, B A J., Ali, R (1989) An energy method for free vibration analysis of stiffened circular cylindrical shells Computers & Structures, 32(2):355–363 [11] Tú, T M., Lợi, N V (2015) Phân tích dao động riêng panel trụ vỏ trụ tròn phương pháp giải tích Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, 9(3):31–36 [12] Loy, C T., Lam, K Y., Reddy, J N (1999) Vibration of functionally graded cylindrical shells International Journal of Mechanical Sciences, 41(3):309–324 [13] Pradhan, S C., Loy, C T., Lam, K Y., Reddy, J N (2000) Vibration characteristics of functionally graded cylindrical shells under various boundary conditions Applied Acoustics, 61(1):111–129 [14] Sheng, G G., Wang, X (2007) Effects of thermal loading on the buckling and vibration of ring-stiffened functionally graded shell Journal of Thermal Stresses, 30(12):1249–1267 [15] Naeem, M N., Kanwal, S., Shah, A G., Arshad, S H., Mahmood, T (2012) Vibration characteristics of ring-stiffened functionally graded circular cylindrical shells ISRN Mechanical Engineering, 2012:1–13 [16] Tu, T M., Loi, N V (2016) Vibration analysis of rotating functionally graded cylindrical shells with orthogonal stiffeners Latin American Journal of Solids and Structures, 13(15):2952–2969 [17] Tu, T M., Loi, N V (2017) Free vibration of rotating functionally graded material cylindrical shells with orthogonal stiffeners Design, Manufacturing and Applications of Composites, 212–219 [18] Talebitooti, M., Daneshjou, K., Talebitooti, R (2013) Vibration and critical speed of orthogonally stiffened rotating FG cylindrical shell under thermo-mechanical loads using differential quadrature method Journal of Thermal Stresses, 36(2):160–188 [19] Bich, D H., Dung, D V., Nam, V H (2012) Nonlinear dynamical analysis of eccentrically stiffened functionally graded cylindrical panels Composite Structures, 94(8):2465–2473 [20] Najafizadeh, M M., Hasani, A., Khazaeinejad, P (2009) Mechanical stability of functionally graded stiffened cylindrical shells Applied Mathematical Modelling, 33(2):1151–1157 28 ... tầndao s của dao động riêng vỏ phương cón gân Hình 3số thể sựbản thay đổi tần động riêng vỏsóng trụ tròn có gân gia đến dao động củacủa v tròn trụ số tròn đến tần s tần dao động vỏ trụ n ,làm n , vỏ. .. thay đổigia tầndao sốquả daotầnđộng bảnv vỏ v tròn trụ tròngân có gân theo tỷ số L/R (R/h) ởsự trường gân cường kết số tr trụ tròn có nhiều / hR, vỏ gia cường trực không giaogiao theo tỷ sốtỷbán... thấy có biến động tần số bản, tần số khơng lớn p = tần số bản, tần số khơng lớn p = Hình thể thay đổi tần số dao động riêng vỏ trụ tròn có gân gia Hình thể thay đổi tần số dao động riêng vỏ trụ