xây dựng chương trình tính toán cơ học tấm vật liệu composite bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Cho đến nay, ngành khoa học này đã phát triển vượt bậc không chỉ ở Mỹ, Nga mà còn ở các nước công nghiệp phát triển như Anh, Pháp, Đức, Nhật Bản… Nhưng vấn đề cần đặt ra là làm thế nào

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG

XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN CƠ HỌC TẤM VẬT LIỆU COMPOSITE BẰNG PHƯƠNG PHÁP

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

-o0o -

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG

XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN

CƠ HỌC TẤM VẬT LIỆU COMPOSITE BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU

HẠN

MÃ SỐ ĐỀ TÀI: T2011-71

CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI: Th.S VƯƠNG THỊ NGỌC HÂN

TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 11 NĂM 2011

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA: XÂY DỰNG VÀ CƠ HỌC ỨNG DỤNG

-o0o -

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG

XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN

CƠ HỌC TẤM VẬT LIỆU COMPOSITE BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU

HẠN

MÃ SỐ ĐỀ TÀI: T2011-71

CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI: Th.S VƯƠNG THỊ NGỌC HÂN

TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 11 NĂM 2011

1,2,3 Hệ trục chính của lớp vật liệu

x,y,z Hệ trục chung của tấm vật liệu composite lớp

u,v,w Các thành phần chuyển vị theo phương x,y,z

u0,v0,w0 Các thành phần chuyển vị theo các phương x,y,z của của mặt trung

bình tấm

ψx, ψy, ψz Các thành phần chuyển vị góc quanh các trục x,y,z

εx, εy, εz Các thành phần biến dạng dài theo các phương x,y,z

σx, σ y, σz Các thành phần ứng suất pháp trong hệ tọa độ x,y,z

σxy, σ xz, σyz Các thành phần ứng suất tiếp trong hệ tọa độ x,y,z

σ1, σ 2, σ3 Các thành phần ứng suất pháp trong hệ tọa độ 1,2,3

σ12, σ 13, σ23 Các thành phần ứng suất tiếp trong hệ tọa độ 1,2,3

hk Tọa độ bề mặt của lớp vật liệu

[C] Ma trận các hằng số độ cứng của lớp vật liệu trong hệ tọa độ 1,2,3 [C’] Ma trận các hằng số độ cứng của lớp vật liệu trong hệ tọa độ x,y,z [Q] Ma trận độ cứng thu gọn của lớp vật liệu trong hệ tọa độ 1,2,3

[Q’] Ma trận độ cứng thu gọn của lớp vật liệu trong hệ tọa độ x,y,z

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

TÓM TẮT ii

MỤC LỤC iv

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN 1

1.1 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 1

1.2 Lịch sử phát triển của lý thuyết đàn hồi 3

1.3 Lịch sử phát triển bài toán tấm 4

1.4 Phương pháp phần tử hữu hạn 5

1.5 Mục đích của luận văn 6

1.6 Giới hạn của đề tài và các vấn đề cần giải quyết 6

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM, LÝ THUYẾT LỚP COMPOSITE 7

2.1 Lý thuyết đàn hồi 7

2.2 Lý thuyết tấm 10

2.3 Lý thuyết lớp composite 19

CHƯƠNG 3: CÁC QUAN HỆ CƠ BẢN CỦA VẬT LIỆU COMPOSITE DẠNG TẤM 23

3.1 Lịch sử hình thành vật liệu composite 23

3.2 Quan hệ ứng suất và biến dạng trong tấm vật liệu composite 28

CHƯƠNG 4: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 40

4.1 Ma trận độ cứng 41

4.2 Quy đổi tải trọng về nút 48

4.3 Tính trường ứng suất, trường biến dạng trong mỗi phần tử 49

Mục lục

v

CHƯƠNG 5: TÍNH TOÁN ỨNG XỬ CƠ HỌC CỦA TẤM VẬT LIỆU

COMPOSITE BẰNG FEM 51

5.1 Mô hình bài toán 51

5.2 Sơ đồ khối tính toán 54

5.3 Kết quả các bài toán 55

5.3 Kết luận chương 5 73

CHƯƠNG 6: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 75

6.1 Kết luận 75

6.2 Đề xuất và hướng phát triển 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN

1.1 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

Sự phát triển của khoa học kỹ thuật là yếu tố quyết định cho sự ra đời của các thành tựu khoa học Và những thành tựu này thể hiện rõ trên mọi lĩnh vực nói chung

và trong ngành cơ học nói riêng Trong đó, sự xuất hiện các loại vật liệu mới với công nghệ cao đã và đang mang lại nhiều hiệu quả về kinh tế và nâng cao tuổi thọ làm việc cho các máy móc nói chung và các chi tiết cơ khí nói riêng

Vật liệu composite là loại vật liệu đã được con người sáng tạo và sử dụng rất lâu đời Nhẹ - chắc – bền – không gỉ - chịu được các yếu tố tác động của môi trường…,đó là những ưu điểm chủ yếu của vật liệu composite Sự ra đời của vật liệu composite là cuộc cách mạng về vật liệu nhằm thay thế cho vật liệu truyền thống và ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp tiên tiến trên thế giới: hàng không, vũ trụ, đóng tàu, ô tô, cơ khí, xây dựng dân dụng và được

sử dụng rộng rãi trong đời sống hằng ngày

Mặc dù composite là loại vật liệu đã có từ lâu đời, nhưng các ngành khoa học

về loại vật liệu này lại hoàn toàn non trẻ Khoa học vật liệu composite mới được hình thành gắn với sự xuất hiện đầu tiên của nó trong công nghệ tên lửa ở Mỹ vào những năm 1950 của thế kỷ XX Cho đến nay, ngành khoa học này đã phát triển vượt bậc không chỉ ở Mỹ, Nga mà còn ở các nước công nghiệp phát triển như Anh,

Pháp, Đức, Nhật Bản…

Nhưng vấn đề cần đặt ra là làm thế nào để xác định chính xác vị trí của các vết nứt và phân tích ứng xử động học của chi tiết, kết cấu tấm composite lớp nhằm dự báo khả năng làm việc hiện tại của kết cấu để có những giải pháp ngăn ngừa các hư hỏng có thể xảy ra khi mà vật liệu composite có rất nhiều điểm khác biệt so với vật liệu kim loại: nhẹ, độ bền riêng và mođun riêng cao, độ cách nhiệt, cách âm tốt và cũng là loại vật liệu có tính dị hướng rất cao Hơn nữa, độ bền và tuổi thọ của các kết cấu composite phụ thuộc vào các vật liệu thành phần, phương pháp gia công, tải

trọng tác dụng, môi trường làm việc và đặc biệt vào cấp độ chính xác của mô hình tính toán và thiết kế

Tất cả những điều trên cho thấy cần phải có những mô hình cơ học xác thực, những phương pháp tính toán hiệu quả, chính xác nhằm phân tích sâu sắc ứng xử cơ học cũng như độ bền của các kết cấu tấm composite lớp khi chịu tác dụng của tải trọng và môi trường Trong những thập niên gần đây, các nhà khoa học không ngừng nghiên cứu để đưa ra những phương pháp để giải quyết một cách chính xác

các vấn đề về ứng xử cơ học trên vật liệu composite lớp: M.W.Hyer, “Phân tích

ứng suất trong vật liệu Composite cốt sợi” [9], TanS.C, “Sự tập trung ứng suất trong composite lớp”[45].Lekhnitskii S.G, “Lý thuyết đàn hồi cho vật liệu không đẳng hướng”[22] Kollar L.P, Spring G.S, “Cơ học trong kết cấu vật liệu composite”[15]

Bên cạnh đó, lĩnh vực tính toán số các kết cấu tấm composite lớp hiện nay rất được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm, trong đó, lý thuyết tấm bậc nhất của Mindlin được sử dụng rất phổ biến: Timoshenko S đã phát triển lý thuyết tấm kinh

điển cho bài toán tấm nhiều lớp trong Lý Thuyết Tấm Vỏ xuất bản năm 1959 Reddy, “Cơ học tấm composite lớp, Lý Thuyết và Phân Tích”1997 Panda và

Natarajan đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán cơ học cho tấm

composite dựa trên lý thuyết tấm bậc nhất “Phân tích Phần tử hữu hạn cho tấm

composite lớp”1979 Reissner đã nghiên cứu cơ học tấm composite lớp chịu uốn

khi kể đến biến dạng cắt ngang theo lý thuyết tấm bậc nhất “Ảnh hưởng của biến

dạng cắt ngang khi kéo của tấm đàn hồi” 1845[36,37,38,39,40,41,] Tuy nhiên,

việc tính toán các ứng xử trên vật liệu composite lớp cũng gặp nhiều khó khăn vì ứng suất và biến dạng trong tấm composite lớp không những phụ thuộc vào lực tác dụng mà còn phụ thuộc vào cấu trúc vật liệu đặc trưng hình học và môi trường làm việc của kết cấu Thêm vào đó, phân bố ứng suất trong vật liệu composite lớp phức tạp hơn nhiều so với vật liệu đẳng hướng

Những nghiên cứu gần đây về lĩnh vực đánh giá các ứng xử cơ học của tấm

vật liệu composite lớp: Wang và Crossman, “Một số kết quả mới của việc ảnh

hưởng biên lên tấm composite lớp đối xứng” Wang S.S và Choi I, “Ảnh hưởng

biên tự do lên tấm composite lớp”.Pipes R.B, Pagano N.J, “Ứng suất giữa các lớp trong tấm vật liệu composite dưới tác dụng của tải trong kéo”.Vinson J.R và

Sierakowski R.L , “Ứng xử của các cấu trúc vật liệu Composite…[31,32,49,50]

Trong số các phương pháp mới đang nghiên cứu và vận dụng hiện nay thì việc ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn (Finite element methods – FEM) đang mang lại nhiều kết quả thiết thực trong việc giải quyết các vấn đề tính toán cơ học của vật liệu composite Trong những năm gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu trên thế giới đã đề cập đến phương pháp này Như: H.Fukugana, N.Hu và G.Xren đã phân tích tĩnh và động đối với kết cấu composite lớp sử dụng lý thuyết

tấm bậc cao “Mô hình FEM của các kết cấu composite dùng lý thuyết tấm bậc cao

Jiang và Olson sử dụng phần tử băng thông và phần tử dầm để phân tích động lực học tấm và vỏ composite lớp Kolli và Chanddrashekara sử dụng phần tử tứ đẳng tham số với các hàm nội suy khác nhau cho tấm và dầm để phân tích ứng xử phi

tuyến của tấm composite Wang S.S và Yuan F.G “Ứng dụng phần tử bậc cao để

phân tích ứng suất trên biên tấm composite lớp”…

Ở Việt nam, các nghiên cứu ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn vào việc giải quyết các vấn đề cơ học trong tấm vật liệu composite khá nhiều nhưng cách

tiếp cận vẫn còn khá mới mẻ với nhiều người Như: Ngô Như Khoa “ Mô hình hóa

tính toán vật liệu – kết cấu composite” Trần Ích Thịnh – Trần Hữu Quốc “ Phân tích cơ học kết cấu tấm composite lớp có gân gia cường bằng phương pháp phần tử hữu hạn” Nguyễn Văn Đạt “ Nghiên cứu kết cấu hợp lý hệ thống bệ máy tàu vỏ composite trong bài toán chống rung”.Vì vậy, các nhà khoa học trong nước cần

quan tâm và khai thác hai phương pháp này và đây cũng chính là cơ sở hình thành

nên đề tài “Xây dựng chương trình tính toán cơ học tấm vật liệu composite bằng

phương pháp PTHH” với mong muốn đóng góp vào việc xây dựng và phát triển

lĩnh vực nghiên cứu các vấn đề cơ học ứng dụng trên tấm vật liệu composite lớp ở Việt Nam

1.2 LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Việc phân tích ứng suất – biến dạng đòi hỏi người phân tích phải nắm vững lý thuyết về ứng suất, biến dạng và các định luật liên hệ ứng suất với biến dạng Nói

một cách tổng quát, phương pháp sử dụng thường đưa đến việc đo biến dạng để từ

đó suy ra ứng suất Những mối tương quan giữa ứng suất và biến dạng đã tạo thành chủ đề của các lý thuyết về đàn hồi và chảy dẻo

Lý thuyết đàn hồi bắt nguồn từ cơ học vật liệu Về mặt lịch sử, nguồn gốc của

cơ học vật liệu bắt đầu từ thế kỷ thứ XVII, vào thời kỳ mà Galileo thực hiện các cuộc thí nghiệm để tìm hiểu về tác động của việc xếp tải lên thanh và dầm làm bằng các chất liệu khác nhau Tuy nhiên, để hiểu được rõ ràng tác động của việc xếp tải, người ta cần phải mô tả thật chính xác các đặc tính cơ học của vật liệu Những cách thức xử lý công việc này đã được cải tiến đáng kể vào đầu thế kỷ thứ XVIII Vào lúc đó, những nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm về vấn đề này đã được thực hiện chủ yếu tại Pháp bởi những người nổi tiếng như Saint – Venant, Poisson, Lame và Navier Theo thời gian, sau khi nhiều vấn đề cơ bản của cơ học vật liệu đã được giải quyết, việc dùng máy điện toán và các giải pháp toán học hiện đại để giải quyết những vấn đề phức tạp trở nên phổ biến Kết quả là từ lĩnh vực này này, các nhà

khoa học đã phát triển nó ra thành nhiều lĩnh vực khác về cơ học nâng cao như Lý

thuyết Đàn hồi (Theory of Elasticity) và Lý thuyết Dẻo (Theory of plasticity)

Việc nghiên cứu về các lĩnh vực này vẫn còn đang tiếp tục không chỉ để giải quyết những yêu cầu kỹ thuật hiện đại mà còn chứng minh cho việc sử dụng các lý thuyết nâng cao để khắc phục những giới hạn của lý thuyết cơ bản về cơ học vật liệu

1.3 LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TẤM

Vào những năm đầu thế kỷ 19, các bài toán tấm chịu uốn được giải bằng các

mô hình giải tích, tiêu biểu là công trình của S Germaine (1776-1831), Lagrange

(1736-1813) và Poisson (1781-1840) Từ những thành tựu này dẫn đến sự ra đời Lý

thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff, trong đó các biến dạng trượt được bỏ qua

Năm 1828, Poisson hoài nghi về các điều kiện biên và cho rằng cần ba điều kiện biên trên mỗi biên tự do Tiếp đến, ông đã xác định chính xác độ cứng chống uốn vào năm 1829 Tuy nhiên, các điều kiện biên tương thích thì không được triển khai, cho đến năm 1850 Kirchhoff (1824-1887) mới đề ra Lời giải chính xác đối với tấm tròn cũng được ông công bố sau đó Kirchhoff đưa ra lý do là hai điều kiện biên thì thích hợp hơn ba và định nghĩa lực cắt tương đương đặc biệt để giảm số lực trên biên tự do từ ba xuống còn hai Sau đó vào năm 1883, T William (1824-1907) và

G.T Peter (1831-1901) bổ sung biểu thức liên hệ năng lượng của lực cắt tương đương với sự giải thích rõ ràng về vật lý [1, 4, 38]

Lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff là lý thuyết tấm đơn giản nhất được

sử dụng rộng rãi để phân tích tấm Tính đơn giản thể hiện bằng việc giả thiết rằng, trước và sau biến dạng pháp tuyến vẫn thẳng và vuông góc với mặt phẳng trung bình của tấm Giả thiết này có nghĩa là bỏ qua biến dạng trượt trong tấm, nó chỉ đúng đối với tấm mỏng còn tấm dày sẽ cho lời giải với sai số lớn

Năm 1945, E Reissner công bố lý thuyết tấm chính xác hơn bằng cách kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt trong tấm đàn hồi chịu uốn Lý thuyết Reissner không yêu cầu hệ số hiệu chỉnh cắt bởi vì nó được thành lập bằng cách giả định sự phân bố ứng suất tiếp theo quy luật Parabol qua chiều dày của tấm Sau đó vào năm

1951, R.D Mindlin đưa ra lý thuyết tấm có kể đến ảnh hưởng của quán tính quay và biến dạng trượt trong dao động uốn của tấm đàn hồi đẳng hướng hoàn toàn tương thích với lý thuyết của Reissner Lý thuyết Mindlin cho phép các pháp tuyến chịu các góc xoay bằng hằng số xoay quanh mặt phẳng trung bình trong suốt quá trình biến dạng Tuy nhiên, sự nới lỏng về giả thiết pháp tuyến này vi phạm yêu cầu về tĩnh học, đó là ứng suất tiếp phải bằng không tại biên tự do của tấm Để khắc phục sai sót đó, người ta đưa ra hệ số hiệu chỉnh lực cắt Lý thuyết tấm có kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang được gọi là lý thuyết tấm Reissner-Mindlin Lý thuyết này đã mở rộng lĩnh vực ứng dụng lý thuyết tấm vào trường hợp tấm dày và tấm trung bình [1, 18]

1.4 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite element methods) là một phương pháp

số đặc biệt có hiệu quả trong việc giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng, bằng cách rời rạc hóa các phương trình này theo các không gian nghiên cứu Thuật

ngữ Phần tử hữu hạn (Finite element) được biết đến với công trình nghiên cứu của

R W Clough, 1960 Ông đã đề nghị sử dụng phương pháp này như là một sự lựa chọn cho phương pháp sai phân hữu hạn đối với lời giải số của bài toán tập trung ứng suất trong cơ học môi trường liên tục Sau đó, phương pháp phần tử hữu hạn tiếp tục pháp triển và hoàn thiện với các công hiến của nhiều nhà khoa học, có thể

kể đến như: O C Zienkiewicz, R L Taylor (1967, 1971, 1977, 1989), G Strang, G Fix (1973), J N Reddy (1984, 1993), S S Rao (1982, 1989), T J T Hughes (1979), R H Gallagher (1975), E L Wilson (1971),… Trong cùng thời kỳ, sự phát triển rất nhanh của ngành công nghệ máy tính, nhiều công trình nghiên cứu lớn đã được triển khai bằng phân tích phần tử hữu hạn Từ đó, phương pháp này ngày càng được sử dụng rộng rãi trong thực tiễn [30,41]

Vì vậy, mục đích chính của đề tài này là nghiên cứu sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng lý thuyết tấm theo mô hình chuyển vị bậc nhất của Mindlin để phân tích và đánh giá các ứng xử cơ học của tấm composite lớp cốt sợi khi chịu lực

1.5 GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI VÀ CÁC VẤN ĐỀ CẦN GIẢI QUYẾT

Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong việc giải quyết các vấn đề về xác định các ứng xử cơ học trong vật liệu composite còn rất mới mẻ, đồng thời cũng là những lĩnh vực rộng lớn Do vậy, giới hạn của đề tài chỉ thực hiện trên các chi tiết điển hình và trong khuôn khổ cơ học đàn hồi tuyến tính Với việc giải quyết hai vấn

đề chính

Vấn đề thứ nhất: Xác định các quan hệ cơ bản của vật liệu dị hướng

Vấn đề thứ hai: Nghiên cứu ứng xử đàn hồi của vật liệu dị hướng để từ đó tìm

ra các ứng xử cơ học trong tấm vật liệu composite bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Cuối cùng, tác giả sẽ đưa ra các kết luận về kết quả thực hiện, nêu lên các vấn đề đã giải quyết được, các vấn đề còn tồn đọng, chưa được giải quyết và đề xuất hướng phát triển của đề tài

trong sách “Theory of Elasticity” của S Timoshenko and J.N Goodier[40,41]

Trong giới hạn phạm vi của đề tài, tác giả chỉ tóm tắt về lý thuyết biến dạng đàn hồi trong trường hợp kết cấu ở trạng thái ứng suất phẳng và lý thuyết tấm làm

cơ sở để giải quyết các vấn đề được đưa ra ở chương 1

2.1.1 Lý thuyết đàn hồi cho bài toán ứng suất phẳng

Một cách tổng quát, ứng suất và biến dạng trên các vật thể bao gồm 6 thành phần, Hình 2.1[11,40]

Đối với ứng suất:x,y,z,xy,yz,xztương ứng với ứng suất pháp theo

phương x, y, z và ứng suất tiếp theo phương z, x, y

Đối với biến dạng:x,x,x,xy,yz,xztương ứng với biến dạng pháp căng

theo phương x, y, z và trượt căng theo phương z, x, y

Dưới những điều kiện cho trước, trạng thái ứng suất và biến dạng có thể

được đơn giản hóa Vì vậy, phân tích vật thể 3D có thể được đưa về thành phân tích

2D[11]

Hình 2.1: Các thành phần ứng suất và biến dạng

Với các vật thể mỏng, kích thước theo phương z rất nhỏ so với hai phương còn lại, chịu tác dụng của các lực trong mặt phẳng Oxy, Hình 2.7,

Người ta có thể chấp nhận giả thiết rằng:

a Quan hệ ứng suất - biến dạng – nhiệt độ

Đối với vật liệu đẳng hướng và đàn hồi, chúng ta có[11]:

0

/ 1 0 0

0 /

1 /

0 / /

1

xy y x

xy y x

xy y x

G

E E

E E

Trong đó,  0 là vector biến dạng ban đầu; [  ] là ma trận hệ số đàn hồi (hay

ma trận ứng xử); E là module đàn hồi;  là hệ số possion; G là module trượt Với

) 1 (

2 / ) 1 ( 0 0

0 1

0 1

1

xy y x

xy y x

xy y

Trong đó,  0   [  ] 0 là ứng suất ban đầu

Biến dạng ban đầu  0 là do nhiệt độ, được xác định

0

T T

xy y

Trong đó,  là hệ số giãn nhiệt, Tđộ thay đổi nhiệt độ

b Quan hệ biến dạng – chuyển vị

Với giả thuyết biến dạng bé, chúng ta có:

y

u x

v y

v x

u

xy y

x y y x

xy y x

/ /

/ 0

0 /

x xy x

q y x

q y x

Trong đó, q , x q ylà các lực khối (như lực trọng trường) trên một đơn vị khối lượng

d Điều kiện biên

Biên S của vật thể có thể được chia thành hai thành phần, Hình 2.3 Thành

phần biên chính S u và thành phần biên tự nhiên S t [11] Khi đó, trên S u ta có

0

0 ,v v

u

u  và trên St ta có t x t x0,t y t y0, với t , x t y là các lực trên biên theo phương

x, y tương ứng Trong đó, u0,v0,t x0,t y0 là các thành phần biết trước

2.2 LÝ THUYẾT TẤM

Xét một tấm mỏng chịu uốn dưới tác dụng của các lực vuông góc với mặt

phẳng tấm, hệ tọa độ Oxyz được chọn sao cho mặt phẳng Oxy trùng mới mặt giữa của tấm, trục z vuông góc với mặt phẳng tấm Momen uốn, lực cắt và sự phân ứng

suất được mô tả trên, Hình 2.4 [1,9,39]

Hình 2.3: Biên S của vật thể

Hình 2.4: a) Các thành phần lực và Momen trên tấm; b) Sự phân bố ứng suất

2.2.1 Quan hệ lực - ứng suất

Với giả thuyết tấm mỏng chịu uốn, các thành phần ứng suất x,y,xy quan

hệ với các thành phần momen uốn M x,M y,M xy như sau:[1,9,38]:

2 /

2 /





 h

h x

x zdz

2 /

2 /





 h

h y

h

h xy

2 /





 h

h xz

h

h yz

y dz

2.2.2 Lý thuyết tấm mỏng của Kirchhoff

Các giả thiết của Kirchhoff[1,9,13]: Các đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng trung bình của tấm vẫn còn thẳng và vuông góc với mặt phẳng trung bình khi chịu uốn và độ dài chúng không đổi Nghĩa là, chúng không bị biến dạng trượt ngang,

Các thành phần chuyển vị (u,v) theo phương (x,y) tương ứng tại một điểm bất

kỳ trên tấm được biểu diễn theo độ võng w và các góc xoay x,ycủa mặt trung gian của tấm như sau, Hình 2.10:

y

w z z

v x

w z z

w z x

u y u

y

w z y u

x

w z x

2 2 y

2 2

2

xy y

0 1

0 1

xy y x

k k

k E

z

2 / ) 1 ( 0 0

0 1

0 1

Trong đó,

xy y x

y x

w y

w x

w k

k k k

M

xy y

xy y x

k k

k E

h

M M M

2 / ) 1 ( 0 0

0 1

0 1

) 1 (

0 1

0 1

) 1 (

12 2

3

v v

v v

w D

w D

x y

w v D

Trong đó,

) 1 (

12 2

3

v

Eh D



Chúng ta thấy rằng, nghiệm của bài toán tấm đàn hồi đẳng hướng phụ thuộc

vào hàm độ võng w Hàm độ võng này được xác định từ phương trình vi phân bậc 4

chủ đạo[39]

) , (

Trong đó, n là vector pháp tuyến của biên, Hình 2.11

2.2.3 Lý thuyết tấm của Reissner – Mindlin:

Nếu chiều dày tấm không mỏng, khi đó lý thuyết tấm của Reissner - Mindlin[1,9,13,39] được áp dụng Lý thuyết này tính toán sự thay đổi góc của tiết diện ngang, hay

0 ,

Điều này có nghĩa là các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian vẫn thẳng trong quá trình biến dạng nhưng không còn vuông góc với mặt phẳng trung gian nữa Khi đó, góc xoay tổng cộng của mặt cắt gồm 2 phần: phần thứ nhất, do độ võng của tấm khi các pháp tuyến vẫn còn vuông góc với mặt phẳng trung gian; phần thứ hai, do biến dạng trượt trung bình gây ra, Hình 2.7

Khi đó, các biến dạng trượt trung bình xz,yz đối với mặt cắt x, y tương ứng

được xác định

y xz

01)1(

Biến dạng trượt trung bình xz,yzđược xem là không đổi trên suốt bề dày của tấm nên hợp lực của các ứng suất tiếp này trên mặt cong của tiết diện là các lực cắt Q , x Q y quan hệ với biến dạng trượt như sau:

x

v

Eh Q

01)1(

Hay,

Hình 2.8: Góc xoay của các pháp tuyến và biến dạng trượt của mặt cắt ngang

 Q   E s  (2.33) Trong đó,

 

) 1 (

t

Q Q M M M

f t

E

E E

k k





2.2.4 Lý thuyết tấm nhiều lớp kinh điển

Lý thuyết tấm nhiều lớp kinh điển được xây dựng trên cơ sở chuyển vị trong mặt phẳng tấm (x,y) biến thiên tuyến tính theo chiều dày của tấm và chuyển vị theo phương z là hằng số:

u(x,y,z) = u0(x,y) – zw0’xv(x,y,z) = v0(x,y) – zw0’y (2.38) w(x,y,z) = w0(x,y)

và các giả thiết của Kirchhoff đã được ứng dụng vào để tính toán cơ học vật liệu composite lớp dạng tấm mỏng

Lý thuyết tấm kinh điển cho phép bỏ qua các thành phần biến dạng cắt ngang: γxz, γyz và εz Vì thế cũng bỏ qua thành phần ứng suất σxz, σyz và σz Tuy nhiên, vật liệu composite cốt sợi có thể bị phá hủy do tách lớp vì các mođun cắt G13

và G23 nhỏ hơn nhiều so với mođun dọc E1 Thông thường các ứng suất σxz, σyz và

σz cũng có giá trị nhỏ hơn nhiều so với các ứng suất σx, σy và σxy, giới hạn bền của chúng cũng rất nhỏ so với các giới hạn bền tương ứng với các thành phần ứng suất khác nhau trong mặt phẳng Vì vậy, lý thuyết tấm nhiều lớp kinh điển còn nhiều hạn chế khi tính toán cơ học vật liệu composite

Tuy vậy, dựa vào lý thuyết tấm nhiều lớp kinh điển, các nhà khoa học đã xây dựng và thương mại hóa nhiều phần mềm giải tích Các phần mềm này giúp các nhà thiết kế, chế tạo vật liệu tính toán được các đặc trưng cơ học của vật liệu, lựa chọn vật liệu thành phần, dự đoán và tối ưu hóa độ bền của chúng trong một số phương

án chịu lực khác nhau Có thể kể ra một số phần mềm trên thế giới:

- PC LAMINATE (USA) cho phép xác định các ma trận độ cứng A, B, D của vật liệu, các hằng số đàn hồi và dự đoán độ bền của phân tố vật liệu theo tiêu chuẩn bền Tsai – Wu trong trạng thái ứng suất phẳng

- COMPCAL được phát triển bởi trung tâm vật liệu composite của trường Đại học Delaware USA vào năm 1984 Phần mềm này có thể phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các lớp vật liệu composite trên cơ sớ

lý thuyết tấm kinh điển

- GENLAM là chương trình rất mạnh để phân tích ứng suất nhiệt trong vật liệu composite có cấu hình tùy ý, góc đặt cốt bật kỳ

- LAMRANK chuyên về tối ưu phương của cốt và độ dày của vật liệu composite khi cho trước tải trọng tác dụng

- HYBRID (CANADA) có khả năng tính toán ứng suất và biến dạng trong vật liệu composite lớp chịu kéo (nén), uốn dưới ảnh hưởng nhiệt độ, độ

ẩm Kết quả được hiển thị bằng đồ thị theo chiều dày tấm vật liệu

- Và một số chương trình khác như SUPERLAM, CYLAN, WFM, MICMA, ASCA, CADFRD, SAMCEF,… với nhiều công dụng khác nhau

Qua đây, ta có thể thấy rằng vấn đề tin học hóa trong nghiên cứu cơ học vật liệu và kết cấu composite ngày càng được nhiều nhà khoa học và các trung tâm nghiên cứu vật liệu quan tâm và phát triển

Ở Việt Nam, vì chưa có những phần mềm tính toán cơ học trên nên người nghiên cứu phải tự xây dựng lấy những chương trình tính toán phù hợp với điều kiện nghiên cứu hiện có

2.2.5 Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất

Đã có nhiều lý thuyết tấm có kể đến biến dạng cắt ngang…Trong các lý thuyết dựa vào chuyển vị, ba thành phần cấu tạo của véc tơ chuyển vị được khai triển thành chuổi lũy thừa của tọa độ z và các hàm chưa biết phụ thuộc vào tọa độ (x,y) trong mặt phẳng quy chiếu Đều này cho phép ta đưa bài toán đàn hồi ba chiều

về bài toán đàn hồi hai chiều

Ta có thể tìm thấy các lý thuyết tấm được xây dựng trên cơ sở trường chuyển

vị trong các công trình của Basset, Hildebrand, Hencky, Mindlin và nhiều công trình khác

Lý thuyết tấm dựa trên cơ sở trường chuyển vị hay được sử dụng nhất là lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất của Mindlin có dạng như sau:

u(x,y,z) = u0(x,y) – zψx(x,y) v(x,y,z) = v0(x,y) – zψy(x,y) (2.39) w(x,y,z) = w0(x,y)

Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất coi các biến dạng cắt ngang (γxz, γyz) là hằng số trên suốt chiều dày tấm, vì thế nó cần đến các hệ số hiệu chỉnh mođun cắt ngang (hay còn gọi là hệ số hiệu chỉnh cắt), là các đại lương không thứ nguyên được đưa vào nhằm hiệu chỉnh sự sai lệch giữa trạng thái hằng số của biến dạng cắt ngang so với sự phân bố bậc hai hoặc cao hơn của các biến dạng này trong lý thuyết đàn hồi Với vật liệu composite lớp, các hệ số hiệu chỉnh cắt ngang phụ thuộc vào tính chất của lớp vật liệu, cấu hình vật liệu và biên dạng hình học của kết cấu

3.1 LÝ THUYẾT LỚP COMPOSITE

Hầu như tất cả các kết cấu vật liệu composite đều được tạo thành từ những lớp mỏng theo phương chiều dày của nó Vì các lớp composite có phương của sợi hay phương cơ bản khác nhau, do đó để có thể nghiên cứu ứng xử đàn hồi của vật liệu này, nhất thiết phải chọn một hệ quy chiếu cho cả vật liệu, và xét biến đổi ứng

xử của mỗi lớp theo hệ quy chiếu chung đó

3.1.1 Tenxơ biến dạng trong hệ tọa độ bất kỳ

Các thành phần của tenxo biến dạng biểu diễn trong hệ tọa độ ei'

đều đượcsuy ra từ các thành phần của tenxo biến dạng biễu diễn trong hệ cơ sở ei

nhờ phép quay góc θ xung quanh e3

thông qua ma trận biến đổi ở hệ cơ sở như sau: ε’ = Tε.ε (2.40) Trong đó Tε là ma trận biến đổi hệ cơ sở biến dạng:

2 2

2 2

sincos

00

0cossin2cossin2

0cos

sin00

0

0sin

cos00

0

00

010

0

cossin0

00cos

sin

cossin0

00sin

1

2 2

2 2

2 2

1

sincos

00

0cossin2cossin2

0cos

sin00

0

0sin

cos00

0

00

010

0

cossin0

00cos

sin

cossin0

00sin

3.1.2 Tenxo ứng suất trong hệ tọa độ bất kì

Để mô tả trạng thái ứng suất tại một điểm của vật thể chịu lực, các thành phần ứng suất '

2 2

2 2

sincos

00

0cossincos

sin

0cos

sin00

0

0sin

cos00

0

00

010

0

cossin20

00cos

sin

cossin20

00sin

2 2

2 2

1

coscos

00

0cossin2cossin

2

0cos

sin00

0

0sin

cos00

0

00

010

0

cossin0

00cos

cos

cossin0

00sin

Hình 2.8: Hệ trục chính vật liệu(1,2,3) và hệ quy chiếu chung(x 1 ,x 2 ,x 3 )

Áp dụng các biểu thức của phép biến đổi cơ sở vào ma trận độ cứng, ta sẽ thu được

ma trận C’ trong hệ tọa độ (1’,2’,3’) với phép biến đổi từ (1,2,3) sang (1’,2’,3’) nhờ phép quay góc θ và ngược lại

C’ = T1.C.T (2.45) Với C là hằng số độ cứng của vật liệu composite đồng phương:

4 22 4

Ccos

sin)C4C

12 3

66 12

2 66 12

4 11

12 3

66 12

23 22

23 22

Ccos

sin)CC(2C

0

0

y y xy

xy xx )

M ( (2.46)

3.1.5 Phương trình đàn hồi trong trạng thái ứng suất phẳng

' 2

' 1

66 26 16

26 22 12

16 12 11

' 6

' 2

' 1

' 6

' 2

' 1

'Q'Q'Q

'Q'Q'Q

'Q'Q'Q'

' 3 j ' 3 i ' ij ' ij

C

CCC

Q   với i,j =1,2,6 và Q = 'ij Q 'ji

CHƯƠNG 3 CÁC QUAN HỆ CƠ BẢN CỦA VẬT LIỆU COMPOSITE

DẠNG TẤM

Những vật liệu composite đơn giản đã có từ rất xa xưa Khoảng 5000 năm trước công nguyên, con người đã biết trộn những viên đá nhỏ vào đất trước khi làm gạch để tránh bị cong vênh sau khi phơi nắng Và điển hình về composite chính là hợp chất được dùng để ướp xác của người Ai Cập

Chính thiên nhiên đã tạo ra cấu trúc composite trước tiên, đó chính là thân cây gỗ, có cấu trúc composite gồm nhiều sợi xenlulo dài được kết nối với nhau bằng licnin Kết quả của sự liên kết hài hòa ấy là thân cây vừa bền, vừa dẻo – một cấu trúc composite lý tưởng

Người Hy Lạp cổ cũng đã biết lấy mật ong trộn với đất, đá, cát sỏi làm vật liệu xây dựng Và ở Việt Nam, ông cha ta ngày xưa đã truyền lại cách làm nhà bằng bùn trộn với rơm băm nhỏ để trát vào vách nhà, khi khô tạo được lớp vật liệu cứng, mát vào mùa hè và ấm vào mùa đông…

Mặc dù composite là loại vật liệu đã có từ rất lâu, nhưng ngành khoa học về vật liệu composite chỉ mới hình thành gắn với sự xuất hiện trong công nghệ chế tạo tên lửa ở Mỹ từ những năm 1950 từ đó đến nay, khoa học công nghệ vật liệu composite đã phát triển trên toàn thế giới và thuật ngữ “vật liệu mới” ngày nay đồng nghĩa với “vật liệu composite”[20]

3.1.1 Các thuật ngữ, khái niệm và những ứng dụng của vật liệu composite [9,20,27]

Vật liệu composite có nghĩa là hai hay nhiều loại vật liệu kết hợp với nhau để tạo thành vật liệu thứ ba có nhiều tính chất tốt hơn các vật liệu thành phần, tiêu biểu như: có độ bền riêng cao (độ bền/khối lượng riêng), môđun riêng cao (modul/khối lượng riêng), chống co rút, độ bền mỏi cao, cách âm, cách nhiệt tốt và chịu được

các tác động khác của môi trường bên ngoài (môi trường kiềm, axit, tác động sinh hóa, tác động của khí hậu…)

Nhìn chung, mỗi vật liệu composite được tạo thành gồm một hay nhiều pha gián đoạn được phân bố trong một pha liên tục duy nhất Pha liên tục gọi là vật liệu nền (vật liệu kết dính), làm nhiệm vụ liên kết các pha gián đoạn lại Pha gián đoạn gọi

là cốt (vật liệu tăng cường), được trộn vào pha nền làm tăng cơ tính, tính kết dính, chống mòn, chống xước

- Cốt (vật liệu tăng cường): các thành phần cốt của composite phải thỏa mãn được những đòi hỏi về khai thác và về công nghệ Đòi hỏi về khai thác là những đòi hỏi như yêu cầu về độ bền, độ cứng, khối lượng riêng, độ bền trong một khoảng nhiệt độ nào đó, độ bền ăn mòn trong môi trường axit, kiềm Còn đòi hỏi về công nghệ là những đòi hỏi về khả năng công nghệ để sản xuất ra những thành phần cốt

và những vật liệu composite trên cơ sở sử dụng những cốt này Hiện nay, thành phần cốt của composite thường dùng là các sợi ngắn, các sợi dài đơn, các dạng sợi tết ( được xoắn gồm nhiều loại sợi với nhau): sợi thủy tinh, sợi cacbon hoặc sợi kim loại mỗi loại sợi có tính năng, ưu điểm, khuyết điểm và hiệu quả riêng Độ bền của vật liệu composite phụ thuộc vào hình thức sắp xếp sợi và số lượng sợi được sử dụng Sợi được gộp thành tao sợi, mỗi tao sợi có khoảng 100 sợi, những tao này được gộp lại thành nhiều lọn Nếu những lọn này được se lại, người ta gọi là chỉ sợi Những lọn sợi này tạo ra sự tăng cường độ bền theo một chiều Nếu muốn tăng cường độ bền theo hai chiều, người ta sẽ dùng chỉ sợi dệt thành vải Trên thực tế, thành phần cốt luôn chiếm không quá 60% - 65% thể tích của vật liệu composite Theo tính toán, nếu thành phần cốt chiếm quá liều lượng trên (tức là khi các thành phần cốt quá sít lại gần nhau), giữa chúng sẽ nảy sinh tương tác dẫn đến sự tập trung ứng suất làm giảm sức bền của vật liệu

Vật liệu composite thường gồm nhiều lớp, các lớp được dính lại với nhau để tạo thành tấm, trong một lớp có thể gồm các sợi ngắn và sợi dài xếp song song với nhau Trong vật liệu composite, thành phần chịu lực chính là cốt, nền có nhiệm vụ liên kết, bảo vệ và truyền tải trọng cơ học cho cốt

- Nền (hay vật liệu kết dính): giữ vai trò cực kỳ quan trọng trong việc chế tạo ra vật liệu composite Vì vậy, nền phải đảm bảo được cho vật liệu composite làm việc trong những điều kiện khai thác khác nhau, đảm bảo được sự làm việc đồng đều, hiệu quả giữa các thành phần cốt với các dạng đặt tải khác nhau, bền vững khi chịu tải trượt, hoặc chịu tải ở những hướng lệch với hướng của các dầm cốt hoặc chịu tải tuần hoàn Bản thân vật liệu nền sẽ xác định vật liệu composite mới tạo ra chịu được đến nhiệt độ nào và cũng quyết định khả năng chịu đựng các tác động của môi trường, hóa học và một phần tính chất cơ học, vật lý và những đặc tính khác của vật liệu nói chung Chính vì vật liệu nền có vai trò quan trọng như vậy, nên ngoài cách phân loại theo cấu trúc, người ta còn gọi tên vật liệu composite theo vật liệu nền: vật liệu composite polyme, vật liệu composite kim loại, vật liệu composite cacbon, vật liệu composite gốm…

Vật liệu composite đã có một lịch sử ứng dụng khá lâu và ngày nay, loại vật liệu này được sử dụng rất nhiều trong hầu hết các lĩnh vực:

- Trong xây dựng: người ta chủ yếu dùng composite nền hữu cơ: ống dẫn dầu (khí), tấm lợp, panel vách ngăn, kênh thoát hóa chất, lớp phủ van công trình thủy lợi, gối đệm mố cầu

- Trong chế tạo máy: sử dụng composite polyme để chế tạo thanh truyền và piston, khớp nối, dĩa phanh máy bay Concord, khuôn đúc áp lực, các chi tiết chịu lực, chịu ma sát, sản xuất khung xe ôto, vỏ tàu, thuyền du lịch, thuyền đánh cá Composite sợi gốm, sợi cacbon được dùng để chế tạo các chi tiết làm việc ở nhiệt

độ cao: trục đệm các cách quạt tuabin

- Đặc biệt trong ngành hàng không vũ trụ, do yêu cầu các khí cụ bay và các vật thể bay cần độ bền cao và trọng lượng nhẹ nên composite được dùng để chế tạo thân, vỏ máy bay vận tải, ghế hành khách và một số chi tiết khác

3.1.2 Cấu trúc vật liệu composite dạng tấm nhiều lớp

Sự đa dạng trong thiết kế các kết cấu, vật liệu composite được hình thành trên cơ sở lựa chọn nhựa và sợi, sau đó là phương pháp gia công Tuy nhiên, sự đa dạng này còn được mở rộng hơn nữa bằng cách dùng cấu trúc sắp xếp lớp Một

trong những mục tiêu chính của phương pháp xếp lớp là đạt được cường độ và độ cứng cao với trọng lượng tối thiểu Đây là một trong những công nghệ quan trọng

để tạo ra các sản phẩm phục vụ cho nền công nghiệp hiện đại: hàng không, thể thao…vì nó cho phép chúng ta kiểm soát được thành phần sợi và hướng sợi, cho nên lớp vật liệu một chiều có thể đặt trong các hướng khác nhau để đảm bảo độ cứng và cường độ chịu lực theo hướng mong muốn

Vật liệu composite lớp là loại vật liệu gồm nhiều lớp composite liên tục, mỗi lớp vật liệu có bản chất lớp cốt khác nhau Các đặc trưng của tấm phụ thuộc vào hướng sợi của các lớp cũng như vị trí của chúng trong tấm Để mô tả một tấm composite, hướng sợi và vị trí của từng lớp phải được xác định chính xác

Để xác định vị trí của các lớp trong kết cấu tấm composite, người ta phải thiết lập hệ tọa độ toàn cục (X,Y,Z), đặt mặt phẳng x-y song song với mặt phẳng của tấm và trục z hướng theo chiều dày Hướng của góc sợi θ được tính theo trục x như trong hình vẽ (1.1) Vị trí của các lớp được liệt kê liên tiếp bắt đầu từ mặt thứ nhất đến các mặt khác dọc theo chiều dương trục z

- Tính lặp lại: Nếu lớp hoặc lớp con lặp lại liền nhau nhiều lần trong tấm thì người ta dùng chỉ số lặp để chỉ sự lặp lại của góc hoặc của lớp hoặc một nhóm góc của lớp con Ví dụ: [02/452] thay cho [0/0/45/45]

Tùy theo cách bố trí của cốt mà chúng ta có được các loại composite khác nhau:

- Khi các lớp có cốt bố trí theo cùng một phương, ta có composite đồng phương

- Khi sợi được chặt vụn và phân bố ngẫu nhiên trong lớp, ta có composite mat

- Khi một hay nhiều lớp theo phương 00 kèm theo phương 900, ta có composite lớp vuông

x



(1) (2) (3)

(4)

h

h

Mặt phẳng trung bình

- Khi tấm chỉ chứa các lớp –θ và +θ thì ta có tấm composite lớp góc, tấm cân bằng là tấm khi các lớp +θ và –θ xen kẽ nhau

Trên phương diện cơ học, vật liệu composite được xếp thành các nhóm chính sau:

- Composite đẳng hướng: cốt hạt hoặc bột Chú ý là khi tấm đối xứng có số lớp n (n ≥ 3) mà các góc giữa hai hướng kề nhau là π/n thì tấm được gọi

là tấm tựa đẳng hướng Mặc dù các lớp là bất đẳng hướng, nhưng các đặc trưng về độ cứng trong mặt phẳng là đẳng hướng

- Composite đẳng hướng ngang: composite đồng phương hoặc composite

“mat”

- Composite trực hướng: composite lớp vuông hoặc composite cốt vải dệt Lớp vật liệu composite rất mỏng, được tạo ra sau phản ứng hóa học Lớp vật liệu này gọi là lớp mỏng (ply hoặc lamina), mỗi lớp mỏng gọi là lamina, còn vật liệu composite gia công theo cách trát lớp gọi là laminate Như vậy, vật liệu với tên gọi laminate sẽ bao gồm ít nhất từ hai lớp trở lên Mỗi lớp vật liệu phải được chế tạo nhằm đáp ứng yêu cầu cuối cùng của toàn thể tấm laminate, vì tính chất đặc trưng của mỗi lớp riêng lẻ sẽ góp một tiếng nói mang tính chất quyết định cho tính chất của vật liệu Muốn tìm hiểu tính chất vật liệu composite dạng laminate luôn phải thông qua việc tìm hiểu tính chất của mỗi lớp riêng lẻ

3.2 QUAN HỆ ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG TRONG TẤM COMPOSITE MỎNG

Chưa có định nghĩa chuẩn cho tấm composite mỏng, nhưng Tan S.C đã định nghĩa tấm composite mỏng là tấm có chiều dày nhỏ hơn 6mm (0.24 inch) [43] Về

lý thuyết, tấm mỏng được hiểu là tấm có kích thước theo phương z nhỏ hơn rất nhiều so với hai phương còn lại (z << x,y) Trên thực tế, z = (0,1 ÷ 40mm) Đối với tấm composite mỏng, tại một điểm nào đó trong miền, cách xa cạnh tự do của tấm thì các ứng suất trong mỗi lớp là không đổi trong suốt chiều dày của lớp Với giả thiết của tấm mỏng thì chúng ta có thể đơn giản hóa mối quan hệ ứng suất và biến dạng từ bài toán 3 chiều về quan hệ ứng suất và biến dạng phẳng (2 chiều)

3.2.1 Quan hệ ứng suất và biến dạng trong một lớp vật liệu

Tấm vật liệu composite được tạo thành từ nhiều lớp liên tiếp, trong đó phương của sợi hay phương cơ bản là khác nhau Để nghiên cứu ứng xử đàn hồi của

nó, ta phải quy về một hệ quy chiếu chung cho cả tấm vật liệu và nhiệm vụ đặt ra là phải biến đổi ứng xử cơ học của mỗi lớp từ hệ cơ sở sang hệ quy chiếu chung

Hình 3.3: Hệ trục chính của lớp vật liệu: (1, 2, 3) và hệ trục tọa độ toàn cục (x,y,z)

của tấm composite

Ta ký hiệu hệ tọa độ của lớp (1,2,3), trong đó, trục 1 là trục song song với phương của sợi, trục 2 là trục vuông góc với phương sợi vì trạng thái ứng suất phẳng song song với mặt phẳng (1,2), (tức là σ23 = σ13 = σ33 = 0) Gọi hệ tọa độ toàn cục của tấm là (x,y,z), mặt phẳng (x,y) là mặt phẳng nằm trong mặt phẳng trung bình của tấm Mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong các hệ tọa độ này như sau:

12 11

12 22 11

0 0

0 0

Q

Q Q

Q Q

1 11

1  

 E

21 12

2 22

1 x

66 12

21 12

1 12 21

12

E Q

Q

Các số hạng Qij được gọi là độ cứng quy đổi (khác với hệ số đàn đồi Cij), mối quan

hệ ngược lại của phương trình (3.1) được biểu diễn như sau:

66

22 21

12 11

12 22 11

0 0

0 0

S S

(3.3)

Trong đó: Sij là thành phần của ma trận độ mềm được biểu thị qua các mođun kỹ thuật:

1 11

E

S 

2 22

1

E

S 

12 66

Đối với composite đẳng hướng ngang, khi ta chỉ xem xét nó trong mặt phẳng (1,2),

nó cũng được xem là trực hướng, tức là trong hệ tọa độ chính của lớp, nó có cùng giá trị Qij và ta có mối quan hệ như sau:

2 21 1

12

E E



Bây giờ ta tìm quan hệ ứng suất biến dạng của lớp lệch trục, trục 1 lệch 1 góc θ so với trục x hệ toàn cục Để thu được quan hệ ứng suất và biến dạng trong hệ trục toàn cục, ta dùng quy tắc chuyển trục bằng cách quay trục x quanh trục z một góc θ đến trục 1

Ứng suất phẳng trong hệ toàn cục được biểu diễn qua ứng suất trong hệ tọa độ chính:

2 2

2 2

2 2

22

mn m

n

mn n

m

xy y

2 2

2 2

2 2

mn m

n

mn n

m

xy y

2 2

2 2

2 2

n m mn mn

mn m

n

mn n

2 2

2 2

2

2mn mn m n

mn m

n

mn n

xy y x

xy y x

Q Q Q

Q Q Q

Q Q Q Q

26 22 12

16 12 11

''

'''

'''

Từ đó, ta có:

 Q'ij  T 1 Q ij  T (3.7) Với:

Q’11 = Q11cos4θ + 2(Q12 + 2Q66)cos2θsin2θ + Q22sin4θ

Q’12 = Q’21 = Q12(cos4θ + sin4θ) + (Q11 + Q22 – 4Q66)cos2θsin2θ

Q’22 = Q22cos4θ + 2(Q12 + 2Q66)cos2θsin2θ + Q11sin4θ

Q’16 = Q’61 = (Q11 – Q12 – 2Q66)cos3θsinθ + (Q12 – Q22 + 2Q66)cosθsin3θ

Q’26 = Q’62 = (Q11 – Q12 – 2Q66)cosθsin3θ + (Q12 – Q22 + 2Q66)cos3θsinθ

Q’66 = Q66(cos4θ + sin4θ) + (Q11 + Q22 - 2Q12 – 2Q66)cos2θsin2θ

Trên thực tế, [Q’] là một ma trận đầy đủ biểu thị rằng biến dạng trượt xytrong mặt phẳng (x,y) gắn liền với biến dạng pháp xxvà εyy, ứng xử này được gọi là biến dạng trượt và biến dạng dài

xy y x

xy y x

S S S

S S S

S S S S

26 22 12

16 12 11

'''

'''

'''

Từ (3.3), (3.5), (3.8), ta có các thành phần độ mềm của lớp:

[S’ij] = [Tε]-1[Sij][Tij] (3.9)

Với:

S’11 = S11cos4θ + (2S12 + S66)cos2θsin2θ + S22sin4θ

S’12 = S’21 = S12(cos4θ + sin4θ) + (S11 + S22 – S66)cos2θsin2θ

S’22 = S22cos4θ + (2S12 + S66)cos2θsin2θ + S11sin4θ

S’16 = S’61 = (2S11 – 2S12 – S66)cos3θsinθ + (2S12 – 2S22 + S66)cosθsin3θ

S’26 = S’62 = (2S11 – 2S12 – S66)cosθsin3θ + (2S12 – 2S22 + S66)cos3θsinθ

Q’66 = S66(cos4θ + sin4θ) + 2(2S11 + 2S22 - 4S12 – S66)cos2θsin2θ

Lý thuyết tấm của Mindlin chỉ cho phép bỏ qua ứng suất pháp σzz, nhưng phải kể đến các ứng suất trượt trong tấm, có nghĩa là ta phải kể đến các biến dạng trượt γxz,

γyz, khi đó, quan hệ của ứng suất và biến dạng trong trường hợp này có thể biểu diễn như sau:

k xz yz xy y x

k xz yz xy y x

Q Q

Q Q

Q Q Q

Q Q Q

Q Q Q

45 44

66 26 16

26 22 12

16 12 11

''000

''000

00'''

00'''

00'''

(3.10)

Trong đó, Q’ij ( i,j = 1,2,6) được xác định theo công thức (3.7) còn Q’ij (i,j = 4,5) được xác định theo công thức:

Q44 = G23 ; Q55 = G13Q’44 = Q44cos2θ + Q55sin2θ Q’45 = (Q55 – Q44)cosθsinθ Q’55 = Q44sin2θ + Q55cos2θ

3.2.2 Quan hệ ứng suất và biến dạng trong nhiều lớp vật liệu

Xét tấm composite n lớp, trong đó, mỗi lớp là composite đồng phương Chọn mặt phẳng XOY là mặt phẳng quy chiếu, trùng với mặt phẳng trung bình, phương của

Oz trùng với phương chiều dày tấm Tấm composite nhiều lớp được đánh số từ dưới lên trên, mỗi lớp được xác định bởi chiều cao hk-1 và hk

Theo Kirchoff, tấm chịu uốn tuân theo các giả thuyết sau:

- Pháp tuyến thẳng và luôn vuông góc với mặt trung bình

- Bỏ qua biến dạng cắt ngang (γxz = γyz = 0)

- Các lớp song song với mặt trung bình không có tác dụng tương hỗ với nhau (σz = 0)

Khi nghiên cứu tấm chịu uốn, Mindlin nhận thấy trong nhiều trường hợp, ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang là không thể bỏ qua được Vì vậy, trong các nghiên cứu sau này của ông có xét đến biến dạng trượt ngang Và để tìm qua hệ giữa ứng suất và biến dạng trong tấm composite nhiều lớp, ta sử dụng các giả thuyết sau:

- Pháp tuyến thẳng, nhưng không vuông góc với mặt trung bình

- Biến dạng trong tấm thỏa mãn sơ đồ bậc nhất

- Có xét đến biến dạng trượt ngang