ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
HỒNG HẢI BÌNH
PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CƠ HỌC VẾT NỨT TRONG VẬT LIỆU COMPOSITE BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU
HẠN NỘI SUY MỞ RỘNG
Chuyên ngành: Cơ Kỹ Thuật Mã số: 8520101
LUẬN VĂN THẠC SĨ
Trang 2CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG-HCM Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS TS Trương Tích Thiện Chữ ký:
Cán bộ chấm nhận xét 1: TS Nguyễn Thanh Nhã Chữ ký:
Cán bộ chấm nhận xét 2: TS Nguyễn Ngọc Minh Chữ ký:
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 12 tháng 07 năm 2023
Thành phần hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ)
1 GS TS Ngơ Kiều Nhi - Chủ tịch
2 TS Nguyễn Duy Khương - Thư ký
3 TS Nguyễn Thanh Nhã - Phản biện 1
4 TS Nguyễn Ngọc Minh - Phản biện 2
6 TS Trương Quang Tri - Ủy viên
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và bộ mơn quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu cĩ)
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA
Trang 3ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: HỒNG HẢI BÌNH MSHV: 1970002 Ngày, tháng, năm sinh: 09/10/1993 Nơi sinh: Thanh Hĩa
Chuyên ngành: Cơ Kỹ Thuật Mã số: 8520101
I TÊN ĐỀ TÀI: Phân Tích Ứng Xử Cơ Học Vết Nứt Trong Vật Liệu Composite Bằng Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Nội Suy Mở Rộng (An Extended Twice - Interpolation Finite Element Method for Composite) II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG
1 Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về composite và phần tử hữu hạn nội suy mở rộng (XTFEM) để làm cơ sở lập trình một chương trình tính tốn cụ thể
2 Lựa chọn một vài mơ hình bài tốn từ đơn giản đến phức tạp để ứng dụng phương pháp XTFEM tính tốn cụ thể với các mơ hình đĩ
3 Lập trình một chương trình tính tốn kết cấu các mơ hình đã chọn bằng cả hai phương pháp XFEM và XTFEM sử dụng ngơn ngữ lập trình MATLAB
4 Đánh giá kết quả tính tốn các mơ hình đơn giản do chương trình tính tốn bằng MATLAB với lời giải giải tích
III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 05/09/2022 IV NGÀY HỒN THÀNH NHIỆM VỤ: 21/05/2023
V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN
Nội dung và yêu cầu luận văn tốt nghiệp đã được thơng qua bộ mơn
TP Hồ Chí Minh, ngày tháng năm
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MƠN ĐÀO TẠO
(Họ tên và chữ ký) (Họ tên và chữ ký)
PGS.TS Trương Tích Thiện
TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
Trang 4LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tơi xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn PGS.TS Trương Tích Thiện và NCS Trần Kim Bằng Chính nhờ sự định hướng, và hướng dẫn tận tâm của cả hai Thầy mà em mới cĩ thể hồn thành luận văn này một cách tốt nhất
Em xin gửi lời cảm ơn đến nhà trường Đại học Bách Khoa – Tp.HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em cũng như tất cả học viên trong suốt quá trình học tập
Xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến tất cả thầy cơ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt nhiều kiến thức và rất nhiều kinh nghiệm quý báu đặc biêt là bộ mơn Cơ Kỹ Thuật, nơi em đã may mắn được đào tạo trong cả hai chương trình Đại học và Sau đại học Các thầy cơ đã trang bị cho em những kiến thức quý báu, đã từng bước hướng dẫn em đi vào con đường nghiên cứu khoa học Nếu khơng cĩ sự giúp đỡ của thầy cơ thì chắc chắn em sẽ khơng cĩ được kiến thức như ngày hơm nay
Luận văn thạc sĩ đã hồn thành trong thời gian quy định với sự nỗ lực của bản thân, tuy nhiên khơng thể khơng cĩ những thiếu sĩt Kính mong các thầy cơ hướng dẫn để em bổ sung kiến thức và hồn thiện bản thân hơn
Xin trân trọng cảm ơn!
TP Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 05 năm 2023
Học viên thực hiện
Trang 5TĨM TẮT LUẬN VĂN
Ngày nay, trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật như xây dựng dân dụng, cơng nghiệp, chế tạo máy bay, tàu ngầm, xe ơ tơ, xe tải, …, yêu cầu sử dụng các loại vật liệu nhẹ, cĩ độ cứng lớn và chịu lực ngày càng cao Để đáp ứng những yêu cầu trên, vật liệu composite đã được phát triển và ngày càng được sử dụng phổ biến Vết nứt và khuyết tật xuất hiện sẽ gây ra hiện tượng tập trung ứng suất và làm ảnh hưởng lớn đến độ bền của kết cấu Trong nhiều trường hợp, sự đứt gãy xảy ra tại biên của hai loại vật liệu trong composite do sự kết dính và vết nứt Điều này dẫn đến sự suy giảm khơng mong muốn về hiệu suất cũng như cơ tính vật liệu trong q trình làm việc Trước sự cần thiết và tầm quan trọng thực tế của vấn đề, phân tích ảnh hưởng của vết nứt lên biên của hai vật liệu trong composite đã được nghiên cứu trong nhiều thập kỷ qua
Trang 6ABSTRACT
Today, in many technical fields such as civil construction, industry, aircraft manufacturing, submarines, cars, trucks, , it is required to use lightweight materials, with great stiffness and strength bearing capacity is increasing Composite materials have been developed and are increasingly used to meet the above requirements The appearance of cracks and defects will cause stress concentration and greatly affect the strength of the structure In many cases, fracture occurs at the boundary of two materials in the composite due to adhesion and cracking This leads to undesirable performance deterioration and material mechanical properties during work Given the necessity and practical importance of the problem, analysis of the effect of cracks on the boundary of two materials in composites has been studied for decades
Trang 7LỜI CAM ĐOAN
Tác giả xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của bản thân tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trương Tích Thiện và NCS Trần Kim Bằng Các kết quả nghiên cứu và các kết luận trong luận án này là trung thực và chưa từng được cơng bố trong bất kỳ một cơng trình nghiêm cứu nào khác Việc tham khảo các nguồn tài liệu (nếu cĩ) đã được thực hiện trích dẫn và ghi nguồn tài liệu tham khảo đúng quy định
TP Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 05 năm 2023
Học viên thực hiện
Trang 8MỤC LỤC
CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1
1.1 Tính cấp thiết của đề tài 1
1.1.1 Vật liệu composite 1
1.1.2 Về phương pháp số 3
1.2 Tình hình nghiên cứu trong và ngồi nước 5
1.2.1 Tình hình nghiên cứu ngồi nước 5
1.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước 6
1.3 Mục tiêu nghiên cứu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu 7
1.4 Bố cục luận văn 8
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 9
2.1 Cơ học phá hủy 9
2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và những khĩ khăn 13
CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG
(XFEM – EXTEND FINITE ELEMENT METHOD) 17
3.1 Chức năng làm giàu 18
3.2 Phương pháp phân chia đơn vị 19
3.3 Phương pháp phần tử hữu hạn phân chia đơn vị 20
3.4 Hàm chuyển vị xấp xỉ trong phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng 21
3.5 Hàm khoảng cách xét dấu 23
3.6 Theo dõi biên bất liên tục di chuyển 23
3.6.1 Giới thiệu phương pháp tập mức (level set method) 25
3.6.2 Phương pháp tập mức để xác định vêt nứt 26
3.7 Tích phân số cho các phần tử cĩ vết nứt cắt qua và phần tử chứa đỉnh vết nứt [31] 33
3.8 Vấn đề làm giàu biên vật liệu cắt qua phần tử để mơ tả các hạt cứng trong vật liệu 35
3.9 Làm giàu cho biên lỗ rỗng 40
3.10 Làm giàu cho tạp chất, hạt cứng 43
3.11 Làm giàu phần tử cĩ vết nứt cắt qua 44
3.11.1 Mơ phỏng sự hình thành vết nứt [31] 44
3.11.2 Thiết lập các ma trận làm giàu 48
Trang 94.1 Giới thiệu 52
4.2 Quy trình nội suy liên tiếp [31] 53
4.2.1 Biểu thức 53
4.2.2 Hiệu chỉnh để duy trì độ liên tục C0 56
4.3 Phương pháp phần tử hữu hạn nội suy liên tiếp cho bài tốn hai chiều - 2D 56
4.3.1 Dạng tổng quát của nội suy liên tiếp [15] 56
4.3.2 Phần tử tam giác ba nút T3 58
4.3.3 Phương pháp phần tử hữu hạn nội suy liên tiếp cho phần tử 4 node - 2D (TQ4) [21] 59
4.4 Phương pháp phần tử hữu hạn nội suy liên tiếp mở rộng cho vật liệu composite dạng hạt 64
4.4.1 Hàm làm giàu cho biên bất liên tục trong phương phần tử hữu hạn nội suy liên tiếp mở rộng 65
4.4.2 Phương trình rời rạc XTQ4 70
4.5 Tích phân tương tác (J) và tính tốn hệ số cường độ ứng suất (SIFs) 72
4.5.1 Tích phân J 72
4.5.2 Tích phân tương tác 73
4.5.3 Miền tương tác 75
CHƯƠNG 5 KẾT QUẢ SỐ 78
5.1 Bài tốn 1: Biên bất liên tục là vết nứt tĩnh 78
5.1.1 Đánh giá sự hội tụ của hệ số cường độ ứng suất theo số lượng nút phần tử 79
5.1.2 So sánh hệ số cường độ ứng suất KI (Mode I) theo tỷ số a/W 83
5.2 Bài tốn 2 – Biên bất liên tục là vết nứt và hạt cứng 85
5.3 Bài tốn 3 – Biên bất liên tục là vết nứt và lỗ rỗng 90
5.4 Bài tốn 4 – Biên bất liên tục hỗn hợp 1 vết nứt, 1 hạt cứng và 1 lỗ rỗng 94
5.5 Bài tốn 5 – Biên bất liên tục là một vết nứt, hai hạt rỗng và hai hạt cứng 99
CHƯƠNG 6 TỔNG KẾT VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 104
6.1 Tổng kết 104
6.2 Hướng phát triển 105
DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC 106
Trang 10MỤC LỤC HÌNH ẢNH
Hình 1.1Vật liệu Composite 2 phases 1
Hình 1.2Phân loại vật liệu composites 1
Hình 1.3Mộ số ứng dụng của composite trong cơng nghiệp 2
Hình 1.4Vết nứt trên thân máy bay làm từ vật liệu composite 2
Hình 1.5Sự khác nhau chia lưới giữa XFEM và FEM 4
Hình 2.1Các mode phá hủy hư hỏng 9
Hình 2.2 Định nghĩa trục tọa độ tại đỉnh một vết nứt 12
Hình 2.3Phần tử và điều kiện biên của phương pháp phần tử hữu hạn trong bài tốn cơ học 2D 13
Hình 2.4Kết quả hội tụ theo số phần tử lưới 15
Hình 3.1Mơ hình khác nhau của hàm Heaviside (Mohammadi, 2008) (Reproduced by permission of John Wiley & Sons, Ltd.) 18
Hình 3.2Hàm làm giàu cho biên vật liệu cắt qua 19
Hình 3.3Miền ảnh hưởng của một nút cạnh J và một nút bên trong J’ trong lưới phần tử hữu hạn bất kỳ 22
Hình 3.4Các miền ảnh hưởng (hỗ trợ) của các nút A và B và tập hợp các nút được làm giàu cho một vết nứt và lỗ điển hình 23
Hình 3.5Mơ mơ tả đươn giản của LSM, bao gồm một hình chiếu trực diện lên mặt phẳng xy và hàm tập mức tại giao điểm của bề mặt và mặt phẳng xy (Mohammadi, 2008)[33] 25
Hình 3.6(a) Miền với một biên bất liên tục hở, (b) Miền là một biên bất liên tục kín 25
Hình 3.7Hàm xét dấu khoảng cách 26
Hình 3.8Hàm tập mức pháp tuyến và hàm tập mức tiếp tuyến ψ 27
Hình 3.9Hàm tập mức pháp tuyến cho một vết nứt bên trong 28
Hình 3.10Hàm tập mức tiếp tuyến ψ1 và ψ2ứng với các đỉnh vết nứt 1 và 2 trong vật thể
29Hình 3.11Hàm tập mức tiếp tuyến ψcho một vết nứt nằm bên trong tấm 29
Hình 3.12Hàm tập mức pháp tuyến và tiếp tuyến mơ tả đặc điểm các vết nứt 30
Hình 3.13Mơ phỏng nút mở rộng trong bài tốn nứt 2D 30
Hình 3.14Lỗi phát hiện phần tử cĩ vể nứt cắt qua 32
Hình 3.15Lỗi phát hiện phần tử cĩ vể nứt cắt qua và phần tử chứa đỉnh vế nứt khi vết nứt phát triển [36] 32
Hình 3.16Sự lựa chọn các phần tử làm giàu sử dụng level set cho vết nứt đi lên và đi xuống [31] 33
Hình 3.17Các loại phần tử khi mơ phỏng vết nứt lan truyền bằng XFEM 34
Hình 3.18Điểm Gauss trên vùng tam giác con của các phần tử làm giàu 35
Hình 3.19Hình Sự bất liên tục một chiều 35
Trang 11Hình 3.21Hàm bước nhảy χ1' 36
Hình 3.22Hàm bước nhảy2 37
Hình 3.23Biên bất liên tục vật liệu trong vật thể 37
Hình 3.24Biên bất liên tục vật liệu trong vật thể 38
Hình 3.25Hàm bước nhảy3 38
Hình 3.26Hàm bước nhảy4 39
Hình 3.27Hàm bước nhảy5 39
Hình 3.28Hàm khoảng cách xét dấu 41
Hình 3.29Hàm level set (Fries, 2018 - 22( , )x yxyr=+− ) 41
Hình 3.30Sự phân chia thành từng ơ trong phần tử để tính tích phân Gauss 43
Hình 3.31Mơ hình hĩa biên bất liên tục là một lỗ rỗng, trong Matlab 43
Hình 3.32Mơ hình hĩa biên bất liên tục là một hạt cứng, trong Matlab 44
Hình 3.33Thành phần của hàm làm giàu tại đỉnh vết nứt 47
Hình 3.34Thành phần của hàm làm giàu tại đỉnh vết nứt 47
Hình 3.35Mơ hình hĩa một biên bất liên tục là vết nứt cạnh, trong Matlab 48
Hình 4.1So sánh hàm dạng giữa phương pháp FEM cơ bản và phương pháp FEM kết hợp kỹ thuật nội suy liên tiếp trong khơng gian 1 chiều (1D) 55
Hình 4.2Phần tử tứ giác a, hệ tọa độ vật lý (tồn cục) b, hệ tọa độ tự nhiên 59
Hình 4.3Điểm cần nội suy và miền hỗ trợ của tọa độ x trong phần tử tứ giác 4 nút – Q4, 2D 61
Hình 4.4Hàm dạng của phần tử tứ giác 4 nút sử dụng FEM và FEM kết hợp nội suy liên tiếp - TFEM, trong 2D [22] 63
Hình 4.5Mơ tả biên bất liên tục trong một vật liệu composite dạng hạt bao gồm khuyết tật là các vết nứt, lỗ trỗng và tạp chất khơng mong muốn 65
Hình 4.6Miền hỗ trợ cho phần tử e liên tục và bất liên tục của XTFEM, cho vết nứt 66
Hình 4.7Mơ tả hàm làm giàu Heavide khi biên bất liên tục là vết nứt, phần tử tứ giác 4 nút 67
Hình 4.8Mơ tả hàm làm giàu đỉnh vết nứt cho phần tử tứ giác 4 nút 68
Hình 4.9Mơ tả hàm làm giàu khi biên bất liên tục là biên vật liệu/ biên hạt chất, phần tử tứ giác 4 nút 69
Hình 4.10Mơ tả hàm làm giàu khi biên bất liên tục là biên lỗ rỗng, phần tử tứ giác 4 nút 70
Hình 4.11Tích phân J xung quanh đỉnh vết nứt trong khơng gian hai chiều 72
Hình 4.12Miền diện tích lấy tích phân 76
Hình 4.13Hàm trọng q trên các phần tử 76
Hình 4.14Miền tích phân J và miền hỗ trợ các phần tử trong tích phân J 77
Hình 5.1Hình học và điều kiện biên 79
Hình 5.2Mơ hình hĩa mật độ phần tử và miền tích phân J trong Matlab 79
Trang 12Hình 5.4Hệ số cường độ ứng suất KI (Mode I) theo tỷ lệ số nút phần tử của XFEM, XTFEM và kết quả giải tích 80
Hình 5.5Kết quả chuyển vị (mm) của XFEM và XTFEM (Hệ số hiển thị = 50) 81
Hình 5.6Ứng suất yy [MPa]của XTFEM (a) và XFEM (b) 82
Hình 5.7Ứng suất xx[MPa] và xy[MPa]của XTFEM (Phải) và XFEM (Trái) 82
Hình 5.8Mơ hình lưới phần tử hữu hạn trong ANSYS APDL, a/W = 0.6 83
Hình 5.9Hệ số cường độ ứng suất KI (Mode I) theo tỷ lệ chiều dài vết nứt/ bề rộng tấm (a/W) 83
Hình 5.10Kết quả chuyển vị (mm) FEM và XTFEM (hệ số hiển thị =50) 84
Hình 5.11Kết quả ứng suất [MPa] của FEM và XTFEM (hệ số hiển thị =50) 85
Hình 5.12Hình học và điều kiện biên của tấm chứa 1 hạt cứng/ tạp chất 86
Hình 5.13Mơ hình hĩa bài tốn trong hạt cứng ANSYS và Matlab (a/W = 0.3) 86
Hình 5.14Một số kết quả hệ số cường độ ứng suất KI, KII các trường hợp a,b và c, bài tốn một hạt cứng và vết nứt 88
Hình 5.15Kết quả hệ số cường độ ứng suất KI các trường hợp a,b và c (d/L từ 1/4 → 0) tại a/W=0.5, biên vật bất liên tục hạt cứng và vết nứt 88
Hình 5.16Kết quả chuyển vị (mm) ANSYS FEM và XTFEM (hệ số hiển thị = 50) 89
Hình 5.17Kết quả ứng suất [MPa] ANSYS FEM và XTFEM (hệ số hiển thị = 50) 90
Hình 5.18Mơ hình hĩa bài tốn biên bất liên tục là vết nứt và lỗ rỗng trong Matlab (a/W = 0.3) 90
Hình 5.19Kết quả hệ số cường độ ứng suất KI bài tốn biên bất liên tục là lỗ rỗng và vết nứt 91
Hình 5.20Kết quả hệ số cường độ ứng suất KI theo tỷ lệ d/L tại bài tốn a,b và c, biên lỗ rỗng và vết nứt (a/W = 0.5) 92
Hình 5.21Kết quả chuyển vị (mm) ANSYS FEM và XTFEM (hệ số hiển thị = 50) 93
Hình 5.22Kết quả ứng suất [MPa] ANSYS FEM và XTFEM (hệ số hiển thị = 50) 94
Hình 5.23Hình học và điều kiện biên của tấm chứa hạt cứng/ tạp chất chịu tải trọng kéo 95
Hình 5.24Kết quả hệ số cường độ ứng suất KI và KII bài tốn XTFEM biên bất liên tục 1 vết nứt, 1 lỗ rỗng và 1 hạt cứng 95
Hình 5.25Kết quả chuyển vị (mm) ANSYS FEM và XTFEM (hệ số hiển thị = 50) 97
Hình 5.26Kết quả ứng suất [MPa] ANSYS FEM và XTFEM (hệ số hiển thị = 50) 98
Trang 13Hình 5.28Kết quả ứng suất [MPa] ANSYS FEM và XTFEM (hệ số hiển thị = 50) 99
Hình 5.29Hình học và điều kiện biên của tấm chứa hạt cứng/ tạp chất (chịu tải trọng kéo) 100
Hình 5.30Mơ hình hĩa bài tốn 5 trong ANSYS FEM và Matlab XTFEM chứa hạt cứng/ tạp chất (chịu tải trọng kéo) 100
Hình 5.31Kết quả hệ số cường độ ứng suất KI(a) và KII(b) bài tốn XTFEM vết nứt, 2 lỗ rỗng và 2 hạt cứng 101
Hình 5.32Kết quả chuyển vị (mm) trong ANSYS FEM và XTFEM, trường hợp a/W = 0.3 (hệ số hiển thị = 50) 102
Trang 14DANH MỤC BẢNG
Bảng 5.1 Bảng kết quả hệ số cường độ ứng suất KI (Mode I) tại chiều dài vết nứt a
= 21.6 (a/W = 0.6), theo mật độ phần tử 80
Bảng 5.2 Bảng kết quả hệ số cường độ ứng suất KI (Mode I), theo tỷ lệ chiều dài
cạnh nứt a/W 84
Bảng 5.3 Bảng kết quả hệ số cường độ ứng suất KI - mode I và KII – mode II, bài
tốn một hạt cứng 86
Bảng 5.4 Bảng kết quả hệ số cường độ ứng suất KI (Mode I), bài tốn một lỗ rỗng
91
Bảng 5.5 Bảng kết quả hệ số cường độ ứng suất KI và KII, bài tốn biên tổ hợp 1
vết nứt, 1 hạt cứng và 1 lỗ rỗng 96
Bảng 5.6 Bảng kết quả hệ số cường độ ứng suất KI (Mode I), bài tốn biên bất liên
Trang 15KÝ HIỆU VIẾT TẮT Ký hiệu
ui Các thành phần vector chuyển vị (Displacement)
ii Ứng suất phápij Ứng suất tiếpii Biến dạng dài
E Module đàn hồi (Young’s modulus)
G Module đàn hồi trượt (Shear modulus)
G12 Module cắt trong mặt phẳng 1-2
W Mật độ năng lượng biến dạng (Strain energy density)
J Tích phân biên J (J-integral)
KI Hệ số cường độ ứng suất do mode I gây ra
KII Hệ số cường độ ứng suất do mode II gây ra
x = x1 x2 x3 Tọa độ Descartes của x
ij Biến dạng trượt[C] Ma trận vật liệu[D] Ma trận mềm của vật liệuNi Hàm dạng của nút i[K] Ma trận độ cứng tổng thể[B] Ma trân biến dang-chuyển vị[J] Ma trận Jacobian
r,s Tọa độ tự nhiên của phần tử
( )ek Ma trận độ cứng phần tử iu Giá trị xấp xỉ nút i iN Giá trị vector hàm dạng nút i ,ixu , , iy
u Trung bình đạo hàm của i
u e
Trang 16Si,Sj,Sk,Sm Tập hợp các phần tử liên quan tới nút i, j, k, m ,i exu , , i eyu Đạo hàm iu trong phần tử e ,i exN , , i eyN Đạo hàm của iN trong phần tử e ,ixN , , iy
N Trung bình đạo hàm của i
N
qs Vector các nút hỗ trợ
e Diện tích của phần tử e
,,
ixiyi
Hàm liên quan tới nút i
ij Kronecker deltaKý tự viết tắt 1D Miền 1 chiều 2D Miền 2 chiều 3D Miền 3 chiều
FEM Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite element method) BEM Phương pháp phần tử biên (Boundary element method)
XFEM Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (Extended finite element method)
DOFs Bậc tự do
TIS Kỹ thuật nội suy hai lần liên tiếp (twice interpolation strategy) CIP Kỹ thuật nội suy liên tiếp (Consecutive-interpolation procedure) LEFM Cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính (Linear elastic fracture
Trang 17Chương 1 TỔNG QUAN 1.1 Tính cấp thiết của đề tài
1.1.1 Vật liệu composite
Vật liệu composite là vật liệu được tạo thành từ ít nhất hai loại vật liệu khác nhau nhằm mang lại những thuộc tính tốt hơn so với từng vật liệu đơn lẻ thành phần Mỗi vật liệu thành phần được gọi là một pha (phase) Thơng thường sẽ cĩ 1 pha liên tục và các pha khác phân bố bất liên tục trong pha liên tục đĩ Pha liên tục thường được gọi là nền (matrix) pha bất liên tục được gọi là cốt (reinforcement - fiber)
Hình 1.1 Vật liệu Composite 2 phases
Hình 1.2 Phân loại vật liệu composites
Trang 18composite đã được phát triển và ngày càng được sử dụng phổ biến, kèm theo đĩ vấn đề kỹ thuật liên quan đến phân tích ứng xử của vật liệu composite trong quá trình hoạt động đang được quan tâm, một trong những bài tốn đáng được nhắc đến là bài tốn cơ học phá hủy, nứt gãy của vật liệu compiste
Hình 1.3 Mộ số ứng dụng của composite trong cơng nghiệp
Hình 1.4 Vết nứt trên thân máy bay làm từ vật liệu composite
Trang 19Hiện tượng bất liên tục như vết nứt, khuyết tật như lỗ rỗng tồn tại khá phổ biến trong các loại vật liệu composite Chẳng hạn như việc vết nứt xuất hiện tại một vị trí nào đĩ cĩ thể xem là dạng bất liên tục dạng mạnh Cịn sự xuất hiện của một loại vật liệu khác như các hạt cứng trong một mơi trường vật liệu composite dạng hạt cĩ sẵn cĩ thể xem là loại bất liên tục dạng yếu Đối với trường hợp bất liên tục dạng yếu, trường chuyển vị vẫn liên tục nhưng đạo hàm thứ nhất của chuyển vị là biến dạng thì bất liên tục Độ bền của cấu trúc composite phụ thuộc rất nhiều vào sự xuất hiện của các biên bất liên tục Đối với việc xấp xỉ những lời giải khơng liên tục, phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống sử dụng khơng gian xấp xỉ đa thức và phụ thuộc rất nhiều vào lưới để đảm bảo độ chính xác của các kết quả gần miền suy biến hay những vùng cĩ gradient cao
Việc mơ phỏng các biên bất liên tục như vết nứt, lỗ rỗng bằng phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống địi hỏi mật độ lưới rất lớn Và việc làm mịn lưới địi hỏi một lượng tài nguyên máy tính khá lớn Hơn nữa, việc làm mịn lưới thường khĩ cĩ thể tiến hành một cách tự động mà địi hỏi phải cĩ sự can thiệp thủ cơng của người dùng Do đĩ, thuật tốn chia lưới lại ra đời để giải quyết các bài tốn vết nứt nhưng điều này địi hỏi quá trình tính tốn rất phức tạp
1.1.2 Về phương pháp số
Trong kỹ thuật ngày nay, rất nhiều phương pháp số được phát triển để giải quyết bài tốn cơ học phá hủy như: phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), Phương pháp phần tử biên (BEM), phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp phần tử biên cĩ hiệu chỉnh (SBFEM), phương pháp khơng lưới (Meshfree methods), vv…
Trang 20Vì vậy, phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (eXtend Finite Element Method –XFEM) được giới thiệu vào năm 1999, đã rất thành cơng trong việc giải quyết các vấn đề cơ học vật rắn (vết nứt, tiếp xúc, cấu trúc) Phương pháp này dựa trên cơ sở FEM nhưng cải tiến hơn bằng việc những hàm “mở rộng” khơng liên tục được thêm vào xấp xỉ phần tử hữu hạn để tính tốn sự hiện diện của vết nứt Phương pháp này cho phét vết nứt cĩ thể định vị tùy ý bên trong lưới mặc dù một vài vết nứt cong yêu cầu được chia lưới lại Sau đĩ, XFEM được cải tiến cho phép sự xuất hiện độc lập của vết nứt nguyên dạng từ lưới dựa trên nền tảng sự cấp xỉ “mở rộng” từ sự tương tác dạng hình học của vết nứt với lưới Sự khác nhau giữa việc chia lưới theo FEM
và XFEM thể hiện ở Hình 1.5 XFEM thừa hưởng nền tảng lý thuyết vững chắc của
phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống và hạn chế được sự khĩ khăn trong quá trình làm mịn lưới và chia lưới lại Trong đĩ, các lời giải khơng liên tục sẽ được bổ sung sao cho khơng bị ảnh hưởng bởi lưới vật thể và do vậy, lưới mơ hình sẽ được đơn giản đi rất nhiều và thời gian cho việc xây dựng mạng lưới được giảm thiểu một cách đáng kể
(a) kết cấu chia lưới theo XFEM (b) kết cấu chia lưới theo FEM
Hình 1.5 Sự khác nhau chia lưới giữa XFEM và FEM
Trang 21suy thơng qua chuyển vị nút và trung bình đạo hàm chuyển vị tại nút Sau đĩ, các hàm xấp xỉ cĩ thể được xây dựng lại thêm, trong đĩ cả phép dời nút và gradient trung bình được chọn làm điều kiện nội suy Do đĩ, hàm dạng nhận được liên tục và cĩ đa thức bậc cao hơn mà khơng làm tăng thêm tổng số bậc tự do Trường ứng suất trở nên liên tục mà khơng cần những biện pháp xử lý phức tạp, kết quả tính tốn cĩ sự hội tụ tăng đáng kể so với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống
Vì thế phương pháp phần tử hữu hạn nội suy liên tiếp mở rộng (XTFEM) là phương pháp tổng hợp được các ưu điểm đơn giản, linh động của phương pháp phần tử hữu hạn và ý tưởng làm giàu của XFEM cùng kết hợp kỹ thuật nội suy liên tiếp giúp giải quyết những bài tốn bất liên tục một cách hiệu quả cùng chính xác hơn
Tác giả chọn đề tài: “Phân Tích Ứng Xử Cơ Học Vết Nứt Trong Vật Liệu Composite Bằng Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Nội Suy Mở Rộng – An Extended Twice - Interpolation Finite Element Method for Composite” Những ưu điểm và độ chính
xác của phương pháp phần tử hữu hạn nội suy liên tiếp mở rộng (XTFEM) trong bài tốn 1 chiều (1D), 2 chiều (2D) và cả 3 chiều (3D) đã được chứng minh qua rất nhiều nghiên cứu khoa học trước đây (sẽ được đề cập thêm trong mục 1.2) Bài tốn tác giả tập trung nghiên cứu là bài tốn 2 chiều (2D) và phần tử tứ giác 4 nút (Q4), các hàm xấp xỉ của phần tử nội suy liên tiếp sẽ được mở rộng bằng cách thêm các hàm làm giàu (XFEM) mơ tả sự bất liên tục của vết nứt trong vật liệu composite cĩ chứa hạt cứng và lỗ rỗng
1.2 Tình hình nghiên cứu trong và ngồi nước 1.2.1 Tình hình nghiên cứu ngồi nước
Mơ hình phần tử hữu hạn làm giàu đầu tiên được đề xuất bởi Benzley (1974)[3], người đã giới thiệu ý tưởng làm giàu gần đỉnh trong phương pháp phần tử hữu hạn cho các vấn đề đứt gãy tĩnh Cơng việc này được tiếp tục bởi Atluri, Kobayashi và Nakagaki (1975a, 1975b)[4] và Gifford và Hilton (1978)[5] cho các vết nứt tĩnh Tuy nhiên, nĩ đã mất cho đến khi 1999 cho một phương pháp phần tử hữu hạn làm giàu thực tế đầu tiên được phát triển cho crack chung các bài tốn lan truyền dưới dạng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng
Theo [6], những ý kiến cơ bản và sự thiết lập tốn học của phương pháp phần tử
hữu hạn phân chia đơn vị (the partition of unity finite element method - PUFEM )
Trang 22Thuật ngữ của phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) được đề xuất bởi Moës et al, Dolbow[7] và Belytschko (1999)[8], khi họ cải tến phương pháp mới bằng cách cho tồn bộ vết nứt miêu tả độc lập với lưới và được xây dựng làm giàu từ sự tương tác hình học vết nứt với lưới Sự đĩng gĩp thêm từ Dolbow et al (2000a, 2000b, 2000c) [9] Daux et al (2000)[10] và Sukumer et al (2000)[11] mở rộng mơ hình nứt 3 chiều và nhánh bất kỳ và sự giao nhau của những vết nứt
Các ứng dụng đầu tiên của XFEM cho vật liệu composite liên quan đến LEFM và EPEM đã được báo cáo bởi Dolbow và Nadeau (2002)[11] tận dụng phương pháp PTHH mở rộng để mơ phỏng ứng xử nứt của những vật liệu cấu trúc vi mơ với tâm điểm là những hàm phân loại vật liệu Sau đĩ, Dolbow và Gosz (2002)[12] mơ tả sự phương pháp tích phân năng lượng tương tác để tính hệ số cường độ ứng suất ở đỉnh của vết nứt phát triển bất kỳ trong những hàm giúp phân loại vật liệu, và Remmers, Wells và de Borst (2003)[13] trình bày một cơng thức mới cho sự minh họa phát triển tách trong cấu trúc composite lớp mỏng Nagashima và Suemasu (2004, 2006) [14]đã mơ tả ứng dụng của XFEM để phân tích ứng suất cấu trục bao gồm những vết nứt
giữa biên hai vật liệu khác nhau
Những thành cơng của phương pháp nội suy hai lần liên tiếp TIS được nhắc đến trong một số nghiên cứu của tác giả Zheng và cộng sự (2010) [15] cho những vấn đề kết cấu, Wu và cộng sự (2012) [16] vấn đề lan truyền vết nứt Ngồi ra, khơng thể khơng nhắc đến thành cơng thiết lập phần tử 4 nút nội suy liên tiếp (consecutive-interpolation 4-node quadrilateral element - CQ4) của tác giả Bui và các cộng sự
(2014) [17]
1.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước
Trang 23Những thành cơng của phương pháp nội suy liên tiếp trong nước đáng được nhắc đến như: Võ Quang Đảm ( 2012) [21], phương pháp phần tử hữu hạn nội suy hai lần liên tiếp TFEM trong phân tích kết cấu Những nghiên cứu của tác giả Tịnh Quốc Bùi và các cộng sự (2018)[22] Trong tài liệu này, tác giả Bùi và cộng sự đã phát triển thành cơng phần tử tứ giác nội suy liên tiếp CQ4 được mở rộng kết hợp phương pháp làm giàu XCQ4 trong các bài tốn cơ học nứt tĩnh Nguyễn Ngọc Minh (2020) [23] [24] và [25], đã thành cơng phát triển nhĩm phần tử hữu hạn mới dựa trên kỹ thuật nội suy liên tếp cho bài tốn cơ nhiệt 2 chiều và 3 chiều Trần Kim Bằng, Trương Tích Thiện, Phan Ngọc Nhân, Bùi Quốc Tính (2019)[26], phân tích động lực học vết nứt trong vật liệu lẫn hạt cứng và lỗ trống bằng phương pháp phần tử hữu hạn nội suy liên tiếp mở rộng - XTFEM Trong bài báo này, nhĩm tác giả phát triển ma trận độ cứng và khối lượng cho các phần tử mơ tả vết nứt, lỗ rỗng và hạt cứng trong vật liệu nền bằng phương pháp phần tử hữu hạn nội suy liên tiếp mở rộng (extended twice-interpolation finite element method - XTFEM) cho bài tốn động lực học, tính tốn hệ số cường độ ứng suất động theo thời gian và khảo sát sự ảnh hưởng của lỗ rỗng hạt cứng gần vết nứt Hoang Lan Ton-That (2020), Cải tiến phần tử tứ giác tám nút (IQ8) bằng cách sử dụng chiến lược nội suy hai lần cho cơ học đứt gãy đàn hồi tuyến
tính[27]
1.3 Mục tiêu nghiên cứu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Kỹ thuật nội suy hai lần liên tiếp TIS và kỹ thuật nội suy liên tiếp - CIP kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) để giải quyết các bài tốn cơ học nứt cũng đã được một số tác giả nghiên cứu và xuất bản như tác giả Bùi và cộng sự [22], tác giả Wu và cộng sự [16] ( đã được đề cập ở Mục 1.2) Tuy nhiên, các bài tốn chỉ mới đề cập đến biên bất liên tục là vết nứt và vật liệu đồng nhất Trong luận án này, tác giả tập trung nghiên cứu và phát triển thêm cho các biên bất liên tục khác như: hạt cứng/ tạp chất, biên lỗ rỗng cho vật liệu tổng hợp dạng hạt (hai loại vật liệu khác nhau)
Trang 24với phương pháp làm giàu và XCQ4 – Phần tử 4 node nội suy mở rộng từ kỹ thuật nội suy liên tiếp – CIP kết hợp với phương pháp làm giàu Tác giải sử dụng ngơn ngữ lập trình Matlab để xây dựng lên các bài tốn phân tích số và so sánh với kết quả tham khảo từ những nghiên cứu đã được cơng bố trước đây, thể hiện rằng cơng thức được ứng dụng cho thấy sự trơn tru của các trường gradient, độ chính xác và hiệu quả về thời gian cao hơn
1.4 Bố cục luận văn
Bố cục luận văn được trình bày như sau:
- Chương 1: Tổng quan Giới thiệu tổng quan về vật liệu composite và những thiếu sĩt của phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là động lực để phát triển các phương pháp cải tiến, thay thế Tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngồi nước cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của Luận văn
- Chương 2: Cơ sở lý thuyết Trình bày ngắn gọn cơ sở lý thuyết về cơ học nứt và những hạn chế của phương pháp phần tửu hữu hạn truyền thống trong bài tốn biên bất liên tục
- Chương 3: Phường pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) Trong chương này trình bày ngắn gọn về phương pháp làm giàu, một số loại biên bất liên tục và phương pháp xác định biên bất liên tục trong phần tử hữu hạn mở rộng cho các bài tốn cơ học nứt gãy
- Chương 4: Phương pháp phần tử hữu hạn nội suy liên tiếp mở rộng cho biên vật liệu Trong phần này tập trung trình bày kỹ thuật nội suy hai lần liên tiếp TIS và phần tử bốn nút mở rộng cho biên bất liên tục
- Chương 5: Phương pháp nghiên cứu Trình bày các bài tốn phân tích ứng xử vết nứt cho vật liệu composite cùng với kết quả tính tốn bằng ngơn ngữ lập trình Matlab mà tác giả thực hiện và so sánh kết quả với các tài liệu trước đây - Chương 6: Kết luận và hướng phát triển đề tài
[*] Tài liệu tham khảo
Trang 25Chương 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Cơ học phá hủy
Cơ học phá hủy hay cơ học nứt là một chuyên mơn kỹ thuật liên quan đến việc đánh giá sự nứt gãy của một vật liệu Ngay cả trong các cấu trúc đa vật liệu như composite (cĩ hai hay nhiều vật liệu trở lên), các phương trình cĩ thể điều chỉnh và sử dụng miễn là vết nứt chỉ ảnh hưởng đến một trong các vật liệu Thuật ngữ crack (vết nứt) được sử dụng để biểu thị bất kỳ sự gián đoạn vật lý nào trong vật liệu như khoảng rỗng hoặc vết gãy
Một vết nứt trong một vật thể khi chịu tác dụng của lực cĩ thể bị phá hoại bởi 3
mode độc lập khác nhau Hình 2.1 Nếu cĩ sự kết hợp của ba mode I, II và III thì sẽ
tạo thành dạng nứt tổng quát Bất kỳ dạng nứt nào trong kỹ thuật đều do sự kết hợp giữa ba mode cơ bản Tuy nhiên trong thực tế thì mode I đĩng vai trị quan trọng nhất
Hình 2.1 Các mode phá hủy hư hỏng
• Dạng mở rộng (Mode I – Opening mode): Hai mặt nứt sẽ mở rộng ra theo phương y
• Dạng trượt tịnh tiến (Mode II– sliding hay shearing mode): hai mặt nứt sẽ trượt lên nhau theo phương x
• Dạng trượt xoay (Mode III– Tearing mode): hai mặt nứt sẽ trượt lên nhau theo phương z
Một trong những giả thiết trọng tâm của cơ học đứt gãy là, nếu người ta tiến đủ gần đến đỉnh vết nứt, thì trường ứng suất, biến dạng và chuyển vị sẽ khơng phụ thuộc vào hình dạng của mẫu và tải tác động Các trường ứng suất gần đỉnh vết nứt khi đĩ
Trang 26ứng với ba loại tải như trong Hình 2.1 SIF liên quan đến vectơ lực kéo trong mặt
phẳng ở khoảng cách r phía trước mũi vết nứt bằng:
() III
2212 θ=0
K + iK
σ +iτ=
2πr (2.1)
r là khoảng cách từ đỉnh vết nứt tới phân tố đang xét và θ là gĩc hợp bởi đoạn thẳng r với trục x, Hình 2.2 Gĩc pha là thước đo tỷ lệ tương đối của lực cắt so với
lực kéo bình thường tại một khoảng cách đặc trưng l trước mũi vết nứt Nĩ được định
nghĩa thơng qua quan hệ:
1tan IIIKK − = (2.2)
Với, = 0o thuần túy tải mode I và = 90o cho thuần túy tải mode II
Trong đàn hồi tuyến tính, vật liệu đẳng hướng (isotropic material), trường ứng suất và chuyển vị tại đỉnh vết nứt cho mode I và Mode II lần lượt là:
Mode I:
Trường ứng suất:
3
cos 1 sin sin
2 2 2
2
3
cos 1 sin sin
2 2 2
20
( )
3
sin cos cos
Trang 2722cos 1 2sin2 2 2 2sin 1 2sin2 2 2 2IxIyKruKru = − + = + − (2.4) Mode II: Trường ứng suất: 3
sin 2 cos cos
2 2 2
2
3
sin cos cos
2 2 2
20
( )
3 3
cos 1 sin sin
2 2 220IIxxIIyyzzxxyyIIxyzxyzKrKrPlane stressPlane strainKr = − + = = + = − = = (2.5) Trường chuyển vị: 22sin 1 2cos2 2 2 2cos 1 2sin2 2 2 2IIxIIyKruKru = + + = − − − (2.6)
Trang 28Hình 2.2 Định nghĩa trục tọa độ tại đỉnh một vết nứt
Một cách khác để xác định sự phát triển vết nứt là Phương pháp năng lượng Phương pháp tiếp cận này được đề xuất bởi Griffith, dựa trên sự cân bằng năng lượng tổng thể của tồn cơ hệ và khi đĩ hệ số cường độ ứng suất được tính tốn thơng qua suất giải phĩng năng lượng G hay nĩi một cách khác nĩ dựa trên giả định rằng khi cĩ bất kỳ yếu tố dẫn sự lan truyền vết nứt, năng lượng sẽ bị tiêu tán Cần một lượng nhỏ năng lượng để tạo ra các bề mặt tự do mới bởi sự phát triển của vết nứt Ngay cả khi các giả định của LEFM bị vi phạm khi rất gần đỉnh vết nứt (tính dẻo, v.v.), miễn là quá trình lan truyền vết nứt là chậm và biến dạng dẻo khơng đáng kể, năng lượng tiêu tán cũng sẽ khơng đổi và cĩ thể xác định được Suất giải phĩng năng lượng được hiển thị bên dưới trong cân bằng năng lượng Griffith
dWdUd
dadada
− = (2.7)
trong đĩ W là cơng sinh ra bởi ngoại lực, U là năng lượng biến dạng dự trữ trong vật thể, Γ là năng lượng cần thiết cho sự phát triển của vết nứt và a là chiều dài của vết nứt Khi vế bên trái chia cho bề dày mẫu ta thu được suất giải phĩng năng lượng, G Sự phát triển vết nứt được cho là xảy ra khi tốc độ tiêu tán năng lượng G đạt tới một giá trị cực đại, Gc, là sức bền nứt của vật liệu theo tiêu chuẩn năng lượng
Hai phương pháp này cĩ thể liên quan với nhau bởi,
222(1 )' 'IIIIIIKKKGEEE+= + + (2.8) 2' ( )' / (1 ) ( )EEplane stressEE plane strain= = − (2.9)
Trang 292.2 Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và những khĩ khăn
Các bài tốn kỹ thuật thường được mơ tả bằng một hoặc một tập hợp các phương trình vi phân từng phần, việc xét đến sự thay đổi của các biến cần quan tâm cả về khơng gian và thời gian, chẳng hạn như phương trình cân bằng động lượng trong cơ học vật rắn, phương trình Navier-Stokes trong động lực học chất lỏng, bảo tồn năng lượng trong quá trình truyền nhiệt, phương trình Maxwell trong điện động lực học, v.v Bằng cách giải phương trình này chúng ta cĩ thể nắm bắt được các thơng tin quan trọng Ví dụ, sự phân số áp suất cùng vận tốc của một dịng chảy trong ống cĩ thể nhận được từ phương trình bảo tồn động lượng và phương trình Navier-Stokes trong động lực học chất lỏng Dựa trên những thơng số đĩ để đưa ra những quyết định về thiết kế và cải tiến Nhưng các hầu hết các giải pháp sẵn cĩ trên chỉ giới hạn trong các trường hợp được xem là lý tưởng Các vấn đề kỹ thuật thường khơng lý tưởng và mang tính thách thức hơn như hình học và điều kiện biên phức tạp Do đĩ, việc tìm lời giải bằng phương pháp phân tích là rất khĩ và tốn nhiều thời gian Thay vào đĩ, các phương pháp số sẽ phù hợp hơn
Hình 2.3 Phần tử và điều kiện biên của phương pháp phần tử hữu hạn trong bài
tốn cơ học 2D
Trang 30được tính tốn kết hợp với kỹ thuật tuyến tính hĩa Các phương pháp số biết đến nhiều hiện nay bao gồm: Phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử biên, phương pháp phần tử hữu hạn cũng như các cải tiến của phương pháp này, phương pháp thể tích hữu hạn, phương pháp khơng lưới, phương pháp đẳng hình học, … Trong đĩ phương pháp số phổ biến nhất là Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hĩa miền xác định của bài tốn, bằng cách chia nĩ thành nhiều miền con (cụ thể là các phần tử) khơng chồng chéo Các phần tử này được liên kết với nhau tại các điểm nút chung (lưới phần tử của phương pháp
phần tử hữu hạn cho bài tốn hai chiều được minh họa trong Hình 2.3) Trong thực
tế, một phần tử được xây dựng bằng các hình dạng, hình học đơn giản ví dụ như một đoạn thẳng (các bài tốn một chiều-1D), tam giác và tứ giác (các bài tốn hai chiều - 2D), tứ diện và lục diện (các bài tốn ba chiều - 3D)
Trang 31Hình 2.4 Kết quả hội tụ theo số phần tử lưới
Rõ ràng, một nghiệm xấp xỉ của phương pháp số sẽ hội tụ tới gần kết quả "đúng" khi cĩ nhiều nút hơn, hay nhiều phần tử hơn, được sử dụng trong phép tính gần đúng Một ví dụ về sự hội tụ của kết quả ứng suất tương ứng với số lượng phần tử được mơ
tả trong (Hình 2.4) Cĩ thể thấy rằng, số lượng phần tử nhiều hơn (hay kích thước
phần tử càng nhỏ) thì kết quả ứng suất tính tốn càng tiếp cận giá trị "chính xác" của bài tốn
Ra đời từ những năm 50 - 60 của thế kỷ 20 cho đến nay, FEM là phương pháp số phổ biến nhất trong các ngành cơng nghiệp để giải các phương trình đạo hàm riêng như: phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ơ tơ, máy bay, tàu thủy, v.v…, cũng như các bài tốn của lý thuyết trường: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thủy khí đàn hồi, điện-từ trường v.v… Với sự giúp đỡ của máy tính và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức tạp đã được tính tốn mơ phỏng và thiết kế hiệu quả cùng chính xác cao Ngồi ra, Phương pháp phần tử hữu hạn cịn được thương mại hĩa trong các phần mềm kỹ thuật như: NASTRAN, ABAQUS, ANSYS, SAMCEF, COMSOL, v.v… cũng như các phần mềm mã nguồn mở như FEAP, OOFEM và Code Aster, v.v Một số lớn các trường Đại học và Viện nghiên cứu trên thế giới cũng phát triển các gĩi FEM nội bộ của riêng họ để phục vụ cho việc giảng dạy và nghiên cứu FEM đã khơng trở nên phổ biến mà khơng cĩ lý do Trên thực tế, nĩ sở hữu nhiều ưu điểm: ổn định, đơn giản, tính tốn nhanh độ chính xác chấp nhận được
Tuy nhiên, phương pháp này vẫn cịn những thiếu sĩt cố hữu, đã được chỉ ra trong các tài liệu hiện cĩ như [28][29] [30] và [31]:
- Miền bài tốn cần được chia thành những miền con khơng chồng lấp nhau gọi
Trang 32phải cập nhật lại miền tính tốn, như khi khảo sát sự lan truyền vết nứt hay tương tác chất lỏng-rắn, lưới phần tử phải được cập nhật cho phù hợp Đây là một nhiệm vụ khơng hề đơn giản, đặc biệt khi miền bài tốn cĩ dạng hình học phức tạp
- Các phần tử phải thỏa mãn một số tính chất hình học nhất định để đảm bảo
độ chính xác Nếu các phần tử bị bĩp méo (distored), ví dụ: một phần tử tứ
giác bốn nút mất đi độ lồi của nĩ do biến dạng lớn, các sai số cĩ thể tăng lên đáng kể
- Các trường đạo hàm (gradient) thu được bởi FEM, ví dụ: trường ứng suất và
biến dạng trong cơ học rắn, khơng liên tục về mặt vật lý tại các nút Điều này cĩ nghĩa là giá trị ứng suất (và biến dạng) tại một nút chung sẽ khác nhau khi tính theo các phần tử khác nhau Đây là một kết quả khơng phù hợp về vật lý
- Các phần tử bị hiện tượng khĩa (locking), ví dụ: khĩa thể tích (volume-locking) gặp phải khi xử lý các vật liệu khơng nén được (hệ số Poisson gần
như bằng 0,5) hay các bài tốn tấm, vỏ chịu uốn
Trang 33Chương 3
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG (XFEM – EXTEND FINITE ELEMENT METHOD)
Trong vật liệu luơn tồn tại sự bất liên tục như vết nứt, lỗ rỗng, tạp chất, v.v Các vết nứt hay lỗ rỗng được xem là bất liên tục hình học hay bất liên tục dạng mạnh Cịn sự tồn tại của các hạt cứng trong vật liệu cĩ thể được xem là bất liên tục vật liệu hay bất liên tục dạng yếu Mỗi dạng bất liên tục như vậy sẽ cĩ tính chất vật lý khác nhau Chẳng hạn như bất liên tục dạng yếu sẽ được mơ tả bởi một hàm tốn học sao cho đạo hàm bậc nhất của nĩ cĩ bước nhảy trong khi bất liên tục dạng mạnh sẽ được mơ tả bởi một hàm bước
Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) đã đi đầu trong cuộc cách mạng trong lập mơ hình tính tốn trong những thập kỷ gần đây Tuy nhiên, khi nĩi đến phân tích vật liệu tổng hợp, vật liệu nhiều lớp thì nĩ đang cịn gặp nhiều yếu điểm FEM cĩ thể mơ phỏng về ứng xử bên trong riêng lẻ từng loại vật liệu hoặc lớp vật liệu khá tốt, nhưng nĩ gặp khĩ khăn lớn khi gặp mặt biên giữa các lớp vật liệu, tức là khu vực quan trọng nhất đối với vật liệu composite Ngồi ra, FEM yêu cầu về mật độ và mặt biên lưới cực kỳ tốt trong khu vực của các biên vật liệu - đặc biệt là khi đánh giá ứng xử tại những vị trí khơng liên tục như nứt gãy hoặc lỗ rỗng - ngồi ra lưới phải phù hợp với các bất liên tục khác nhau Trong một số trường hợp, ngay cả lưới tốt nhất cũng khơng thể tạo ra kết quả chính xác Một ví dụ rõ ràng về điều này đã được chỉ ra trong một nghiên cứu về vết nứt cạnh của màng mỏng [32],kích thước phần tử gần đỉnh vết nứt của lưới FEM nhỏ hơn 107 độ lớn so với kích thước phần tử được sử dụng trong XFEM nhưng vẫn khơng thể đưa ra kết quả chính xác
Một số cách tiếp cận đã được thực hiện để cố gắng khắc phục những vấn đề này, trong số đĩ là phương pháp phần tử kỳ dị (singular elements) và phương pháp khơng lưới (meshless) Cả hai đều yêu cầu sửa đổi đáng kể cách mơ hình hĩa phần tử hữu hạn nhưng đơi khi họ gặp nhiều rắc rối hơn những gì đáng cĩ
Trang 343.1 Chức năng làm giàu
Trong XFEM, phương pháp tập mức (level set method) cung cấp vị trí của hình học và biên bất liên tục Phần cịn lại là xác định hàm làm giàu trong phương trình xấp xỉ phần tử hữu hạn mở rộng Ý tưởng cơ bản của XFEM là mở rộng khơng gian phần tử hữu hạn bằng cách thêm vào các hàm xấp xỉ mở rộng (hàm làm giàu) để mơ tả ảnh hưởng của các biên bất liên tục như vết nứt, biên vật liệu và lỗ rỗng với một trọng số (weight function) tương ứng Đối với các phần tử chuẩn khơng chứa biên bất liên tục thì sẽ được tính tốn theo FEM tiêu chuẩn Ngồi ra, đối với biên bất liên tục những hành vi và ứng xử của nĩ liên quan chặt chẽ đến hình dạng và loại hình của biên bất liên tục nên thơng thường hàm làm giàu thường được chọn trùng với hàm tập mức
Tiêu chí quan trọng nhất để chọn chức năng làm giàu là sự bất liên tục dạng mạnh hay dạng yếu Một bất liên tục dạng mạnh sẽ cĩ một bước nhảy trong một số biến trường Ví dụ về loại bất liên tục này là vết nứt Tùy thuộc vào loại bất liên tục cụ thể, chức năng làm giàu được chọn thường là một loại chức năng bật/tắt nhị phân Ví
dụ về điều này là hàm Heaviside và hàm bước nhảy Hình 3.1 đưa ra một ví dụ về
hình dạng mà chức năng làm giàu cĩ thể cĩ đối với biên bất liên tục dạng mạnh
Hình 3.1 Mơ hình khác nhau của hàm Heaviside (Mohammadi, 2008) (Reproduced
by permission of John Wiley & Sons, Ltd.)
Trang 35dạng bất liên tục Hình 3.2 Để biểu diễn hành vi và ứng xử của biên vật liệu thì các
hàm làm giàu dạng dốc - gấp khúc sẽ được ưu tiên lựa chọn Đối với dạng bất liên tục cĩ dạng mạnh và dạng yếu trùng nhau thì dạng mạnh của loại bất liên tục sẽ được ưu tiên làm hàm làm giàu để biểu thị hành vi ứng xử của nĩ
Hình 3.2 Hàm làm giàu cho biên vật liệu cắt qua
Trong chương này, các hàm làm giàu được bổ sung vào biểu thức trường chuyển vị xấp xỉ, mơ tả sự tồn tại của một số biên bất liên tục phổ biến như vết nứt, hạt và lỗ rỗng Để mơ tả sự tồn tại của hạt cứng/ tạp chất trong vật thể, những phần tử cĩ biên vật liệu cắt qua sẽ cĩ các nút được làm giàu bởi hàm trị truyệt đối Để mơ tả sự tồn tại của lỗ rỗng trong vật thể, những phần tử cĩ biên lỗ rỗng cắt qua sẽ cĩ các nút được làm giàu bởi hàm Heaviside Để mơ tả sự tồn tại của vêt nứt, hai loại hàm làm giàu sẽ được sử dụng Đối với những phần tử cĩ đường nứt cắt qua, các nút được làm giàu bởi hàm Heaviside cịn đối với phần tử chứa đỉnh vết nứt, hàm tiệm cận Westergaard sẽ được sử dụng để làm giàu cho các nút thuộc phần tử này
3.2 Phương pháp phân chia đơn vị
Phương pháp phân chia đơn vị (Partition of Unity Method – PUM) Kể từ khi khái niệm phân chia đơn vị ra đời, nĩ đã thường xuyên được sử dụng trong các lĩnh vực khác nhau như một phương tiện để nâng cao một phép số gần đúng ban đầu Phân
Trang 36Cĩ thể dễ dàng chỉ ra rằng bằng cách chọn bất kỳ hàm ( )x nào, hàm phân đơn vị của fk( )x trở thành, 1( ) ( ) ( )mkkf == xxx (3.2)
Điều này cũng cĩ thể được định nghĩa đầy đủ cho một bậc l, trong đĩ các hàm
PU gần đúng fk( )x cĩ thể biểu diễn chính xác đa thức bậc l: ( )
( ) ( )
x = pl x Sau đĩ, đạt được độ hồn chỉnh bằng khơng nếu (3.2) giữ nguyên hằng số p( )x
Tính chất đối xứng của các hàm dạng trong phần tử hữu hạn, Nj, là các hàm PU được sử dụng thường xuyên nhất,
1( ) 1nkjN==x (3.3)
với, n là số nút của mỗi phần tử hữu hạn
3.3 Phương pháp phần tử hữu hạn phân chia đơn vị
Phương pháp phần tử hữu hạn phân chia đơn vị (Partition of Unity Finite Element Method-PUFEM) [6] là một phương pháp phần tử hữu hạn tiêu chuẩn theo Galerkin kết hợp với phương pháp làm giàu xấp xỉ phần đơn vị (Partition of Unity Method - PUM) Theo lý thuyết, phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (extended finite element method-XFEM), phương pháp phần tử hữu hạn nội suy liên tiếp mở rộng (An Extended Twice - Interpolation Finite Element Method-XTFEM), phương pháp phần tử hữu hạn tổng quát (generalizd finite element method-GFEM) hay phương pháp phần tử đơn vị đều là dựa trên cách tiếp cận phân chia đơn vị
Bằng cách thêm các làm giàu bên ngồi cho hàm dạng (shape functions) phần
tử hữu hạn cổ điển trong một phân vùng đơn vị: f pu (x) = N (x) với, x là một điểm
tổng quát bất kỳ trong một phần tử hữu hạn Ta cĩ hàm xấp xỉ chuyển vị:
( ) ( ) ( )nmhjjkjkj=1k=1N p = + u xxux a (3.4)
Trang 37( ) ( ) ( )nmhijijkijkj=1k=1=N +p u xxux a (3.5)
Loại bỏ số hạng đầu tiên N (x )ui i i =ui, Vì vậy:
( ) ( )mhikiikk=1=+pu xux a (3.6)
Để thỏa mãn tính nội suy ở những điểm của nút, phương trình (2.8) được thay đổi: ( ) ( ) u ( ( ) - ( ))nmhjjkkjjj=1k=1N pp = + u xxxxa (3.7) Với, u xh( )i =u i
3.4 Hàm chuyển vị xấp xỉ trong phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng
Phương trình xấp xỉ chuyển vị trong XFEM được phát triển dựa trên nền tảng của phương pháp FEM bằng cách thêm vào các bậc tự do Thành phần bậc tự do thêm vào này được gọi là phần làm giàu hay phần mở rộng XFEM đặc biệt hữu dụng cho các bài tốn cĩ tồn tại yếu tố bất liên tục, suy biến,… (ở đĩ chuyển vị bất liên tục) như: vết nứt, lỗ rỗng, bề mặt phân cách giữa 2 vật liệu, sự thay đổi độ cứng,
Khảo sát một điểm cĩ tọa độ x trong mơ hình phần tử hữu hạn Giả sử rằng cĩ một biên bất liên tục hay suy biến trong miền tùy ý được phân chia thành n điểm nút phần tử hữu hạn, dạng tổng quát của phương trình xấp xỉ chuyển vị nút cĩ tọa độ x
như sau [33]: FEenr( ) ( ) ( ) ( )nmhjjkkj=1k=1NNψ= + = +u xuux uxx a (3.8)
Trang 38Miền ảnh hưởng liên quan đến một nút nằm trên một canh và nút nằm bên trong
phần tử, minh họa (Hình 3.3)
Hình 3.3 Miền ảnh hưởng của một nút cạnh J và một nút bên trong J’ trong lưới
phần tử hữu hạn bất kỳ
Hàm làm giàu ( )x là hàm được chọn để áp dụng thích hợp trong việc phân tích các giải pháp của dạng bất liên tục Mục đích chính cho việc sử dụng khác nhau của hàm làm giàu trong XFEM cĩ thể được diễn tả như sau:
▪ Thể hiện được bản chất của miền kỳ dị lân cận đỉnh vết nứt
▪ Thể hiện sự liên tục trong chuyển vị giữa các phần tử hữu hạn gần nhau ▪ Miền biến dạng phía bề mặt vết nứt độc lập với miền biến dạng phía dưới bề
mặt vết nứt hay biên vật liệu
Ngồi ra, XFEM cịn cĩ thể áp dụng để diễn tả sự bất liên tục trong các bài tốn vật lý khác nhau như sự bất liên tục giữa hai mơi trường chất lỏng
Số hạng đầu tiên ở vế phải của phương trình (3.8) là sự xấp xỉ phần tử hữu hạn cổ điển để xác định trường chuyển vị, trong khi số hạng thứ hai là xấp xỉ làm giàu với mục đích thể hiện sự bất liên tục trong mơ hình Ở số hạng thứ 2, ta nhân thêm bậc tự do bên cạnh hàm làm giàu để thể hiện miền bất liên tục như trong mơ hình vết nứt
Với np là số lượng hàm làm giàu tại một nút của phần tử bất liên tục, trường chuyển vị xấp xỉ phương trình (3.8) cĩ thể được mở rộng như sau:
Trang 39Hình 3.4 Các miền ảnh hưởng (hỗ trợ) của các nút A và B và tập hợp các nút được
làm giàu cho một vết nứt và lỗ điển hình
3.5 Hàm khoảng cách xét dấu
Khoảng cách d từ điểm x đến biên Γ được xác định là, - Γ
d= x x (3.10)
Trong đĩ, xΓ là hình chiếu pháp tuyến của x trên Γ (Hình 3.7) Khi đĩ, hàm
khoảng cách cĩ dấu ξ (x) cĩ thể được định nghĩa là,
( ) min ( ( ))ΓΓΓΓξsign= − −xxxxnxx (3.11)
với n là vectơ pháp tuyến đơn vị
3.6 Theo dõi biên bất liên tục di chuyển
Trong XFEM và XTFEM, một trong những khía canh quan trọng là việc làm thế nào để chúng ta cĩ thể theo dõi được biên bất liên tục (cĩ thể là vết nứt/ biên vật liệu) khi chúng phát triển/di chuyển Một số phương pháp hiện nay dùng để mơ tả biên bất liên tục của bài tốn như:
Trang 40khơng gian 2D và 3D Tuy nhiên, phương pháp này thường sử dụng cho các biên/ mục đích hạn chế như: Chúng chỉ áp dụng trong các bài tốn trong đĩ tốc độ lan truyền là đẳng hướng; phương trình hàm tốc độ khơng bao giờ thay đổi dấu, do đĩ chúng chỉ đi về một hướng nhất định như phía trước chỉ đi về phía trước và phía sau chỉ đi về phía sau V.v…