TÍNH ĐỘ VÕNG VÀ TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM HÌNH BÌNH HÀNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương chính và kết luận: PHẦN MỞ ĐẦU Chương 1: Lý thuyết tấm và các phương trình cơ bản Chương 2: Phân tích tấm hình bình hành bằng phương pháp phần tử hữu hạn Chương 3: Ví dụ số KẾT LUẬN Phần phụ lục giới thiệu chương trình nguồn tính toán số các lớp bài toán.

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin chân thành cảm ơn Trường đại học Xây dựng, Khoa Sau đại học, Khoa xây dựng Dân dụng và Công nghiệp đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi nhất trong quá trình học tập và thực hiện Luận văn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS Trần Minh Tú đã tận

tình hướng dẫn, cùng tất cả các thầy cô ở Bộ môn Sức bền Vật liệu của trường Đại học Xây dựng đã đóng góp ý kiến giúp tác giả hoàn thành luận văn một cách tốt nhất

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã giúp đỡ tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này

Với khả năng và thời gian nghiên cứu có hạn, hy vọng rằng luận văn có thể góp được một phần nhỏ trong tính toán thiết kế tấm hình bình hành, tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp./.

Học viên

Tống Thị Như Hiển

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn… i

Mục lục ii

Danh mục các ký hiệu iv

Danh mục các bảng v

Danh mục các hình vẽ, đồ thị v

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: Lý thuyết tấm và các phương trình cơ bản 5

1.1 Lý thuyết tấm cổ điểm Kirchhoff – Love 5

1.1.1 Giả thiết Kirchhoff 6

1.1.2 Các thành phần chuyển vị, biến dạng 6

1.1.3 Các thành phần ứng suất - ứng lực 9

1.1.4 Các phương trình cân bằng – Phương trình vi phân mặt đàn hồi 12

1.1.5 Điều kiện biên 13

1.2 Lý thuyết tấm Reissner – Mindlin 16

1.2.1 Các giả thiết 16

1.2.2 Các thành phần chuyển vị 17

1.2.3 Các thành phần biến dạng 17

1.2.4 Các thành phần ứng suất - ứng lực 18

1.2.5 Hệ phương trình cân bằng cho bài toán tĩnh 20

Chương 2 : Phân tích tấm hình bình hành bằng phương pháp phần tử hữu hạn 21

2.1 Đặt vấn đề 21

2.2 Thiết lập thuật toán 22

2.2.1 Phần tử đẳng tham số tám nút 22

2.2.2 Quan hệ giữa tọa độ xiên và hệ tọa độ vuông góc 26

2.2.3 Phương trình phần tử hữu hạn 27

2.3 Tích phân số và ghép nối phần tử 30

2.3.1 Thuật toán ghép nối phần tử 30

2.3.2 Tích phân số 31

2.3.3 Tích phân ma trận độ cứng 34

2.3.4 Chương trình tính 35

2.4 Tính toán tấm hình bình hành bằng chương trình ANSYS 36

Chương 3 : Ví dụ số 48

3.1 Tính toán độ võng 49

3.1.1 Kiểm chứng chương trình viết bằng Matlab với phần mềm Ansys 49

3.1.2 Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số cạnh b/a đến độ võng 50

3.1.3 Khảo sát ảnh hưởng của góc nghiêng đến độ võng 51

3.2 Tính toán tần số dao động 53

3.2.1 Kiểm chứng chương trình viết bằng Matlab với phần mềm Ansys 53

3.2.2 Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số cạnh b/a đến tần số dao động 56

3.3.3 Khảo sát ảnh hưởng của góc nghiêng đến tần số dao động 60

KẾT LUẬN 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO 66

PHỤ LỤC 67

DANH MỤC KÝ HIỆU

 : Chiều dầy của tấm

 : Góc nghiêng của tấm so với trục y

 : Các thành phần chuyển vị trên mặt trung bình.

 : Các thành phần biến dạng dài tỉ đối theo phương x, y  : Các biến dạng góc.

 : Các thành phần lực dọc theo phương x, y.

 : Lực màng theo phương x, y.

 : Lực cắt theo phương x, y

 : Mô men uốn quanh trục y, x

 : Mô men xoắn.

 : Độ cứng uốn hay là độ cứng trụ của tấm.

 : Mô đun dàn hồi trượt.

 : Hệ số nở ngang Poisson.

 : Mô đun đàn hồi Young

 : Tần số dao động riêng (rad/s)

 : Tần số dao động riêng (Hz)

 : Tần số dao động riêng (không thứ nguyên)

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Điểm Gauss và hàm trọng lượng 34

Bảng 3.1 Độ võng của tấm hình bình hành tại mặt cắt song song trục x và đi qua tâm 49

Bảng 3.2 Độ võng lớn nhất của tấm tại tâm phụ thuộc tỷ lệ cạnh 50

Bảng 3.3 Độ võng lớn nhất của tấm tại tâm phụ thuộc góc nghiêng 52

Bảng 3.4 Tần số dao động không thứ nguyên của tấm 53

Bảng 3.5a Tần số dao động không thứ nguyên phụ thuộc tỷ lệ cạnh với điều kiện biên N-N-N-N 56

Bảng 3.5b Tần số dao động không thứ nguyên phụ thuộc tỷ lệ cạnh với điều kiện biên K-K-K-K 57

Bảng 3.6a Tần số dao động không thứ nguyên phụ thuộc góc nghiêng với điều kiện biên N-N-N-N 60

Bảng 3.6b Tần số dao động không thứ nguyên phụ thuộc góc nghiêng với điều kiện biên K-K-K-K 61

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Hình 0.1 Tấm và mặt phẳng trung bình………1

Hình 0.2 Các tấm bản sàn, mái, nắp cống hình dạng khác nhau……… 2

Hình 1.1 Tấm chữ nhật chịu uốn……… 7

Hình 1.2 Biến dạng trong mặt phẳng xoz……….7

Hình 1.3 Biến dạng trong mặt phẳng yoz……….8

Hình 1.4 Các thành phần ứng suất trong phân tố tấm………10

Hình 1.5 ứng lực trên phân tố tấm chịu uốn……… 11

Hình 1.6 Điều kiện biên của tấm chữ nhật……….13

Hình 1.7 Biên chéo……….15

Hình 1.8 Biên cong……… 15

Hình 1.9 Biến dạng của pháp tuyến thẳng theo các lý thuyết……… 16

Hình 2.1 Phần tử đẳng tham số 8 nút và phần tử tham chiếu………24

Hình 2.2 Hệ tọa độ vuông góc và hệ tọa độ xiên góc………27

Hình 2.3 Sơ đồ thuật toán ghép nối phần tử……… 31

Hình 2.4 Cầu phương 1 điểm Gauss……… 33

Hình 2.5 Điểm Gauss theo qui tắc tích phân 2 điểm……… 36

Hình 2.6 Lưu đồ giải bài toán tĩnh……….36

Hình 2.7 Lưu đồ giải bài toán động………37

Hình 2.8 Phần tử một chiều………41

Hình 2.9 Phần tử phẳng……… 42

Hình 2.10 Phần tử vỏ Shell 63………42

Hình 2.11 Phần tử khối……… 43

Hình 2.12 Phần tử Shell 181……… 44

Hình 2.13 Phần tử Shell 93……….45

Hình 3.1 Mô hình tấm hình bình hành……… 48

Hình 3.2 Độ võng của tấm hình bình hành ngàm bên chu vi……….49

Hình 3.3 Đồ thị độ võng lớn nhất……… 51

Hình 3.4 Độ võng lớn nhất của tấm theo góc nghiêng……… 52

Hình 3.5 Hình ảnh dao động tấm hình bình hành ngàm chu vi……… 55

Hình 3.6 Dao động tấm theo tỷ lệ cạnh……… 59

Hình 3.7 Dao động tấm theo góc nghiêng……… 63

MỞ ĐẦU

Tấm là vật thể phẳng có chiều cao (thường gọi là bề dày) nhỏ hơnnhiều so với kích thước theo hai phương còn lại) Mặt phẳng chia đều bề dàytấm gọi là mặt trung bình hoặc mặt trung gian của tấm Giao tuyến của mặttrung bình với các mặt bên gọi là chu tuyến của tấm Sự biến dạng của tấmđược biểu thị bằng sự biến dạng của mặt trung bình, do đó mặt này còn đượcgọi là mặt đàn hồi của tấm

Hình 0.1 Tấm và mặt phẳng trung bình

Sử dụng các cấu kiện dạng tấm sẽ làm nhẹ kết cấu, mang lại hiệu quảkinh tế cao, do vậy tấm ngày càng được sử dụng nhiều trong các công trình.Các ứng dụng đặc trưng trong ngành xây dựng dân dụng là: bản sàn, nền,tường, mặt cầu, Tấm còn được sử dụng rộng rãi trong công nghiệp đóngtầu, công nghiệp hàng không (cánh cửa, vách ngăn, )

Tấm hình bình hành được ứng dụng trong nhiều kết cấu hiện đại mặc

dù khi nghiên cứu chúng thường gặp nhiều khó khăn về mặt toán học Cánhđón gió của máy bay có thể mô hình hóa như một tấm xiên góc; kết cấu cầu,nhà ở dân dụng, cũng tìm thấy nhiều bản sàn dạng hình bình hành

Hình 0.2 Các tấm bản sàn, mái, nắp cống hình dạng khác nhau

Lời giải chính xác của phương trình vi phân độ võng rất cồng kềnh dophải biểu diễn trong hệ tọa độ không phải là vuông góc Lời giải giải tíchthường dựa vào một trong các dạng hàm độ võng: chuỗi lượng giác đơn,chuỗi lượng giác kép, chuỗi Fourier, đa thức, Ganga Rao và Chaudhary [3]

đã kết hợp chuỗi lượng giác và chuỗi đa thức với các hệ số chưa biết để phântích uốn tấm xiên góc Phương pháp sai phân hữu hạn [4] cũng được sử dụngkhi nghiên cứu tấm xiên góc nhưng cũng hạn chế với các góc xiên bé Daođộng riêng của tấm xiên góc với các điều kiện biên ngàm và khớp trên chu vi

đã được Durvasula nghiên cứu [5,6] Hasegawa [7] tính tần số dao động riêng

của tấm xiên góc sử dụng dãy đa thức và phương pháp Rayleigh – Ritz.Hamada [8] sử dụng phương pháp nhân tử Lagrangian và hàm lượng giác đểtính toán tần số dao động riêng tấm hình bình hành.

Phương pháp phần tử hữu hạn phát triển với giả thiết biến dạng bé đốivới tấm mỏng hình bình hành Trường chuyển vị trên cơ sở phần tử tấm uốncủa Kirchhoff, bỏ qua biến dạng cắt ngang được sử dụng để phân tích tấmxiên góc [9] Reissner và Mindlin [10, 11] là những tác giả đầu tiên đưa ra lýthuyết biến dạng cắt bậc nhất dựa trên các giả thiết tấm mỏng về biến thiêncủa trường ứng suất và biến dạng theo chiều dày tấm Cả hai lý thuyết đềudẫn đến hệ phương trình cân bằng là hệ phương trình vi phân cấp 6 và để giảichúng cần ba điều kiện biên trên mỗi cạnh Lý thuyết Reissner – Mindlin chỉđòi hỏi sử dụng phần tử liên tục C0 Trường chuyển vị trên cơ sở phần tửMindlin cho kết quả tin cậy đối với tấm xiên góc Ngoài ra còn nhiều phươngpháp khác được sử dụng khi nghiên cứu về tấm xiên góc, như phương phápbiến phân, phương pháp dải hữu hạn,phương pháp độ cứng tương đương, và

Mục đích của luận văn là hệ thống hóa các hệ thức, phương trình cơbản cho bài toán tấm nói chung và bài toán tấm hình bình hành nói riêng trên

cơ sở lý thuyết tấm bậc nhất của Reissner-Mindlin Để tính toán độ võng vàtần số dao động riêng của tấm hình bình hành, thuật toán Phần tử hữu hạn và

chương trình tính sẽ được xây dựng để tính toán số các lớp bài toán nhằm rút

ra các nhận xét, kết luận bổ ích đối với các kỹ sư thiết kế Với mục đích nêutrên tác giả đã lựa chọn nội dung nghiên cứu với tiêu đề:

“TÍNH ĐỘ VÕNG VÀ TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM HÌNH BÌNH HÀNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN”

Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương chính và kết luận:

PHẦN MỞ ĐẦU

Chương 1: Lý thuyết tấm và các phương trình cơ bản

Chương 2: Phân tích tấm hình bình hành bằng phương pháp phần tử hữu hạnChương 3: Ví dụ số

KẾT LUẬN

Phần phụ lục giới thiệu chương trình nguồn tính toán số các lớp bài toán

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TẤM VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH

CƠ BẢN

Để phân tích các cấu kiện dạng tấm, căn cứ vào độ lớn tương đối giữachiều dày tấm và kích thước chu tuyến (h/Lmin), có thể phân thành các loạichính sau đây:

- Tấm mỏng là các tấm mỏng với độ cứng uốn, trạng tháiứng suất là trạng thái ứng suất phẳng, có thể bỏ qua ứng suất theo phươngchiều dày tấm

- Màng mỏng , là tấm rất mỏng, độ cứng uốn bằng 0, do vậychỉ tồn tại các nội lực màng (lực dọc và lực cắt)

- Tấm có chiều dày trung bình , tương tự như tấm mỏngnhưng phải kể đến ảnh hưởng của lực cắt

- Tấm dày , trạng thái ứng suất là trạng thái ứng suất khối

Mỗi loại tấm đều kèm theo một lý thuyết tấm phù hợp khi phân tích cácbài toán cụ thể Lý thuyết tấm cổ điển của Kirchhoff – Love được áp dụngcho tấm mỏng, và lý thuyết tấm bậc nhất của Reissner – Mindlin được ápdụng cho các tấm có chiều dày trung bình, với tấm dày lại sử dụng các lýthuyết bậc cao

1.1 Lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff – Love.

Phân tích trường ứng suất trong tấm mỏng chịu tác dụng của tải trọngvuông góc với bề mặt tấm dẫn đến phải giải các phương trình vi phân trong lýthuyết đàn hồi ba chiều Tuy nhiên trong phần lớn các trường hợp ta gặp khókhăn về mặt toán học khi giải các phương trình vi phân này Với các bài toán

kỹ thuật, áp dụng lý thuyết tấm mỏng của Kirchhoff có thể cho ta lời giải màkhông cần đến lý thuyết đàn hồi ba chiều Lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoffdựa trên các giả thiết cơ bản sau:

1.1.1 Giả thiết Kirchhoff.

Xét tấm chữ nhật chiều dày không đổi, chịu uốn bởi tải trọng vuônggóc với mặt trung bình, lý thuyết tấm của Kirchhoff dựa trên những giả thiếtsau [2]:

1 Vật liệu đồng nhất, đẳng hướng và đàn hồi tuyến tính

2 Hình dạng hình học ban đầu của tấm là phẳng

3 Mặt trung bình của tấm không bị biến dạng khi chịu uốn (remainunstrained)

4 Chiều dày của tấm là rất bé so với các kích thước còn lại (h/lmin<1/10).Chuyển vị theo phương chiều dày tấm (còn gọi là độ võng) w(x,y) là bé sovới chiều dày tấm (wmax/h<1/10: chuyển vị bé)

5 Pháp tuyến thẳng và vuông góc với mặt trung bình trước biến dạng, saubiến dạng vẫn thẳng, vuông góc với mặt trung bình và có chiều dài không đổi

6 Góc xoay của pháp tuyến mặt đàn hồi là vô cùng bé so với đơn vị

7 Bỏ qua ứng suất pháp z theo phương chiều dày tấm

Chấp nhận các giả thiết kể trên, bài toán ứng suất khối của lý thuyếtđàn hồi được đưa về bài toán ứng suất phẳng của tấm Với tấm chữ nhật, ta sử

dụng hệ tọa độ vuông góc với các trục là x, y, z Các nội, ngoại lực, ứng suất,

và các thành phần chuyển vị u, v, w được coi là dương khi có chiều cùng với chiều dương các trục x, y, z Chiều mô men dương khi làm căng thớ dưới như

qui ước của Sức bền vật liệu

1.1.2 Các thành phần chuyển vị, biến dạng.

Xét hai điểm A, B trên pháp tuyến của mặt trung bình trước biến dạng.Sau biến dạng vị trí của chúng là A1, B1

Hình 1.1 Tấm chữ nhật chịu uốn

Ký hiệu u 0 , v 0 là chuyển vị của điểm A trên mặt trung bình (z = 0) ; u, v

là chuyển vị của điểm B (có tọa độ z so với mặt trung bình)

Xét mặt phẳng xOz song song với cạnh a

Theo định nghĩa, biến dạng góc trong mặt phẳng xOz :

Mà theo giả thiết (5) thì:

Hình 1.2 Biến dạng trong mặt phẳng xOz

Do vậy: , tích phân hai vế ta nhận được:

Hình 1.3 Biến dạng trong mặt phẳng yOz

Tương tự, trong mặt phẳng yOz, biến dạng góc theo định nghĩa códạng:

Mà theo giả thiết (5):

Suy ra: , tích phân hai vế ta cũng nhận được:

Cũng từ giả thiết (5), biến dạng dài , ta thấy chuyển vị w chỉ

là hàm của hai biến x, y không phụ thuộc vào z Do đó w 0 =w(x,y), nghĩa là

mọi điểm nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt trung bình đều có chuyển

vị theo phương chiều dày tấm như nhau

Từ giả thiết (3), mặt trung bình không bị biến dạng nên:

Vậy ta có:

; : (1.1)Thay các biểu thức chuyển vị vào biểu thức quan hệ chuyển vị - biếndạng, ta thu được các biểu thức biểu diễn các thành phần biến dạng theochuyển vị:

(1.2)

1.1.3 Các thành phần ứng suất - Ứng lực.

Xét phân tố tấm tách ra từ hai cặp mặt vuông góc với mặt trung gian

cách nhau khoảng dx, và dy, chiều cao phân tố bằng chiều cao h (hình 1.6).

Theo giả thiết Kirchhoff, phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng, trên các mặtvuông góc với các trục có các thành phần x, y, xy Còn các thành phần xz =

yz = 0

Theo định luật Hooke tổng quát, liên hệ giữa các thành phần ứng suất

và các thành phần biến dạng cho bởi phương trình:

(1.3a)

Thay các thành phần biến dạng biểu diễn qua các thành phần chuyển vịtrong (1.2) vào (1.3a) ta nhận được:

(1.3b)

Hình 1.4 Các thành phần ứng suất trong phân tố tấm

Các ứng lực trên đơn vị dài tương ứng được xác định theo định nghĩa

(1.4)Đối với tấm mỏng chịu uốn các thành phần lực màng trong (1.4) đềubằng không

Các thành phần mô men uốn và lực cắt trên phân tố tấm biểu diễn trênhình 1.5 Chú ý rằng chỉ số của mô men uốn và xoắn tương ứng với thànhphần ứng suất sinh ra nó, chẳng hạn Mx là mô men uốn quay quanh trục y, và

do ứng suất x tạo ra

; ; (1.5a)

; (1.5b)

Hình 1.5 Ứng lực trên phân tố tấm chịu uốn

Thay biểu thức các thành phần ứng suất theo (1.3) vào (1.5), sau khitích phân dọc theo chiều dày tấm ta nhận được các thành phần mô men:

(1.6a)

trong đó: - gọi là độ cứng trụ của tấm

và các thành phần lực cắt:

1.1.4 Các phương trình cân bằng – Phương trình vi phân mặt đàn hồi.

Xét điều kiện cân bằng của phân tố tấm dưới tác dụng của nội và ngoạilực (hình 1.5)

Tổng hình chiếu của nội và ngoại lực lên trục z:

(1.9a) Tổng mô men với trục y cho ta:

(1.9b)

Tương tự, viết phương trình mô men với trục x:

(1.9c)Rút Qx, Qy từ (1.9b-c) thay vào (1.9a) ta nhận được phương trình cân

bằng duy nhất:

(1.10) Thay các giá trị của mô men từ (1.6a) vào (1.10), ta nhận được phương

trình vi phân của mặt đàn hồi (Pt Sophie – Germain)

(1.11)

Hay còn có thể viết dưới dạng khác như sau:

(1.12)

1.1.5 Điều kiện biên.

Điều kiện biên có thể là động học (liên quan đến chuyển vị và góc

xoay), có thể là tĩnh học (liên quan đến lực và mô men) hoặc là hỗn hợp

Xét tấm chữ nhật có 2 cạnh song song với 2 trục Ox, Oy Trên mỗi

cạnh phải thỏa mãn 2 điều kiện biên:

Hình 1.6 Điều kiện biên của tấm chữ nhật

1 Điều kiện biên của tấm chữ nhật

chỉ số b – dầm; không chỉ số: tấm; Hoặc :

2 Điều kiện biên chéo:

α : Góc tạo bởi pháp tuyến n của mặt chéo với trục x

Tùy thuộc vào liên kết của biên chéo, ta có những điều kiện biên tương ứng

Hình 1.8 Biên cong

 Biên cong ngàm: w=0,

 Biên cong tựa khớp: w=0, M n=0

 Biên cong tự do: M n=0,

1.2 Lý thuyết tấm Reissner - Mindlin

Lý thuyết tấm cổ điển Kirchhof chỉ phù hợp với tấm mỏng, khi chiềudày tấm tăng lên thì lý thuyết này không còn thích hợp Để khắc phục nhữnghạn chế của lý thuyết tấm mỏng, cần thiết phải có những điều chỉnh thích hợptrên cơ sở lý thuyết tấm Kirchhoff

Hiện nay có nhiều lý thuyết tấm đã được phát triển dùng để tính toáncác tấm dày (h/L=1/10-1/5): Levy, Reisssner, Mindlin, Reddy,

 Bỏ qua trị số ứng suất pháp theo phương chiều dày tấm

u o ,v o ,w o là các thành phần chuyển vị của mặt trung bình theo các phương x,y,z

x , y là các góc xoay của mặt pháp tuyến quanh hai trục y, x

Sơ đồ bậc nhất khắc phục những nhược đỉểm của sơ đồ Kirchhoff dành

cho tấm mỏng và cho phép giải quyết phần lớn các bài toán cơ bản

1.2.3 Các thành phần biến dạng.

Trường biến dạng được suy ra từ trường chuyển vị bằng cách sử dụng

quan hệ chuyển vị - biến dạng trong lý thuyết đàn hồi:

(1.14)

Có thể biểu diễn trường biến dạng làm hai thành phần

- Biến dạng màng, phụ thuộc vào chuyển vị (u o ,v o) của mặt trung bình:

(1.16)

1.2.4 Các thành phần ứng suất - Ứng lực

Từ phương trình biểu diễn định luật Hooke, khi biết các thành phần

biến dạng, các thành phần ứng suất có dạng dưới đây:

- Momen uốn và momen xoắn:

(1.20)

- Lực cắt:

(1.21)

1.2.5 Hệ phương trình cân bằng cho bài toán tĩnh.

Hệ phương trình cân bằng cho bài toán tĩnh được thiết lập nhờ vàonguyên lý công khả dĩ [2]

(1.22

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương 1, luận văn đã hệ thống hóa các hệ thức, phương trình cơbản, hệ phương trình cân bằng cho tấm chịu uốn theo lý thuyết tấm cổ điểnKirchhoff – Love và lý thuyết tấm bậc nhất của Reissner – Mindlin Các hệ

thức này sẽ được áp dụng cho việc xây dựng mô hình phần tử hữu hạn chotấm hình bình hành trong chương 2

CHƯƠNG 2 PHÂN TÍCH TẤM HÌNH BÌNH HÀNH BẰNG

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

2.1 Đặt vấn đề

Ngày nay, khi máy tính điện tử phát triển nó đồng thời kéo theo sự pháttriển của các ngành khoa học khác Trong tính toán cơ học, với sự giúp đỡ củamáy tính điện tử, phương pháp Phần tử hữu hạn chứng tỏ được nhiều ưu thế

so với các phương pháp khác như phương pháp Giải tích , phương pháp Saiphân hữu hạn Do đó, hầu hết các phần mềm tính toán cơ học thương mạitrên thế giới hiện nay đều được phát triển dựa trên phương pháp Phần tử hữuhạn (PTHH) chẳng hạn như phần mềm Ansys, Sap, Abaqus, Nastran,Samcef

Dựa trên cơ sở việc phân tích kết cấu tấm hình chữ nhật bằng phươngpháp PTHH cùng với việc chuyển đổi từ hệ tọa độ vuông góc sang hệ tọa độxiên góc, trong chương 2, luận văn xây dựng thuật toán PTHH để tính toáncác bài toán tĩnh, bài toán động cho kết cấu tấm có dạng hình bình hành (tấm

- Quan hệ giữa hệ tọa độ xiên góc và hệ tọa độ vuông góc

- Thiết lập ma trận độ cứng phần tử tấm và tấm xiên

- Thiết lập ma trận khối lượng phần tử tấm và tấm xiên

- Lập chương trình máy tính giải bài toán tính toán độ võng, ứng suất

và tìm tần số dao động riêng của kết cấu tấm xiên với các dạng điều kiện biênkhác nhau

Để mô hình phần tử tấm xiên, luận văn vẫn sử dụng phần tử đẳng tham

số 8 nút, mỗi nút có 5 bậc tự do Phần tử được tính toán trong hệ tọa độ vuônggóc, sau đó chuyển đổi sang hệ tọa độ xiên góc

2.2 Thiết lập thuật toán

Theo cách thức tiến hành của phướng pháp PTHH, trước hết ta chọn lýthuyết áp dụng, chọn phần tử để rời rạc hoá miền khảo sát Tiếp đến là biểudiễn trường chuyển vị, biến dạng, ứng suất theo ẩn là chuyển vị nút phần tử.Với tấm xiên góc, ta còn chuyển đổi từ hệ trục tọa độ vuông góc sang hệ trụctọa độ xiên góc Tiếp đến là xây dựng phương trình phần tử; ghép nối cácphần tử để có được kết quả là hệ phương trình để giải; áp đặt điều kiện biên,giải và hoàn thiện bài toán

(2.1)

Ở đây, u0, v0 và w0 là các thành phần chuyển vị của điểm trên mặt trung bình (z = 0) theo các hướng x, y và z; t là biến thời gian; θ x và θ y là góc xoaycủa pháp tuyến mặt trung bình quanh các trục y và x

Biểu diễn trường chuyển vị trong (2.1) theo chuyển vị của điểm trênmặt trung bình ở dạng ma trận bởi:

(2.3)Trong (2.3), là ma trận liên hệ giữa biến dạng với chuyển vị nútphần tử (để tiện gọi, đặt tên là ma trận tính biến dạng).

(a) (b)

Hình 2.1 Phần tử đẳng tham số 8 nút (a) và phần tử tham chiếu (b)

Véc tơ chuyển vị nút phần tử được biểu diễn bởi:

4 x

5 6

7

1(-1,-1) 5(0,-1) 2(1,-1)

4(-1,1) 7(0,1) 3(1,1)

6(1,0) 8(-1,0)

Trong đó là các hàm dạng được tính theo các biểu thức sau:

(2.9)

Đạo hàm các hàm dạng theo ta có:

(2.10)

Đạo hàm của các hàm dáng trong hệ trục tổng quát có thể tính được khi

sử dụng ma trận Jacobian nghịch đảo

(2.11)

Từ (2.13) và (2.14), trường chuyển vị của tấm biểu diễn theo hàm dạng

và chuyển vị nút phần tử trên mặt trung bình dưới dạng như sau:

(2.15)Trong đó, là ma trận hàm dạng, biểu diễn bởi:

(2.16)Với là ma trận đơn vị

2.2.2 Quan hệ giữa hệ tọa độ xiên và hệ tọa độ vuông góc.

Tấm hình bình hành có thể biểu diễn trong hệ tọa độ vuông góc và xiêngóc Từ hình vẽ 2.3 ta dễ dàng có được biểu thức quan hệ giữa hệ tọa độ xiêngóc và hệ tọa độ vuông góc như sau:

(2.17)

Hình 2.2 Hệ tọa độ vuông góc và hệ tọa độ xiên góc

Trong đó:

( , ) là tọa độ trong hệ tọa độ xiên góc

(x, y) là tọa độ trong hệ tọa độ vuông góc

là góc xiên (góc tạo bởi trục và trục y)Luận văn sử dụng phép chuyển đổi trong công thức (2.17) để tính toántấm xiên trong hệ tọa độ xiên góc

Thế năng biến dạng đàn hồi được xác định bởi:

(2.20)

Công gây ra bởi ngoại lực và điện tích ngoài được xác định bởi:

M - Là ma trận khối lượng phần tử được tính bởi:

(2.23) Với:

là khối lượng riêng của vật liệu

Phương trình bài toán dao động tự do và bài toán tĩnh:

Từ phương trình tổng quát 2.22, khi không có tác dụng của ngoại lực,

vế phải của phương trình bằng không, ta được phương trình bài toán dao động

tự do:

(2.27a)

Bỏ qua gia tốc, ta có phương trình bài toán tĩnh:

(2.27b)

2.3 Tích phân số và ghép nối phần tử

2.3.1 Thuật toán ghép nối phần tử.

Bước 1: Khởi tạo ma trận vuông [K] có kích thước (sdof  sdof) và

véctơ cột {F} có kích thước (sdof  1), với các số hạng bằng không Trong

đó, sdof là ký hiệu cho tổng số bậc tự do của các nút trong toàn hệ.

Bước 2: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng

k ij của của ma trận phần tử k e vào số hạng của ma trận [K]:

(2.28)

Bước 3: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng

f i của của véctơ lực phần tử f vào số hạng FI của véctơ lực chung F:

(2.29)

Sơ đồ thuật toán ghép nối phần tử được mô tả như hình 2.4 sau:

F

Hình 2.3 Sơ đồ thuật toán ghép nối phần tử

(2.31)

Trong đó w1 , w2, , w n là các hàm trọng số và 1 , 2, , n là các điểm

Gauss Tư tưởng của phương pháp cầu phương Gauss là chọn n điểm Gauss

và n hàm trọng số sao cho tích phân (2.30) cho kết quả chính xác nhất đối với

đa thức f() Nói khác đi, công thức tích phân n điểm là chính xác cho tất cả

các đa thức bậc đủ cao, và công thức tích phân trên vẫn đúng thậm chí khi f

không phải là một đa thức Để hiểu được bản chất của phương pháp, chúng ta

xét công thức tích phân 1- điểm và tích phân 2- điểm như sau:

Công thức tích phân 1- điểm

Phần diện tích

xấp xỷ = 2f(0)

Phần diện tích chính xác

f( ) )

Hình 2.4 Cầu phương 1 điểm Gauss